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100测评网高中数学复习盐城中学08-09学年度第一学期高三年级第五次调研考试


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盐城中学 08-09 学年度第一学期高三年级第五次调研考试 数学试题(理)
必做题部分(本部分满分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的

指定位置上. 1 、 已 知 向 量 a ? (1,1),b ? (1,?1), c ? ( 2 cos?, 2 sin ? )(? ? R) , 实 数 m, n 满 足

m a? n b ? ,则 c (m ? 3)2 ? n2 的最大值为
2

.

2、对于滿足 0 ? a ? 4 的实数 a ,使 x ? ax ? 4 x ? a ? 3 恒成立的 x 取值范围_ 3、扇形 OAB 半径为 2 ,圆心角∠AOB=60°,点 D 是弧 AB 的中点,点 C 在线段 OA 上,且 OC ? 3 .则 CD ? OB 的值为 4 、 已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x ) ? cos( 2 x ?

?

? ?? ) ,直线 x = t ( t ∈ ?0, ? )与函数 6 ? 2?

f(x)、g(x)的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值是 . 5、对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即“[ x ]是不超过 x 的最大整 数” .在实数轴 R(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ] 就是 x .这个函数[ x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那 么

[log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ? [log2 4] ? ? ? [log2 1024 ] =__________ .
3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数,则使得关于 x 的 6、若 a 是从区间 [0,
一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率为
2 2

7、方程 2

sin ?

? cos? 在 ?0,2? ? 上的根的个数

8、 y ?| log2 x | 的定义域为 [a, b] , 值域为 [0, 2] 则区间 [a, b] 的长度 b ? a 的最小值为
? 2? 9、若数列 an 的通项公式为 an ? 5 ? ? ? ?5?

??

2n ? 2

? 2? ? 4?? ? ?5?

n ?1

( n ? N ? ) , an 的最大值为第 x 项,最

??

小项为第 y 项,则 x+y 等于

? R, 不 等 式 10 、 若 定 义 在 R 上 的 减 函 数 y ? f ( x) , 对 于 任 意 的 x, y

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f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y 2 ) 成 立 . 且 函 数 y ? f ( x? 1) 的 图 象 关 于 点 (1, 0) 对 称 , 则 当
1 ? x ? 4 时,

y 的取值范围 x

.

11 、 已 知 函 数

f ? x? 满 足

f ?1? ? 2 ,

f ? x ? 1? ?
.

1? f ? x? , 则 1? f ? x?

f ?1? ?

f ?f ?2 ? ? ?

3 ?

?

的值为 ? f ?2 0 0 7

12 、 已知函 数 f ( x) ? 2sin ? x 在区间 [ ?

? ?

, ] 上 的 最小值为 ? 2 , 则 ? 的取 值范 围 3 4

是 . 13、与圆 x2 + y2-4x=0 外切,又与 Y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 14、设集合 Sn ? ?1, 2,3,

, n? ,若 X ? Sn ,把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量(若

X 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0)。若 X 的容 量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集。若 n ? 4 ,则 Sn 的所有奇子集的容量之
和为____ . 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、在△ABC 中,a,b,c 为角,A,B,C 所对的三边,已知 a ? (b ? c) ? bc,
2 2

(1)求角 A; (2)若 BC=2 3 ,内角 B 等于 x,周长为 y,求 y ? f ( x) 的最大值.

16、已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,一条斜率等于 1 的直线 L 与圆 C 交于 A,B 两点
2 2

(1) 求弦 AB 最长时直线 L 的方程 (2)求 ?ABC 面积最大时直线 L 的方程 (3)若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内,求直线 L 在 y 轴上的截距范围

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? 17 、 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , A B? A C

1

AA ? 3

,a

C1 A1
F

BC ? 2a , D 是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点,且 CF ? 2a .
(1)求证: B1 F ? 平面 ADF ; (2)求三棱锥 D ? AB1 F 的体积; (3)试在 AA 1 上找一点 E ,使得 BE // 平面 ADF .

B1

C
A

D B

18、某公司有价值 a 万元的一条生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,就要对 其进 行技术改造,改造就需要投入资金,相应就要提高生产产品的售价。假设售价 y 万 元与 技术改造投入 x 万元之间的关系满足: ① y 与 a ? x 和 x 的乘积成正比; ③0 ? ②x ?

a 时 y ? a2 ; 2

x ? t. 其中 t 为常数,且 t ? [0,1] 。 2(a ? x)

(1)设 y ? f ( x) ,试求出 f ( x) 的表达式,并求出 y ? f ( x) 的定义域; (2)求出售价 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值.

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19、数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , Sn , an 2 成 等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

ln n x an
2

,求证:对任意实数 x ? ?1, e? ( e 是

常数, e = 2. 71828 ??? )和任意正整数 n ,总有 Tn ? 2; (3) 正数数列 ?cn ? 中, an?1 ? ?cn ?
n?1

, (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 中的最大项.

2 20、设函数 f ( x) ? x ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 .

(1)若 b ? ?12 ,求 f ( x) 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

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数学试题

附加题

1、 ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 AA1 ? 2 , E 是侧棱 BB1 的中点.(1)求证: AE ? 平面 A1D1E ;(2)问在棱 DD1 上是否存在一点 P,使平面 PBC1∥平面 AD1E, 若存在确定 P 点位置,若不存在说明理由;

D1 A1 B1

C1

D

E

C

A

B

2 、甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部 分,笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试 过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过 笔试的概率分别是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; ( 2 )设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 ? ,求随机变量 ? 的期望

E (? ) .

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3、已知直线 l 的参数方程: ?

x ?t ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? y ? 1 ? 2t

? ? ? 2 2 sin(? ? ) .
4
(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

4 、 试 求 曲 线 y ? sin x 在 矩 阵 MN 变 换 下 的 函 数 解 析 式 , 其 中 M = ?

?1 0 ? ? ,N ?0 2 ?

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= ?2

?1

? 0? . ? 0 1? ? ?

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1 、 已 知 向 量 a ? (1,1),b ? (1,?1), c ? ( 2 cos?, 2 sin ? )(? ? R) , 实 数 m, n 满 足

m a? n b ? ,则 c (m ? 3)2 ? n2 的最大值为
2

16

.

2 、 对于滿足 0 ? a ? 4 的实数 a ,使 x ? ax ? 4 x ? a ? 3 恒成立的 x 取值范围

(??,?1) ? (3,??) _

_

3、扇形 OAB 半径为 2 ,圆心角∠AOB=60°,点 D 是弧 AB 的中点,点 C 在

线段 OA 上,且 OC ? 3 .则 CD ? OB 的值为
4 、 已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x ) ? cos( 2 x ?

3

?

? ?? ) ,直线 x= t ( t ∈ ?0, ? )与函 6 ? 2?

数 f(x)、g(x)的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值是

3



5、对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即“[ x ]是不超过 x 的最大整 数” .在实数轴 R(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是 整数时[ x ]就是 x .这个函数[ x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践 中有广泛的应用.那么

[log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ? [log2 4] ? ? ? [log2 1024 ] =____8204______ .

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6 、 若 a 是从区间 [0, 3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2]任取的一个数,则使得

关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根的概率为__2/3_
7、方程 2
sin ?

? cos? 在 ?0,2? ? 上的根的个数

2

8、 y ?| log2 x | 的定义域为 [a, b] , 值域为 [0, 2] 则区间 [a, b] 的长度 b ? a 的最小值为

3 4
? 2? 9、若数列 an 的通项公式为 an ? 5 ? ? ? ?5?

??

2n ? 2

? 2? ? 4?? ? ?5?

n ?1

( n ? N ? ) , an 的最大值为第 x 项,最

??

小项为第 y 项,则 x+y 等于 3

? R, 不 等 式 10 、 若 定 义 在 R 上 的 减 函 数 y ? f ( x) , 对 于 任 意 的 x, y

f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y 2 ) 成 立 . 且 函 数 y ? f ( x? 1) 的 图 象 关 于 点 (1, 0) 对 称 , 则 当
1 ? x ? 4 时,

y 的取值范围 x

1 [? ,1 ] 2

.

11 、 已 知 函 数

f ? x? 满 足

f ?1? ? 2 ,
3

f ? x ? 1? ?
.

1? f ? x? , 则 1? f ? x?

f ?1? ?

f ?f ?2 ? ? ?

3 ?

?

的值为 ? f ?2 0 0 7

12 、 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最小值为 ? 2 ,则 ? 的取值范围是 3 4

3 (??, ?2] [ , ??) . 2 2 2 2 13、与圆 x + y -4x=0 外切,又与 Y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 y =8x(x>0) 或 y=0 (x<0) 14、设集合 Sn ? ?1, 2,3, ,n? ,若 X ? Sn ,把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容

量(若 X 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量 为 0)。若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集。若 n ? 4 , 则 Sn 的所有奇子集的容量之和为____7__
.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

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15、在△ABC 中,a,b,c 为角,A,B,C 所对的三边,已知 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc, (1)求角 A; (2)若 BC=2 3 ,内角 B 等于 x,周长为 y,求 y ? f ( x) 的最大值. 解:(1)由 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc得 : a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?bc

? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 1 ? 又0 ? A ? ? 2bc 2

?A?

?
3

(2)?

AC BC BC 2 3 ? , ? AC ? ? sin x ? ? sin x ? 4 sin x ? sin x sin A 3 sin 3 2

BC 2? 2? ? sin C ? 4 sin( ? x) ? y ? 4 sin x ? 4 sin( ? x) ? 2 3 sin A 3 3 ? ? 2? ? 4 3 sin( x ? ) ? 2 3 ? A ? ?0 ? B ? x ? 6 3 3 ? ? 5? ? ? ? ) ? 故x ? ? ? x ? 时, y max ? 6 3 故 x ? ?( , 6 6 6 6 2 3
同理: AB ?

16、已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,一条斜率等于 1 的直线 L 与圆 C 交于 A,B 两
点 (2) 求弦 AB 最长时直线 L 的方程 (2)求 ?ABC 面积最大时直线 L 的方程 (3)若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内,求直线 L 在 y 轴上的截距范围 解(1)L 过圆心时弦长 AB 最大,L 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 (2) ?ABC 的面积 S ? 当∠ACB=

? 时, ?ABC 的面积 S 最大,此时 ?ABC 为等腰三角形 2
3 2 |1? 2 ? m | 3 2 从而有 ? 2 2 2

1 9 CACB sin ?ACB ? sin ?ACB , 2 2

设 L 方程为 y ? x ? m ,则圆心到直线距离为 m=0 或 m= -6

则 L 方程为 x-y=0 或 x-y-6=0

(1) 设 L 方程为 y ? x ? b

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由?

y ? x?b ? 2 x 2 ? 2(b ? 1) x ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0(?) x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ? ?
2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 A,B 两点的坐标为方程(*)的解

??0 ? ?? 3 ? 26 ? b ? ?3 ? 26 ??? x1 ? x 2 ? ?b ? 1? ? x1 ? x 2 ? ?b ? 1
AB 的中点坐标为 M (

? b ?1 b ?1 , ) 2 2

AB= 2 9 ? (

| 3?b | 2

)2

由题意知:|OM|<

1 AB ? b 2 ? 3b ? 4 ? 0 ? ?4 ? b ? 1 2

17 、在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? AA 1 ? 3 a, BC ? 2 a , D 是 BC 的 中点, F 是 C1C 上一点,且 CF ? 2a . (1)求证: B1F ? 平面 ADF ; (2)求三棱锥 D ? AB1 F 的体积; (3)试在 AA 1 上找一点 E ,使得 BE // 平面 ADF . 17 、 ( 1 ) 证 明 :
AB ? AC , D 为 BC 中 点

C1 A1
F

B1

C
A

D B

? AD ? BC ,又直三棱柱中: BB1 ? 底面

ABC , AD ? 底面 ABC ,? AD ? BB1 ,? AD ? 平面 BCC1 B1 ,

B1 F ? 平面 BCC1 B1

? AD ? B1F .在 矩形 BCC1 B1 中: C1 F ? CD ? a , CF ? C1 B1 ? 2a B1 F ? FD , ? Rt ?DCF ? Rt ?FC1 B1 ,??CFD ? ?C1 B1 F
AD FD ? D ,? B1 F ? 平面 AFD ;

??B1 FD ? 90 ,即

-----------5 分

(2)解:

AD ? 平面 BCC1 B1

?VD?

A1B F

1 ? V ? A1 B ? D F? S 3

1

?B D AFD

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1 1 5 2a 3 = ? B1 F ? FD ? AD ? ; -------10 分 3 2 3 (3)当 AE ? 2a 时, BE // 平面 ADF . 证明:连 EF , EC ,设 EC AF ? M ,连 DM , AE ? CF ? 2a ? AEFC 为矩形, ?M 为 EC 中 点 , D 为 BC 中 点 , ? MD // BE , MD ? 平 面 ADF , BE ? 平 面 ADF ? BE // 平面 ADF .

18、某公司有价值 a 万元的一条生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,就要对 其进行技术改造,改造就需要投入资金,相应就要提高生产产品的售价。假设售价 y 万 元与 技术改造投入 x 万元之间的关系满足: ① y 与 a ? x 和 x 的乘积成正比; ③0 ? ②x ?

a 时 y ? a2 ; 2

x ? t. 其中 t 为常数,且 t ? [0,1] 。 2(a ? x)

(1)设 y ? f ( x) ,试求出 f ( x) 的表达式,并求出 y ? f ( x) 的定义域; (2)求出售价 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值. 18、解:(1)设 y ? k (a ? x) x, 当x ?

a 时y ? a 2 , 可得 k ? 4,? y ? 4(a ? x) x 2

2at ] , t 为常数, t ? [0,1] 1 ? 2t a 2 2 (2) y ? 4(a ? x) x ? ?4( x ? ) ? a 2 2at a 1 a ? 时,即 ? t ? 1, x ? 时, y max ? a 2 当 1 ? 2t 2 2 2 2at a 1 2at ? 时, 即0 ? t ? 时, y ? 4(a ? x) x在[0, ] 上为增函数 当 1 ? 2t 2 2 1 ? 2t

? 定义域为 [0,

?当x ?

2at 8at 2 时, y max ? 1 ? 2t (1 ? 2t ) 2

1 a 从而当 ? t ? 1 时,投入 x ? 时,售价 y 最大为 a 2 万元; 2 2

1 2at 8at 2 当 0 ? t ? 时,投入 x ? 时,售价 y 最大为 万元. 2 1 ? 2t (1 ? 2t ) 2

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成 绩. 19 、数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有

an , Sn , an2 成等差数列.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

ln n x an
2

,求证:对任意实数 x ? ?1, e?

( e 是常数, e = 2. 71828 ??? )和任意正整数 n ,总有 Tn ? 2; (3) 正数数列 ?cn ? 中, an?1 ? ?cn ? , (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 中的最大项.
n?1

19、(1)解:由已知:对于 n ? N * ,总有 2Sn ? an ? an 2 ①成立
∴ 2Sn?1 ? an?1 ? an?1
2

(n ≥ 2)②
2 2

①--②得 2an ? an ? an ? an?1 ? an?1 ∴ an ? an?1 ? ?an ? an?1 ??an ? an?1 ?

∵ a n , a n ?1 均为正数,∴ an ? an?1 ? 1 ∴数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列 又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a12 ,解得 a1 =1 ∴ an ? n .( n ? N )
*

(n ≥ 2)

-------5 分

(2)证明:∵对任意实数 x ? ?1, e? 和任意正整数 n,总有 bn ?

ln n x an
2



1 . n2

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 ?n ? 1?n 1? 2 2 ? 3 1 2 n
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n
--------10 分

? 1?1?

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(3)解:由已知
3

a2 ? c1 ? 2 ? c1 ? 2 ,
4

2

a 3 ? c 2 ? 3 ? c 2 ? 3 3 , a 4 ? c3 ? 4 ? c3 ? 4 4 ? 2 , a5 ? c 4 ? 5 ? c 4 ? 5 5
易得
5

c1 ? c2 , c2 ? c3 ? c4 ? ...

猜想 n≥2 时, ?cn ? 是递减数列.令

1 ? x ? ln x ln x 1 ? ln x f ?x ? ? , 则f ??x ? ? x ? 2 x x x2
∵当 x ? 3时, ln x ? 1, 则1 ? ln x ? 0,即f ??x? ? 0. ∴在 ?3,??? 内 f ?x ? 为单调递减函数. 由 a n ?1 ? c n
n ?1

知 ln c n ?

ln?n ? 1? . n ?1

∴n≥2 时, ?ln cn ?是递减数列.即 ?cn ? 是递减数列. 又 c1 ? c2 ,∴数列 ?cn ? 中的最大项为 c2 ? 3 3 .
2 20、设函数 f ( x) ? x ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 .

(1)若 b ? ?12 ,求 f ( x) 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln 20、解:(1)由题意知, f ( x) 的定义域为 (?1,??) ,

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

b ? ?12 时,由 f / ( x) ? 2 x ?
/

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去), x ?1 x ?1
/

当 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f ( x) ? 0 , 所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x ) 单调递增,

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所以 f ( x)min ? f (2) ? 4 ?12ln 3 (2)由题意 f ( x) ? 2 x ?
/
2

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, x ?1 x ?1

即 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, 设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 ?
2

?? ? 4 ? 8b ? 0 1 ,解之得 0 ? b ? ; 2 ? g (?1) ? 0
3 3 2

(3)对于函数 f ?x? ? x ? ln(x ? 1) ,令函数 h?x? ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln(x ? 1)
2

则 h ?x ? ? 3x ? 2 x ?
/ 2

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? ,?当x ? [0,??)时,h / ?x? ? 0 x ?1 x ?1

所 以 函 数 h?x ? 在 [0,??) 上 单 调 递 增 , 又 h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时 , 恒 有

h?x ? ? h(0) ? 0
1 1 1 1 ? (0,?? ) ,则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立. n n n n 1 1 1 显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 n ? N 时,不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立 n n n
即 x 2 ? x 3 ? ln(x ? 1) 恒成立.取 x ?

附加题答案
1、 ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 AA1 ? 2 , E 是侧棱 BB1 的中点.(1)求证: AE ? 平面 A1D1E ;(2)问在棱 DD1 上是否存在一点 P,使平面 PBC1∥平面 AD1E, 若存在确定 P 点位置,若不存在说明理由; (1)证明:? ABCD ? A1 B1C1 D1 为长方体,? A1 D1 ? AE 又? E 是 BB1 的中点,且 BE ? EB1 ? AB ? 1 ,? A1 E ? AE ? 又 AA , AE2 ? A1 E 2 ? AA1 ,? A1 E ? AE ……… 1 ? 2, 在?A 1 EA中
2

2

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又? A1 D1 ? A1 E ? A1且A1 D1 , A1 E ? 平面A1 D1 E

? AE ? 平面A1 D1 E ……………………………
(2)P 为 DD1 的中点时, 使平面 PBC1∥平面 AD1E, 证明(略) … 2 、甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部 分,笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试 过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过 笔试的概率分别是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; ( 2 )设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 ? ,求随机变量 ? 的期望

E (? ) .
解:(1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件 A1 、 A2 、 A3 ;

E 表示事件“恰有一人通过笔试”
则 P( E) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3)

? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.38 ---------------------------------------------------------------------6 分
(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为

p ? 0.3 ,
---------------------------------------------------------------------9 分

0.3) ,故 E(? ) ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 .-------------12 分 所以 ? ~ B(3,
解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件

A,B,C ,
则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3

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所以 P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3)2 ? 0.3 ? 0.441,

P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189 , P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 .
于是, E (? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . 3、已知直线 l 的参数方程: ?

x ?t ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? y ? 1 ? 2t

? ? ? 2 2 sin(? ? ) .
4
(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 解:(1)消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ;----

? ? ? 2 2 (sin ? ? ) 即 ? ? 2(sin? ? cos? ) ,
4
2

两边同乘以 ? 得 ? ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 消去参数 ? ,得⊙ C 的直角坐标方程为:

( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2 -----------------------(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

| 2 ?1?1| 2 ?1
2 2

?

2 5 ? 2, 5

所以直线 l 和⊙ C 相交.---------4 、 试 求 曲 线 y ? sin x 在 矩 阵 MN 变 换 下 的 函 数 解 析 式 , 其 中 M = ?

?1 0 ? ? ,N ?0 2 ?

?1 ? 0? . = ?2 ? 0 1? ? ?
25.(选做题)(本小题满分 8 分)

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解:MN = ?

?1 0? ? 1 0? ? 1 0? ? ? 2 ? = ? 2 ? ,---------------? ? ? ?0 2 ? ? ? 0 1? ? 0 2?

? x? ? x ?? ? ? 1 x ? 即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,-------? ? y? ? y ??? ? ?2y ?


1 y ?? ? sin 2 x ?? , 2

即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2 sin 2 x .-----

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