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§2.1.2空间的直线与直线的位置关系(3)


空间中的直线与直线
之间的位置关系
(3)

一.异面直线的判定 例1.如图,? ? ? ? a , c ? ? , c / / a , b ? ? , a ? b ? A, 求证 : b, c为异面直线.
? c

a

A

?

b


二.求异面直线所成的角 例2.在正方体ABCD ? A1B1C1 D1中, 求下列异面 直线所成的角. (1) BC1与A1 D1; ( 2) BC1与CD1; (3) BC1与A1 D .
D
A C B A' D' C'

B'

例3.在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中, E , F 分别是 AB, BC的中点, 求异面直线BD '与EF 所成的角.
D' C'

A'

B'

D F A E B

C

求异面直线所成的角的方法 : (1)平移法;( 2)补形法. (3)要体现 " 作图, 证明, 计算 " 这三步骤. 特别要指出哪个角是异面直线所成的角.

练习 : 在正方体ABCD - A1B1C1 D1中, 求异面 直线BD1和B1C1所成的角的余弦值.
D' C'

A'

B'

D

C

A

B

例4.如图, 在等腰直角?ABC中, ?A ? 90? , BC ? 2 , DA ? AC , DA ? AB .若DA ? 1, 且E为DA的中点, 求异面直线BE与CD所 成角的余弦值.
D

答案 :

10 10

E

A

B

C

练习 : 在空间四边形ABCD中,AB ? CD, AB ? 4,CD ? 4 3, M,N 分别为对角线 AC,BD的中点,求MN 与AB的角.
A

M B N

D

C

练习 : 三棱锥S ? ABC的所有棱长均为2, M , N 分别是AB和SC的中点, 求异面直线 SM 和BN的夹角的余弦值.
2 答案 : 3

练习 : S是正?ABC 所在平面外一点, SA ? SB ? SC ? 2, ?ASB ? ?BSC ? ?CSA ? 90 , M , N 分别为AB ,
0

SC的中点, 求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值.
10 答案 : 5

例4.如图, 在长方体AC ',中AB ? 3, BC ? 2, CC ' ? 1, 求BD '与B ' C 所成的角.
解 : 如图, 在已知的长方体AC '的右边 补上一个同样的长方体 , 则易知?B ' CG就是两异面直线B ' C 与BD ' 所成的角或其补角, B ' C 2 ? CG 2 ? B ' G 2 cos ?B ' CG ? 2B ' C ? CG 2 5 ? 14 所以, BD ' 与B ' C 所成角的 3 70 余弦值为 70 ? 5 ? 14 ? 25 ?? 3 70 ?0 70


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