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辽宁省沈阳市东北育才学校2016届高三上学期第三次模拟数学试卷(文科)(解析版).doc

时间:2017-04-10


2015-2016 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三(上)第三次模拟数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.设 U 为全集,对集合 X,Y,定义运算“*”,X*Y=(X∩Y) .对于任意集合 X,Y,Z, 则( X*Y )*Z=( A. (

X∪Y)∩Z ) B. (X∩Y)∩Z C. (X∪Y)∩Z D. (X∩Y)∪Z

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】利用 X*Y=(X∩Y) ,得到( X*Y )*Z=(X∩Y)∩Z. 【解答】解:∵X*Y=(X∩Y) . ∴对于任意集合 X,Y,Z,则( X*Y )*Z=(X∩Y)∩Z. 故选 B.

2.设命题 p:“若对任意 x∈R,|x+1|+|x﹣2|>a,则 a<3”;命题 q:“设 M 为平面内任意一 点,则 A、B、C 三点共线的充要条件是存在角 α,使 ( ) B.p∨q 为假命题 C.¬p∧q 为假命题 D.¬p∨q 为真命题 ”,则

A.p∧¬q 为真命题

【考点】复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】因为|x+1|+|x﹣2|表示 x 到﹣1 与 2 的距离,所以|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3,判定出 命题 p 为真命题, 根据三点共线的充要条件判定出命题 q 为真命题. 根据复合命题的真假与 构成其简单命题的真假的关系得到¬p∧q 为假命题, 【解答】解:因为|x+1|+|x﹣2|表示 x 到﹣1 与 2 的距离, 所以,|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3, 所以对任意 x∈R,|x+1|+|x﹣2|>a, 只需要 3>a 即 a<3, 所以命题 p 为真命题, 所以¬p 为假命题, 因为 ,

所以

=

=

所以 A、B、C 三点共线, 反之,A、B、C 三点共线, 所以存在 λ,μ 使得
2 2 所以存在 α 使得 λ=sin α,μ=cos α

其中 λ+μ=1

所以存在角 α,使 所以命题 q 为真命题, 所以¬p∧q 为假命题, 故选 C.

”,

3.函数 y=f(x)的图象为 C,而 C 关于直线 x=1 的对称图象为 C1,将 C1 向左平移一个单 位后得到 C2,则 C2 所对应的函数为( A.y=f(﹣x) B.y=f(1﹣x) ) C.y=f(2﹣x) D.y=f(3﹣x)

【考点】奇偶函数图象的对称性. 【分析】利用对称变换,由“关于 x=1 对称”得到 C1;根据平移变换“将 C1 向左平移一个单 位后得到 C2”根据左加右减, 得到到 C2. 【解答】解:函数 y=f(x)的图象为 C,而 C 关于直线 x=1 的对称图象为 C1:y=f(2﹣x) ; 将 C1:y=f(2﹣x)向左平移一个单位后得到 C2,则 C2:y=f(2﹣(x+1) )=f(1﹣x) . 故选 B.

4.已知点 A、O、B 为平面内不共线的三点,若 Ai(i=1,2,3,…,n)是该平面内的任 一点,且有 ? = ? ,则点 Ai(i=1,2,3,…,n)在( B.过 A 点的直线上 )

A.过 A 点的抛物线上

C.过 A 点的圆心的圆上 D.过 A 点的椭圆上 【考点】向量的物理背景与概念. 【分析】根据题意,得出 【解答】解:根据题意,得 ⊥ ,即得出点 Ai(i=1,2,3,…,n)在过 A 点的直线上.

有 ∴( ? ∴

?

= ﹣ =0,

? )?

, =0;





∴点 Ai(i=1,2,3,…,n)在过 A 点的直线上. 故选:B.

5.关于函数 y=tan(2x﹣ A.是奇函数 C. (

) ,下列说法正确的是( B.在区间(0,



)上单调递减 D.最小正周期为 π

,0)为图象的一个对称中心

【考点】正切函数的图象. 【分析】利用正切函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性对 A、B、C、D 逐项分析即可. 【解答】解:A,令 f(x)=tan(2x﹣ 则 f(﹣x)=tan(﹣2x﹣ ∴函数 y=tan(2x﹣ B,由 kπ﹣ ∴y=tan(2x﹣ 故 B 错误; C,∵f( )=tan0=0,故( ,0)为图象的一个对称中心,即 C 正确; ,故 D 错误; <2x﹣ )在( ) , )≠﹣tan(2x﹣ )=﹣f(x) ,

)=﹣tan(2x+

)不是奇函数,A 错误; < +kπ(k∈Z)得: ﹣ , + ﹣ <x< + ,k∈Z.

) (k∈Z)上单调递增,无单调递减区间,

D,∵y=tan(2x﹣

)的周期 T=

综上所述,说法正确的是 C. 故选:C.

6.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设



,则

?

=(



A.﹣

B.

C.﹣

D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量加法及条件便有: , ,由条件可得到

三向量的长度及其夹角,从而进行数量积的运算即可. 【解答】解:如图,根据条件: = = 故选 A. = = .

7.已知函数 f(x)=(cos2xcosx+sin2xsinx)sinx,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为



的偶函数

【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性. 【分析】先对函数化简可得 f(x)=(cos2xcosx+sin2xsinx) sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x= 关系即可判断奇偶性
2 【解答】解:∵f(x)=(cos2xcosx+sin2xsinx)sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin x

,由周期公式可求 T,再检验 f(﹣x)与 f(x)的

= sin2xcos2x+ = = +

由周期公式可得 T=π,且 f(﹣x)= sin(﹣2x)=﹣ sin2x,即函数 f(x)为奇函数 故选 A

8.在等差数列 an 中,a1=﹣2008,其前 n 项的和为 Sn,若 等于( A.﹣2007 ) B.﹣2008 C.2007

,则 S2008 的值

D.2008

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】根据等差数列的前 n 项和的公式分别求出 S2007 和 S2005 的值,将其值代入到 中即可求出公差 d,然后根据首项为﹣2008,公差为 2 算出 S2008 的值即 可. 【解答】解:因为 S2007=2007×(﹣2008)+ + 则 + d, = d]=2, [2007×(﹣2008)+ d]﹣ [2005×(﹣2008) d,S2005=2005×(﹣2008)

化简可得 d=2, 则 S2008=2008×(﹣2008)+ 故选 B ×2=2008×(﹣2008+2007)=﹣2008.

2 9. y>0, 已知 x>0, 且 + =1, 若 x+2y>m ﹣2m 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 (



A. (2,4)

B. (1,2)

C. (﹣2,1)

D. (﹣2,4)

【考点】基本不等式在最值问题中的应用;函数恒成立问题. 【分析】先把 x+2y 转化为(x+2y) ( + )展开后利用基本不等式求得其最小值,然后根
2 2 据 x+2y>m ﹣2m 求得 m ﹣2m<8,进而求得 m 的范围.

【解答】解:∵ + =1,x,y>0, ∴x+2y=(x+2y) ( + )=4+
2 ∵x+2y>m +2m 恒成立,

+ ≥4+2

=8,

2 ∴m ﹣2m<8,

求得﹣2<m<4, 故选:D.

10.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足如下条件:①函数 f(x)的图象关于 y 轴对称;② 对于任意 x∈R,f(2+x)﹣f(2﹣x)=0;③当 x∈[0,2]时,f(x)=x.若过点(﹣1,0) 的直线 l 与函数 y=f(x)的图象在 x∈[0,16]上恰有 8 个交点,在直线 l 斜率 k 的取值范围 是( A. ( ) , ) B. (0, ) C. (0, ) D. (0, )

【考点】直线的斜率. 【分析】由①可知:函数 f(x)为偶函数;由②可知:函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对 称;由于③当 x∈[0,2]时,f(x)=x.画出图象:当经过点(18,2)时,kl= 当经过点(4,2)时,kl= 交点,即可得出. 【解答】解:①函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,为偶函数;②对于任意 x∈R,f(2+x) ﹣f(2﹣x)=0,其图象关于直线 x=2 对称;③当 x∈[0,2]时,f(x)=x. 画出图象: 当经过点(18,2)时,kl= 当经过点(4,2)时,kl= ; . ;

.根据直线 l 与函数 y=f(x)的图象在 x∈[0,16]上恰有 8 个

∵直线 l 与函数 y=f(x)的图象在 x∈[0,16]上恰有 8 个交点, ∴直线 l 斜率 k 的取值范围是 故选:A. .

11.已知动点 P(x,y)在椭圆 C: |=1 且 | ? =0,则 ) B.

+

=1 上,F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足|

|的最大值为(

A.

C .8

D.63

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】依题意知,该椭圆的焦点 F(3,0) ,点 M 在以 F(3,0)为圆心,1 为半径的圆 上,当 PF 最长时,切线长 PM 最大,作出图形,即可得到答案. 【解答】解:依题意知,点 M 在以 F(3,0)为圆心,1 为半径的圆上,PM 为圆的切线, ∴当 PF 最长时,切线长 PM 最大. 当点 P 与椭圆的左顶点(﹣5,0)时,|PF|最大,最大值为:5+3=8. 此时| |的最大值为 .

故选:B.

12.已知函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,若 f(x)满足: (x﹣1)[f′(x)﹣f
2﹣2x (x)]>0,f(2﹣x)=f(x)e ,则下列判断一定正确的是(



A.f(1)<f(0)

B.f(2)>ef(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0)

【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 【分析】由已知 f(2﹣x)=f(x)e
2﹣2x

,变形得

,因此考虑可构造函数 g

(x)=

,可得

.利用已知 f(x)满足: (x﹣1)[f′(x)﹣f

]>0, (x) 即可得出 f (x) 单调递减. 可得 g (﹣1) >g (0) . 即 用 f(2﹣x)=f(x)e
2﹣2x 4 1 4 3 ,可得 f(3)=f(﹣1)e >e﹣ f(0)?e =e f(0) .即可

. 利

【解答】解:令 g(x)=

,则



∵f(x)满足: (x﹣1)[f′(x)﹣f(x)]>0, ∴当 x<1 时,f′(x)﹣f(x)<0.∴g′(x)<0.此时函数 g(x)单调递减. ∴g(﹣1)>g(0) .即 .

2 2x 4 1 4 3 ∵f(2﹣x)=f(x)e ﹣ ,∴f(3)=f(﹣1)e >e﹣ f(0)?e =e f(0) .

故选 C.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知圆 O:x2+y2=4,直线 l 与圆 O 相交于点 P、Q,且 为 . ,则弦 PQ 的长度

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】利用向量的数量积运算,求出∠OPQ= ,即可求出弦 PQ 的长度.

【解答】解:由题意,2×2×cos∠OPQ=﹣2,∴cos∠OPQ=﹣ , ∴∠OPQ= , .

∴PQ=2×2×sin∠OPQ= 故答案为: .

14.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x+ ) ,f= ﹣2 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】首先,结合奇函数 f(x) ,得到 f(﹣x)=﹣f(x) ,然后,借助于 f(﹣x)=﹣f(x) =f(x+ ) ,以 x+ 代 x,得到该函数周期为 3 的周期函数,最后,借助于函数的周期性进 行求解. 【解答】解:∵奇函数 f(x) ,

∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(﹣x)=﹣f(x)=f(x+ ) , 以 x+ 代 x, ∴f(x+3)=f(x) ∴函数的周期为 3, ∴f=f(1)=2, ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2 故答案为:﹣2.

15.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 F1、F2,这两条曲线 在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线 的离心率分别为 e1、e2,则 e1?e2 的取值范围为 ( ,+∞) . 【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. |PF1|=m, |PF2|=n, n=2c, 【分析】 设椭圆和双曲线的半焦距为 c, (m>n) , 由条件可得 m=10, 再由椭圆和双曲线的定义可得 a1=5+c,a2=5﹣c, (c<5) ,运用三角形的三边关系求得 c 的 范围,再由离心率公式,计算即可得到所求范围. 【解答】解:设椭圆和双曲线的半焦距为 c,|PF1|=m,|PF2|=n, (m>n) , 由于△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10, 即有 m=10,n=2c, 由椭圆的定义可得 m+n=2a1, 由双曲线的定义可得 m﹣n=2a2, 即有 a1=5+c,a2=5﹣c, (c<5) , 再由三角形的两边之和大于第三边,可得 2c+2c>10, 可得 c> ,即有 <c<5.

由离心率公式可得 e1?e2=

?

=

=



由于 1<

<4,则有

> .

则 e1?e2 的取值范围为( ,+∞) . 故答案为: ( ,+∞) .

16.函数 f(x)的定义域为 D,若存在闭区间[a,b]? D,使得函数 f(x)满足:①f(x) 在[a,b]内是单调函数;②f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为 y=f(x) 的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 ①③ .
x ①f(x)=x2(x≥0) ;②f(x)=3 (x∈R) ;

③f(x)=

(x≥0) ;④f(x)=|x|(x∈R) .

【考点】函数的图象. 【分析】由题意,根据倍值区间的定义,验证四个函数是否存在倍值区间即可,先令 f(x) =2x,至少有两个不同的解,且在解构成的区间上单调即可.
2 【解答】解:①f(x)=x (x≥0)的倍值区间为[0,2],故正确;

②如图,

x 方程 3 =2x 没有解,

故 f(x)=3 (x∈R)没有倍值区间; ③f(x)= (x≥0)的倍值区间为[0,1],故正确;

x

④方程|x|=2x 仅有一个解 0; 故 f(x)=|x|(x∈R)没有倍值区间; 故答案为:①③.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=loga(x+2)+loga(4﹣x) , (0<a<1) . (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间[0,3]的最小值为﹣2,求实数 a 的值. 【考点】对数函数的图象与性质;函数的定义域及其求法;函数的最值及其几何意义;对数 的运算性质. 【分析】 (Ⅰ)只要使 x+2>0,4﹣x>0 同时成立即可; (Ⅱ)先把 f(x)化为 f(x)=loga(x+2) (4﹣x) (x∈[0,3]) ,再由二次函数性质及对数 函数的单调性可求出 f(x)的最小值,根据最小值为﹣2,列方程解出即可. 【解答】解: (Ⅰ)由 得﹣2<x<4∴f(x)的定义域为(﹣2,4) ;

(Ⅱ)f(x)=loga(x+2) (4﹣x) (x∈[0,3])
2 令 t=(x+2) (4﹣x)=﹣(x﹣1) +9

当 0≤x≤3, ∴5≤t≤9. 当 0<a<1 则 loga9≤logat≤loga5, ∴f(x)min=loga9=﹣2 又 0<a<1, ∴ 综上得 , . .

18.在△ABC 三角形 ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 =(cosB, cosC) , =(2a+c,b) ,且 ⊥ . (Ⅰ)求角 B 的大小及 y=sin2A+sin2C 的取值范围; (Ⅱ)若 b= ,a+c=4,求△ABC 的面积.

【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)根据两个向量垂直,利用向量积的运算和正弦定理求得 cosB 的值,进而求得 B. (Ⅱ)利用余弦定理求得 ac,进而利用三角形面积公式求得答案.

【解答】 (Ⅰ)∵ ⊥ , ∴cosB?(2a+c)+cosC?b=0 ∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosB=0, 整理得 cosB=﹣ , ∠B= , )cos( )=2sin(A+C)cos(A﹣C)=2sinBcos(A

∵y=sin2A+sin2C=2sin( ﹣C)= cos(A﹣C) , ﹣∠C< ,

∵0<∠A= ∴﹣

>∠C>0

<﹣C<

∴ <cos(A﹣C)≤1 ∴ <y≤ .

Ⅱ)由余弦定理知 b2=a2+c2﹣2accosB,
2 2 2 ∴13=a +c +ac=(a+b) ﹣2ac+ac=16﹣ac,

∴ac=3, ∴S△ABC= acsinB= ×3× =

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,函数 f(x)= px3﹣ (p+q)x2+qx+q(其中 p、q 均 为常数,且 p>q>0) ,当 x=a1 时,函数 f(x)取得极小值、点(n,2Sn) (n∈N )均在函
2 数 y=2px ﹣qx+q﹣f′(x)的图象上. +

(1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 【考点】数列的函数特性;等差数列的通项公式. 【分析】 (1)先对函数 f(x)进行求导,令其导数为 0 求得 x,进而根据 x 变化时 f'(x) 和 f(x)的变化情况确定函数 f(x)的极小值.求得 a1.
+ 2 2 (2)点(n,2Sn) (n∈N )均在函数 y=2px ﹣qx+q﹣f′(x)的图象上,可得 2Sn =pn +pn ①, 2 换元可得 2sn﹣1=p(n﹣1) +p(n﹣1)②,把①②相减可得 2an=2pn,再由 a1 =1 求得数列

{an}的通项公式.

2 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) ,f'(x)=px ﹣(p+q)x+q,

令 f'(x)=0,得 x=1 或 x= .又因为 p>q>0,故有 0<



再由 f'(x)在 x=1 的左侧为负、右侧为正,故当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值. 再由 f'(x)在 x= 的左侧为正、右侧为负,故当 x= 时,函数 f(x)取得极大值. 由于当 x=a1 时,函数 f(x)取得极小值,故 a1 =1.
2 2 (2)函数 y=2px ﹣qx+q﹣f′(x)=px +px, + 2 点(n,2Sn) (n∈N )均在函数 y=2px ﹣qx+q﹣f′(x)的图象上, 2 2 故有 2Sn =pn +pn ①,故 2sn﹣1=p(n﹣1) +p(n﹣1) , (n>1 ) ②.

把①②相减可得 2an=2pn,∴an=pn. 再由 a1 =1 可得 p=1,故 an=n. 综上可得,数列{an}的通项公式为 an=n.

20.定长为 3 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,动点 P 满足 (Ⅰ)求点 P 的轨迹曲线 C 的方程; (Ⅱ)若过点(1,0)的直线与曲线 C 交于 M、N 两点,求 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题. 【分析】 (Ⅰ)设 A(x0,0) ,B(0,y0) ,P(x,y) ,由 ﹣x,﹣y) ,由此能求出点 P 的轨迹方程. (Ⅱ)当过点(1,0)的直线为 y=0 时, ? 的最大值.

=2



得, (x,y﹣y0)=2(x0

,当过点(1,0)

的直线不为 y=0 时,可设为 x=ty+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立

,化简得:

2 2 (t +4)y +2ty﹣3=0,由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出

的最大值为 . 【解答】解: (Ⅰ)设 A(x0,0) ,B(0,y0) ,P(x,y) , 由 得, (x,y﹣y0)=2(x0﹣x,﹣y) ,





又因为 化简得:

,所以(

2 2 ) +(3y) =9,

,这就是点 P 的轨迹方程.

(Ⅱ)当过点(1,0)的直线为 y=0 时, , 当过点(1,0)的直线不为 y=0 时,可设为 x=ty+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

联立

2 2 ,化简得: (t +4)y +2ty﹣3=0,

由韦达定理得:





2 2 2 又由△=4t +12(t +4)=16t +48>0 恒成立,

得 t∈R,对于上式,当 t=0 时, 综上所述 的最大值为 .…

21.已知点 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,点 P 是准线 l 上的动点,直线 PF 交抛物线 C 于 A,B 两点,若点 P 的纵坐标为 m(m≠0) ,点 D 为准线 l 与 x 轴的交点. (Ⅰ)求直线 PF 的方程; (Ⅱ)求△DAB 的面积 S 范围; (Ⅲ)设 , ,求证 λ+μ 为定值.

【考点】直线的一般式方程;抛物线的应用.

【分析】 (Ⅰ)由题知点 P,F 的坐标分别为(﹣1,m) , (1,0) ,求出斜率用点斜式写出直 线方程. (Ⅱ)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,用弦长公式求出线段 AB 的长,再 由点到直线的距离公式求点 D 到直线 AB 的距离, 用三角形面积公式表示出面积关于参数 m 的表达式,再根据 m 的取值范围求出面积的范围. (Ⅲ) , ,变化为坐标表示式,从中求出参数 λ,μ 用两点 A,B 的坐

标表示的表达式,即可证明出两者之和为定值. 【解答】解: (Ⅰ)由题知点 P,F 的坐标分别为(﹣1,m) , (1,0) , 于是直线 PF 的斜率为 所以直线 PF 的方程为 , ,即为 mx+2y﹣m=0.

(Ⅱ)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,



2 2 2 2 得 m x ﹣(2m +16)x+m =0,

所以

,x1x2=1.

于是



点 D 到直线 mx+2y﹣m=0 的距离



所以 因为 m∈R 且 m≠0,于是 S>4, 所以△DAB 的面积 S 范围是(4,+∞) .



(Ⅲ)由(Ⅱ)及



,得(1﹣x1,﹣y1)=λ(x2﹣1,y2) , (﹣1﹣x1,

m﹣y1)=μ(x2+1,y2﹣m) ,

于是



(x2≠±1) .

所以 所以 λ+μ 为定值 0.



22.已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45° ,对于任意的 t∈[1, 2],函数 g(x)=x3+x2(f'(x)+ )在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证: × × ×…× < (n≥2,n∈N ) .
*

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数 f′(x) ;②解 f′(x)>0(或<0) ; ③得到函数的增区间(或减区间) , 对于本题的(1)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数 a 的讨论情况; (2)点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45° ,即切线斜率为 1,即 f'(2)=1,可求 a 值, 代入得 g(x)的解析式,由 t∈[1,2],且 g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数可知:

,于是可求 m 的范围.

(3)是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题,常用的解题思路是利 用前面的结论构造函数, 利用函数的单调性, 对于函数取单调区间上的正整数自变量 n 有某 些结论成立,进而解答出这类不等式问题的解. 【解答】解: (Ⅰ) 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞) ,减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数 (Ⅱ) 得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3


2 ∴g'(x)=3x +(m+4)x﹣2



∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2 ∴ 由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

所以有:

,∴

(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, ∵n≥2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1, ∴ ∴

2016 年 12 月 5 日


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