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三角函数竞赛讲义1


三角函数竞赛讲义(一)
1. 和差化积与积化和差公式:

?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? , sinα -sinβ =2 cos ? ? sin ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cosα +co

sβ =2cos ? ? cos ? ? , cosα -cosβ =-2sin ? ? sin ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 1 1 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )], cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )], 2 2 1 1 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )], sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )]. 2 2 3 3 2.三倍角公式及变式: sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? , cos3? ? 4cos ? ? 3cos ? 1 1 sin(60? ? ? ) sin ? sin(60? ? ? ) ? sin 3? , cos(60? ? ? ) cos ? cos(60? ? ? ) ? cos 3? 4 4
sinα +sinβ =2sin ? 例 1. 证明: cos 7 x ? 7cos5x ? 21cos3x ? 35cos x ? 64cos x
7

分析:等号左边涉及角 7x、5x、3x、x 右边仅涉及角 x,可将左边各项逐步转化为 sin x 、 cos x 的表达式,但相对较繁. 观察到右边的次数较高,可尝试降次. 证明:因为 cos3x ? 4 cos3 x ? 3 cos x, 所以4 cos3 x ? cos3x ? 3 cos x, 从而有 16cos6 x ? cos2 3x ? 6 cos3x cos x ? 9 cos2 x

?

1 ? cos 6 x 9 ? 3(cos 4 x ? cos 2 x) ? (1 ? cos 2 x) 2 2

32cos6 x ? 1 ? cos6 x ? 6 cos4 x ? 6 cos2 x ? 9 ? 9 cos2 x, 64cos7 x ? 2 cos6 x cos x ? 12cos4 x cos x ? 30cos2 x cos x ? 20cos x
? cos7 x ? cos5 x ? 6 cos5 x ? 6 cos3x ? 15cos3x ? 15cos x ? 20 cos x ? cos7 x ? 7 cos5 x ? 21cos3x ? 35cos x.
评述:本题看似“化简为繁”,实质上抓住了降次这一关键,很是简捷. 另本题也可利用复 数求解. 令 z ? cos ? ? i sin ? , 则2 cos ? ? z ?
? ?

1 1 , 从而,128 cos 7 ? ? ( z ? ) 7 ,展开即可. z z

练习:(1)求值:tan20 +4cos70 = 【解】

sin 20? sin 20? ? 4 sin 20? cos 20? sin 20? ? 2 sin 40? ? ? tan20 +4cos70 = +4sin20 ? cos20? cos 20? cos 20? sin 20? ? sin 40? ? sin 40? 2 sin 30? cos10? ? sin 40? ? ? cos 20? cos 20? sin 80? ? sin 40? 2 sin 60? cos 20? ? ? ? 3. cos 20? cos 20?
? ?

(2)已知

sin(? ? 2 ? ) 1 ? tan( ? ? ? ) ? 3, 且 ? ? k? , ? ? ? ? n? ? (n, k ? Z ) 。则 sin ? 2 2 tan ?

的值是_ 解:

__.

sin(? ? 2? ) 1 ?1 [sin(? ? 2? ) ? sin ? ] tan( ? ? ? ) sin(? ? ? ) ? cos ? 2 3 ?1 sin ? ? ? ? ? ? 2. 1 sin(? ? 2? ) tan ? cos(a ? b) ? sin ? 3 ?1 [sin(? ? 2? ) ? sin ? ] ?1 2 sin ?
(3) sin x sin 3 x 的最大值是_______.1/4
3

2.证明: sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? 2 ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ?

sin(? ?

n n ?1 ? ) sin ? 2 2 . sin

?

2

证明: sin ? sin

?

1 ? ? ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? ? )], 2 2 2 2

类似地sin(? ? ? ) sin

1 3 ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? )], 2 2 2 2 ? 1 5 3 sin(? ? 2 ? ) sin ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2 ?? sin(? ? n? ) sin

?

?

? ? [cos( ?? ? ) ? cos(? ? )] 2 2 2 1 2n ? 1 ? ? ? [cos( ?? ? ) ? cos(? ? )] ? sin(? ? n ? ) sin n ? 1 ? . 2 2 2 2 2 n n ?1 ? sin(? ? ? ) sin ?. n n ?1 sin(? ? ? ) sin ? 2 2 2 2 所以, sin ? ? sin(? ? ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ? . ? sin 2

各项相加得, sin

?
2

1 2n ? 1 2n ? 1 ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2

[sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? 1 ? 2 ? ) ?2 n? 1sin(? ? n? )] ?

评述:①类似地,有 cos? ? cos(? ? ? ) ? ? ? cos(? ? n? ) ?

sin

n ?1 n ? cos(? ? ? ) 2 2 . sin

?

2



































n n ?1 sin ? cos ? 2 2 cos? ? cos 2? ? cos3? ? ? ? cos n? ? ? sin 2

3 5 1 ? cos ? ? cos ? ? . 9 7 7 2 ? 3 5 7 1 ? 3 5 1 cos ? cos ? ? cos ? ? . cos ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 等. 9 9 9 9 2 9 7 7 2 ? 3 5 7 1 cos ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 等. 9 9 9 9 2 m 练习.证明:对任一自然数 n 及任意实数 x ? k ? ( k ? 0,1,2, ? , n, m 为任一整数), 2 cos


?

1 1 1 ? ??? ? cot x ? cot 2 n x. n sin 2 x sin 4 x sin 2 x

思路分析:本题左边为 n 项的和,右边为 2 项之差,故尝试将左边各项“裂”成两项之差, 并希冀能消去其中许多中间项. 1 2 cos2 x ? cos 2 x 2 cos2 x cos2 x 证明: ? ? ? ? cot x ? cot 2 x, sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x sin 2 x

1 1 ? cot 2 n ?1 x ? cot 2 n x ?? ? cot 2 x ? cot 4 x sin 2 n x sin 4 x 评述:①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. ②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性,类似可证下列各题:
同理

tan ? tan 2? ? tan 2? tan 3? ? ? ? tan( n ? 1)? tan n? ?

tan n? ?n. tan ?

tan? ? 2 tan2? ? 2 2 tan2 2 ? ? ? ? 2 n tan2 n ? ? cot? ? 2 n?1 cot 2 n?1? . 1 1 1 ? ??? ? cos1? cot1? ? ? ? ? ? ? cos0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89


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