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高中数学选修1-2第2-3章导学案

时间:2017-04-05


第二章 推理与证明
2.1.1 合情推理(一)
学习目标:结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体 会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习过程: 一、预习(教材 21-24) 1. 哥德巴赫猜想:观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,

20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜测:任一偶数(除去 2,它本身是一素数)可 以表示成两个素数之和. 1742 年写信提出,欧拉及以后的数学家无人能解,成为数学史上举 世闻名的猜想. 1973 年,我国数学家陈景润,证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多 两个素数乘积之和,数学上把它称为“1+2”. 2. 费马猜想:法国业余数学家之王—费马(1601-1665)在 1640 年通过对 F0 ? 22 ? 1 ? 3 ,
0

F1 ? 22 ? 1 ? 5 , F2 ? 22 ? 1 ? 17 , F3 ? 22 ? 1 ? 257 , F4 ? 22 ? 1 ? 65 537 的观察,发现其结
果都是素数,于是提出猜想:对所有的自然数 n ,任何形如 Fn ? 22 ? 1 的数都是素数. 后来 瑞士数学家欧拉, 发现 F5 ? 22 ? 1 ? 4 294 967 297 ? 641? 6 700 417 不是素数, 推翻费马猜 想. 3. 四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着 色工作时,发现了一种有趣的现象: “每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的 国家着上不同的颜色.” ,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩尔 与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿逻辑 判断,完成证明. 二、讲授新课: 1.归纳推理:由某类事物的 具有某些特征,推出 都具有这些特征的 推理,或者由 概括出一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分 到整体、由个别到一般的推理. 2.归纳练习: (1)由铜、铁、铝、金、银能导电,能归纳出什么结论? (2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度,能归纳出什么结论? (3)观察等式:1 ? 3 ? 4 ? 22 , 1 ? 3 ? 5 ? 9 ? 32 , 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 16 ? 42 ,能得出怎样的结 论? 3 讨论: (1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? (2)归纳推理有何作用? (发现新事实,获得新结论,是做出科学发现的重要手段) (3)归纳推理的结果是否正确?(不一定) 例题讲解:
5
n

1

2

3

4

例 1、在同一个平面内,两条直线相交,有 1 个焦点;3 条直线相交,最多有 3 个交点;… …;从中归纳一般结论,n 条直线相交,最多有几个交点?

例 2、已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 =1,且 an?1 =

an (n=1,2,3,....) ,试归纳出通项公式. 1 ? an

1

反思:证得某命题在 n=n 0 时成立;又假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题也 成立. 由这两步,可以归纳出什么结论? (目的:渗透数学归纳法原理,即基础、递推关 系) 练习:已知 f (1) ? 0, af (n) ? bf (n ? 1) ? 1, n ? 2, a ? 0, b ? 0 ,推测 f (n) 的表达式.

课堂练习
1. 将全体正整数排成一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,求第 n 行(n≥3)从左向右数 第 3 个数. 1 2 3 4 5 6 7 2.根据给出的等式猜测 123 456?9+7 等于( 1?9+2=11 12?9+3=111 123?9+4=1 111 1 234?9+5=11 111 12 345?9+6=111 111 A.1 111 110 B.1 111 11
2 3

8 9 10

)

C.1 111 112
4

D.1 111 113
2 013

3.观察下列各式:7 =49,7 =343,7 =2 041,?,则 7 A.01 B.43 C.07 D.49

的末两位数字为(

)

4.有两种花色的正六边形地面砖, 按下图的规律拼成若干个图案, 则第六个图案中有菱形纹 的正六边形的个数是( )

A.26

B.31

C.32

D.36

5 把 1,3,6,10,15,21, ?这些数叫做三角形数, 这是因为个数等于这些数目的点可以分别排 成一个正三角形(如图),试求第七个三角形数是________. 6.观察下列等式:1 +2 =3 1 +2 +3 =6 1 +2 +3 +4 =10 ,?,根据上述规律,第五 个等式为________.
2
3 3 2, 3 3 3 2, 3 3 3 3 2

2.1.1

合情推理(二)

学习目标:结合已学过的数学实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的 推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习过程: 一、预习内容: (预习 P24-28) 根据两个对象之间在某些方面的____________,推演出它们在其他 方面也______________,这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程大致为 观察、比较 —— 联想、类推 —— 猜测新的结论 1 1 1 练习:已知 ai ? 0 (i ? 1, 2,?, n) ,考察下列式子: (i ) a1 ? ? 1 ; (ii ) (a1 ? a2 )( ? ) ? 4 ; a1 a1 a2 1 1 1 (iii ) (a1 ? a2 ? a3 )( ? ? ) ? 9 . 我们可以归纳出,对 a1 , a2 ,?, an 也成立的类似不等式 a1 a2 a3 为 .

1 1 1 1 . ,? , ,? ,?? 的通项公式是 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 3. 导入:鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;地球上有 生命,火星与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星,有大气层,也有季 节变更,温度也适合生物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即 类比推理. 二、讲授新课: 一) 1. 教学概念: 由两类对象具有 , 推出 的 推理. 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.类比练习: (1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到 球体? (2)平面内不共线的三点确定一个圆,由此结论如何类比得到空间的结论? (3)由圆的一些特征,类比得到球体的相应特征. ( 探究教材 P25 填表) 小结:平面→空间,圆→球,线→面. 3.讨论:以平面向量为基础学习空间向量,试举例其中的一些类比思维. 二).例题讲解: 例 1:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. (得到如下表格) 类比角度 实数的加法 实数的乘法 若 a, b ? R, 则 a ? b ? R 若 a, b ? R, 则 ab ? R 运算结果
2. 猜想数列 运算律 乘法的逆运算是除法,使得 1 方程 ax ? 1 有唯一解 x ? a a?0?a a ?1 ? 1 单位元 例 2:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 逆运算 加法的逆运算是减法, 使得方 程 a ? x ? 0 有唯一解 x ? ?a

3

例 3: 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列,类比 以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 成等比数列.

T16 T12

类比推理的一般步骤 类比推理的思维过程大致是:观察、比较→联想、类推→猜测新的结论. 该过程包括两个步骤: (1)找出两类对象之间的相似性或一致性; (2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题(猜想). 练习:已知椭圆具有以下性质:已知 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是 椭圆上任意一点,若直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN,那么 kPM 与 kPN 之积是与点

x2 y2 P 的位置无关的定值.试对双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)写出类似的性质,并加以证明. a b
学习评价 1.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3?b9=2 .若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似 结论为( )
9 9

A.a1a2a3?a9=2

B.a1+a2+?+a9=2

9

C.a1a2?a9=2?9

D.a1+a2+?+a9=2?9

2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图(1)中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形 数;类似地,称图(2)中的 1,4,9,16,?这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是 正方形数的是( A.289 ) B.1 024
4

C.1 225

D.1 378

2.1.2 演绎推理
一、学习目标: 结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基 本方法,并能运用它们进行一些简单的推理. 二、学习过程 预习内容: (P30---33) 2 1、 对于任意正整数 n,猜想(2n-1)与(n+1) 的大小关系? 2、 讨论:以上推理属于什么推理,结论一定正确吗? 3、思考:有什么推理形式能使结论一定正确呢? 课内探究 1. 填一填: ① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ; ;

② 太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的大行星,因此 ③ 奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所以 .

2.讨论:上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗? 3.小结: ① 概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为______ ______. 要点:由_____到_____的推理. ② 讨论:演绎推理与合情推理有什么区别? ③ 思考:“所有的金属都能够导电,铜是金属,所以铜能导电”,它由几部分组成,各部 分有什么特点? “三段论”是演绎推理的一般模式: 第一段:_________________________________________; 第二段:_________________________________________; 第三段:____________________________________________. ④ 举例:举出一些用“三段论”推理的例子. 例题讲解 例 1:证明函数 f(x)=- x ? 2 x 在(- ? ,1 )内是增函数.
2

5

例 2:在锐角三角形 ABC 中, AD⊥BC 的距离相等.

BE⊥AC,D,E 是垂足. 求证:AB 的中点 M 到 D,E

当堂检测: 讨论:因为指数函数 (ab) n 是增函数, (a ? b)n 是指数函数,则结论是什么?

讨论:演绎推理怎样才能使得结论正确?

比较:合情推理与演绎推理的区别与联系?

学习与评价 1.演绎推理是以下列哪个为前提,推出某个特殊情况下的结论的推理方法( A.一般的原理原则; C.一般的命题; B.特定的命题; D.定理、公式. )

2.“因为对数函数 ( x ? y)n ? xn ? yn 是增函数(大前提 ),( a ? b )+c 是对数函数(小前提), 所以 ( xy ) z 是增函数(结论).”上面的推理的错误是( A.大前提错导致结论错; C.推理形式错导致结论错; 3.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) )

B.小前提错导致结论错; D.大前提和小前提都错导致结论错.

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B =180°;B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质;.

6

2.2.1

综合法和分析法(一)

学习目标:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法; 理解综合法的思考过程、特点. 学习过程: 预习内容:(预习教材 P36-38) 证明方法可以分为直接证明和间接证明 1.直接证明分 为 2.直接证明是从命题的 公里,定理, 3.综合法是从 和 或 推证结论的真实性。 推导到 的方法。而分析法是一种从 出发,根据以知的定义,

追溯到 的思维方法,具体的说,综合法是从已知的条件出发,经 过逐步的推理,最后达到待证结论,分析法则是从待证的结论出发,一步一步寻求结论成立 的 条件, 最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。 综合法是由 导 , 分析法是执 索 。 4.课前演练 1 1 ? 4” (1) 已知 “若 a1 , a2 ? R? ,且 a1 ? a2 ? 1 ,则 ? ,试请此结论推广猜想. a1 a2 (答案:若 a1 , a2 .......an ? R? ,且 a1 ? a2 ? .... ? an ? 1 ,则 2. 已知 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 ? ? .... ? ? n2 ) a1 a2 an

1 1 1 ? ? ? 9. a b c

例题讲解
例 1、已知 a , b >0,求证 a(b ? c ) ? b(c ? a ) ? 4abc
2 2 2 2

变式、1.已知 a,b∈R ,求证:

+

a b ? ? a? b. b a

7

例 2.△ABC 在平面 a 外, AB ? ? ? P, BC ? ? ? Q, AC ? ? ? R. 求证 P,Q,R 三点 共线

例 3.在△ABC 中,设 CB ? a, CA ? b, 求证 s?ABC ?

1 2

a b

2

2

?( a ? b ) 2

例 4.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列, a,b,c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形

综合法的特点 (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要 条件. (2)综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,通过演绎推理,一 步一步完成命题的证明. 课堂练习 1.下面叙述正确的是( ) B.综合法是直接证法,分析法是间接证法 D.综合法、分析法所用语气都是假定的
1 1 (1 a ? 1)( b ? 1)( c ? 1) ? 8

A.综合法、分析法是直接证明的方法 C.综合法、分析法所用语气都是肯定的

2.已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,求证:

3 3.设 f(x)=ln x+ x-1,证明:(1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 (2)当 1<x<3 时,f(x)< 9?x-1? . x+5
8

2.2.1

综合法和分析法(二)

学习目标:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;理 解分析法和综合法的思考过程、特点. 学习过程: 预习内容(教材 P38-41) (1)基本不等式的形式? (2)如何证明基本不等式

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) . 2

(3)阅读下列证明过程,回答问题. 求证: 6+ 7≥2 2+ 5. 证明:要证原不等式成立,只需证( 6+ 7) ≥(2 2+ 5) ,即证 2 42≥2 40,该 式显然成立,因此原不等式成立. 问题 1:本题证明从哪里开始? 新课讲解: 1.分析法的定义:从要 证明的结论归结为 明方法叫做分析法. 2.分析法的框图表示: Q?P1 → P1?P2 ― → P2?P3 ― →?― → 得到一个明显 成立的条件 出发,逐步寻求使它成立的 ,直至最后,把要 问题 2:证明思路是什么?
2 2

一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证

例题讲解: 例 1:求证 3 ? 5 ? 2 ? 6 .

练习:求证: 3 ? 7 ? 2 5

例 2:已知 SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,过 A 作 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线, 垂足为 F. 求证:AF⊥SC

练习

在锐角△ABC 中,求证:tan Atan B>1. 分析法的证明过程及书写形式
9

(1)证明过程:确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化, 直到获得一个显而易见的命题即可. (2)书写形式:要证?,只需证?,即证?,然后得到一个明显成立的条件,所以结论成立. 例 3.已知 ? , ? ? k? ? ? 且 sin ? ? cos? ? 2 sin ? , sin ? ? cos? ? sin 2 ? . 2 (k ? z ),
1? tan ? ? 求证: 1 ? tan2 ?
2

1? tan2 ? 2 (1? tan2 ? )

.

函 数 1.

?s i ? n x 2 ,?1 ? x ? 0; f ( x ) ? ? x ?1 ?e , x ? 0
B. ?

, 若

f (1) ? f (a) ? 2,



a

的 所 有 可 能 值 为



)A. 1

2 2

C. 1, 或 ?

2 2

D. 1, 或

2 2
( )

2.2.函数

y ? x cos x ? sin x 在下列哪个区间内是增函数

A. (

? 3?
2 , 2

)
2

B. (? ,2? )

C. (

3? 5? , ) 2 2

D. (2? ,3? ) (
7 2

3.设 a, b ? R, a A. ? 2

? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是
B.



2

? 5 33

C.-3

D. ?

4.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 A.





y ? sin 2 x

B.

y ? xex

C.

y ? x3 ? x

D.

y ? ln(1 ? x) ? x
a x

5.设 a, b, c 三数成等比数列,而 x, y 分别为 a , b 和 b, c 的等差中项,则 A. 1 B. 2 C. 3 D.不确定

= ?b y





6 已知实数 a

1 ? 0 且函数 f ( x) ? a( x 2 ? 1) ? (2 x ? ) 有最小值 ?1 ,则 a =__________。 a

7.已知 a , b 是不相等的正数, x

?

a? b 2

, y ? a ? b ,则 x, y 的大小关系是

8.若正整数 m 满足 10 9. ?ABC 的三个内角

m?1

? 2512 ? 10m ,则 m ? __________ ____.(lg2 ? 0.3010 )
1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c

A, B, C 成等差数列,求证:
10

2. 2.2 反证法 学习目标 (1)使学生了解反证法的基本原理; (2)掌握运用反证法的一般步骤; (3)学会用反证法证明一些典型问题. 学习过程 预习内容(教材 P42-43) () () () () 问题 1:桌面上有 3 枚正面朝上的硬币,每次用双手同时翻转 2 枚硬币,那么无论怎么 翻转,都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗? 问题 2:A、B、C 三个人,A 说 B 撒谎,B 说 C 撒谎,C 说 A、B 都撒谎。则 C 必定是在 撒谎,为什么? 在解决某些数学问题时,我们会不自觉地使用反证法 课内探究 反证法是 ,它是先提出 ,然后,从这个假设出发,经过正确 的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。 例题讲解: 例 1、已知 a ? 0 ,证明 x 的方程 ax ? b 有且只有一个根.

例 2、已知直线 a , b 和平面 ? ,如果 a ? ? , b ? ? ,且 a ∥b,求证 a ∥ ? 。

用反证法的基本步骤: 第一步 第二步 第三步 第四步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 作出与所证不等式相反的假定; 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证成立

变式训练 1.求证:圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.

例 3、求证: 2 不是有理数

11

例 4 设二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q , 求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于

1 . 2

变式训练 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大 于

1 4

当堂检测 1. 证明 3,5,7 不可能成等差数列. 2.设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
3 3
2 课后练习 1.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,

那么 a,b,c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数



C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数

D.假设 a,b,c 至多有两个是偶数

3 3 2. (1)已知 p ? q ? 2 ,求证 p ? q ≤ 2 ,用反证法证明时,可假设 p ? q ≥ 2 , (2)已知

a,b ? R , a ? b ? 1 ,求证方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根的绝对值都小于 1.用反证法证明时

可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设 A. (1) 与 (2) 的假设都错误 C. (1) 的假设正确; (2) 的假设错误

x1 ≥1

,以下结论正确的是(



B. (1) 与 (2) 的假设 都正确 D. (1) 的假设错误; (2) 的假设正确 )

3.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( A.有两个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角
?

4..三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 至少有 1 个大于或等于 60 的反面为_______. 5 . 已知 A 为平面 BCD 外的一点,则 AB、CD 是异面直线的反面为__ _____. 6.已知实数 a,b,c,d 满足 a ? b ? c ? d ? 1 , ac ? bd ? 1 ,求证 a,b,c,d 中至少有一个是 负数.
12

第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1.1 数系的扩充与复数的概念
学习目标: 理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及其相关概念。 学习过程 一、 预习内容: (教材 P50—52) 1. N、Z、Q、R 分别代表什么?它们的如何发展得来的? 2.判断下列方程在实数集中的解的个数(引导学生回顾根的个数与 ? 的关系) : 2 2 2 2 (1) x ? 3x ? 4 ? 0 (2) x ? 4 x ? 5 ? 0 (3) x ? 2 x ? 1 ? 0 (4) x ? 1 ? 0 3.对于实系数一元二次方程 ,没有实数根.我们能否将实 数集进行扩充,使得在新的数集 中,该问题能得到圆满解决呢? 讨论:若给方程 x 2 ? 1 ? 0 一个解 i ,则这个解 i 要满足什么条件? i 是否在实数集中? 实数 a 与 i 相乘、相加的结果应如何? 二、讲授新课: 1.复数的概念: ⑴虚数单位:数__叫做虚数单位,具有下面的性质: ①_________ ②___________________________________ ⑵复数:形如__________叫做复数,常用字母___表示,全体复数构成的集合 叫做______,常用字母___表示. ⑶复数的代数形式:_________,其中____叫做复数的实部,___叫做复数 的虚部,复数的实部和虚部都是___数. (4)对于复数 a+bi(a,b ∈R),当且仅当_ ____时,它是实数; 当且仅当_____时,它是实数 0;数集的关系: 当_______时, 叫做虚数; 当_______时, 叫做纯虚数;

?实数 (b=0) ? 复数Z ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?

例 1:下列数是否是复数,试找出它们各自的实部和虚部。 2 ? 3i,8 ? 4i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 9i,7i,0

规定: a ? bi ? c ? di ? a ? c且b=d ,强调:两复数不能比较大小,只有等与不等。 例题 2:实数 m 取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是(1)实数; (2)虚数 ; (3).纯虚数. 练习:实数 m 分别取什么值时,复数 z=m +m-2+(m -1)i 是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数。
2 2

13

例 2 已知 x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中,x,y 为实数,求 x 与 y.

练习:已知复数 a ? bi 与 3 ? (4 ? k )i 相等,且 a ? bi 的实部、虚部分别是方程 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,试求: a , b, k 的值。 小结:复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。 三、巩固练习: 1.指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数,是虚数的找出其实部与虚部。 2 ? 3i ,8 ? 4i,8 ? 0i,6, i, ? ?2 ? 9i ? ? 2 ? 1 ,7i,0 3

?

?

2.判断① 两复数,若虚部都是 3,则实部大的那个复数较大。 ② 复平面内,所有纯虚数都落在虚轴上,所有虚轴上的点都是纯虚数。 3 若 (3x ? 2 y) ? (5 x ? y)i ? 17 ? 2i ,则 x, y 的值是?

4. .已知 i 是虚数单位,复数 Z ? m2 (1 ? i) ? m(2 ? 3i) ? 4(2 ? i) ,当 m 取何实数时, z 是: (1)实数 (2) 虚数 (3)纯虚数 (4)零 当堂检测

1. m∈R,复数 z=(m-2)(m+5)+(m-2)(m-5)i,则 z 为纯虚数的充要条件 则 m 的值为 ( ) A.2 或 5 B.5 C.2 或-5 D.-5 2、设 a∈R.复数 a2-a-6+(a 2- 3a-10)i 是纯虚数,则 a 的取值为 ( (A)5 或-2 (B)3 或-2 (C)-2 (D)3 ) )

3、如果(2 x- ?y)+(x+3)i=0(x,y∈R)则 x+y 的值是(
A.18   B. 1    C.3  D. ? 9 2

x? y 4.已知 x, y ? R, 且 (3x ? 2 y) ? ( x ? y)i ? i ,则 x ? y 的值是





A. ? 5

B.5

C. ?

1 5
14

D.

1 5

3.1.2 复数的几何意义
学习目标:理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,能根据复数的代数形式描出 其对应的点及向量;理解复数模的计算;了解共轭复数的概念及性质 学习过程:

(1)复数集是实数集与虚数集的 (2)实数集与纯虚数集的交集是 (3)纯虚数集是虚数集的 (4)设复数集 C 为全集,那么实数集的补集是 (5)a,b.c.d∈R,a+bi=c+di ? (6)a=0 是 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的 条件

练习: 1.复数 z ? ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ,当 x, y 取何值时为实数、虚数、纯虚数 2. 若 ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ? 2 ? i ,试求 x, y 的值。 新课讲解: 阅读并完成: (教材 P52---54)

(1) 、复数 z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是 的 (2)、 叫做复平面, x 轴叫做 , y 轴 叫做 实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外,虚轴上的点都表示 (3) 、复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

复数

一一对应 ???? ?复平面内的点

一一对应 ???? ? 平面向量

(4) 、共轭复数 (5) 、复数 z=a+bi(a、b∈R)的模
例题讲解: 例 1:在复平面内描出复数 1 ? 4i,7 ? 2i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i,3 分别对应的点。

练习:在复平面内画出 2 ? 3i, 4 ? 2i, ?1 ? 3i, 4i, ?3 ? 0i 所对应的向量。
15

? 反 思 : 复数Z ? a

一一对应

b? i 复平面内的点(a,b) , 复数Z ? a ? bi

一一对应

?? ? 平面向量 OZ , ?

一一对应 ?? ? 复平面内的点(a,b) ? 平面向量OZ

例 2:已知复数 Z1 =3-4i, Z 2 =

1 3 ? i ,试比较它们模的大小。 2 2

练习:若复数 Z=4a+3 ai(a<0),则其模长为
当堂检测

1、判断正误 (1) 实轴上的点都表示实数, 虚轴上的点都表示纯虚数 (2) 若|z1|=|z2|,则 z1= z2 (3) 若|z1|= z1,则 z1>0 2、 当m<时,复数 1 z ? 2+? m-1? i在复平面上对应的点位于 ( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 )

3、已知 a,判断 z= (a 2 ? 2a ? 4) ? (a 2 ? 2a ? 2)i 所对应的点在第几象限 4、设 Z 为纯虚数,且|z+2|=|4-3 i |,求复数 Z 课后提升
?3 5 ? 1. )若 ? ? ? π, π ? ,则复数 (cos? ? sin ? ) ? (sin ? ? cos ? )i 在复平面内所对应的 ?4 4 ?

点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=- 1-2i,它们在复平面上的对应点是一个平行 四边形的三个顶点,求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.

16 例2图

3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义
教学目标 :掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。 重点:复数加法运算,复数与从原点出发的向量的对应关系. 难点:复数加法运算的运算律,复数加减法运算的几何意义。 教学过程: 预习内容: (预习教材 P56-58)设 z1 ? a ? bi, z 2 ? c ? di(a, b, c, d ? R)

(1) z1 ? z2 ?

(向量加法法则)

(2)(2) 若复数z1 , z 2 对应的点分别为 Z1 , Z 2 , O为坐标原点,则

OZ1 ? _______, OZ 2 ? _______, OZ1 ? OZ 2 ? _________ 若OZ ? OZ1 ? OZ 2 , 则OZ对应的复数为________
(3) z1 ? z 2的几何意义是__________ __________ __________ ____ (4) z1 ? z 2 ? __________ __________ __(复数减法运算法则 ) ( 5

Z1Z 2 对应的复数为________ ) OZ1 ? OZ2 ? ______;

| Z1 Z 2 |? _____, | z1 ? z 2 | 的几何意义是__________ __________ ___ z1 ? z 2的几何意义是__________ __________ __________ ___ 、
练习 1. 与复数一一对应的有? 2. 试判断下列复数 1 ? 4i,7 ? 2i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i 在复平面中落在哪象限?并画出其对 应的向量。 3. 同 时 用 坐 标 和 几 何 形 式 表 示 复 数 z1 ? 1 ? 4i与Z 2 ? 7 ? 2i 所 对 应 的 向 量 , 并 计 算

???? ? ???? ? OZ1 ? OZ2 。向量的加减运算满足何种法则 ?

4. 类比向量坐标形式的加减运算,复数的加减运算如何? 二、讲授新课: 1.复数的加法运算及几何意义 ①.复数的加法法则: z1 ? a ? bi与Z 2 ? c ? di ,则 Z1 ? Z 2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 。 例 1.计算(1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2) (7 ? 2i)+(1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i)+(?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i)+[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] ②.观察上述计算,复数的加法运算是否满足交换、结合律,试给予验证。
17

例 2.例 1 中的(1) 、 (3)两小题,分别标出 (1 ? 4i),(7 ? 2i) , (3 ? 2i),(?4 ? 3i),(5 ? i) 所对 应的向量,再画出求和后所对应的向量,看能有 发现。

③复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形 法则) 2.复数的减法及几何意义:类比实数,规定复数的减法运算是加法运算的逆运算 , 即若 Z1 ? Z ? Z 2 ,则 Z叫做 Z 2减去Z1的差,记作Z ? Z 2 ? Z1 。 ④讨论:若 Z1 ? a ? b, Z 2 ? c ? di ,试确定 Z ? Z1 ? Z 2 是否是一个确定的值?

⑤复数的加法法则及几何意义: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ,复数的减法运算也可 以按向量的减法来进行 。 例 3.计算 (1) (1 ? 4i)-(7 ? 2i) (2) (5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 练习:已知复数 Z ? 1 ? 4i ,试画出 Z ? 2i , Z ? 3 , Z ? (5 ? 4i) ? 2i 对应的向量

(三)小结:两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减,复数的加减运算都可以按照向 量的加减法进行。 (四)巩固练习: 1.计算 (1) ?8 ? 4i ? ? 5 (2) ? 5 ? 4i ? ? 3i (3)

2 ? 3i ? ? ?2 ? 9i ? ? 3

?

2 ?i

?

2.若 (3 ? 10i) y ? (2 ? i) x ? 1 ? 9i ,求实数 x, y 的取值。

变式:若 (3 ? 10i) y ? (2 ? i) x 表示的点在复平面的左(右)半平面,试求实数 a 的取值。

3.三个复数 Z1 , Z 2 , Z3 ,其中 Z1 ? 3 ? i , Z 2 是纯虚数,若这三个复数所对应的向量能构成 等边三角 形,试确定 Z 2 , Z 3 的值。
18

3.2.2 复数的代数形式的乘除运算
学习目标:掌握复数的代数形式的乘、除运算。 学习重点:复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 学习过程: 预习内容: (预习 P58-60) 1.虚数单位 i: 2. i 的周期性: 3. 复 数 的 代 数 形 式 : 4. 两个复数相等的定义: 5.复数 z1 与 z2 的和的定义:

i 与-1 的关系:
,复数的定义 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系: 复平面、实轴、虚轴 复数 z1 与 z2 的差的定义:

6 复数的加法运算满足交换律: 复数的加法运算满足结合律: 练习: (5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] (1) 1. 计算

2. 计算: (1) (1 ? 3) ? (2 ? 3) 法)

(2) (a ? b) ? (c ? d ) (类比多项式的乘法引入复数的乘

讲授新课: 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则: 例 1.计算(1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i)

(2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i)

(3)[(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i)

例 2.1、计算(1) (1 ? 4i) ? (1 ? 4i)

(2) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) (3 ? 2i)2

2、已知复数 Z ,若,试求 Z 的值。变:若 (2 ? 3i) Z ? 8 ,试求 Z 的值。

19

②共轭复数:两复数 a ? bi与a ? bi 叫做互为共轭复数,当 b ? 0 时,它们叫做共轭虚数。 (两复数互为共轭复数,则它们的乘积为实数) 练习:说出下列复数的共轭复数 3 ? 2i, ?4 ? 3i,5 ? i, ?5 ? 2i,7, 2i 。

③类比

1? 2 2? 3

?

(1 ? 2)(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,试写出复数的除法法则。

复数的除法法则: 例 3.计算 (3 ? 2i) ? (2 ? 3i) , (1 ? 2i) ? (?3 ? 2i) 练习:计算

3 ? 2i 3?i , 2 (1 ? 2i) (1 ? i )2 ? 1

小结:两复数的乘除法,共轭复数,共轭虚数。 三、巩固练习: 1.计算(1)

? ?1 ? i ?? 2 ? i ?
i3

(2) i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? i 5

(3)

2 ? i3 1 ? 2i

2.若 z1 ? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,求实数 a 的取值。 z2

当堂检测:
3 1 1.设 z=3+i,则 1 等于( )A.3+i B.3-iC 10 . i ? 10 z 3 1 D. 10 ? 10 i

2.

a ? bi a ? bi ? 的值是 A.0 b ? ai b ? ai

B.i

C.-i

D.1

3.已知 z1=2-i,z2=1+3i,则复数

i z2 ? 的虚部为( )A.1 z1 5
z 等于( z

B.-1 C.i D.-i

4.设 z 的共轭复数是 z ,或 z+ z =4,z? z =8,则 (A)1 (B)-i
2



(C)±1

(D) ±i )A.0 B.2 C. 3i D

5.计算复数 (1 ? i ) ?

2?i 等于 ( 1 ? 2i

? 3i

6. Z ? C ,若 z ? z ? 1 ? 2i 则 7.7.已知复数 z 满足

4 ? 3i 的值是( )A2i B ?2i C 2 z

D. ?2

z ? z ? 2i ? z ? 8 ? 6i ,求复数 z.
20

21


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