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《椭圆及其标准方程》课件


椭圆及其标准方程

2

一、椭圆的定义
平面内与两定点的距离的和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

问题1:当常数等于|F1F2|时,点M的轨迹是什么? 线段F1F2 问题2:当常数小于|F1F2|时,点M的轨迹是什么?

轨迹不存在

几点说明:

(1)F1、F2是两个不同的定点;
(2)M是椭圆上任意一点,且 |MF1| + |MF2| = 常数;

求椭圆的方程
M

F1

F2

方案一

F2 M

方案二
F1

5

二、椭圆的标准方程
(1)建系设点:
y

M
F1 O F2 x

以F1、F2所在直线 为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立 平面直角坐标系xoy.

(2)列式: 椭圆是由下列集合中的点构成的.

P ? {M || MF1 | ? | MF2 |? 2a}

6

设|F1F2|=2c(c>0), 则F1(-c,0)、F2(c,0)

y M

M(x,y)为椭圆上的任意一点,
F1 O

F2

x

(3)坐标化: (4)化简:

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

(a2 ? c2 ) x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 ? c2 ) ? 2a ? 2c, 即 a ? c
?a ? c ? 0
2 2

7

令 a ? c ? b , 其中 b ? 0
2 2 2

代入上式,得
y
M F1 O F2 x

b x ?a y ? a b
2 2 2 2

2 2

即 x

y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

2

2

该方程叫做椭圆的标准方程。 焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)

这里, c 2 ? a 2 ? b2

椭圆的标准方程⑴
x y ? ? 1 ( a ? b ? 0) 2 2 a b
它表示:
2 2

y M

F1

0

F2

x

① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1(-C,0)、F2(C,0)

③ c2= a2 - b2

9

若F1、F2在y轴上,且 F1(0,-c)、F2(0,c)
x y M F1 O F2 x y

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

2

2

椭圆的标准方程⑵
y x ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
它表示:
2 2

y

F2
M O F1 x

① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1(0,-c)、 F2(0,c)

③ c2= a2 - b2

思考1: 下图中哪些线段的

长度恰为 a, c, a ? c ?
2 2

椭圆的标准方程 y
F1 O F2

y
F1

x

O F2

x

方 程




y2 x2 ? ?1 2 2 a b (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1; (2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0; (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上; (4)a、b、c都有特定的意义,
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;c—半焦距.
有关系式 c 2 ? a 2 ? b2 成立。

x2 y2 ? ?1 2 2 a b

1.判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上,并指明 a2、b2,写出焦点坐标及焦距.
x2 y2 ? ? 1 在 x轴。(-3,0)和(3,0)2c=6 25 16
x2 y2 ? ? 1 在y轴。(0,-5)和(0,5)2c=10 144 169

x2 y2 2.已知椭圆的方程为: ? ?,请填空: 1 100 36 a= 10 ,b= 6 ,c= 8 ,
焦点坐标为 (-8,0)、(8,0) ,焦距等于 16 .

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0) 椭圆上一 点P到两焦点距离的和等于10 (2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)并且 椭圆经过点
(? 3 5 , ) 2 2

求椭圆标准方程的解题步骤: (1)确定焦点的位置; (2)设出椭圆的标准方程; (3)用待定系数法确定a、b的值,

写出椭圆的标准方程.

课堂练习:
1.a=5,c=4的椭圆标准方程是
y2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ?1或 25 9 25 9 。

x2 y2 例2、若M为椭圆 ? ? 1 上一点,F1、F2分别为椭圆的 25 16
左、右焦点,并且︱MF1︱=6,则︱M F2︱= .

变式:若N为MF1的中点,则ON=2,则 ︱MF1︱=________

x2 y2 例3、若P为椭圆 ? ? 1 上一点,F1、F2分别为椭圆的 25 16
左、右焦点,P为椭圆上任意一点,则△PF1F2的周长为—

———————

y

? ? F1 ( ?c , o)

P ( x , y)
x

o

? F2 ( c , o )

x y 1 的右焦 例 4 如图所示,已知经过椭圆 + = 25 16 点 F2 的直线 AB 垂直于 x 轴,交椭圆于 A、B 两 点,F1 是椭圆的左焦点. (1)求△AF1B 的周长; (2)如果直线 AB 不垂直于 x 轴, △AF1B 的周长有 变化吗?为什么?

2

2

1 椭圆定义: 椭圆定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 2 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程
y
? M ( x, ?

y
y)

F2?

F1 c o

c

F2

?

x

c o c

? M ( x, y )

x
2 2

F1?

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

巩固练习
x2 y2 (1).已知方程 + =1表示椭圆,则 k ?4 9? k
13 13 (4, ) ? ( , 9) k的取值范围是_______________. 2 2

变式练习:
x y 若方程 + =1表示在x轴上的椭圆,则 k ?1 7 ? k
2 2

(4, 7) 则k的取值范围是_____________.

x y (2).已知F1、F2是椭圆 + =1的焦点, P为椭圆 25 16 16 上任意一点,则△PF1 F2的周长为______.

课堂练习

2

2

x y 已知F1、F2是椭圆 + =1的焦点, AB是过F1 25 16 20 的弦,则△ABF2的周长为______.
A
y

变式练习:

2

2

B

? F1 ( ?c , o)

o

? F2 ( c , o )

x


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