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2010年AAA数学试题


教育部考试中心

2010 年 1 月用

2010 年五校合作自主选拔通用基础测试





注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共

10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)设复数 w ? ( (A) ? (C)
1 2 3 2 a?i 2 ) ,其中 a 为实数. 若 w 的实部为 2,则 w 的虚部为 1? i

(B) ? (D )
3 2

1 2

(2)设向量 a, b 满足 | a | ?| b| ? 1 , a ? b ? m ,则 | a + t b | (t ? R ) 的最小值为 (A)2 (C)1 (B) 1 ? m 2 (D ) 1 ? m 2

(3)如果平面 ? ,? ,直线 m,n,点 A,B 满足:? ∥ ? ,m ? ? ,n ? ? , A ? ? ,B ? ? , 且 AB 与 ? 所成的角为 小为 (A) (C)
? 3 ? 6 ? ? , m ? AB ,n 与 AB 所成的角为 ,那么 m 与 n 所成角的大 4 3

(B) (D )

? 4 ? 8

(4)在四棱锥 V ? ABCD 中, B1 , D1 分别为侧棱 VB,VD 的中点,则四面体 AB1CD1 的体积 与四棱锥 V ? ABCD 的体积之比为 (A) 1: 6 (C) 1: 4 (B) 1: 5 (D) 1: 3
A C tan 的值为 2 2

(5)在 △ ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a ? c ? 3b ,则 tan (A) (C)
1 5 1 2

(B) (D )

1 4 2 3

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(6)如图,△ ABC 的两条高线 AD,BE 交于 H,其外接圆圆心 为 O,过 O 作 OF 垂直 BC 于 F,OH 与 AF 相交于 G. 则
△OFG 与 △GAH 面积之比为

(A) 1: 4 (C) 2 : 5

(B) 1: 3 (D) 1: 2

(7)设 f ( x) ? e a x ( a ? 0) . 过点 P(a, 0) 且平行于 y 轴的直线与曲线 C : y ? f ( x) 的交点为 Q, 曲线 C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R,则 △PQR 的面积的最小值是 (A)1
e 2

(B)

2e 2

(C)

(D )

e2 4

(8)设双曲线 C1 :

x2 y2 x2 y2 ? ? k ( a ? 2, k ? 0) ,椭圆 C : ? ? 1 . 若 C2 的短轴长与 C1 的 2 a2 4 a2 4

实轴长的比值等于 C2 的离心率,则 C1 在 C2 的一条准线上截得线段的长为 (A) 2 2 ? k (C) 4 4 ? k (B)2 (D )4

(9)欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 n 种颜色之一,使得以正六边形的任何 3 个 顶点作为顶点的三角形有 3 种不同颜色的边, 并且不同的三角形使用不同的 3 色组合, 则 n 的最小值为 (A)6 (C)8 (B)7 (D )9

(10)设定点 A、B、C、D 是以 O 点为中心的正四面体的顶点,用 ? 表示空间以直线 OA 为轴满足条件 ? ( B) ? C 的旋转,用 ? 表示空间关于 OCD 所在平面的镜面反射,设 l 为过 AB 中点与 CD 中点的直线,用 ? 表示空间以 l 为轴的 180? 旋转. 设 ? ° ? 表示变 换的复合,先作 ? ,再作 ? . 则 ? 可以表示为 (A) ? ° ?° ?° ?° ? (C) ? ° ?° ?° ?° ? (B) ? ° ?° ?° ?° ?° ? (D ) ? ° ?° ?° ?° ?° ?

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二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11) (本题满分 14 分) 在 △ ABC 中,已知 2sin 2 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 △ ABC 面积的最大值.
A? B ? cos 2C ? 1 ,外接圆半径 R ? 2 . 2

(12) (本小题满分 14 分) 设 A,B,C,D 为抛物线 x 2 ? 4 y 上不同的四点,A,D 关于该抛物线的对称轴对称, BC 平行于该抛物线在点 D 处的切线 l. 设 D 到直线 AB,直线 AC 的距离分别为 d1,d2,已 知 d1 ? d 2 ? 2 | AD | . (Ⅰ)判断 △ ABC 是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形,并说明 理由; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积为 240,求点 A 的坐标及直线 BC 的方程.

(13) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)正四棱锥的体积 V ?
2 ,求正四棱锥的表面积的最小值; 3

(Ⅱ)一般地,设正 n 棱锥的体积 V 为定值,试给出不依赖于 n 的一个充分必要条件, 使得正 n 棱锥的表面积取得最小值.

(14) (本小题满分 14 分) 假定亲本总体中三种基因型式:AA,Aa,aa 的比例为 u : 2v : w (u ? 0, v ? 0, w ? 0,

u ? 2v ? w ? 1) 且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个.
(Ⅰ)求子一代中,三种基因型式的比例; (Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?并说明理由.

(15) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?
x?m 1 2t ? 1 2 s ? 1 ,且存在函数 s ? ? (t ) ? at ? b (t ? , a ? 0) ,满足 f ( )? . x ?1 2 t s 2 s ? 1 2t ? 1 )? ; s t 1 . 3n ?1

(Ⅰ)证明:存在函数 t ? ? (s ) ? cs ? d (s ? 0) ,满足 f (

(Ⅱ)设 x1 ? 3 , xn?1 ? f ( xn ) , n ? 1, 2,? . 证明: | xn ? 2 |≤

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