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精品题库试题

时间:2015-03-01


精品题库试题

理数 1. (2014 天津,6,5 分)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E, 过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论:① BD 平分 ∠CBF;② FB2=FD· FA;③ AE· CE=BE· DE;④ AF· BD=AB· BF.则所有正确结论的序

号是( )

A.① ②

B.③ ④

C.① ② ③

D.① ② ④

[答案] 1.D [解析] 1.① ∠FBD=∠BAD,∠DBC=∠DAC,故∠FBD=∠CBD,即① 正确.由切割线定理知② 正

确.③ △BED∽△AEC,故

=

,当 DE≠CE 时,③ 不成立.④ △ABF∽△BDF,故

=

,即

AB· BF=AF· BD,④ 正确.故① ② ④ 正确,选 D. 2. (2014 重庆,14,5 分)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交圆于 B,C. 若 PA=6,AC=8,BC=9,则 AB=________. [答案] 2.4 [解析] 2.设 PB=x,由切割线定理得 x(x+9)=62,解得 x=3 或 x=-12(舍去).又易知△PAB∽△ PCA,

于是

=

=

=

?AB=4.

3. (2014 广东,15,5 分) (几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且

EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则

=________.

[答案] 3.9

[解析] 3.依题意得△CDF∽△AEF,由 EB=2AE 可知 AE∶CD=1∶3.故 4. (2014 湖北,15,5 分) (选修 4—1:几何证明选讲)

=9.

如图,P 为☉ O 外一 点,过 P 点作☉ O 的两条切线,切点分别为 A,B.过 PA 的中点 Q 作割线交☉ O 于 C,D 两点.若 QC=1,CD=3,则 PB=________.

[答案] 4.4 [解析] 4.由切割线定理得 QA2=QC·QD=1×(1+3)=4,∴QA=2,∵Q 为 PA 的中点,∴PA=2QA=4. 故 PB=PA=4.

5. (2014 湖南,12,5 分)如图,已知 AB,BC 是☉ O 的两条弦,AO⊥BC,AB= 径等于________.

,BC=2

,则☉ O 的半

[答案] 5.

[解析] 5.设 AO 与 BC 交于点 M,∵AO⊥BC,BC=2

. ,∴BM=

,又 AB=

,∴AM=1.设圆的半

径为 r,则 r2=(

)2+(r-1)2,解得 r=

.

6.(2014 课标全国卷Ⅱ ,16,5 分)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,

则 x0 的取值范围是________. [答案] 6.[-1,1] [解析] 6.解法一:当 x0=0 时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点 N(-1,0)或 N(1,0),使 ∠OMN=45°.当 x0≠0 时,过 M 作圆的两条切线,切点为 A、B. 若在圆上存在 N,使得∠OMN=45°, 应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0 或 0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1.

解法二:过 O 作 OP⊥MN,P 为垂足,OP=OM·sin 45°≤1,

∴OM≤

,∴OM2≤2,∴

+1≤2,∴

≤1,∴-1≤x0≤1.

7. (2014 重庆一中高三下学期第一次月考, 14) (原创) 如图, 在 , 是 的长为 。 的中点, 于 , 的延长线交

中, 的外接圆于

, , 则



[答案] 7.

[解析] 7. 在 Rt△ABC 中,

, 解得

; 同理可得

, 由射影

定理可得

,得

. 根据割线定理可得

, 得

, 所以

.

8. (2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,14) 如图, 于 、 两点,且与直径 交于点 ,

切圆

于点 ,则

,

交圆 .

[答案] 8. 15

[解析] 8. 根据相交弦定理可得 可得 立得 PB=15. ① . 在 Rt△DTP 中,

, 结合条件可得 DT=9. 根据切割线定理 ② .① ② 联

9. (2014 天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,14) 如图,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线 上,且 PB=OB=2, PC 切圆 O 于 C 点,CD AB 于 D 点,则 CD= .

[答案] 9.

[解析] 9. 根据切割线定理可得 在 Rt△OCP 中, 根据射影定理可得 PC2= CD2= , 所以 CD 的长为 .

, 得 , 得 PD=3, 又因为

. 连接 OC,

10. (2014 重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考,14) 如图, 割线,若 , , , ,则



为⊙O 的两条

等于____________.

[答案] 10.6

[解析] 10.由割线定理得



所以

,解得



(舍去),





,所以

,所以

,解得

.

11. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试, 15) (选修 4-1: 几何证明选讲) 已知点 直径 的演唱线上,直线 ,则 与圆 相切于 , . 的平分线分别交 、

在圆 于

的 、

两点,若

[答案] 11.

[解析] 11. 因为

为圆的切线,由弦切角定理,则



又因为

平分

,则



所以



根据三角形外角定理,



因为

是圆

的直径,则

,所以

是等腰直角三角形,

所以

.

12. (2014 广东汕头普通高考模拟考试试题,15)如图, 点 ① 的序号是___________. , 延长 与圆 交于另一点 ,②

,

,

分别与圆

切于

,给 出下列三个结论: ,③ ~ , 其中正确结论

[答案] 12.① ②

[解析] 12. 如图, 所以正确的序号为① ② .

,

, 所以③ 错,

范围

.

13. ( 2014 广东广州高三调研测试,14) (几何证明选讲选做题)

如图 4, 则

为⊙

的直径,

,弦



于点

. 若





的长为_______.

[答案] 13.1

[解析] 13. 由已知可得





,由相交

弦定理得:

,所以

14. (2014 北京东城高三第二学期教学检测,10) 如图, 的割线 与直径 相交于 点. 已知∠ = ,

与圆

相切于 ,

,不过圆心 , 则圆 的半

径等于_______.

[答案] 14.7

[解析] 14.由题意可得: 从而

, 又因为 。由切割线定理

, 可得

, 所以 ,所以



.

. 再由相交弦定理 ,从而半径为 7.

,所以

. 故直径

15. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,16) 如图, 圆心 ,弦 于点 , ,则

切⊙O 于点 _________.

,割线

经过

[答案] 15.

[解析] 15. 依题意,由切割线定理

,所以

,即



所以圆的半径

,由

为切线,所以

,所以

,又



于点

,所以

.

16.(2014 湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,15)(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD//AC. 过点 A 作圆的切线与 DB 的

延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F.若 AB = AC,AE = 长为______.

, BD = 4,则线段 CF 的

[答案] 16.

[解析] 16. 根据切割线定理可得

,代入数据得 EB=5. 因为 AB=AC,

可得∠C=∠ABC,又因为 EA 是切线,根据同弧对应的圆周角相等可得,∠C=∠EAB,所以可 得∠E AB=∠ABC,所以可得 EA//BC,又因为 BE//AC,所以四边形 ACBE 为平行四边形,所 以 AC=EB=5,BC=EA= . 因为 AC//BD,所以可得弧 AB 与弧 CD 相等,所以可得

∠FACA=∠ACB,所以△AFC∽△BAC,可得

,代入数据得

.

17. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测, 14) 如图, 延长线上, 与半圆相切于点 , ,若

是半圆 ,

的直径, 在 ,则

的 .

[答案] 17.

[解析] 17. 延长

,又

,所以

.

18.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试,15) (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,=,DE 交 AB 于点 F.若 AB=4,BP=3,则 PF= .

[答案] 18.

[解析] 18. 连接

由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件

可得

, 又

.

从而

,故





,

由割线定理



, 故

,所以答案为

.

19.(2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,15) (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,如图,A,B 是圆 O 上的两点,且 OA⊥OB,OA=2,C 为 OA 的中点,连接 BC 并延 长交圆 O 于点 D,则 CD= .

[答案] 19.

[解析] 19. 由相交弦定理得:

, 其中

为直线

与圆另一交点, 因为

, 所以

20. (2014 重庆七校联盟, 14) 如图,半径为 线交圆 于点 ,则线段 的长为

的圆 .

中,,



的中点,

的延长

[答案] 20.

[解析] 20.

,由勾股定理求得

,由相交弦定理,



,即

.

21. (2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 15B) (几何证明选做题) 如图,割线 , 绕点 逆时针旋 转到 ,连 交圆 于点 ,则

经过圆心 ,

____________.

[答案] 21.

[解析] 21. 由余弦定理,



,根据割线定理,



. 为⊙ 的 直径, .

22.(2014 广州高三调研测试, 14) (几何证明选讲选做题)如图 4, ,弦 交 于点 .若 , ,则 的长为

[答案] 22. 1

[解析] 22. 依题意,在 交线定理 ,得

中,由勾股定理得 .

,又

,由相

23. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 如图,在半径为 , ,则圆心 到弦 的距离为 .

的圆 中,弦



相交于 ,

[答案] 23. [解析] 23.由相交弦定理得 的距离为 . , , , , 圆心 到弦

24.(2014 江苏,21(A),10 分)[选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点. 证明:∠OCB=∠D.

[答案] 24.查看解析 [解析] 24.因为 B,C 是圆 O 上的两点,所以 OB=OC. 故∠OCB=∠B. 又因为 C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D. 25.(2014 辽宁,22,10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连结 DG 并延长交圆于点 A, 作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (Ⅰ )求证:AB 为圆的直径;

(Ⅱ )若 AC=BD,求证:AB=ED.

[答案] 25.查看解析 [解析] 25.(Ⅰ )因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA, 故∠DBA=∠EGA, 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA. 由于 AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故 AB 是直径.

(Ⅱ )连结 BC,DC. 由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90°. 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. 由于 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角. 于是 ED 为直径.由(Ⅰ )得 ED=AB. 26.(2014 课标全国卷Ⅱ ,22,10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是☉ O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与☉ O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中 点,AD 的延长线交☉ O 于点 E. 证明:(Ⅰ )BE=EC;

(Ⅱ )AD· DE=2PB2.

[答案] 26.查看解析 [解析] 26.(Ⅰ )连结 AB,AC,由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而 因此 BE=EC.

=

.

(Ⅱ )由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB, 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2. 27.(2014 课表全国Ⅰ ,22,10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是☉ O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ )证明:∠D=∠E; (Ⅱ )设 AD 不是☉ O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三 角形.

[答案] 27.查看解析 [解析] 27.(Ⅰ )由题设知 A,B,C,D 四点共圆,所以∠D=∠CBE. 由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E. (Ⅱ )设 BC 的中点为 N,连结 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故 O 在直线 MN 上. 又 AD 不是☉ O 的直径,M 为 AD 的中点,故 OM⊥AD, 即 MN⊥AD. 所以 AD∥BC,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(Ⅰ )知,∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角 形.

28. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,22) 选修 4-1:几何证明选讲

如图,过圆 与圆 相切于点

外一点 ,连结

作一条直线与圆 交 于点

交于 ,已知圆

两点,且 的半径为 2,

,作直线

(1)求

的长;

(2)求证: [答案] 28.查看解析

.

[解析] 28.(1)延长

交圆

于点

,连结









,所以





可知

,所以

根据切割线定理得

,即

.

⑾ 证明:过





,则



从而有

,又由题意知

所以

,因此

,即

29. (2014 山西太原高 三模拟考试(一),22) 选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与⊙O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B,C,∠APC 的平分 线分别交 AB、AC 于点 D、E. (Ⅰ )证明:∠ADE=∠AED;

(Ⅱ )若 AC=AP,求

的值.

[答案] 29.查看解析

[解析] 29.

30. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),22) 选修 4—1:几何证明选讲: 如图, 已知 于 、 为圆 的一条直径, 以端点 作垂直于 为圆心的圆交直线 于 点. 于 、 两点, 交圆

两点,过点

的直线,交直线

(Ⅰ )求证:







四点共圆;

(Ⅱ )若



, 求

外接圆的半径.

[答案] 30.查看解析

[解析] 30.(Ⅰ )因为

为圆

一条直径,所以

,又











四点 在以

为直径的圆上,

所以,







四点共圆. (4 分)

(Ⅱ )因为

与圆

相切于点

,由切割线定理得

[来源:学科网 ZXXK]

, 即





所以



,



, 得



连接

, 由(1)可知



的外接圆直径,

, 故

的外接圆半径为

. (10 分)

31. (2014 河北唐山高三第一次模拟考试,22) 选修 4―1: 几何证明选讲

如图, 点.

是圆

的切线,

是切点,



,过点

的割线交圆







(Ⅰ )证明:







四点共圆;

(Ⅱ )设



,求

的大小.

[答案] 31.查看解析

[解析] 31.(Ⅰ )连结

,则

. 由射影定理得



由切割线定理得

,故

,即





,所以



,所以

.

因此







四点共圆.

(6 分)

(Ⅱ )连结

. 因为

,结合(Ⅰ )得

.

(10 分)

32. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 22) 【选修 4-1:几何证明选讲】

如图, .

是圆

的直径,弦



的延长线 相交于点



垂直

的延长线于点

(Ⅰ )求证:



(Ⅱ ) 求证:

.

[答案] 32.查看解析 [解析] 32.(Ⅰ )连结

,因为

为圆的直径,

所以

,又





四点共圆,

所以

.

(5 分)

(Ⅱ )由(Ⅰ )知,

,连结



[来源:学,科,网]





,所以





所以

. (10 分)

33. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,22) 选修 4-1:几何证明选讲

如图,

是的⊙

直径,

与⊙

相切于



为线段

上一点,连接



分别交⊙





两点,连接



于点

.

(Ⅰ )求证:







四点共圆.

(Ⅱ )若



的三等分点且靠近





,求线段

的长.

[答案] 33.查看解析

[解析] 33. (Ⅰ ) 连结

, 则







所以

,所以



所以

四点共圆. (5 分)

(Ⅱ )因为

,则







的三等分点,





又因为

,所以



. (10 分)

34.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,22)选修 4—1 几何证明选讲: 如图,AB 是 ⊙O 的直径,AC 是弦,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC,交 AC 的延长线于点 E, OE 交 AD 于点 F。 (I)求证:DE 是⊙O 的切线;

(II)若

的值.

[答案] 34.查看解析 [解析] 34.22.(I)证明:连结 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2 分 ∴OD//AE 又 AE⊥DE ∴OE⊥OD,又 OD 为半径 ∴DE 是的⊙O 切线 ………………………5 分 …………………………………3 分

(II)解:过 D 作 DH⊥AB 于 H,

则有∠DOH=∠CAB

…………6 分 设 OD=5x,则 AB=10x,OH=2x,

由△AED≌△AHD 可得 AE=AH=7x ……………8 分

又由△AEF∽△DOF 可得

……………………………………………………10 分 35.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试 (四) 数学 (理) 试题, 22) 选修 4-1: 几何证明选讲.

如图,AB 是 于点 G.

的一条切线,切点为 B,ADE、CFD 都是

的割线, AC =AB, CE 交

(I) 证明: (Ⅱ ) 证明:FG//AC.



[来源:学科网]

[答案] 35.查看解析 [解析]

35.

36.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试,22) 选修 4—1:几何证明选讲.

如图,

是圆

的直径,



延长线上的一点,

是圆

的割线,过点



的垂线,交直线

于点

,交直线

于点

,过点

作圆

的切线,切点为

.

(1)求证:

四点共圆;(2)若

, 求

的长.

[答案] 36.查看解析

[解析] 36. (1)证明:连结

,∵

是圆

的直径,

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]









中,

又∵



[来源:学科网]



四点共圆。

(2)∵

四点共圆,∴



是圆

的切线,∴



又因为





. 的内切圆圆心, 过点 作

37.(2014 江苏苏北四市高三期末统考, 21A) 如图, 点 为锐角 直线 的垂线,垂足为 ,圆 与 边 相切于点 . 若 ,求 的度数.

[答案] 37.查看解析 [解析] 37.由圆 所以 与边 相切于点 ,得 . (5 分) ,因为 ,得 ,

四点共圆, 所以





所以

,由

,得

. (10 分)

38. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 22) 选修 4-1: 几何证明选讲 如图, , , , 四点在同一圆上, 上. 与 的延长线交于点 ,点 在 的延长线

(Ⅰ )若 (Ⅱ )若

,求

的值; ∥ .

,证明:

[答案] 38.查看解析 [解析] 38. 解析 (Ⅰ ) 四点共圆, ,又 为公共角,









.



(6 分)

(Ⅱ )





又 , 又 .







四点共圆, (10 分)





39 .(2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 22) 已知 为半圆上一点,过点 作半圆的切线 ,过点 作 于 ,交圆于点 , (Ⅰ )求证: (Ⅱ )求 平分 ; .

为半圆 的直径,



的长.

[答案] 39.查看解析 [解析] 39.(Ⅰ )连结 因为 所以 (Ⅱ )由(Ⅰ )知 连结 ,因为 ,因为 ,所以 ,又因为 ,所以 , 四点共圆, ,所以 , 平分 , ,所以 ∥ ,

为半圆的切线,所以 ,

.(4 分)

所以

,所以

.(10 分)

40. (2014 兰州高三第一次诊断考试, 22) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, 点,连接 是直角三角形, 交圆 于点 . ,以 为直径的圆 交 于点 ,点 是 边的中

(Ⅰ )求证: 、 、 、 四点共圆;

(Ⅱ )求证:

[答案] 40.查看解析 [解析] 40.:(Ⅰ )连接 又 是 BC 的中点,所以 又 所以 所以 所以 、 、 、 四点共圆. (Ⅱ)延长 交圆 于点 (5 分) , . 、 ,则

因为

.

所以 所以 . (5 分)


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