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福建省泉州市唯思教育高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值(2)学案 新人教A版必修1


福建省泉州市唯思教育高中数学 1.3.1 单调性与最大 (小) 值 (2 ) 学案 新人教 A 版必修 1

学习目标 1. 理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P30~ P32,找出疑惑之处) 复习 1:指出函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的

单调区间及单调性,并进行证明.

复习 2:函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最小值为 的最大值为 . 复习 3:增函数、减函数的定 义及判别方法.

, f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:函数最大(小)值的概念 思考:先完成下表, 函数 最高点 f ( x) ? ?2 x ? 3
f ( x) ? ?2 x ? 3 , x ? [?1, 2]

最低点

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1, x ? [?2, 2]

讨论体现了函数值的什么特征?

新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都 有 f(x)≤ M;存在 x0∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value). 试试:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义.

反思: 一些什么方法可以求最大(小 )值?

1

※ 典型例题 例 1 一枚炮弹发射,炮弹距地面高度 h(米 )与时间 t(秒)的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 , 那么什么时刻距离地面的高度达到最大?最大是多少?

变式:经过多少秒后炮弹落地?

试试:一段竹篱笆长 20 米,围成一面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大?

小结: 数学建模的解题步骤:审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值. 例2求y?

3 在区间[3,6]上的最大值和最小值. x?2

变式:求 y ?

3? x , x ?[3,6] 的最大值和最小值. x?2

小结: 先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大(小)值. 试试: 函数 y ? ( x ? 1)2 ? 2, x ?[0,1] 的最小值为 ※ 动手试试 练 1. 用多种方法求函数 y ? 2x ? x ? 1 最小值. , 最大值为 . 如果是 x ? [?2,1] 呢?

2

变式:求 y ? x ? 1 ? x 的值域.

练 2. 一 个 星 经 理得到一 些 欲使每天的

房价 (元) 160 140 120 100

级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营, 住房率 (%) 定价和住房率的数据如右: 的营业额最高,应如何定价? 55 65 75 85

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 函数最大(小)值定义;. 2. 求函数最大(小)值的常用方法:配方法、图象法、单调法. ※ 知识拓展 求二次函数在闭区间上的值域, 需根据对称轴与闭区间的位置关系, 结合函数图象进行 a a 研究. 例如求 f ( x) ? ? x2 ? ax 在区间 [m, n] 上的值域,则先求得对称轴 x ? ,再分 ? m 、 2 2 a m?n m?n a a 、 m? ? ? ? n 、 ? n 等四种情况,由图象观察得解. 2 2 2 2 2 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 f ( x) ? 2x ? x 2 的最大值是( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3

2. 函数 y ?| x ? 1| ?2 的最小值是( A. 0 B . -1 C. 2 3. 函数 y ? x ? x ? 2 的最小值是(

). D. 3 ).

A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 4. 已知函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称, 且在区间 (??,0) 上, 当 x ? ?1 时, f ( x) 有最小值 3, 则在区间 (0, ??) 上,当 x ? 时, f ( x) 有最 值为 . 5. 函数 y ? ? x2 ? 1, x ?[?1,2] 的最大值为 ,最小值为 .

课后作业 1. 作出函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的简图, 研究当自变量 x 在下列范围内取值时的最大值与最小值. (1) ?1 ? x ? 0 ; (2) 0 ? x ? 3 ; (3) x ? (??, ??) .

2. 如图,把截面半径为 10 cm 的圆形木 为x, 面积为 y , 试将 y 表示成 x 的函数, 样锯才能使得截面面积最大?

头锯成矩形木料,如果矩形一边长 并画出函数的大致图象,并判断怎

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1.3.1 单调性与最大(小)值导学案 新人教A版必修1

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