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等差数列的教学设计


等 差 数 列 教 学 设 计

等差数列
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学 5》 (人教版)第二章数列 第二节等差数列第一课时。 数列是高中数学重要内容之一,它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前 启后的作用。 一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分; 另一方面, 学习数列也为进一步学习数列的极限

等内容做好准备。 而等差数列是在学生学习 了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上, 对 数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联 想” 、 “类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析
教学内容针对的是高二的学生,经过高中一年的学习,大部分学生知识经验 已较为丰富,具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力,但也可能有一部分学 生的基础较弱, 所以在授课时要从具体的生活实例出发, 使学生产生学习的兴趣, 注重引导、 启发学生的积极主动的去学习数学, 从而促进思维能力的进一步提高。

三、设计思想
1.教法 ⑴诱导思维法: 这种方法有利于学生对知识进行主动建构; 有利于突出重点, 突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性,发挥其创造性。 ⑵分组讨论法:有利于学生进行交流,及时发现问题,解决问题,调动学生 的积极性。 ⑶讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点。 2.学法 引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水 位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列 概念的特点,推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元 的推导思维方法。 用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
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在引导分析时,留出“空白” ,让学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质 疑,围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念, 能用定义判断一个 数列是否为等差数列,引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想,掌 握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题;并在此过 程中培养学生观察、 分析、 归纳、 推理的能力, 在领会函数与数列关系的前提下, 把研究函数的方法迁移来研究数列,培养学生的知识、方法迁移能力。

五、教学重点与难点
重点: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点: ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。 关键: 等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程
教学 环节 情境设计和学习任务 在南北朝时期《张邱建算经》中,有 倾听 一道题"今有十等人,每等一人,宫赐 金以等次差降之,上三人先入,得金 创设 情景 四斤,持出,下四人后入得金三斤, 持出,中间三人未到者,亦依等次更 给,问各得金几何,及未到三人复应 得金几何"。 这个问题该怎样解决呢? 探索 由学生观察分析并得出答案: 观察分析,发表各自的意见 引向课题 学生活动 设计意图 课堂引入

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研究

在现实生活中,我们经常这样数 数,从 0 开始,每隔 5 数一次,可以 得到数列: 0, 5, ___,___,___,___,? 水库的管理人员为了保证优质鱼 类有良好的生活环境,用定期放水清 理水库的杂鱼。如果一个水库的水位 为 18cm, 自然放水每天水位降低 2.5m, 最低降至 5m。那么从开始放水算起, 到可以进行清理工作的那天,水库每 天的水位组成数列(单位: m) :18, 15.5,13,10.5,8,5.5 思考:同学们观察一下上面的这两个 观察分析并得出答案: 数列: 0,5,10,15,20,?? ① 18,15.5,13,10.5,8,5.5 看这些数列有什么共同特点呢? ② 通过分析,激

引导学生观察相邻两项间 发 学 生 学 习 的关系,得到: 的探究知识

对于数列①,从第 2 项起, 的兴趣,引导 每一项与前一项的差都等于 揭 示 数 列 的 5 ; 对于数列②, 从第 2 项起, 每一项与前一项的差都等于 -2.5 ; 共性特点。

发现 规律

由学生归纳和概括出,以上 两个数列从第 2 项起,每一项 与前一项的差都等于同一个常 数(即:每个都具有相邻两项 差为同一个常数的特点) 。 [等差数列的概念] 总结 提高 学生认真阅读课本相关概念, 通 过 学 生 自 己阅读课本, 找出关键字, 提高学生的

对于以上几组数列我们称它们为等差 找出关键字。 数列。请同学们根据我们刚才分析等 差数列的特征,尝试着给等差数列下

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个定义: 等差数列:一般地,如果一个数列 从第 2 项起,每一项与它的前一项的 差等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差 通常用字母 d 表示。那么对于以上两 组等差数列, 它们的公差依次是 5,5, -2.5。 提问: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,

阅读水平和 思维概括能 力,学会抓重 点。

由学生回答:因为 a,A,b 让 学 生 参 与

使 a ,A, b 成等差数列数列,那么 A 组成了一个等差数列,那么由 到 知 识 的 形 应满足什么条件? 定义可以知道:A-a=b-A 所以就有 A ? 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可
a?b 2

成过程中,获 得数学学习 的成就感。

深入探究,得到更一般化的 引 领 学 习 更 深入的探究, 提高学生的 学习水平。

以看成最简单的等差数列,这时, A 结论 叫做 a 与 b 的等差中项。 不难发现,在一个等差数列中,从 第 2 项起,每一项(有穷数列的末项 除外)都是它的前一项与后一项的等 差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13? 中 5 是 3 和 7 的等差中项, 1 和 9 的等 差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等 差中项。 看来,

a2 ? a4 ? a1 ? a5 , a4 ? a6 ? a3 ? a7
从而可得在一等差数列中, 若 m+n=p+q

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am ? an ? a p ? aq
由学生经过分析写出通项公 学 会 发 现 规 律,并加以总

[等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列,我们能不能 式:

用通项公式将它们表示出来呢?这是 ①这个数列的第一项是 5,第 2 结。 我们接下来要学习的内容。 项是 10(=5+5) ,第 3 项是 15

⑴、我们是通过研究数列 {an } 的第 n ( =5+5+5 ) , 第 4 项 是 20 ,??由此可以猜 项与序号 n 之间的关系去写出数列的 (=5+5+5+5) 通项公式的。下面由同学们根据通项 想得到这个数列的通项公式是 公式的定义,写出这三组等差数列的 通项公式。

an ? 5n
② 这个数列的第一项是 18, 第 2 项是 15.5(=18-2.5) ,第 3 项是 13 ( =18-2.5× 2 ) ,第 4 项是 10.5(=18-2.5×3) ,第 5

总结 提高

项是 8(=18-2.5×4) ,第 6 项 是 5.5 (=18-2.5×5)由此可以 猜想得到这个数列的通项公式 是 an ? 18 ? 2.5(n ? 1) ⑵、那么,如果任意给了一个等差数 引导学生根据等差数列的定 引 导 学 生 进 行理性分析 与推导,从而 得出公式。

列的首项 a1 和公差 d, 它的通项公式是 义进行归纳: 什么呢?
? a2 ? a1 ? d , ?a ? a ? d , ? (n ? 1)个等式 ? 3 2 ? a4 ? a3 ? d , ? ??

所以

a2 ? a1 ? d ,

a3 ? a 2 ? d , a 4 ? a3 ? d ,
?? 总结 提高 思考:那么通项公式到底如何表达 呢?
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a2 ? a1 ? d ,

进一步的分

a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a ? 2d ,析。

a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a ? 3d , ??

得出通项公式:由此我们可以猜想得 思考,并发表各自的意见。 出:以 a1 为首项,d 为公差的等差数 列 {an } 的通项公式为

让学生有自 主思考的时 空。

an ? a1 ? (n ? 1)d
也就是说,只要我们知道了等差数 列的首项 a1 和公差 d, 那么这个等差数 列的通项 an 就可以表示出来了。

例 1、⑴求等差数列 8,5,2,?的第 让两个学生分别对这两小题加 让 学 生 参 与 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5,-9, -13,?的项?如果是,是第几项? 分析: 解: ⑴由 a1 =8, d=5-8=-3, n=20, 以分析。 课堂。

⑴要求出第 20 项,可以利用通项公式 得 a20 ? 8 ? (21? 1) ? (?3) ? ?49 求出来。首项知道了,还需要知道的 应用 巩固 ⑵由 a1 =-5, d=-9(-5) =-4,

是该等差数列的公差,由公差的定义 得 这 个 数 列 的 通 项 公 式 为 可以求出公差 a ? ?5 ? 4(n ? 1) ? ?4n ? 1, 由
n

⑵这个问题可以看成是上面那个问题 的一个逆问题。要判断这个数是不是 数列中的项,就是要看它是否满足该 数列的通项公式,并且需要注意的是, 项数是否有意义。

题意知,本题是要回答是否存 在正整数 n,使得-401=-4n-1 成 立。 解这个关于 n 的方程,得 n=100, 即-401 是这个数列的第 100 项。

例题评述:从该例题中可以看出,等 聆听教师点评
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通过教师点

差数列的通项公式其实就是一个关于

评,提高学生 对关键问题 的认知水平。

an 、 a1 、d、n(独立的量有 3 个)的
方程;另外,要懂得利用通项公式来 判断所给的数是不是数列中的项,当 判断是第几项的项数时还应看求出的 项数是否为正整数,如果不是正整数, 那么它就不是数列中的项。 随堂练习:课本 45 页“练习”第 完成练习 1 题; s m

讲练结合,有 利提高学生 的知识应用 水平

例 2.在南北朝时,在 466~484 年,张邱建写了一部算径,即《张邱 三步 建算经》 ,在这本算经中,张邱建对等 差数列的研究有一定的贡献,例如算

解:按照题意,解法应分

学以致用,将 所学知识应

第一步求公差 d 用现代符号,记后入人数

用到具体生 活中去,加深 对概念的理

经中有一道题 " 今有十等人,每等一 为 n1 ,后得金数为 s1 先入人数

人,宫赐金以等次差降之,上三人先 为 n3 先得金数为 sm ,则算经中 解。 入,得金四斤,持出,下四人后入得 的解法为 d=[ ( s m / n3 ) - ( s1 / 金三斤,持出,中间三人未到者,亦 依等次更给,问各得金几何,及未到 三人复应得金几何"。

n1 )]/[n-( n3 + n1 )/2]=( n1
/ { [n-( n3 + n1 )/2] s m - n3 s1 )

n1 n3 },若记未列人数为 n2 ,
则 d=( n1 s m - n3 s1 )/

算经中的解法:

[ n2 +( n1 + n3 )/2] n1 n3 本题:

"以先入人数分所持金数为上率, 解得 d=7/78,现用现代计算公 以后入人数分别持金数为下率,二率 相减,余为差实,并先后人数而半之, 以减凡人数,余为差法,实如法而一, 得差数"。 差 d 由: a8 + a9 + a10 =4 即:3 a1 +24d =4 解得 d=7/78

a1 + a2 ? a3 ? a4 =3

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4 a1 +6d =3 所以算经中的解法是正确的。 第二步,把后入四人每人 所得金数视为一等差数列,求 每人的金数,这相当于已知 d, n, 求 a1 , 即 a1 = { sn -[n(n sn , -1)/2]d}/n。 第三步,把十人各得金数 视为一等差数列,求每人的金 数, 相当于已知 a1 , d, n, 求 an , 即 an = a1 +(n-1)d,以上都 是我国古代数学家张邱建提出 的问题及解法。 例题评述:这是等差数列用于解决实 聆听教师点评 际问题的一个简单应用,要学会从实 际问题中抽象出等差数列模型,用等 差数列的知识解决实际问题。 通过教师点 评,提高学生 对关键问题 的认知水平。

引导学生动手画图研究完成以下探 学生动手画图,并进行学习小 通 过 学 生 动 究: ⑴在直角坐标系中,画出通项公式为 这个图象有 an ? 3n ? 5 的数列的图象。 什么特点? 探索 研究 ⑵在同一个直角坐标系中,画出函数 y=3x-5 的图象,你发现了什么?据此 说一说等差数列 an ? pn ? q 与一次函 数 y=px+q 的图象之间有什么关系。 分析:⑴n 为正整数,当 n 取 1,2, 3,??时,对应的 an 可以利用通项公 式求出。经过描点知道该图象是均匀
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组讨论,发表见解。

手作图,并加 以对比,让学 生体会数列 与函数的内 在关系。

分布的一群孤立点; 本节主要内容为: 以学习小组为单位,在学习小 学 生 自 己 小

①等差数列定义:即 an ? an?1 ? d (n≥ 组中,各自归纳自己对这堂课 结,使学生对 课堂 小结 2) 的收获,后由小组代表总结归 自 己 所 学 知 识有更深刻 的认识。

② 等 差 数 列 通 项 公 式 : 纳。

an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1)
推导出公式: an ? am ? (n ? m)d 1、已知 {an } 是等差数列. ⑴ 2a5 ? a3 ? a7 是否成立?

作业是课堂 的延续,除了 检验学生对 本节课知识 的理解程度, 还在于引导 学生对本课 知识的进一 步探究思考。

2a5 ? a1 ? a9 呢?为什么?
⑵ 2an ? an?1 ? an? 是否成立?据 ( ) 1 n?1 评价 设计 此你能得出什么结论? 是否成立?据 2an ? an?k ? an?( ) k n?1 此你又能得出什么结论? 2、已知等差数列 {an } 的公差为 d.求 证:
am ? a n ?d m?n

七、教学反思
本节课通过生活中一系列的实例让学生观察,从而得出等差数列的概念,并 在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式,培养了学生观察、分析、归纳、 推理的能力。充分体现了学生做数学的过程,使学生对等差数列有了从感性到理 性的认识过程。

八、板书设计
§2.2 等差数列 1、定义 板书设计 2、数学表达式 3、等差数列的通项公式 例 1(略) 例 2(略) 练习:

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