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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理课件 北师大版选修1-2


课程目标设置

主题探究导学

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典型例题精析

知能巩固提升
一、选择题(每题5分,共15分) 1.(2010·福建莆田高二检测)数列3,5,9,17,33,…的通

项公式an等于( )

(A)2n
(C)2n-1 【解析】选B.由观察得

(B)2n+1
(D)2n+1

3=21+1,5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,…, 由此归纳可得an=2n+1.

2.n个连续自然数按规律排成下表:

根据规律,从2 005到2 007,箭头的方向依次为(
(A)↓→ (B)→↑ (C)↑→ (D)→↓

)

【解析】选B.这些自然数的排列规律具有周期性,上面一行

“→”指向的分别为4,8,…,故2 004为上“→”指向数,
因此有 ,故选B.

3.设f1(x)=cosx, f2(x)=f1′(x), f3(x)=f2′(x),…, fn+1(x)=fn′(x), n?N+,则f2 (A)sinx (C)cosx
007(x)=(

)

(B)-sinx (D)-cosx

【解析】选D.由f1(x)=cosx, f2(x)=f1′(x)=-sinx,
f3(x)=f2′(x)=-cosx, f4(x)=f3′(x)=sinx, f5(x)=f4′(x)=cosx, …,所以fn(x)的取值具有周期性,4是

最小正周期,∴f2

007(x)=f3(x)=-cosx.

二、填空题(每题5分,共10分)
4.(2010·陕西高考 ) 观察下列等式: 13+23=32 , 13+23+33=62 ,

13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式是_________.
【解题提示】找出等式两边底数的规律是解题的关键. 【解析】由所给等式可得:等式两边的幂式指数规律明显,底 数关系如下: 1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,即左边底数的和等于右边的底

数.故第五个等式为:13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.
答案:13+23+33+43+53+63=212

5. 如图所示,图 (a) 是棱长为 1 的小正方体,图 (b) 、图 (c) 是 由这样的小正方体摆放而成的,按照这样的方法继续摆放,自 上而下分别叫第1层,第2层,…,第n层,第n层的小正方体的 个数记为Sn,解答下列问题:

(1)按照要求填表.

(2)S10=_______. (3)Sn=________. 【解析】由S1=1,S2=3=1+2,S3=6=1+2+3,…得 Sn=1+2+3+…+n= n(n+1) . 答案:(1)10
2

(2)55

(3) n(n+1)
2

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)
8 ?1 6.已知数列 2 1 ? 32 ?2 , 8 32 ? 52

,…,

8? n (2n-1) 2 ? (2n+1) 2

,…,Sn

为其前n项的和,计算S1,S2,S3,S4,观察计算结果,并归纳 出Sn的计算公式. 【解题提示】通过计算S1,S2,S3,S4的取值,发现它们的 共同点有:都是分数,分母为奇数的平方,分子比分母少 1, 据此可猜想Sn的计算公式.

【解析】

7.20世纪60年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象:一 个自然数,如果它是偶数,就用2除它;如果是奇数,则将它 乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,必然会得到一种结果, 试考查几个数并给出这一结果的猜想. 【解析】取自然数6,按角谷的做法有: 6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,3×5+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷ 2=2,2÷2=1,其过程简记为 6→3→10→5→16→8→4→2→1, 若取自然数7,则有 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→

4→2→1,

若取自然数100,则有
100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→34→ …→1.

归纳猜想:这样反复运算,必然会得到1.

1.(5分)(2010·山东高考)观察(x2)′=2x, (x4)′=4x3,

(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)
满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( (A)f(x) (B)-f(x) (C)g(x) (D)-g(x) )

【解析】选D.通过观察由g(x)=2x,g(x)=4x3,g(x)=-sinx,都满
足g(-x)=-g(x),可知选D.

【解题提示】对于多个等式的归纳,要分左、右两边分别 归纳,特别是注意归纳分子、分母对应的变化情况 . 【解析】选A.注意到各等式中左边两分式的分子之和为8,分母 分别为分子减去4,故可得
n 8-n ? ? 2 ,因此选A. n-4 ? 8-n ? ? 4

3.(5分) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可 以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图,其

中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个
蜂巢,第四个图有37 个蜂巢,按此规律,以f(n) 表示第n幅图 的蜂巢总数,则f(n)=________.

【解析】由题知f(2)-f(1)=6; f(3)-f(2)=12=2×6;

f(4)-f(3)=18=3×6;
… …

f(n)-f(n-1)=(n-1)×6; 各式相加得f(n)-f(1)=6[1+2+3+…+(n-1)] =6×(n-1)n =3(n-1)n 故f(n)=3(n-1)n+1=3n2-3n+1 答案:3n2-3n+1
2

4.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=- 2 ,且

3 1 Sn-1+ +2=0(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式. Sn

【解析】


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