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人教版高中数学必修1 全册导学案


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1.1.1 集合的含义
使用说明:
“自主学习”10 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”10 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。 “巩固练习”10 分钟,组长负责,组内点评。 “个人总结”5 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不

到位的问题。 能力展示 5 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
(1)初步理解集合的含义,知道常用数集及其记法.,初步了解“ ∈”关系的意义.。. (2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合. (3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实 和数学对象中的意义. (4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性). (5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度.

学习重点:
集合概念的形成。

学习难点:
理解集合的元素的确定性和互异性.

学习过程 (一)自主学习
阅读课本,完成下列问题 : 1、 例(3)到例(8)和例(1)(2)是否具有相同的特点,它们能否构成集合,如果能,他们的元 素是什么?结合现实生活,请你举出一些有关集合的例子。

2、一般地,我们把研究对象称为 .,把一些元素组成的总体叫做 。 3、集合的元素必须是 不能确定的对象不能构成集合。 4、集合的元素一定是 的,相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。 5、集合通常用大写的拉丁字母表示,如 。元素通常用小写的拉丁字母表示,如 。 6、如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作 ,读作” ”。 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作 ,读作” ”。 7、非负整数集(或自然数集) ,正整数集 ,整数集 ,有理数集 , 有理数集 ,实数集 。

(二) 合作探讨
1、下列元素全体是否构成集合,并说明理由 (1)世界上最高的山 (2)世界上的高山。(3) 2 的近似值 (4)爱好唱歌的人 (5)本届奥运会我国取得优秀成绩的运动员。(6)本届奥运会我国参加的所有运动项目。
1

2、结合具体例子,请你说明你对集合中元素具有的互异性和确定性的理解。

3、如果用 A 表示高一(3)班全体学生组成的集合,用 a 表示高一(3)班的一位同学,b 是高一(4) 班的一位同学,那么 a, b 与集合 A 有什么关系?由此可见元素与集合间有什么关系?

4、请你指出下列集合中的元素。 (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x =x 的所有实数根组成的集合;
2 2

(3)由 1~20 以内的所有素数组成的集合; (4)方程 x -2=0 的所有实数根组成的集合; (5)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。

(三)巩固练习
(1)3
2 7

1、用“ ? ”或“ ? ”符号填空: .Q (2 )3
2

N ; (3 )

?

Q

(4 ) 2

R ; ( 5) 9

Z (6 ) ( 5 )

2

N

2、集合 A:比 3 的倍数小 1 的所有的数 (1)5 A, (2 )7 A , (3 )-10 A.

(四)个人收获与问题
知识:

方法:

我的问题:

(五)预习内容
预习集合的表示法。

2

1.1.1 集合表示法
使用说明: “自主学习”15 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。
“合作探究”10 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。 “巩固练习”5 分钟,组长负责,组内点评。 “个人总结”5 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不到位的问题。 能力展示 5 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1.掌握集合的表示方法,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的 具体问题 2.发展运用数学语言的能力,感受集合语言的意义和作用,学习从数学的角度认识世界. 3.通过合作学习培养合作精神. 学习重点:集合的表示方法,即运用集合的列举法与描述法,正确表示一些简单的集合 学习难点:难点是集合特征性质的概念,以及运用特征性质描述法表示集合

学习过程 (一)自主学习
阅读课本,完成下列问题 1.集合的表示方法 (1)列举法: 把 一一列举出来,写在 内,用逗号隔开。

(2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内,具体方法在大括号内先写 上表示这个集合元素的 这个集合中元素所具有的 .及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出 。

{ x ? I | p(x)} 其中:1)x 是集合中元素的代表形式,2)I 是 x 的范围,3)p(x)是集合中元
素 的共同特征,4)竖线不可省略。

思考?1、 x | x=3}与{ y | y=3}是否是同一集合? 2、 | y=x2}与{ , | y=x2 }是否是同一集合? { {y (x y)

(二) 合作探讨
1、用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x =x 的所有实数根组成的集合;
2 2

(3)由 1~20 以内的所有素数组成的集合; (4)方程 x -2=0 的所有实数根组成的集合; (5)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。

2、试用描述法表示下列集合: 1) 方程 x -2=0 的所有实数根组成的集合; 2) 所有的奇数;所有偶数;比 3 的倍数多一的整数 3) 不等式 x-10>0 的解集 4)一次函数 y=2x+1 图象上的所有的点。
2

思考?请你结合具体例子,试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时,各自的特点和适用对象。
3

自己举几个集合的例子,并分别用自然语言,列举法和描述法表示出来。

(三)巩固练习

1、已知 A={x∣x=3k-1,k ? Z},用“ ? ”或“ ? ”符号填空: (1 ) 5 A, (2 ) 7 A, (3 ) -10 2、试选择适当的方法表示下列集合: 1) 由小于 8 的所有素数组成的集合 3) 不等式 4x-5<3 的解集 5) 反比例函数 y=
2

A.

2) 一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图象的交点组成的集合; 4) 二次函数 y= x -4 的函数值组成的集合;

2 的自变量的值组成的集合; x

3、已知-3 ? {m-1,3m, m +1},求 m 的值.
2

(四)个人收获与问题
知识: 方法:

我的问题:

(五)拓展能力:
设集合 B={x ? N∣

6 ? N} 2? x
2) 用列举法表示集合 B。

1) 试判断元素 1,元素 2 与集合 B 的关系;

4

1.2.1 集合间的关系
使用说明: “自主学习”15 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。
“合作探究”10 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。 “巩固练习”5 分钟,组长负责,组内点评。 “个人总结”5 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不到位的问题。 “能力展示”5 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
(1)运用类比的方法,对照实数的相等与不等的关系,探究集合之间的包含与相等关系 (2)能识别给定集合的子集. (3)能利用 Venn 图表达集合间的关系;探索直观图示(Venn 图)对理解抽象概念的作用 (4)初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程,体会集合语言,发展运用数学语言 进行交流的能力。 : (5)了解集合的包含,感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。

学习重点:子集的概念 学习难点:元素与子集、属于与包含之间的区别 学习过程 (一)自主学习
(1)一般的,对于两个集合 A 、B,如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素那么集合 A 叫做 集合 B 的 ,记作 或 . 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A B,用 Venn 图表示 两个集合间的“包含”关系 (2) 集合与集合之间的 “相等”关系, 若 ,则 A ? B B A

A ? B 中的元素是一样的
(3) 真子集的概念: (4) 任何一集合都是它自身的 (5) 空集的概念: 空集是任何集合的 。 . ,是任何非空集合的 。记作 。

思考?包含关系{a} ? A 与属于关系 a ? A 有什么区别?试结合实例作出解释。

(二)合作探究
例 1.观察实例,写出下列集合间的关系。 (1) A={1,3} ,B={1,3,5,7} (3) A={x︱x 是矩形},B={x︱x 是平行四边形} (5) A={x︱x>3},B={x︱x>5},C={x︱x>7} (2) A={高一全体女生} ,B={高一全体学生} (4) A=N,B=Q (6) A={x︱(x+2)(x+1)=0},B={-1,-2}

例 2 写出集合{a, b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集?

5

例 3 已知集合 A={x︱x > b }, B={x︱x > 3},若 A ? B ,,则求实数 b 的范围 ?

(三)巩固练习
1.用适当的符号填空: (1)a (4){0,1} {a,b,c} N (2)0 (5) {0} {x︱x =0} {x︱x =x}
2 2

(3)? (6){2,1}

{x? R︱x +1=0},
2

{x︱x -3x+2=0}

2

(7)已知集合 A={x︱2x-3< 3x},B={x︱x ? 2},则有: -4 B
2

-3

A

{2}

B

B

A

(8) 已知集合 A={ x︱x -1=0},则有: 1 A, {-1} A , ? A , {-1,1} A {x︱x 是等边三角形 }

(9) {x︱x 是菱形 } {x︱x 是平行四边形 } ;{x︱x 是等腰三角形 } 2.写出集合{a ,b , c}的所有子集,并指出哪些是它的真子集?

(四)个人收获与问题:
知识: 方法: 我的问题:

(五)拓展能力
1.已知集合 A={-1,2x-1,3} ,B={3, x2}若 A ? B ,则求实数 x ? 2 已知集合 A={x︱2-x<0}, B={x︱ax =1},若 B ? A ,,则求实数 a 的范围 ?

6

1.3.1 集合的运算
使用说明: “自主学习”15 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。
“合作探究”10 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。 “巩固练习”5 分钟,组长负责,组内点评。 “个人总结”5 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不到位的问题。 能力展示 5 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
(1)理解两个集合的交集、并集、补集的含义. (2)会求两个集合的交集、并集、补集. (3)能使用 Venn 图表达集合间的运算. (4)通过复习集合与集合间的关系,对照数或式的算术运算和代数运算,探究集合之间的运算. (5)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程,体会集合语言,发展运用数学语言进行交流 的能力 (6)通过直观图的运用培养学生的探索精神. 学习重点:集合的交、并、补运算 学习难点:补集的运算.

学习过程 自主学习:
1、试用 Venn 图表示集合 A,B 可能的关系。

2、并集: A ? B= 交集:

叫做 A,B 的并集,记作 , 用 Venn 图表达如图(1) 叫做 A,B 的交集.

(读作"A 并 B"). 即

记作 (读作"A 交 B"),即 A∩B= 用 Venn 图表达如图(2) 3、全集: 那么称这个给定的集合 为全集

A

B

A?B
(1) ,

4、补集: 叫做 A 在 U 中的补集,记作

A

A?B B

用 Venn 图表达如图(3) (2) U A

(二) 合作探讨
1、求下列集合 A 与 B 的交集、并集 (1) A={4,5,6,8} B={3,5,7,8} (2) A={ x|-1<x<2} B={ x|1<x<3}

CU A

(3) (3)

7

2、新华中学开运动会,设 A={ x|x 是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学} B={ x| x 是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求 A∩B.

3、设平面内直线 L 1 上点的集合为 L 1 ,直线 L 2 上点的集合为 L 2 ,试用集合的运算表示 L 1 , L 2 的位置关系.

4、设 U={x|x 是小于 9 的正整数}, A={1,2,3}, B={3,4,5,6},求 CUA, CUB, A∩U, U∩(A ? B)

5、 设全集 U= {x|x 是三角形}A= x|x 是锐角三角形} B= , { , {x|x 是钝角三角形} 求 A∩B, CU (A ? B) ,

(三)巩固练习
1、设 A={3,5,6,8}, B={4,5,7,8},求 A∩B, A ? B

2、 设 A={x|x -4x-5=0}, B={x|x =1}, 求 A∩B, A ? B
2 2

3、已知 A={x|x 是等腰三角形}, B={x|x 是直角三角形}, 求 A∩B, A ? B.

4. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5}, B={1,3,5,7},求 A∩C U B,( C U A)∩(C U B)

5、设集合 A={x|2 ? x<4}, B={x|3x-7 ? 8-2x}, 求 A∩B, A ? B

6、设 S={x|x 是平行四边形或梯形}, A={x|x 是平行四边形}, B={x|x 是菱形}, C={x|x 是矩形}, 求 C∩B, C A B ,C S A .

8

(四)个人收获与问题
知识:

方法:

我的问题:

(五)拓展能力
1. 设集合 A={x|(x-3)(x-a)=0},B={x|(x-4)(x-1)=0}, 求 A∩B, A ? B

2. 已知全集 U= A ? B={x∈N|0 ? x ? 10}, A∩(C U B)={1,3,5,7},试求集合 B.

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1.2.1 函数的概念
使用说明: “自主学习”15 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。
“合作探究”7 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。 “巩固练习”10 分钟,组长负责,组内点评。 “个人总结”3 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不到位的问题。 能力展示 5 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
(1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习 用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域

学习重点:理解函数的模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数; 学习难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 学习过程 (一)自主学习:

思考?分析、归纳课本上的三个实例,变量之间有什么样的共同点?三个实例又有什么不同之处?

1. 函数的概念:一般的,我们有: 设 A,B 是 在集合 B 中都有 函数,记作 其中 叫做自变量, 的取值范围 A 叫做 x 叫做函数的 , x 的值相对应的 y 值叫做 与 。显然,值域是集合 B 的子集。 , ,如果按照某种确定的 和它对应, 那么就称 f,使对于集合 A 中的 ,

为从集合 A 到集合 B 的一个

函数值的集合

注意:
1 ○“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; 2 ○函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. 2.构成函数的三要素: , , . 3. 函数相等:若两个函数的 相同,且 在本质上也是相同的,则称两个函数相等。 4.一次函数、 二 次函数、 反比例函 k y=ax+b(a ? 0) y=ax 2 +bx+c(a ? 0) 数的定义域和值 域: y= (k ? 0)

x

定义域

10





{x|a ? x ? b}
区间类型 区间表示 数轴表示

{x|a<x<b}

{x|a ? x<b}

{x|a<x ? b}

5. 区 间 的概念 读课本完成下面两个表格。

{x|2<x<4}
区间表示 数轴表示

{x|1 ? x<2.5}

{x|x ? 3}

{x|x<4}

将下列集合用区间表示并在数轴上表示

.

(二)合作探讨
例 1.已知函数 f(x)= x ? 3 +

1 x?2 2 ); (3)当 a>0 时,求 f(a), f(a-1)的值。 3

(1)求函数的定义域; (2)求 f(-3),f(

例 2. 下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1)y=(

x )2 ;

(2)y= 3 x 3 ; (3) y= x 2 ; (4) y=

x2 x

(三)巩固练习
1. 求下列函数的定义域: (1) f(x)=

1 6 ; (2) f(x)= 1 ? x + x ? 3 -1 ; (3) f(x)= 2 4x ? 7 x ? 3x ? 2
11

; (4) f(x)=

4? x x ?1

2. 已知函数 f(x)=3x -5x+2, 求 f(- 2 ), f(-a), f(a+3), f(a)+ f(3)

2

3. 若函数 f(x)= x +bx+c, 且 f(1)=0, f(3)=0, 求 f(-1) 的值

2

4. 已知函数 f(x)=

x?2 , x?6

(1) 点(3 , 14)在 f(x)的图象上吗? (2) 当 x=4 时, 求 f(x) 的值; (3) 当 f(x) =2 时, 求 x 的值.

(四)个人收获与问题
知识: 方法:

我的问题:

(五)拓展能力
1. 已知函数 f(x)的定义域[-2,4], 求函数 f(2x-3)的定义域.

2. 已知函数 f(x-4)的定义域[2,4], 求函数 f(x)的定义域.

1.2.2 函数的表示法 使用说明: “自主学习”5 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。
“合作探究”15 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。 12

“巩固练习”10 分钟,组长负责,组内点评。 “个人总结”5 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不到位的问题。 能力展示 5 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
(1)明确函数的三种表示方法;函数的三种不同表示的相互间转化。 (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用; (4)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识.

学习重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念. 学习难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象. 学习过程 (一)自主学习:
(1) 阅读课本 15 页,三个函数问题在表示方法上有什么区别?

(2) 你能说出几种函数表示法的各自优缺点吗?

(二)合作探讨 例 1.某种笔记本的单价是 5 元,买 x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用三种表示法表示 函数 y=f(x) .

例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 87 91 92 88 95 王 伟 90 76 88 75 86 80 张 城 68 65 73 72 75 82 赵 磊 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析

13

例 3.画出函数 y = | x | .

例 4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车 5 公里以内,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算) . 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 公里, 如果沿途 (包括起点站和终点站) 20 个汽车站, 设 请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

(三) 巩固练习
1.画出下列函数的图象 (1) y = | x-2 | . (2) F(x)= {

0 1

( x ? 0) ( x ? 0)

(3) G(n)= 3n+1 ,

n? {1,2,3}

2. 如图,矩形的面积为 10,如果矩形的长为 x,宽为 y,对角线为 d,周长为 l,那么你能获得关于这些 量的哪些函数? d

y

x 3.一个圆柱形的底部直径是 dcm,高是 hcm,现在以 vcm3/s 的速度向容器内注入某种溶液求容器内溶液的 高度与 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式,并写出函数的定义域和值域。

14

(四)学习收获:
知识:

方法:

我的问题:

(五)拓展能力
1. 已知 f(x)=

?? x 2 ? 2 x , x ? 0 ? 1, x ? 0 ? ? ? x ? 1, x ? 0 ?

(1) 求 f(-1), f(f(-1)), f{ f [f(-1)]} (2) 画出函数的图象

1.2.3 映射
使用说明: “自主学习”5 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。
“合作探究”10 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。 “巩固练习”15 分钟,组长负责,组内点评。
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“个人总结”5 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不到位的问题。 最后 5 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
理解映射的概念; 用映射的观点建立函数的概念

重点、难点:映射的概念. 学习过程: (一)自主学习: 1.函数的概念:

2.观察下列几组对应: 平方 1 ?1 2 ?2 1 4 1 2 3 4 2x+1 3 5 7 9 高一 (9)班 全体 同学 每人一个座位 高一 (9)班 的座 位

⑴ 取绝对值

(2) 开方 1 2 3 ⑷ ⑸ 4 9

(3)

?1
1 ?2 2 ?3 3

?2
2 ?3 3

(1) 请观察上面五个对应各有什么特征

⑵ 这五个对应中,是否存在几组对应有共同特征?

2.映射的概念

16

3.映射观点下的函数概念

(二)合作探讨
例 1.下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射? (1)A={P | P 是数轴上的点},B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A={ P | P 是平面直角体系中的点},B={(x,y)| x∈R,y∈R},对应关系 f:平面直角体系中的 点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B={x | x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A={x|x 是新华中学的班级},B={x|x 是新华中学的学生},对应关系 f:每一个班级都对应班里的学 生.

例 2.下列对应中,哪些是 A 到 B 的映射? a 1 b 2 c A ⑴ B a a 2 b 3 ⑶ b c ⑷ 1 2 A ⑵ 2 c B 1 b a

1

例 3.设 f:A

B 是 A 到 B 的一个映射,其中 A=B={(x,y)∣x,y ? R},f:(x,y)

(x-y,x+y),求:

(1)A 中元素(-1,2)在 B 中对应的元素. (2)在 A 中什么元素与 B 中元素(-1,2)对应?

例 4.设集合 A={a,b,c},B={0,1},试问从 A 到 B 的映射共有多少个?

(三)巩固练习:
17

1.已知下列集合 A 到 B 的对应,请判断哪些是 A 到 B 的映射,并说明理由. (1) A ? N , B ? Z ,对应法则 f 为 “取相反数” ; (2) A ? { ? 1,0,2} ,B={-1,0,0.5}对应法则“取倒数” ; (3) A ? {1, 2,3,4 ,5 } , B ? R ,对应法则: “求平方根” ; (4) A ? { 0 ,1, 2,4 } , B ? {0 ,1 , 4 ,9 ,64 } 对应法则 f : a ? b ? (a ?1)2 (5) A ? N ? ,B={0,1} 对应法则:B 中的元素 x 除以 2 得的余数

2. 已知集合 A={1,2,3,k},B={4,7,a ,a ?3a },且 a ? N,k ? N,x ? A,y ? B, 映射 f:A
4

2

B,使 B 中元素

y=3x+1 和 A 中元素 x 对应,求 a 及 k 的值.

(四)学习收获:
知识: 方法: 我的问题

1.3.1 函数的基本性质
使用说明: “自主学习”7 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。
“合作探究”10 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。

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“巩固练习”8 分钟,组长负责,组内点评。 “个人总结”5 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不到位的问题。 能力展示 10 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1,初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念, 2,掌握判断一些简单函数单调性的方法. 3,学生通过观察、归纳、抽象、概括,自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性 概念解决简单的问题;领会数形结合的数学思想方法,培养发现问题、分析问题、解决问题的能力. 4,在函数单调性的学习过程中,学生体验数学的科学价值和应用价值,培养善于观察、勇于探索的良 好习惯和严谨的科学态度.

重点、难点
1,函数单调性的有关概念的理解和证明; 2,利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性.

学习过程: (一)、自主学习
1.观察函数 y=x+2, y=-x+2, y=x , y=
2

1 的图象. x

思考: 1)上述图象有什么变化规律?对于自变量的变化,相应的函数值有哪些变化规律?

2)对于 y ? x ,列出 x, y 的对应值表,并体会图象在 y 轴右侧的上升
2

x
y ? x2

??

-3

-2

-1

0

1

2

3

??

3)在数学上规定: y ? x 在区间(0,+ ? )是增函数,请给出增函数的定义。
2

19

4)增函数定义中“当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”反映了函数值有什么变化?函数的图象有什么特 点?

5)增函数的几何意义是什么?

6)类比增函数的定义,请给出减函数的定义,并说明其几何意义。

(7)函数的单调性和单调区间的定义是什么?

(二) 合作探究
例 1 、如图,定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出 y=f(x)的单调区间, 以及在每一单调区间上,函数 y=f(x)是增函数还是减函数。

-5

-2

1

3

5 思考:能否说 f ?x ? 在区间 ?? 5,5?

上是增函数或是减函数?

20

结合上面 y ?

1 的图象,完成下面两个问题:1)这个函数的定义域 I 是什么?2)这个函数在定义域 I 上 x

的单调区间是什么?

例2

物理学中的波利尔定律 p ?

k V

(k 是正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积 V 减小,压

强 p 将增大.试用函数的单调性证明之.

注:归纳按定义证明函数单调性的步骤:

(三)巩固练习:
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系。 生产效率

0 2.证明: (1)函数 f(x)=x +1 在(- ? ,0)上是减函数:
2

工人数

(2)函数 f(x)=1-

1 在(- ? ,0)上是增函数: x

(3)函数 f(x)=-2x+1 在 R 上是减函数:

21

3.画出下列函数的图象,并根据图象说出 y= f(x)的单调区间,以及在各个单调区间上图象 y=f(x)是增函 数还减函数 (1)y=x -5x-6;
2

(2)y=9-x .

2

(四)学习收获:
知识:

方法:

我的问题:

(五)拓展能力 1.讨论一次函数 y=mx+b(x ? R) 的单调性.

2. (1).画出函数 f(x)=- x +2x+3 的图象。 (2) 证明函数 f(x)=- x +2x+3 在区间(- ? ,1]上是增函数
2

2

(3).当函数 f(x)=- x +2x+3 在区间(- ? ,m]上是增函数时,求实数 m 的值.
2

1.3.2 函数的基本性质
22

使用说明: “自主学习”15 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。
“合作探究”7 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。 “巩固练习”8 分钟,组长负责,组内点评。 “个人总结”5 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不到位的问题。 能力展示 5 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标: 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义,会用函数的单调性求一些函数的最大(小)值. 2.借助具体函数,体验函数最值概念的形成过程,领会数形结合的数学思想. 3.渗透特殊到一般,具体到抽象、形成辩证的思维观点. 重点.难点: 1.函数的最大(小)值及其几何意义. 2.利用函数的单调性求函数的最大(小)值 学习过程: (一)自主学习 1、增函数与减函数:

2.函数的单调性与单调区间

3. 画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题:

(1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (3) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 (5) y ?

(2) f ( x) ? ?2 x ? 3 , x ?[?1,2] (4) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 x ?[?2,2]

2 2 x ? [?2, ? (0,2] 0) (6) y ? x x 1).说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性;

2).指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征?

3).怎样理解函数图象最高点?

4).请给出最大值的定义.
23

5).函数 f ( x) ? ?2 x ? 3 , x ? (?1,??) 有最大值吗?为什么?

6).函数最大值的几何意义是什么?

7).类比函数最大值的定义,给出函数最小值的定义及几何意义.

8).讨论函数最小值应注意什么?

(二) 合作探讨 例 1、 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望再它达到最高点时爆裂。如 果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系式 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18 ,那么烟花冲出后什 么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1m)?

例 2.求函数 y ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

(三)巩固练习
1.设 f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数。 如果 f(x) 在区间[-6,-2]上递减, 在区间[-2,11]上递增, 画出 f(x) 的一个大致的图象,从图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x)的一个 . 2.某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为 y=-

x2 +162x-21000,那么,每辆 50

24

车的月租金多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

3. 已知函数 f(x)=x -2x,g(x)= x -2x(x ? [2,4]).
2 2

(1).求 f(x) ,g(x)的单调区间; (2)求 f(x) ,g(x)的最小值。

4. 已知函数 f(x)= x ? 1 . (1).求函数 f(x)的定义域. (2).求证函数 f(x)在定义域上是增函数; (3)求函数 f(x)的最小值。

(四)个人收获与问题
知识:

方法:

我的问题:

(五)拓展能力
1.设 0<x<1,求函数 y=

1 1 + 的最小值. x 1? x

1.3.3 函数的基本性质
25

使用说明: “自主学习”8 分钟,发现问题,小组讨论,展示个人成果,教师对重点概念点评。
“合作探究”10 分钟,小组讨论,互督互评,展示个人成果,教师对重点讲评。 “巩固练习”10 分钟,组长负责,组内点评。 “个人总结”4 分钟,根据组内讨论情况,指出对规律,方法理解不到位的问题。 能力展示 8 分钟,教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1.了解奇偶性的概念,会利用定义判断简单函数的奇偶性.2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察, 归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.3.学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养 学生乐于求索的精神.

学习重点:奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习难点:函数奇偶性概念的认识。 学习过程: 1.自主学习:
1.判断函数单调性的方法.

2.画出函数 y ? x与y ? x ,从对称的角度观察其图像特点。
2

3.分析函数 y ? x 的图像,比较 f ?x ?与f ?? x ? 的关系。
2

4.给出偶函数的概念。

5.偶函数的图像有什么特征?

6.偶函数的定义域有何要求?

7.观察函数 y ? x 的图像,给出奇函数的概念、性质、图像特征。

(二) 合作探讨
例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ?x? ? x
4

(2) f ?x? ? x

5

(3) f ? x ? ?
26

1 ?x x

(4) f ? x ? ?

1 x2

y 例 2 已知函数 y=f(x)是偶函数,且知道 x≥0 时的图像,请作出另一半图像. x O 例 3.已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也 是增函数

(三) 巩固练习:
1、判断下列函数的奇偶性 (1) f ?x? ? 2 x 4 ? 3x 2 (2) f ?x? ? x 3 ? 2x (3) f ? x ? ?

x2 ?1 x

(4) f ?x? ? x 2 ? 1 (5) f ?x? ? x 2 , x ? ?? 1,2? (6) f ?x ? ?

x2 ? 4 ? 4 ? x2

2.已知函数 f(x)=x

?2

,

(1)它是奇函数还是偶函数? (2)它的图像具有怎样的对称性? (3)它在(0,+∞)上是增函数还是减函数? (4)它在(-∞,0)上是增函数还是减函数?

27

3.已知 f(x)是偶函数,在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)在(-∞,0)上也是增函数还是减函数?并证明你 的判断.

4. 已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整。

(四) 学习收获: 知识:

方法:

我的问题:

(五)拓展能力
1。定义在 (?1,1) 上的奇函数 f (x) 在整个定义域上是减函数,若 f (1 ? a) ? f (1 ? 2a) ? 0 ,求实数 a 的 取值范围。

2.1.1 指数函数
使用说明: “自主学习”15 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”8 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”7 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 28

“个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1、 了解指数函数模型背景及实用性必要性。2、了解根式的概念及表示方法。 3、理解根式的概念.理解分数指数幂的概念。4 掌握有理指数幂的运算性质,根式与分数指数幂的互化。 重点与难点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质; 根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,了解无理数指数幂。

学习过程: (一)自主探究
动手、思考:一张纸你能折几次,每折一次有多少层呢? 1、回顾初中根式的概念:

2、复习初中整数指数幂的运算性质; 3、根式的概念及运算: (1)定义 n 次方根:
(2)讨论:当 n 为奇数时, n 次方根情况如何?

当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况?

强调:负数 偶次方根,0 的任何次方根都是 , 即 (3) 练习: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ; b3 ? a , 则 a 的 3 次方根为 (4)定义根式:

(5) 计算

( 2 3)2 ;

3

43 ;

3

(?8) 3

(6)分数指数幂的意义

规定:0 正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 (7)有理数指数幂的运算性质

(8)求值: 4 (?7)4 ;

6

(3 ? ? )6 ;

( a ? b) 2 ( a ? b )

? 36 ? 2 ? ? ? 49 ?

3

(9)用分数指数幂表示下列格式:
3

x

2

3

(m ? n) 2

( m ? n)

p6q5

( p ? 0)

m2 m

29

(二)合作探讨
1、 ( n a ) n 、 n a n 的意义及结果? (特殊到一般)

2、从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出

1 1 升,然后用水填满,再倒出 升,又用水填满,这样进行 5 次,则 3 3

容器中剩下的纯酒精的升数为多少?

3、如何理解无理指数幂

(三)巩固练习
1. 计算: 5 ?32 ;
5

(?0.1) 5 ;

(? ? 4) 2 ;

6

( x ? y) 6 ( x ? y) ;

2

3 ? 3 1.5 ? 6 12

1 1 2 ? ?1 ? ? 2x 3 ? x 3 ? 2x 3 ? ?2 ? ? ?

a 3b 2 3 ab2 b (a b ) ? 3 a
4 1 4 1 2

( a ? 0, b ? 0 )

(四)

个人收获与问题:

知识:

方法:

我的问题:

思考: 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2



2.1.2 指数函数及其性质
使用说明:
30

“自主学习”13 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”10 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”7 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结,并找出理解不到位的问题。 “最后 5 分钟”教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1、能熟练运用指数函数的性质解题 2、在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体 到一般的过程、数形结合的方法等 3、认识数学与现实生活及其他学科的联系 重点与难点: 指数函数的性质。指数函数的性质应用,底数不同的两幂值比较大小。

学习过程 (一)自主探究
1、阅读课本 48 页,思考以下问题
t

? 1 ? 5730 (1)在本节的问题 2 中时间 和碳 14 含量 的对应关系: p ? ? ? 和问题 1 中时间 x 与 GDP 值 y 的 ?2?
对应关系 能否构成函数?

(2)这两个函数有什么共同特征?

(3)能否根据上述两个函数关系式给出指数函数的定义.

讨论:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什么情况呢?

2. 指数函数的图象和性质: (1)在同一坐标系中画函数的图象:

1 y ? ( )x 3 1 y ? ( )x 2

y ? 2x y ? 3x y ? 5x
(2)函数 y ? 2x 与 y ? ( ) 的图象有什么关系?可否由 y ? 2x 的图象画出 y ? ( ) x 的图象?
x

1 2

1 2

(3) 从画出的图象 y ? 2 、y ? 3 和 y ? 5 ) ( 中, 你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律?
x
x x

31

(二)合作探讨
1、根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质。 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1
值域:

a ?1
定义域: 奇偶性:

0 ? a ?1

向 x 轴正负方向无限延伸

函数图象都过定点 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象下降趋势是越 来越缓慢。 2、利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[m,n]上, f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 (2)若 ,则 f ( x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? ;

a0 ? 1
减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

或 ;



x (3)对于指数函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ?

(4)当 a ? 1 时,若

,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ;当 0 ? a ? 1 时,若

,则 f ( x1 )

f ( x2 )

3、人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关注.世界人口 2000 年大约是 60 亿, 而且以每年 1.3%的增长率增长,按照这种增长速度,到 2050 年世界人口将达到 100 多亿,大有“人口爆 炸”的趋势.为此,全球范围内敲起了人口警钟,并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要 控制人口增长.为了控制人口过快增长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口.因此,中国的人 口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效 地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本国策. 1 ○ 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? 2 ○ 到 2050 年我国的人口将达到多少? 3 ○ 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响?

32

(三)巩固练习(学习 57 页例 7) 1、比较大小(规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式. )
(1) 1.7 2.5 ,1.71.5 (2) 0.8?1.1 ,0.8?0.2 (3) 1.7 0.3 ,0.90.1 (4)0.8-0.3 和 4.9-0.1 (5)0.90.3 和 0.70.4

(2)设 0< a <1,解关于 x 的不等式 a

?3 x ?1

>a

2? 5 x



(四)
知识:

个人收获与问题:

方法:

我的问题:

思考:讨论函数 y

? ax

2

?1

( a ? 0.且a ? 1 )的值域。

2.2.1 对数(一)
使用说明:
“自主学习”15 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”6 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”9 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结。 33

最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1)理解对数的概念;2)能够说明对数与指数的关系;3)掌握对数式与指数式的相互转化.

重点与难点:对数的概念,对数式与指数式的相互转化;对数概念的理解. 学习过程: (一)自主探究
1.对数产生于 17 世纪.那时,为了确定船舶在大海中的航程和位置,为了观察行星运动所得数据, 都必须对具有很多数位的数进行繁复的计算,对数的发明的重要性就在于提高了数字计算的速度.直到计 算机与计算器普及之前,对数表与计算尺还在计算中发挥着重要作用.指数概念扩充到任意实数指数是 17 世纪到 18 世纪逐步形成的.18 世纪后人们将它们联系起来研究.我们在学习中,要注意指数与对数、指 数函数与对数函数的联系,这有利于我们理解和掌 2 握有关概念. 由3 =9可得到 (1)9 是 3 的平方 参考课本写出与3 =9,( 式子,并标明各部分的名字 (2)3 是 9 的平方根
2

1 0.5 ) =0.71 对应的对数 2

⑴、对数定义:一般地,如果 a ( a ? 0且a ? 1)的 b 次幂等于 N, 就是 a b ? N ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 指数式 ? 对数式 ,其中 a 叫做对数的 ,N 叫做 。

1 思考:○ 为什么对数的定义中要求底数 a ? 0 ,且 a ? 1 ;

ax ? N ? ← a →对数底数
指数 ← x → ← N → 真数 ⑵、注意对数的书写格式.

2 ○ 是否是所有的实数都有对数呢?

⑶、两种特殊的对数: (1)常用对数:以 10 为底的对数( log10 N )叫做 (2)自然对数:以 e 为底的对数( log e 3、常用的对数关系式: (1)负数和零没有对数;
34

, ,

log10 N 记作 log e N
记作

. .

N )叫做

(2)? a ? 1
0

∴ log a 1 ? ___ .; (2)? a ? a
1

∴ log a a ? ___ .

(3) 对数恒等式: a

loga N

?

loga a n ?
2

(二)合作探讨
(1) 给出四个等式: lg(lg10) ? 0 ; g ) e ? ; 、 ① ② l( ③若 lg x ? 10 , x ? 10 ; 则 ④若 ln x ? e , x ? e 。 则 n 0 l 其中正确的是( (2) log5[log4 (log3 81)] ? 、 ) ; 若 log 2 (log3 (log5 x)) ? 0 ,则 x ? .

(三)巩固练习
(1) 、将下列指数式写成对数式

54 ? 6 2 5

2 ?6 ?

1 64

3a ? 37

1 ( ) m ? 5.73 3

(2) 、将下列对数式写成指数式

log1 16 ? ?4
2

log2 128 ? 7

log3 27 ? a

lg 0.01 ? ?2

(3) 、求下列各式的值

log5 25 log15 15 log7 343
(四)
知识: 方法: 我的问题:

log 2

1 16

lg 1000

lg 0.001

log0.4 1 log3 243

log9 81

log2.5 6.25

个人收获与问题:

(五) 能力拓展:1、设 loga 2 ? m , loga 3 ? n ,求 a 2 m ? n 的值。

2、设 A={0,1,2},B={ loga 1 , loga 2 , a },且 A=B,求 a 的值。

2.2.1 对数(二)
使用说明: “自主学习”10 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 35

“合作探究”11 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”9 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1)理解对数的概念;2)能够说明对数与指数的关系;3)掌握对数式与指数式的相互转化.

重点与难点:对数的概念,对数式与指数式的相互转化;对数概念的理解. 学习过程: (一)自主探究
1、根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题:
1 ○ 设 loga 2 ? m , loga 3 ? n ,求 a
m? n



2 ○ 设 loga M ? m , loga N ? n ,试利用 m 、 n 表示 loga (M · N ) .

2、由指数运算性质填空 指数运算性质 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=an·bn a>0,b>0,m,n∈R
3、注意表示形式:

对数运算性质

log2 M ? (loga M )2 a

4、练习:用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式

log a

xy ? z

loga

x2 y
3

z

?

用 lg x , lg y , lg z 表示下列格式

lg(xyz) ?

xy 2 lg ? z

lg

xy 3 z

?

lg

x ? y z
2

5、 注意:在混合运算过程中, 注意应用乘法公式、 因式分解公式、 配方法等, 以提高解题速度与解题质量. 在 运算过程中注意应用:①loga1=0,②logaa=1,③ 巧.

alog a N =N 等基本性质,及 lg2+lg5=lg10=1 等技

36

lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 lg12 ? 1 6、计算: (1)

(2)2 (lg 2 ) 2 ? lg 2 lg 5 ? (lg 2 ) 2 ? 2 lg 2 ? 1

(二)合作探讨
1、判断正误: (其中 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ) (1) loga (M ? N ) ? loga M ? loga N (3)loga (MN ) ? log a M ? log a N ( ( ) (2) loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ( ) (4)loga M n ? (loga M )n ) ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . ( ) ) (5)

log2 (?3) ? log2 (?5) ? log2 15 (
2、 证明:换底公式 loga b ?

logc b logc a

利用换底公式推导下面的结论(1) log a m b ?
n

n 1 log a b ; (2) loga b ? . m logb a

(三)巩固练习 1、 已知 lg 2 ? 0.3010 lg 3 ? 0.4771试求:12的值。 , , lg

2、 试求: lg 2 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 的值。 (对换 5 与 2,再试一试)

3、 设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12
37

(四)
知识:

个人收获与问题:

方法:

我的问题:

(五)

能力拓展:

设x, y, 均为实数,且 x ? 4 y , 试比较3x与4 y的大小 3

2.2.2 对数函数及其性质
38

使用说明:
“自主学习”10 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”9 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”11 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
(1)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函 数是一类重要的函数模型; (2)能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的 单调性与特殊点; (3)通过比较、对照的方法,结合图象类比指数函数,探索研究对数函数的性质,培养 自身数形结合的思想方法,学会研究函数性质的方法.

重点与难点:掌握对数函数的图象和性质;对数函数的定义,对数函数的图象和性质及应用. 学习过程: (一)自主探究
阅读课本 70 页利用计算器填写下表: 碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t 观察上表,体会“对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系 t ? log
5730 1 2

0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

P ,生物死亡年

数 t 都有唯一的值与之对应,从而 t 是 P 的函数” 1.定义:函数 其中 x 是自变量,函数的定义域是 注意: 对数函数的定义与指数函数类似, 1、 都是形式定义, 注意辨别. 如:y ? 2 log2 x ,y ? log 5 是否是对数函数? 2、对数函数对底数的限制: 叫做对数函数

x 5

2、你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗?

3、在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; (可用描点法,也可借助科学计算器或计算机) (1) y ? log2 x (2) y ? log 1 x
2

(3) y ? log3 x (4) y ? log1 x
3

(二)合作探讨
1、研究对数函数的性质并填写如下表格: 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1
函数图象都

a ?1

0 ? a ?1
函数的定义域为 非奇非偶函数 函数的值域为

图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向 函数图象都过定点 自左向右看,
39

1? ? 1
减函数

图象逐渐下降 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0

x ? 1, loga x ? 0 x ? 1, loga x ? 0

2、 思考底数 a 是如何影响函数 y ? loga x 的. (学生独立思考,师生共同总结) 规律: 3、已知 loga (3a ? 1) 恒为正数,求 a 的取值范围.

(三)巩固练习
1、求函数定义域

y ? log5 (1 ? x)

y?

1 log2 x

y ? log 7

1 1 ? 3x

y ? log3 x

2、比较数值大小 log10 6 与 log10 8 , log0.5 6 与 log0.5 4 , log 2 0.5 与 log 2 0.6 , log1.5 1.6 与 log1.5 1.4
3 3

3、函数 y ? loga x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求 a 的值;

(2)求函数 y ? log3 ( x ? 6x ? 10) 的最小值.
2

40

(四)
知识:

个人收获与问题:

方法:

我的问题:

(六)

能力拓展:已知函数 f ( x) ?

1 1? x ? log 2 ,求函数 f (x) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性 x 1? x

2.2.2 对数函数及其性质
使用说明:
“自主学习”8 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 41

“合作探究”12 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”10 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
理解指数函数与对数函数的依赖关系,了解反函数的概念,加深对函数的模型化思想的理解. 重点与难点:两种函数的内在联系,反函数的概念.

学习过程: (一)自主探究
由对数函数的定义可知,对数函数 y ? log2 x 是把指数函数 y ? 2 x 中的自变量与因变量对调位置而得出 的,在列表画 y ? log2 x 的图象时,也是把指数函数 y ? 2 x 的对应值表里的 x 和 y 的数值对换,而得到对 数函数 y ? log2 x 的对应值表,如下: 表一

y ? 2 x .在同一坐标系中,用描点法画出图象.

x
y
表二

? ?

-3

-2

-1

0

1

2

3

? ?

y ?lo gx. 2

x
y

? ?

-3

-2

-1

0

1

2

3

? ?

(二)合作探讨
材料一:反函数的概念: 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量, 而把这个函数的自 变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数. 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对数函数互为反函数. 材料二:以 y ? 2 与 y ? log2 x 为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系?
x

(从定义域,值域,单调性)

我们知道,指数函数 y ? a (a ? 0 ,且 a ? 1) 与对数函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 互为反函数,
x

那么,它们的图象有什么关系呢?运用所学的数学知识,探索下面几个问题,亲自发现其中的奥秘吧! 问题 1 在同一平面直角坐标系中,画出指数函数 y ? 2 及其反函数 y ? log2 x 的图象,你能发现这
x

两个函数的图象有什么特殊的对称性吗?
42

问题 2

取 y ? 2 x 图象上的几个点,说出它们关于直线 y ? x 的对称点的坐标,并判断它们是否在

y ? log2 x 的图象上,为什么?
问题 3 如果 P0 0, 0) (x y 在函数 y ? 2 x 的图象上, 那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函数 y ? log2 x 的图象上吗,为什么?

问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论? 问题 5 上述结论对于指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 及其反函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 也 成立吗?为什么?

(三)巩固练习
1、求下列函数的反函数: (1) y ? 3 ;
x

(2) y ? log6 x

2、已知函数 f ( x) ? a x ? b 的图像经过点(1,3) ,且它的反函数 f-1(x)的图像过点(2,0) ,求 f(x).

3、求函数 y ? x 3 (x∈R)的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的图象.

(四)
知识:

个人收获与问题:

方法: 我的问题:

2.3 幂函数
使用说明:
“自主学习”10 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 43

“合作探究”11 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”9 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1.了解幂函数的图像和性质,并能进行简单的应用。2.能够类比研究一般函数,指数函数,对数函数的过 程与方法,来研究幂函数的图像和性质。3.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

重点与难点:幂函数的图像和性质;幂函数的性质 学习过程: (一)自主探究
【问题 1】如果张红购买了每千克 1 元的水果 w 千克,那么她需要付的钱数 p(元)和购买的水果量 w(千 克)之间有何关系? 【问题 2】如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S ? a ,这里 S 是 a 的函数。 【问题 3】如果正方体的边长为 a,那么正方体的体积 V ? a ,这里 V 是 a 的函数。
3
1 2 【问题 4】如果正方形场地面积为 S,那么正方形的边长 a ? S ,这里 a 是 S 的函数

2

【问题 5】如果某人 t s 内骑车行进了 1 km,那么他骑车的速度 V ? t

?1

km / s ,这里

v 是 t 的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型, 你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(从自变量和 常数的角度考虑) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表,如果让你给他们起一个名字的话,你将会给他 们起个什么名字呢?

幂函数的概念
如果设变量为 x ,函数值为 y ,你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式? 这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表,你能根据此归纳出幂函数的定义吗? 幂函数的定义:

(二)合作探讨
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别? 试一试:判断下列函数那些是幂函数? (1) y ? 0.2
x

(2) y ? x

1 5

(3) y ? x

?3

(4) y ? x

?2

我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识,根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历, 你认为我们下面应该研究什么呢?

几个常见幂函数的图象和性质
在初中我们已经学习了幂函数 y ? x, y ? x , y ? x 的图象和性质,请同学们在同一坐标系中画出
2 ?1

它们的图象。

44

根据你的学习经历,你能在上边的坐标系内画出函数 y ? x , y ? x
3 2 3 1 2

1 2 的图象吗?

【探究二】观察函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x ?1 的图象,将你发现的结论写在下表内。

y?x
定义域 值域 奇偶性 单调性

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

【探究三】根据上表的内容并结合图象,试总结函数: y ? x, y ? x , y ? x , y ? x 的共同性质。
2 3

1 2

归纳:当 ? ? 0 时,

请同学们模仿我们探究幂函数 y ? x 图象的基本特征 ? ? 0 的情况探讨 ? ? 0 时幂函数 y ? x 图象 的基本特征。 归纳:当 ? ? 0 时, 。

?

?

例题剖析
【例 1】求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性。
2

(1) y ? x 3

(2) y ? x

?

3 2

(3) y ? x

?2

【例 2】比较下列各组数中两个值的大小(在横线上填上“<”或“>” ) (1) 3.14 ________ ?
?1

1 2

1 2
?1

(2) (?0.38) ________ ?? 0.39?
3

3

(3) 1.25 __________ 1.22

(4) ( )

1 3

? 0.25

____________ ( )

1 3

? 0.27

(三)巩固练习
1、下列函数中,是幂函数的是( A、 y ? 2 x )
3

B、 y ? 2x

C、 y ?

1 x

D、 y ? 2

x

2、下列结论正确的是( ) A、幂函数的图象一定过原点 B、当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 是减函数 C、当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 是增函数 D、函数 y ? x 既是二次函数,也是幂函数
2 ? ?

45

3、下列函数中,在 ?? ?,0? 是增函数的是(



A、 y ? x

3

B、 y ? x
3 5

2

y?
C、 )

1 x

D、 y ? x

3 2

4、函数 y ? x 的图象大致是(

5、已知某幂函数的图象经过点 (2, 2 ) ,则这个函数的解析式为_______________________ 6、写出下列函数的定义域,并指出它们的单调性: (1) y ? x
4

(2) y ? x

1 4

(3) y ? x ?3

(四)个人收获与问题:
知识: 方法: 我的问题:

(五)能力拓展:

3.1.1 方程的根与函数的零点
46

使用说明:
“自主学习”15 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”8 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”7 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握的知识点、方法进行总结,并找出理解不到位的 问题。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1、理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的判 定条件. 2、通过对零点定义的探究掌握零点存在性的判定方法. 3、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.

学习重点:零点的概念及存在性的判定. 学习难点:零点的确定. 学习过程 (一) 自主探究
1、 观察下面几个一元二次方程及其相应的二次函数如: 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 3
2

2 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2x ? 1
2

方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3
2

(在下面坐标系中分别做出上述二次函数的图象, 并解出的方程根)试说明方程的根与图象与 x 轴交 点的关系。

(1)

(2)

(3)

2、利用上述关系,试说明一般的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根及其对应的二次函数
2

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象有怎样的关系?

3、利用以上两个问题的的发现,试总结函数 y ? f (x) 零点的定义,并说明函数 y ? f (x) 的零点,方
47

程 f ( x) ? 0 实数根,函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标的关系?

(二)合作探讨
1、 (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象 (见图 1) ,完成下面各小题。 1) 在区间 [?2,1] 上有零点______; . f (?2) · f (1) _____0(<或>) 2) 在区间 [2,4] 上有零点______;

f (?2) ? _______, f (1) ? _______,

f (2) · f (4) ____0(<或>) .

(Ⅱ)观察下面函数 y ? f (x) 的图象(如图),完成下面各小题。 1) 在 区 间 [ a, b] 上 ______( 有 / 无 ) 零 点 ;

f (a ) · f (b) _____0(<或>) .
2) 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点;

f (b) · f (c) _____0(<或>) .
3) 区间 [c, d ] 上______(有/无)零点;

f (c) · f (d ) _____0(<或>) .
4) 区间 [ a, d ] 上______(有/无)零点;有 个零点;

f (a ) · f (d ) _____0(<或>) .
由以上几步探索,可以得出什么样的结论?

2、(根的存在性定理):

在根的存在性定理中只须加入什么条件,零点的个数就是唯一的?

3、求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数.(可以借助计算机或计算器来画函数的图象)

(三)巩固练习
1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1) ? x ? 3x ? 5 ? 0 ;
2

(2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ;
48

(3) x ? 4 x ? 4 ;
2

(4) 5x ? 2 x ? 3x ? 5 .
2 2

2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 5 ; (3) f ( x) ? e x?1 ? 4x ? 4 ; (2) f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3 ; (4) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x .

(四)

个人收获与问题:

知识:

方法: 问题: (五) 能力拓展:
设函数 f ( x) ? 2 x ? ax ? 1 。 1) 利用计算机探求 a =2 和 a =3 时函数 f (x) 零点的个数。 2) 当 a ? R 时,函数 f (x) 的零点是怎样分布的。

49

3.1.2 用二分法求方程的近似解
使用说明:
“自主学习”15 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”8 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”7 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握的知识点、方法进行总结,并找出理解不到位的 问题。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
1、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体 会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 2、能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法做准备. 3、体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.

学习重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点
处理问题的意识. 预备知识: x =

a?b 为区间 [a , b] 的中点。 2

学习难点:恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 学习过程 (一)自主探究
1、思考:一条高压电缆上有 15 个接点 ,现某一 接点发生故障 ,如何可以尽快找到故障接点?

2、试用计算器完成课本 89 页求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2,3)上近似解的过程,体会用二分 法的思想,并试着对二分法下一个定义。

3、写出给定精度 ? ,用二分法求函数 f (x) 零点近似值的步骤。

50

(二)合作探讨
1、借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0 .1 ) .
x

2、借助计算机或计算器求函数 f ( x) ? x 3 ? 1.1x 2 ? 0.9 x ? 1.4 的一个正数零点(精确到 0 .1 ) .

(三)巩固练习
1、下列图象中,不能用二分法求函数零点的是( )
y
y

y

y

O

x

O

x

O

O

x
(D)

x

(A)

(B)

(C)

(若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点.)

用 算 , 方 2、 利 计 器 求 程

lg x ? x ? 3在 间 (2,3) 的 似 区 上 近 解 (精 到 0.1) 确

51

四)个人收获与问题: 知识:

方法:

问题:

(五)能力拓展:
3 (2007 广东)已知 a 为实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在[-1,1]上有零点,

求 a 的取值范围。

52

3.2.1 几类不同增长的函数模型(1)
使用说明:
“自主学习”10 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”15 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”5 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结,并找出理解不到位的 问题。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
①结合实例体会直线上升,指数爆炸,对数增长等不同增长的函数模型的意义. ②学会借助信息技术, 利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. ③能恰当运用函数的三种 表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题. ④通过收集一些社会生活中普遍使 用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等) ,了解函数模型的广泛应用. 教学重点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差 异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 教学难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题.

学习过程 (一)自主探究
1、假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问: ① 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述这些数量关系?

② 根据例 1 的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?

③借助计算器或计算机作出函数图象,并通过图象描述一下三种方案的特点吗?

④根据以上分析,你认为就作出如何选择?

(二)合作探讨
2、 某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达 到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增 加而增加但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型: y ? 0.25 x ; y ? log 7 x ? 1 ; y ? 1.002x . 问: ① 本例涉及了哪几类函数模型?本例的实质是什么?
53

② 根据问题中的数据,如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求?

③ 通过对三个函数模型增长差异的比较,说明哪个模型能符合公司的要求?请写出例 2 的解答.

(三)巩固练习
1、四个变量 y1,y2, y3,y4 随变量 x 变化的数据如下表:

x1 y1 y2 y3 y4

0 5 5 5 5

5 130 94.478 30 2.3107

10 15 20 25 30 505 1130 2005 3130 4505 5 7 1785.2 33733 6.37*10 1.2*10 2.28*108 55 80 105 130 155 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005


关于 x 呈指数型函数变化的变量是

2、某种计算机病毒通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么它就会在下 一轮病毒发作时传播一次病毒,并感染其他 20 台未感染病毒的计算机。现有 10 台计算机第一轮 病毒感染,问被第 5 轮病毒感染的计算机有多少台?

54

3、下表是弹簧的长度 d 与拉力 f 的相关数据:

f/N d/cm

14.2 1

28.2 2

41.3 3

57.5 4

70.2 5

描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象,并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式。

(四)

个人收获与问题:

(五) 能力拓展:
(2007 湖北)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知 药物释放过程中, 室内每立方米空气中的含药量 y (毫克) 与时间 t(小 时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y ? ?

y (毫克)

?1? ? ? 16 ?

t ?a

1

(a

为常数) ,如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题: (I) 从药物释放开始, 每立方米空气中的含药量 y (毫克) 与时间 t(小 时)之间的函数关系式为 ; (II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学 生方可进教室,那么药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

O 0.1

t (小时)

55

3.2.1 几类不同增长的函数模型(2)
使用说明:
“自主学习”15 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”8 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”7 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结,并找出理解不到位的 问题。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
①结合实例体会直线上升,指数爆炸,对数增长等不同增长的函数模型的意义. ②学会借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. ③能恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题. ④通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等) , 了解函数模型的广泛应用. 教学重点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差 异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 教学难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学重点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差 异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 教学难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题.

学习过程 (一)自主探究
1、利用计算器或计算机完成 y ? 2x , y ? x2 , y ? log 2 x 的图象,通过观察图形试完成以下问题: ①请在图上标出使不等式 log 2 x ? 2 x ? x 2 , log 2 x ? x 2 ? 2x 成立的自变量 x 的取值范围。

②比较 y ? 2x , y ? x2 的图象,说明两增长的差异

③比较, y ? x2 , y ? log 2 x 的图象,说明两者增长的差异。

(二)合作探讨
通过上述问题试分别说明① y ? a x (a ? 1) , y ? x n (n ? 0) ;② y ? xn ( n ? 0) , y ? log a x(a ? 1) 图 象增长的特征,并对 y ? a x (a ? 1) , y ? x n (n ? 0) , y ? log a x(a ? 1) 三者图象的增长情况做一个简 单说明。
56

(三)巩固练习
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况: (1) y ? 0.1e x ? 100 x∈[1,10] (3) y=20x x∈[1,10] (2) y ? 20ln x ? 100 x∈[1,10]

(四) 个人收获与问题: 知识:

方法:

问题:

(五) 能力拓展:
探究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析: 请仿照前面例题使用的方法,探索研究幂函数 y ? x n (n ? 0) 、指数函数 y ? ax (0 ? a ? 1) 、对数函数

y ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 (0, ?? ) 上的衰减差异,并进行交流、讨论、概括总结,形成较为准确、详
尽的结论性报告. (课下完成)

57

3.2.2 函数应用模型实例
使用说明:
“自主学习”15 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”8 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”7 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结,并找出理解不到位的 问题。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用,体 会解决实际问题中建立函数模型的过程,从而进一步加深对这些函数的理解与应用.

学习重点:建立函数模型的过程. 学习难点:在实际问题中建立函数模型. 学习过程 (一)自主探究
1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。 (1)求图中阴影部分的面积,并说明所示所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km,试建立行驶这段路程时汽车 里程表读数 S km 与时间 t h 的函数解析式,并作出相应的图象。

2、若用模型 y ? ax 2 来描述汽车紧急刹车后滑行的距离 y m 与刹车的速率 x km/h 的关系,而某种型号的 汽车在速率为 60 km/h 时,紧急刹车滑行的距离为 20 m。在限速为 100 km/h 的高速公路上,一辆这 种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为 50 m,问这辆车是否是超速行驶?

(二)合作探讨
3、人中问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长 提供依据. 早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯(1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:

y ? y0ert ,其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率。1950?1959 年
我国的人口数据资料如下表: 年份

1950

1951

1952

1953

1954
58

1955

1956

1957

1958

1959

人数 /万人 1)

55196

56300

57482

58796

60266

61456

62828

64563

65994

67207

如果各年人口增长率的表彰会值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001),用马尔萨其余 人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相 符;

2)

如果按上表的增长情况,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿?

(三)巩固练习
4、已知 1650 年世界人口为 5 亿,当时人口的年增长率为 0.3%,1970 年世界人口为 36 亿,当时人 口的年增长率杰 2.1%。 1) 用马尔萨斯人口模型计算,什么时候世界人口是 1650 年的 2 倍?什么时候世界人口是 1970 年 的 2 倍? 2) 实际上,1850 年以前世界人口就超过了 10 亿,而 2003 年世界人口还滑有达到 72 亿,你对同 样的模型得出的两个结果有何看法?

5、以 v。的速率竖直向上运动的物体,ts 后的高度 hm 满足 h=v。t-4.9t ,速率 v m/s 满足 V= v。-9.8t.现在以 75m/s 的速率向上发射一发子弹,问子弹保持在 100m 以上高度的时间有 多少秒(精确到 0.01s? 在此过程中,子弹速率的范围是多少?
59

2

6、在中国轻纺城批发市场,季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势. 设某服装开始时定价为 10 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的平稳销售;10 周后当季节即将过去时, 平均每周降价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系;

2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系式为 Q ? ?0.125(t ? 8)2 ? 12, t ??0,16?, t ? N ,试问该服装 第几周每件销售利润最大?

(四)个人收获与问题:

(五)能力拓展:
(2006 湖南)对 1 个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: (1污物质量 物体质量(含污物)

))为 0.8,要求清洗完后的清洁度是 0.99,有两种方案可供选择,

方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗。该物体初次清洗后的清洁度是

x ? 0.8 ( x ? a ? 1) ,用 y x ?1

单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

y ? ac , 其中(0.8<c<0.99) 是该物体初次清洁度。 y?a

(1) 分别求出方案甲以及 c=0.95 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量少发; (2) 若采用方案乙,当 a 为某定值时,如何安排初次与第二次的用水量,使总用水量最少?并讨论 a 取 不同的值时对最少总用水量多少的影响。

60

3.2.2 函数应用实例 2
使用说明:
“自主学习”15 分钟完成,出现问题,小组内部讨论完成,展示个人学习成果,教师对重点概念点评。 “合作探究”8 分钟完成,并进行小组学习成果展示,小组都督互评,教师重点点评。 “巩固练习”7 分钟完成,组长负责,小组内部点评。 “个人收获”5 分钟完成,根据个人学习和小组讨论情况,对掌握知识点、方法进行总结,并找出理解不到位的 问题。 最后 5 分钟,教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:
通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用,体 会解决实际问题中建立函数模型的过程,从而进一步加深对这些函数的理解与应用. 学习重点:建立函数模型的过程. 学习难点:在实际问题中建立函数模型.

学习过程 (一)自主探究
1、某桶装水经营部每天的房租、人员的工资等固定成本为 200 无,每桶水的进价是 5 无,销售价与 日均销售量的关系如表所示:

销售单价/元 日均销售量/桶

6 480

7 440

8 400

9 360

10 320

11 280

12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

2、高在海拔 x m 处的气压强是 y Pa, y 与 x 的关系为 y ? cekx ,其中 c,k 为常量。如果某游客从大气压为 1.01× 105Pa 的水平面地区,到了海拔为 2044m、大气压为 0.90× 105Pa 的一个高原地区,感觉没有明显 的高山反应,于便准备可攀登当地海拔为 5596m 的雪山,从身体缺氧的角度出发(当大气压低于 0.775× 105Pa 时,就会比较危险) ,分析这位游客的决定是否太冒险?

(二)合作探讨
2、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值研究: 身高 /cm 体重 /kg

60
6.13

70
7.90

80
9.99

90
12.15

100
15.02

110
17.50

120
20.92

130
26.86

140
31.11

150
38.85

160
47.25

170
55.05

1) 根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似的反映这个地区未成年男性 ykg 与
61

身高 xcm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。 2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地区一名身高 为 175cm ,体重为 78kg 的在校男生的体重是否正常?

(三)巩固练习
3、某地区今年 1 月,2 月,3 月某种传染病的人数分别为 52,61,68。为了预测以后各月的患病人 数,甲选择了模型 y ? ax2 ? bx ? c ,乙选择了 y ? pq x ? r ,其中 y 为患病人数,x 为月份数,a,b,c,p,q,r 都 是常数。结果 4 月,5 月,6 月份的患病人数分别为 74,78,83,你谁选择的模型较好?

4、要建造一个窖为 12000m2,深为、6 m 的长方体无盖蓄水池,池壁造价为 95 元/m2,池底造价为 135 元/m2,如何设计水池的长与宽中,才能使水池的总造价控制在 7 万元以内(精确到 0.1 m)?

62

(四)

个人收获与问题:

(五) 能力拓展:
某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益

1 2 ? ?400 x ? x (0 ? x ? 400) 满足函数: R( x) ? ? ,其中 x(台)是仪器的月产量, 2 ? 80000( x ? 400) ?
(1) 将利润表示为月产量的函数 f(x); (2) 当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)

63


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