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第一课时 函数的表示法


1.2.2
第一课时

函数的表示法
函数的表示法

课前预习

栏 目 导 航

课堂探究

【课标要求】
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、 图象法、列表法. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择 恰当方法表示函数.

> 【实例】 ①如图是我国人口出生率变化曲线:

②下表是大气中氰化物浓度与污染源距 离的关系表
污染源 距离

50

100

200

300

500

氰化物 0.678 浓度

0.398

0.121

0.05

0.01

函数的表示法
1:实例中的图、表能否表示 两个变量之间存在函数关系? (能,①中出生率是年份的函数,②中大气 中氰化物浓度是污染距离的函数)

【质疑探究 1】 (1)实例中的函数关系能否用 解析法表示? (不能,并不是所有的函数都有解析式)

(2)实例①中,1986 年的出生率是多少?新 中国的出生率呈现什么变化趋势?由此你能 体会到三种表示法各有何优、缺点? (只能近似得到函数值为 2.4%,新中国的出 生率整体呈现下降趋势,三种表示法的优、 缺点是:

1:某商场新进了 10 台彩电,每 台售价 3000 元,试求售出台数 x 与收款数 y 之间的函数关系,分别用列表法、 图象法、 解析法表示出来.

解:(1)列表法:
x(台) y(元) 1 3000 2 6000 3 9000 4 12000 5 15000 6 18000 7 21000 8 24000 9 27000 10 30000

(2)图象法:

(3)解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.

函数图象
2:你能用图象法表示实例② 的函数关系吗? (能,是些离散的点)

函数图象既可以是连续的曲 线,也可以是直线、折线、离散点等等.

【质疑探究 2】 如何作函数图象? (分为三步:列表、描点、连线成图,必 要时,先对其函数定义域及其性质进行 研究,在定义域中化简解析式,再分三 步完成图象)

2:已知函数 f(x)的图象如图 所示,则此函数的定义域是 域是 . ,值

解析:结合图象知,f(x)的定义域 为[-3,3], 值域为[-2,2]. 答案:[-3,3] [-2,2]

函数图象的作法及应用
【例 1】 作出下列函数的图象并求出其
值域.

2 (1)y=(-1) x,x∈{0,1,2,3};(2)y= x
x

,

x∈[2,+∞);(3)y=x +2x,x∈[-2,2].

2

名师导引:根据函数图象如何求其值 域?(找图象的最低点与最高点,确定 其纵坐标) 解:(1)列表:
x y 0 0 1 -1 2 2 3 -3

函数图象只是四个孤立点:(0,0), (1,-1),(2,2),(3,-3),其值域为 {0,-1,2,-3}.

(2)列表
x y 2 1 3 4 5 … …

2 3

1 2

2 5

当 x∈[2,+≦)时,图象是反比例函数

2 y= x

的一部分,观察图象可知其值域为

(0,1].

(3)列表:
x y -2 0 -1 -1 0 0
2

1 3

2 8

画图象,图象是抛物线 y=x +2x 在-2≤ x≤2 之间的部分.

由图可得函数的值域是[-1,8].

作函数图象应注意些什 么?(①在定义域内作图,即树立定义域优 先的意识; ②图象是实线或实点,定义域外的部分有 时可用虚线来衬托整个图象; ③要标出某些关键点,例如图象的顶点、 端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键 点是实心点还是空心点)

换元法求函数的解析式
【例 2】已知:f( x +1)=x+2 x ,求 f(x)
的解析式.

名师导引:(1)思维方法一:f(

x +1)与

f(x)中的 f 是同一个对应关系吗?(是,但 作用的对象各不相同,因此解析式会有 所不同,可采用换元法消除差异)

(2)思维方法二:观察 有怎样的关系?(x+2

x +1 与 x+2 x 之间 x =( x +1) -1 由此
2

可直接写出函数解析式,但需注意定义域的 变化)

解:法一 令 t=
2

x +1,

则 x=(t-1) ,t≥1. 代入原式, 2 有 f(t)=(t-1) +2(t-1) 2 =t -2t+1+2t-2 2 =t -1. 2 ?f(x)=x -1(x≥1).

法二 x+2 =( ?f(
2

x =( x ) +2 x +1-1
2

x +1) -1, x +1)=( x +1) -1( x +1≥1),
2 2

即 f(x)=x -1(x≥1).

(1)已知 f(g(x))的解析式, 如何求 f(x)的解析式?(①换元法:即设 g(x)=t,从中解出 x 与 t 的关系,代入原式 便可求出关于 t 的解析式,然后将 t 换为 x,即得 f(x)解析式; ②配凑法:即在 f(g(x))的解析表达式中 “凑出”g(x),然后直接变换) (2)求得的 f(x)必须要注明定义域吗?(是 的,“定义域优先”是解函数题的原则)

跟踪训练 2 1:已知 f(x+1)=x +4x+1,求 f(x)的解析式. 解:法一 设 x+1=t, 则 x=t-1, 2 f(t)=(t-1) +4(t-1)+1, 2 即 f(t)=t +2t-2. ?所求函数为 f(x)=x +2x-2.
2

2

法二 ≧f(x+1)=x +4x+1 2 =x +2x+1+2x+2-2 =(x+1) +2(x+1)-2, ?f(x)=x +2x-2.
2 2

2

待定系数法求解析式
【例 3】 (10 分)已知 f(x)是二次函数,且
满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x).

名师导引:(1)二次函数的表达式有几种 形式? 2 (三种,一般式 f(x)=ax +bx+c(a≠0).顶

4ac ? b b ? ? 点式 f(x)=a ? x ? ? + 4a (a≠ 2a ? ?
2

2

0).两根式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).) (2)本题适用哪种形式?(一般式)

解:≧f(x)是二次函数,?设 f(x)=ax +bx+c (a≠0). ………………………………2 分 ≧f(0)=1,?c=1, ……………………4 分 由 f(x+1)-f(x)=2x, 2 2 得 a(x+1) +b(x+1)+1-ax -bx-1=2x,…6 分 整理得 2ax+(a+b)=2x,

2

?2a ? 2, ?a ? 1, ?? ?? ……………8 分 ?a ? b ? 0, ?b ? 1,
?f(x)=x -x+1.………………………10 分
2

何时用待定系数法求函数解析 式?(若已知函数类型,可用待定系数法求解. 若 f(x)是一次函数,可设 f(x)=ax+b(a≠0); 若 f(x)是二次函数,可设 f(x)=ax +bx+c(a≠ 0);若 f(x)是正比例函数,可设 f(x)=ax(a≠
2

a 0);若 f(x)是反比例函数,可设 f(x)= x
进而求出待定的系数)

(a≠

0), 然后利用题目中的已知条件,列出方程组,

跟踪训练 3 1:函数 f(x)的图象如图 所示,求 f(x)解析式.

解:由题图知函数 f(x)为一次函数. 设 f(x)=ax+b,0≤x≤2, 由题图知 f(0)=2,f(1)=0,

?b ? 2, ?? ?a ? b ? 0,
?a=-2,b=2. ?函数 f(x)的解析式 为:f(x)=-2x+2,x∈[0,2].

【备选例题】
【例 1】 作出函数 y=x -2x-2,x∈[0,3]
2

的图象并求其值域. 解:≧y=(x-1) -3, ?函数 y=x -2x-2 的对称轴为 x=1,顶点为 (1,-3);函数过点(0,-2),(3,1),其图象 如图所示.
2 2

由图象知函数的值域为[-3,1].

【例 2】 (1)若函数 f(x)满足
2f(x)+

?1? f ? ? =x,求 f(x). ? x?

(2)已知函数 f(x)对任意的实数 x,y,都 有 f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且 f(1)=1,求 f(x).

1 解:(1)在已知式中以 x
2

代替 x 可得

1 ?1? f ? ? +f(x)= x ? x?

,

与已知式 2f(x)+

?1? f ? ? =x 联立可得 ? x?

? ?1? 1 2 f ? f ( x ) ? , ? ? ? x ? ? x? ? ?2 f ( x) ? f ? 1 ? ? x. ? ? ? ?x? ?
1 1 ?f(x)= (2x- ). 3 x

(2)≧f(x+y)=f(x)+2y(x+y)对任意 x、 y∈R 都成立, 可令 x=0,y=1 得 f(1)=f(0)+2×1×(0+1). 又 f(1)=1,解得 f(0)=-1. 2 2 再令 x=0,得 f(y)=f(0)+2y =2y -1, 2 即 f(x)=2x -1.

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