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2016年专项练习题集-复数代数形式的乘除运算

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2016 年专项练习题集-复数代数形式的乘除运算 选择题: 1. 已知复数 z=1-i,则 A. 4 ? 2i B. 4 ? 2i C. 2 ? 4i D. 2 ? 4i 【分值】5 【答案】A 【考查方向】本题主要考查了复数的四则运算,集合的运算,主要考查学生的运算求解能力。 在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现,需要高度重视。 【易错点】复数的运算题目一般比较容易,往往会在

计算时因失误而失分。 【解题思路】直接化简

z2 ? 2z =( z ?1

)

z2 ? 2z 计算 z ?1
2

z 2 ? 2 z ?1 ? i ? ? 2(1 ? i) 2 ? 4i 【解析】由已知得: ? ? ? 4 ? 2i ,所以选择 A 选项. z ?1 1 ? i ?1 ?i

2.

?1 ? i ? 复数 z ?
1? i
A.2 B. C.5 D. 5

2

(i 为虚数单位),则|z|等于

(

)

2

【分值】5 【答案】B 【考查方向】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长计算, 主要考查学生的运算求解

能力。复数的运算在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现,需要高度重视。 【易错点】复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】先求出复数 z,然后直接求出模长 【解析】∵

?1 ? i ? z?
1? i

2

?1 ? i ? ?1 ? i ? ? ?2 ? 2i ? ?1 ? i ? ∴ z 2 ?1 ? i ??1 ? i ?
2

?

? ?1? ? ? ?1?
2

2

? 2

所以选择 B 选项.

3. 复数 z ?

11 ? 7 i 的共轭复数是 1 ? 2i

(

)

A. 5 ? 3i B. 5 ? 3i C.-i D.i 【分值】5 【答案】B 【考查方向】 本题主要考查了复数的四则运算及共轭复数的概念, 主要考查学生的运算求解 能力。复数在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现,需要高度重视。 【易错点】复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】先求出复数 z,然后直接求出模长 【解析】由题意得, z ?

11 ? 7i ?11 ? 7i ??1 ? 2i ? ? ? 5 ? 3i , z ? 5 ? 3i , 所以选择 B 选项. 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ?

? 3?i ? 2 4.复数 z ? ? (1) z ? 5 ; (2) z ? 25 ? 24i ; (3) z ? ?3 ? 4i ; ? 的四个命题: 1 ? i ? ?
(4) z 为纯虚数;其中的真命题的个数为( A.1 )

2

B.2 C.3 D.4 【分值】5 【答案】B

XK]

【考查方向】 本题主要考查了复数的四则运算及复数相关概念, 复数在近几年各省的高考题 中几乎每年都会出现,需要高度重视。 【易错点】复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】先求出复数 z ,利用复数相关概念求解
2 2 ? 3 ? i ? ? ? 3 ? i ??1 ? i ? ? ? 2 ? 4i ? 【解析】由题意,得 z ? ? ? ? =? ? ? ?3 ? 4i , ? =? ? 1? i ? ? ? ?1 ? i ??1 ? i ? ? ? 2 ? 2

∴ z ?

? ?3? ? ? ?4?
2

2

? 5 ; z 2 ? ? ?3 ? 4i ? ? ?7 ? 24i ; z ? ?3 ? 4i ; z ? ?3 ? 4i 不是纯
2

虚数;所以只有(1)和(3)为真命题;所以选择 B 选项.

5.设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 (1 ? i) z ? 2 ,则 z 在复平面内对应点的坐 标是为( A. (1, ?1) B. (?1,1) C. (1,1) D. (?1, ?1) 【分值】5 【答案】A 【考查方向】本题主要考查了复数四则运算,共轭复数,在近几年各省的高考题中几乎每年 )

都会出现,需要高度重视。 【易错点】复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】直接化简 (1 ? i) z ? 2 求出 z ? 1 ? i ,然后利用复数的几何意义求解 【解析】由已知得: (1 ? i ) z ? 2 ? z ? 是 (1, ?1) ,,所以选择 A 选项.

2 ? 1 ? i ,∴ z ? 1 ? i ,∴ z 在复平面内对应点的坐标 1? i

填空题 6.

2 ? 3i ? 2 ? ?? ? ? 3 ? 2i ? ? 1? i ?

2016

=__________________

【分值】3 【答案】 1 ? i 【考查方向】本题主要考查了复数的除法运算,实质上是分母实数化的运算.同时涉及分数 指数幂的运算性质. 【易错点】本复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值

【解析】∵

2 ? 3i ? 3 ? 2i
2016

? ?

2 ? 3i 3?

?? 2i ??
1008

3 ? 2i 3?

? ? 5i ? i 2i ? 5
1008

? 2? ? ? 1? i ? ? ? ?

?? 2 ? 2 ? ? ?? ? ? 1? i ? ?? ? ? ? ? ?
2016

? 2 ? ?? ? ?2i ? ?

? i1008 ? i 4?252 ? 1

2 ? 3i ? 2 ? ?? ∴ ? ? 3 ? 2i ? ? 1? i ?

? 1? i

7. 已知复数 z ?

?2 3 ? i , z 是 z 的共轭复数,则 z· z =________. 1 ? 2 3i

【分值】3 【答案】 1 【考查方向】 本题主要考查了复数的四则运算和共轭复数概念, 实质上是分母实数化的运算. 【易错点】本复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值

【解析】 z ?

?2 3 ? i 1 ? 2 3i 13i ?2 3 ? i ? ? ? i ,则 z ? ?i 13 1 ? 2 3i 1 ? 2 3i 1 ? 2 3i

? ?

?? ??

? ?

z ? z ? i ? ? ?i ? ? 1

8.

? 2 ? bi ? 复数 z ?
i

2

? a ? bi (a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b=________.

【分值】3 【答案】-15 【考查方向】本题主要考查了复数的四则运算和复数的概念,实质上是分母实数化的运算. 【易错点】本复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】先求出复数 z ,利用复数的概念求解

? 2 ? bi ? 【解析】 z ?
i
∴ a ? b ? ?15

2

?

?4b ? a ?a ? ?12 3 ? 4bi ?? ? 4b ? 3i ? a ? bi ∴ ? i ??3 ? b ?b ? ?3

综合题 9. 若复数 z1 ?

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,纯虚数 1 ? 2i

z2 满足 (2 ? i ) z2 ? 4 ? b(1 ? i ) 2 ( b ? R, i 为虚数单位),求实数 a 与 b

【分值】6 【答案】 a ? 6 , b ? ?4 【易错点】复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【考查方向】本题考查了复数的乘除的计算,及纯虚数的概念 【解题思路】根据题中所给条件,分别化简复数 z1 , z2 ? yi ( y ? 0) ,求出 a 与 b 【解析】∵由

a ? 3i ?a ? 3i ??1 ? 2i ? ?a ? 6? ? ?3 ? 2a ?i 在复平面内对应的点在 y 轴负半 ? ? 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5

轴上,可得 a ? 6 ? 0 ,所以 a ? 6 , 设 z2 ? yi ( y ? 0) ,则由 (2 ? i ) ? yi ? 4 ? b(1 ? i ) 2 ? y ? 2 yi ? 4 ? 2bi ∴?

?y ? 4 ? b ? ?4 ?2 y ? ?2b

10. 已知复数 z1 满足 (1 ? i) z1 ? 2i (i 为虚数单位),复数 z2 ?

2a ( a ? 0) 对应的点到直线 1? i

y ? ? x ? 1 的距离是
【分值】6 【答案】 2i

2 , 求 z1 z2 2

【易错点】复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【考查方向】本题考查了复数的复数的四则运算和点到直线距离公式应用集合运算, 【 解 题 思 路 】 根 据 题 中 所 给 条 件 , 计 算 出 z1 ? 1 ? i , 利 用 点 到 直 线 的 距 离 求 出

d?

a ? a ?1 12 ? (?1) 2

?

2 ? a=1 ,在计算 z1 z2 2

【解析】∵ (1 ? i) z1 ? 2i ∴ z1 ?

2a ?1 ? i ? 2i 2a ? 1 ? i ; z2 ? ? ? a ? ai 1? i 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

, 所 以 该 复 数 对 应 的 点 为 ( a, a ) , 该 点 到 直 线 y ? ? x ? 1 的 距 离 为

d?

a ? a ?1 1 ? (?1)
2 2

?

2 ? a ? 0(舍)或a =1 ,∴ z2 ? 1 ? i 2

z1z2 =( 1+i)2 ? 2i


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