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2015届高考数学(理)二轮专题配套练习:专题三 第1讲 三角函数的图象与性质


第1讲

三角函数的图象与性质

考情解读 1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数 式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考的 必考点.

1.三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,

y),则 sin α=y,cos α=x, y tan α= .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. x sin α (2)同角关系:sin2α+cos2α=1, =tan α. cos α kπ (3)诱导公式:在 +α,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”. 2 2.三角函数的图象及常用性质 函数 图象 π π 在[- +2kπ, +2kπ](k∈Z) 2 2 单调性 π 3π 上单调递增;在[ +2kπ, 2 2 +2kπ](k∈Z)上单调递减 对称中心:(kπ,0)(k∈Z); 对称性 π 对称轴:x= +kπ(k∈Z) 2 y=sin x y=cos x y=tan x

在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z) 上单调递增;在[2kπ,π+ 2kπ](k∈Z)上单调递减 π 对称中心:( +kπ, 2 0)(k∈Z); 对称轴:x=kπ(k∈Z)

π π 在(- +kπ, +kπ)(k∈Z) 2 2 上单调递增

对称中心: kπ ( ,0)(k∈Z) 2

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3.三角函数的两种常见变换 (1)y=sin x― — — — — — — — — ― → 平移|φ|个单位
向左?φ>0?或向右?φ<0?

y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ)― — — — — — — — ― → 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
纵坐标变为原来的A倍

(2)y=sin x
φ— y=sin ωx― — — — — — — ― → 平移| |个单位 ω 向左?φ>0?或向右?φ<0?

y=sin(ωx+φ)― — — — — — — — ― → 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).

纵坐标变为原来的A倍

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系 2π 例 1 (1)点 P 从(1,0)出发, 沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点, 则 Q 点的坐 3 标为( ) B.(- D.(- 3 1 ,- ) 2 2 3 1 , ) 2 2

1 3 A.(- , ) 2 2 1 3 C.(- ,- ) 2 2

(2) 已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边上一点 P( - 4,3) ,则 π cos? +α?sin?-π-α? 2 的值为________. 11π 9π cos? -α?sin? +α? 2 2 思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义.(2)利用三角函数定义和诱导公式. 3 答案 (1)A (2)- 4 解析 (1)设 Q 点的坐标为(x,y), 2π 1 2π 3 则 x=cos =- ,y=sin = . 3 2 3 2 1 3 ∴Q 点的坐标为(- , ). 2 2

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-sin α· sin α (2)原式= =tan α. -sin α· cos α 根据三角函数的定义, y 3 得 tan α= =- , x 4 3 ∴原式=- . 4 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角函 数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关. (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程 要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. (1)如图,以 Ox 为始边作角 α(0<α<π),终边与单位圆相交于 3 4? sin 2α+cos 2α+1 点 P,已知点 P 的坐标为? =________. ?-5,5?,则 1+tan α 3π 3π? (2)已知点 P? ?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值 为( )

π 3π 5π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4 18 答案 (1) (2)D 25 解析 (1)由三角函数定义, 3 4 得 cos α=- ,sin α= , 5 5 2sin αcos α+2cos2α 2cos α?sin α+cos α? ∴原式= = sin α sin α+cos α 1+ cos α cos α 3?2 18 =2cos2α=2×? ?-5? =25. cos (2)tan θ= sin 又 sin 3 π π -cos 4 4 = =-1, 3 π π sin 4 4

3π 3π >0,cos <0, 4 4

7π 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π),所以 θ= . 4 热点二 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及解析式 π 例 2 (1)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则将 y=f(x)的图象向 2

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π 右平移 个单位后,得到的图象解析式为( 6

)

A.y=sin 2x 2π C.y=sin(2x+ ) 3

B.y=cos 2x π D.y=sin(2x- ) 6

π (2)若函数 y=cos 2x+ 3sin 2x+a 在[0, ]上有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为 2 ________. π 思维启迪 (1)先根据图象确定函数 f(x)的解析式,再将得到的 f(x)中的“x”换成“x- ”即 6 可. (2)将零点个数转换成函数图象的交点个数. 答案 (1)D (2)(-2,-1] 3T 11π π 2π 解析 (1)由图知,A=1, = - ,故 T=π= , 4 12 6 ω π 所以 ω=2,又函数图象过点( ,1),代入解析式中, 6 π π π 得 sin( +φ)=1,又|φ|< ,故 φ= . 3 2 6 π π 则 f(x)=sin(2x+ )向右平移 后, 6 6 π π π 得到 y=sin[2(x- )+ )=sin(2x- ),选 D. 6 6 6 π (2)由题意可知 y=2sin(2x+ )+a, 6 π π π 该函数在[0, ]上有两个不同的零点, 即 y=-a, y=2sin(2x+ )在[0, ]上有两个不同的交点. 2 6 2

结合函数的图象可知 1≤-a<2,所以-2<a≤-1. 思维升华 (1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法, 由图中的最高点、最低点或特殊点求 A;由函数的周期确定 ω;确定 φ 常根据“五点法”中的 五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变
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量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. π (1)如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,|φ|≤ )与坐标轴的三个交点 P、 2 π Q、R 满足 P(2,0),∠PQR= ,M 为 QR 的中点,PM=2 5,则 A 的值为( 4 )

8 A. 3 3 C.8

16 B. 3 3 D.16

π π π (2)若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+ )的图象 4 6 6 重合,则 ω 的最小正值为( 1 A. 6 1 C. 3 答案 (1)B (2)D 解析 (1)由题意设 Q(a,0),R(0,-a)(a>0). a a 则 M( ,- ),由两点间距离公式得, 2 2 PM= a a T π ?2- ?2+? ?2=2 5,解得 a=8,由此得, =8-2=6,即 T=12,故 ω= , 2 2 2 6 ) 1 B. 4 1 D. 2

π 由 P(2,0)得 φ=- ,代入 f(x)=Asin(ωx+φ)得, 3 π π f(x)=Asin( x- ), 6 3 π 从而 f(0)=Asin(- )=-8, 3 16 得 A= 3. 3 π π π ωπ π (2)y=tan(ωx+ )的图象向右平移 ,得到 y=tan(ωx+ - )的图象,与 y=tan(ωx+ )重合, 4 6 4 6 6 π ωπ π 1 得 - =kπ+ ,故 ω=-6k+ ,k∈Z, 4 6 6 2

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1 ∴ω 的最小正值为 . 2 热点三 三角函数的性质 例 3 设函数 f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y=f(x)(x∈R)的对称轴方程. 6 思维启迪 先化简函数解析式,然后研究函数性质(可结合函数简图). π 解 (1)f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a= 2sin(2x+ )+1+a, 4 2π 则 f(x)的最小正周期 T= =π, 2 π π π 3 π 且当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)时 f(x)单调递增,即 kπ- π≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 4 2 8 8 3π π 所以[kπ- ,kπ+ ](k∈Z)为 f(x)的单调递增区间. 8 8 π π π 7π (2)当 x∈[0, ]时? ≤2x+ ≤ , 6 4 4 12 π π π π 当 2x+ = ,即 x= 时 sin(2x+ )=1. 4 2 8 4 所以 f(x)max= 2+1+a=2?a=1- 2. π π kπ π 由 2x+ =kπ+ 得 x= + (k∈Z), 4 2 2 8 kπ π 故 y=f(x)的对称轴方程为 x= + ,k∈Z. 2 8 思维升华 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路 第一步: 先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式; 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ωx+φ)+B 的单调性及奇 偶性、最值、对称性等问题. 已知函数 f(x)=2sin ωxcos ωx+2 3sin2ωx- 3(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求函数 f(x)的单调增区间; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图 6 象;若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 解 (1)由题意得:f(x)=2sin ωxcos ωx+2 3sin2ωx- 3 π =sin 2ωx- 3cos 2ωx=2sin(2ωx- ), 3 π 由周期为 π,得 ω=1,得 f(x)=2sin(2x- ), 3

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π π π 函数的单调增区间为 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 整理得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 12 12 π 5π 所以函数 f(x)的单调增区间是[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 12 12 π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到 y=2sin 2x+1 的 6 图象, 所以 g(x)=2sin 2x+1, 7π 11π 令 g(x)=0,得 x=kπ+ 或 x=kπ+ (k∈Z), 12 12 所以在[0,π]上恰好有两个零点, 若 y=g(x)在[0, b]上有 10 个零点, 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可, 即 b 的最小值为 4π + 11π 59π = . 12 12

1.求函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ),或 y=Atan(ωx+φ))的单调区间 (1)将 ω 化为正. (2)将 ωx+φ 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 2.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式 ymax-ymin (1)A= , 2 ymax+ymin B= . 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= . T (3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求 φ. 3.函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点. 4.求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,进而结合三角函数的性质求解. (2)将三角函数式化为关于 sin x,cos x 的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求解. 5.特别提醒 进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.

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真题感悟 π π 1. (2014· 辽宁)将函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度, 所得图象对应的函数( 3 2 π 7π A.在区间[ , ]上单调递减 12 12 π 7π B.在区间[ , ]上单调递增 12 12 π π C.在区间[- , ]上单调递减 6 3 π π D.在区间[- , ]上单调递增 6 3 答案 B π π π π 2 解析 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度得到 y=3sin[2(x- )+ ]=3sin(2x- π). 3 2 2 3 3 π 2 π π 7 2 令 2kπ- ≤2x- π≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ+ ≤x≤kπ+ π,k∈Z,则 y=3sin(2x- π)的增 2 3 2 12 12 3 π 7 区间为[kπ+ ,kπ+ π],k∈Z. 12 12 π 7 令 k=0 得其中一个增区间为[ , π],故 B 正确. 12 12 2 π π 画出 y=3sin(2x- π)在[- , ]上的简图,如图, 3 6 3 2 π π 可知 y=3sin(2x- π)在[- , ]上不具有单调性, 3 6 3 故 C,D 错误. π π? 2.(2014· 北京)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间? ?6,2?上 π? ?2π? ?π? 具有单调性,且 f? ?2?=f? 3 ?=-f?6?,则 f(x)的最小正周期为________. 答案 π π π? 解析 ∵f(x)在? ?6,2?上具有单调性, T π π ∴ ≥ - , 2 2 6 2π ∴T≥ . 3 π? ?2π? ∵f? ?2?=f? 3 ?, π 2π + 2 3 7π ∴f(x)的一条对称轴为 x= = . 2 12 π? ?π?, 又∵f? =- f 2 ? ? ?6?
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)

π π + 2 6 π ∴f(x)的一个对称中心的横坐标为 = . 2 3 1 7π π π ∴ T= - = ,∴T=π. 4 12 3 4 押题精练 1.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,其中 M(m,0),N(n,2),P(π,0),且 mn<0, 则 f(x)在下列哪个区间中是单调的( )

π A.(0, ) 4 π 3π C.( , ) 2 4 答案 B

π 2π B.( , ) 4 3 2π D.( ,π) 3

解析 ∵mn<0,所以当左右移动图象,当图象过原点时,即 M 点在原点时,此时 T=π,则 ω π 3π π =2,∴f(x)=2sin(2x),在( , )上为减函数,(0, )上为增函数;当图象的最高点在 y 轴上时, 4 4 4 3 3 3 2π 2π 即 N 点在 y 轴上, T=π, ω= , ∴f(x)=2sin( x), 在(0, )上是减函数, ( , π)上为增函数. 所 4 2 2 3 3 π 2π 以 f(x)在( , )上是单调的. 4 3 2.已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos2ωx- π 意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 8 π 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间[0, ]上有且 2 只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 1+cos 2ωx 1 3 解 (1)f(x)= sin 2ωx+ 3× - 2 2 2 1 3 π = sin 2ωx+ cos 2ωx=sin(2ωx+ ), 2 2 3 π π 由题意知,最小正周期 T=2× = , 4 2 π 2π π π 4x+ ?. T= = = ,所以 ω=2,∴f(x)=sin? 3? ? 2ω ω 2 3 (ω>0),直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的任 2

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π π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到 y=sin(4x- )的图象, 8 6 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, π 得到 y=sin(2x- )的图象. 6 π 所以 g(x)=sin(2x- ). 6 π π π 5π 令 2x- =t,∵0≤x≤ ,∴- ≤t≤ . 6 2 6 6 π g(x)+k=0 在区间[0, ]上有且只有一个实数解, 2 π 5π 即函数 g(t)=sin t 与 y=-k 在区间[- , ]上有且只有一个交点.如 6 6 图, 1 1 由正弦函数的图象可知- ≤-k< 或-k=1. 2 2 1 1 ∴- <k≤ 或 k=-1. 2 2

(推荐时间:50 分钟) 一、选择题 1.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设 秒针针尖位置 P(x,y).若初始位置为 P0? 3 1? ,当秒针从 P0(此时 t= 2 ? ,2? )

0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( π π t+ ? A.y=sin? ?30 6? π π - t- ? B.y=sin? ? 60 6? π π - t+ ? C.y=sin? ? 30 6? π π - t- ? D.y=sin? ? 30 3? 答案 C

π π 解析 由三角函数的定义可知,初始位置点 P0 的弧度为 ,由于秒针每秒转过的弧度为- , 6 30 针尖位置 P 到坐标原点的距离为 1,故点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系可能为 y= π π? sin? ?-30t+6?.
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2.(2014· 四川)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点 ( ) 1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 答案 A 1 1 解析 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到函数 y=sin 2(x+ )的图象, 即函数 y=sin(2x 2 2 +1)的图象. π π 2π 3.函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0 且|φ|< )在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 减小到-1,那 2 6 3 么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为( 1 A. 2 C. 3 2 B. D. 2 2 6+ 2 4 )

答案 A T 2π π 2π π π 解析 依题意知 = - ,∴T=π= ,∴ω=2,将点( ,1)代入 y=sin(2x+φ)得 sin( +φ) 2 3 6 ω 6 3 π π π 1 =1,又|φ|< ,φ= ,故 y=sin(2x+ ),与 y 轴交点纵坐标为 . 2 6 6 2 π 4.若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象如图所示, 2 → → M, N 分别是这段图象的最高点与最低点, 且OM· ON=0, 则 A· ω 等于( π 7π A. B. 6 12 答案 C T π π 解析 由题中图象知 = - , 4 3 12 所以 T=π,所以 ω=2. π ? ?7π ? 则 M? ?12,A?,N?12,-A? 7π2 → → 由OM· ON=0,得 2=A2, 12 所以 A= 7π 7π ,所以 A· ω= . 12 6 C. 7π 7π D. 6 3 )

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π π 5.已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中|φ|<π,若 f(x)≤|f( )|对 x∈R 恒成立,且 f( )<f(π),则下列 6 2 结论正确的是( 11 A.f( π)=-1 12 7π π B.f( )>f( ) 10 5 C.f(x)是奇函数 π π D.f(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 答案 D π π π π π 解析 由 f(x)≤|f( )|恒成立知 x= 是函数的对称轴, 即 2× +φ= +kπ, k∈Z, 所以 φ= +kπ, 6 6 6 2 6 π π k∈Z,又 f( )<f(π),所以 sin(π+φ)<sin(2π+φ),即-sin φ<sin φ.所以 sin φ>0,得 φ= ,即 f(x) 2 6 π =sin(2x+ ), 6 π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π π 得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 3 6 π π 即函数的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 π 6.已知 A,B,C,D,E 是函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )一个周期内的图象上的五个点,如 2 π 图所示,A(- ,0),B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心, 6 π → B 与 D 关于点 E 对称,CD在 x 轴上的投影为 ,则 ω,φ 的值为( 12 ) )

π A.ω=2,φ= 3 1 π C.ω= ,φ= 2 3 答案 A

π B.ω=2,φ= 6 1 π D.ω= ,φ= 2 6

π 解析 因为 A,B,C,D,E 是函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )一个周期内的图象上的五个点, 2 π A(- ,0),B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与 D 6
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π π π → 关于点 E 对称,CD在 x 轴上的投影为 ,所以 T=4×( + )=π,所以 ω=2, 12 12 6 π π π π π 因为 A(- ,0),所以 f(- )=sin(- +φ)=0,0<φ< ,φ= . 6 6 3 2 3 二、填空题 π 7.(2014· 安徽)若将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 4 则 φ 的最小正值是________. 答案 3π 8

π π π 解析 ∵函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位得到 g(x)=sin[2(x-φ)+ ]=sin(2x+ 4 4 4 -2φ), π π 又∵g(x)是偶函数,∴ -2φ=kπ+ (k∈Z). 4 2 kπ π ∴φ=- - (k∈Z). 2 8 3π 当 k=-1 时,φ 取得最小正值 . 8 π π π 8.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示, 若 x1, x2∈(- , ),且 f(x1) 2 6 3 =f(x2),则 f(x1+x2)=________.

答案

3 2

解析 观察图象可知,A=1,T=π,∴ω=2, f(x)=sin(2x+φ). π π π π 将(- ,0)代入上式得 sin(- +φ)=0,由已知得 φ= ,故 f(x)=sin(2x+ ). 6 3 3 3 π π - + 6 3 π 函数图象的对称轴为 x= = . 2 12 π π 又 x1,x2∈(- , ),且 f(x1)=f(x2), 6 3 π π π π 3 ∴f(x1+x2)=f(2× )=f( )=sin(2× + )= . 12 6 6 3 2 π 9. 已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同, 若 x∈[0, 6

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π ],则 f(x)的取值范围是________. 2 3 答案 [- ,3] 2 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故 ω=2,所以 f(x) π π π π 5π =3sin(2x- ),那么当 x∈[0, ]时,- ≤2x- ≤ , 6 2 6 6 6 1 π 3 所以- ≤sin(2x- )≤1,故 f(x)∈[- ,3]. 2 6 2 π π 10.给出命题:①函数 y=2sin( -x)-cos( +x)(x∈R)的最小值等于-1;②函数 y= 3 6 π π sin πxcos πx 是最小正周期为 2 的奇函数;③函数 y=sin(x+ )在区间[0, ]上单调递增的; 4 2 ④若 sin 2α<0,cos α-sin α<0,则 α 一定为第二象限角.则真命题的序号是________. 答案 ①④ π π 解析 对于①,函数 y=2sin( -x)-cos( +x) 3 6 π =sin( -x),所以其最小值为-1; 3 1 对于②,函数 y=sin πxcos πx= sin 2πx 是奇函数,但其最小正周期为 1; 2 π π π π 对于③,函数 y=sin(x+ )在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减; 4 4 4 2
?sin 2α<0 ? 对于④,由? ?cos α<0,sin α>0,所以 α 一定为第二象限角. ?cos α-sin α<0 ?

三、解答题 π 11.已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在 x= 时取得最大值 4. 12 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; 2 π 12 (3)若 f( α+ )= ,求 sin α. 3 12 5 解 (1)f(x)的最小正周期 T= 2π . 3

(2)由函数的最大值为 4,可得 A=4. 所以 f(x)=4sin(3x+φ). π π 当 x= 时,4sin(3× +φ)=4, 12 12 π 所以 sin( +φ)=1, 4

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π 所以 φ=2kπ+ ,k∈Z, 4 π 因为 0<φ<π,所以 φ= . 4 π 所以 f(x)的解析式是 f(x)=4sin(3x+ ). 4 2 π 12 (3)因为 f( α+ )= , 3 12 5 π π 3 故 sin(2α+ + )= . 4 4 5 3 3 所以 cos 2α= ,即 1-2sin2α= , 5 5 1 5 故 sin2α= .所以 sin α=± . 5 5 12.设函数 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其 1 中 ω,λ 为常数,且 ω∈( ,1). 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π (2)若 y=f(x)的图象经过点( ,0),求函数 f(x)在 x∈[0, ]上的值域. 4 2 解 (1)因为 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx+λ=-cos 2ωx+ 3sin 2ωx+λ=2sin(2ωx π - )+λ, 6 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 π sin(2ωπ- )=± 1, 6 π π 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z), 6 2 k 1 即 ω= + (k∈Z). 2 3 1 5 又 ω∈( ,1),k∈Z,所以 k=1,故 ω= . 2 6 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 π π (2)由 y=f(x)的图象过点( ,0),得 f( )=0, 4 4 5 π π π 即 λ=-2sin( × - )=-2sin =- 2, 6 2 6 4 即 λ=- 2. 5 π 故 f(x)=2sin( x- )- 2, 3 6

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π 5 π π 2π ∵x∈[0, ],∴ x- ∈[- , ], 2 3 6 6 3 ∴函数 f(x)的值域为[-1- 2,2- 2].

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