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高中数学常用的数学思想


高中数学常用的数学思想
一、数形结合思想方法
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题 与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想 分析和解决问题时, 要注意三点: 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代 数特征, 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;

第二是恰当设参、 合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范 围。 数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。如:锐角三角函数的定义是借助于 直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

Ⅰ、再现性题组:
1. 设命题甲:0<x<5;命题乙:|x-2|<3,那么甲是乙的_____。 (90 年全国文) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 若 log a 2<log b 2<0,则_____。(92 年全国理) A. 0<a<b<1 3. 如果|x|≤ B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>1

π 2 ,那么函数 f(x)=cos x+sinx 的最小值是_____。 (89 年全国文) 4
B. -

A.

2 ?1 2

2 ?1 2

C. -1

D.

1? 2 2

4. 如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是 5,那么 f(x)的[-7,-3]上是 ____。(91 年全国) A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 5. 设全集 I={(x,y)|x,y∈R},集合 M={(x,y)|

y?3 =1},N={(x,y)|y≠x+1}, x?2

那么 M∪N 等于_____。 A. φ

(90 年全国) C. (2,3) D. {(x,y)|y=x+1

B. {(2,3)}

6. 如果θ 是第二象限的角,且满足 cos

θ θ θ -sin = 1 ? sin θ ,那么 是_____。 2 2 2

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角, 也可能第三象限角 D.第 二象限角 7. 已知集合 E={θ |cosθ <sinθ ,0≤θ ≤2π },F={θ |tgθ <sinθ },那么 E∩F 的区 间是_____。(93 年全国文理) A. (

π ,π ) 2

B. (

π 3π , ) 4 4

C. (π ,

3π ) 2

D. (

3π 5π , ) 4 4

1

8. 若复数 z 的辐角为

5π ,实部为-2 3 ,则 z=_____。 6
B. -2 3 +2i C. -2 3 +2 3 i D. -2 3 -2 3

A. -2 3 -2i i

9. 如果实数 x、y 满足等式(x-2) +y =3,那么 理) A.

2

2

y 的最大值是_____。 (90 年全国 x

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D.

3

10. 满足方程|z+3- 3 i|= 3 的辐角主值最小的复数 z 是_____。

Ⅱ、示范性题组:
例 1. 若方程 lg(-x +3x-m)=lg(3-x)在 x∈(0,3) 内有唯一解,求实数 m 的取值范围。 例 2. 设|z 1 |=5,|z 2 |=2, |z 1 - z2 |= 13 ,求
2

y 4 1 O y=1-m 2 3 x

z1 的值。 z2
例 3. 直线 L 的方程为:x=- 心 D(2+

p 2

(p>0),椭圆中

p ,0),焦点在 x 轴上,长半轴为 2,短半轴为 1,它的左顶点为 A。问 p 在什么范 2

围内取值,椭圆上有四个不同的点,

Ⅲ、巩固性题组:
1. 已知 5x+12y=60,则 x 2 ? y 2 的最小值是_____。 A. 60
13

B. 13
5

C. 13
12

D. 1

2. 已知集合 P={(x,y)|y= 9 ? x 2 }、Q={(x,y)|y=x+b},若 P∩Q≠φ ,则 b 的取值 范围是____。 A. |b|<3 B. |b|≤3 2 C. -3≤b≤3 2 D. -3<b<3 2 3. 方程 2 =x +2x+1 的实数解的个数是_____。 A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不对 4. 方程 x=10sinx 的实根的个数是_______。 5. 若不等式 m>|x-1|+|x+1|的解集是非空数集, 那么实数 m 的取值范围是_________。 6. 设 z=cosα + 1 i且|z|≤1,那么 argz 的取值范围是____________。
2
x

2

2

7. 若方程 x -3ax+2a =0 的一个根小于 1,而另一根大于 1,则实数 a 的取值范围是 ______。 8. sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°·cos80°=____________。 9. 解不等式:
? x 2 ? 2x >b-x
2

2

2

2

2

? x ? 2 x ? a≤ 0 的解集,试确定 a、b 10. 设 A={x|<1x<3},又设 B 是关于 x 的不等式组 ? ? 2 ? ? x ? 2bx ? 5≤ 0

的取值范围,使得 A ? B。 (90 年高考副题) 11. 定义域内不等式 2 ? x 〉x+a 恒成立,求实数 a 的取值范围。 12. 已知函数 y= ( x ? 1) 2 ? 1 + ( x ? 5) 2 ? 9 ,求函数的最小值及此时 x 的值。 13. 已知 z∈C,且|z|=1,求|(z+1)(z-i)|的最大值。 14. 若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数 k 的取值范围。

二、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时, 有时会遇到多种情况, 需要对各种情况加以分类, 并逐类求解, 然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同 时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关 分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概 括性,所以在高考试题中占有重要的位置。

Ⅰ、再现性题组:
1. 集合 A={x||x|≤4,x∈R}, B={x||x-3|≤a, x∈R}, 若 A ? B, 那么 a 的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1
3

C.

a<1
2

D. 0<a<1

2.若 a>0 且 a≠1,p=log a (a +a+1),q=log a (a +a+1),则 p、q 的大小关系是 _____。 A. p=q 3.函数 y= B. p<q C. p>q D.当 a>1 时,p>q;当 0<a<1 时,p<q

cos x sin x tgx | ctgx| + + + 的值域是_________。 |sin x| | cos x| | tgx| ctgx

4.若θ ∈(0, A. 1 或-1 5.函数 y=x+

π cos n θ ? sin n θ ),则 lim 的值为_____。 n→∞ cos n θ + sin n θ 2
B. 0 或-1 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或-1

1 的值域是_____。 x

A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2] 6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 2 和 4 的矩形,则它的体积为_____。 A.

8 9

3

B.

4 9

3

C.

2 9

3

D.

4 9

3或

8 9

3

7.过点 P(2,3),且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

3

A. 3x-2y=0

B. x+y-5=0

C. 3x-2y=0 或 x+y-5=0

D.不能确定

Ⅱ、示范性题组:
例 1. 设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较|log a (1-x)|与|log a (1+x)|的大小。 例 2. 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素,A∩B 含有 4 个元素,试求同时满足下面 两个条件的集合 C 的个数: ①. C ? A∪B 且 C 中含有 3 个元素; ②. C∩A≠φ 。 例 3. 设 {a
n

}是由正数组成的等比数列,S

n

是前 n 项和。

①. 证明:

lg S n ? lg S n ? 2 <lgS n?1 ; 2

②.是否存在常数 c>0,使得

lg( S n ? c ) ? lg( S n ? 2 ? c ) =lg 2

(S n?1 -c)成立?并证明结论。(95 年全国理) 例 4. 设函数 f(x)=ax -2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范围。 例 5. 解不等式
2

( x ? 4a )( x ? 6a ) 1 >0 (a 为常数,a≠- ) 2 2a ? 1

Ⅲ、巩固性题组:
1. 若 log a 2 <1,则 a 的取值范围是_____。
3

A. (0, 2 )
3

B. ( 2 ,1)
3

C. (0, 2 )∪(1,+∞)
3

D. ( 2 ,+∞)
3

2. 非零实数 a、b、c,则 a + b + c + abc 的值组成的集合是_____。
| a| | b| | c| | abc|

A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4} 3. f(x)=(a-x)|3a-x|,a 是正常数,下列结论正确的是_____。 A.当 x=2a 时有最小值 0 B.当 x=3a 时有最大值 0 C.无最大值,且无最小值 D.有最小值但无最大值 4. 设 f 1 (x,y)=0 是椭圆方程,f 2 (x,y)=0 是直线方程,则方程 f 1 (x,y)+λ f 2 (x,y) =0 (λ ∈R)表示的曲线是_____。 A.只能是椭圆 B.椭圆或直线
2

C.椭圆或一点

D.还有上述外的其它情况

5. 函数 f(x)=ax -2ax+2+b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2,则 a、 b 的值为_____。 A. a=1,b=0 C. a=-1,b=3 6.方程(x -x-1)
2 x ?2

B. a=1,b=0 或 a=-1,b=3 D. 以上答案均不正确 =1 的整数解的个数是_____。

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 7. 到空间不共面的 4 个点距离相等的平面的个数是_____。 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

4

8.z∈C,方程 z -3|z|+2=0 的解的个数是_____。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9.复数 z=a+ai (a≠0)的辐角主值是______________。 10.解关于 x 的不等式: 2log a 2 (2x-1)>log a (x -a)
2

2

(a>0 且 a≠1)

11.设首项为 1,公比为 q (q>0)的等比数列的前 n 项和为 S n ,又设 T n = S n ,求
S n ?1

n→∞

lim T n 。
12. 若复数 z、z 、z 在复平面上所对应三点 A、B、C 组成直角三角形,且|z|=2,求
2 3

z 。 13. 有卡片 9 张,将 0、1、2、…、8 这 9 个数字分别写在每张卡片上。现从中任取 3 张排成三位数,若 6 可以当作 9 用,问可组成多少个不同的三位数。 14. 函数 f(x)=(|m|-1)x -2(m+1)x-1 的图像与 x 轴只有一个公共点, 求参数 m 的 值及交点坐标。
2

三、函数与方程的思想方法
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是 从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或 方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还 实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是 高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题; 有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量 的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学 语言, 建立数学模型和函数关系式, 应用函数性质或不等式等知识解答; 等差、 等比数列中, 通项公式、前 n 项和的公式,都可以看成 n 的函数,数列问题也可以用函数方法解决。

Ⅰ、再现性题组:
1.方程 lgx+x=3 的解所在的区间为_____。 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)
2

D. (3,+∞)

2.如果函数 f(x)=x +bx+c 对于任意实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),那么_____。 A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1) 3.已知函数 y=f(x)有反函数,则方程 f(x)=a (a 是常数) ______。 A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论 4.已知 sinθ +cosθ = ,θ ∈(

1 5

π ,π ),则 tgθ 的值是_____。 2
C.

A. -

4 3

B. -

3 4

4 3

D.

3 4

5

5.已知等差数列的前 n 项和为 S n , 且 S =S q
2

p

(p≠q, p、 q∈N), 则 S p ? q =_________。

6.关于 x 的方程 sin x+cosx+a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是__________。 7. 正 六 棱 锥 的 体 积 为 48, 侧 面 与 底 面 所 成 的 角 为 45 ° , 则 此 棱 锥 的 侧 面 积 为 ___________。 8. 建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米 分别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为___________。
3

Ⅱ、示范性题组:
例 1. 设不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取 值范围。 例 2. 设等差数列{a n }的前 n 项的和为 S n ,已知 a 3 =12,S 12 >0,S 13 <0 。 ①.求公差 d 的取值范围; ②.指出 S 1 、S 2 、…、S 12 中哪一个值最大,并说明理由。 (92 年全国高考) 例 3. 如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在平面,C 是圆周上任一点,设∠BAC =θ ,PA=AB=2r,求异面直线 PB 和 AC 的距离。 例 4. 已知△ABC 三内角 A、B、C 的大小成等差数列,且 tgA·tgC=2+ 3 ,又知顶点 C 的对边 c 上的高等于 4 3 ,求△ABC 的三边 a、b、c 及三内角。 例 5. 若(z-x)
2 2

-4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z 成等差数列。

例 6. △ABC 中,求证:cosA·cosB·cosC≤

1 。 8

Ⅲ、巩固性题组:
1. 方程 sin2x=sinx 在区间(0,2π )内解的个数是_____。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知函数 f(x)=|2 -1|,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),则_____。 B. a<0,b>0,c>0
2
x

A. a<0,b<0,c>0 3. A.

C. 2

?a

<2

c

D. 2 +2 <2

a

c

已知函数 f(x)=log a (x -4x+8), x∈[0,2]的最大值为-2,则 a=_____。
1 2

B.

1 4

C. 2

D. 4

4.已知{a n }是等比数列,且 a 1 +a 2 +a 3 =18,a 2 +a 3 +a 4 =-9,S n =a 1 +a 2 +…+ a n ,那么 lim S n 等于_____。
n→∞

A. 8

B.

16

C. 32

D. 48

6

5.等差数列{a n }中,a 4 =84,前 n 项和为 S n ,已知 S 9 >0,S 10 <0,则当 n=______时, S n 最大。 6. 对于满足 0≤p≤4 的所有实数 p,使不等式 x +px〉4x+p-3 成立的 x 的取值范围 是________。 7. 若关于 x 的方程 |x - 6x + 8| = a 恰有两个不等实根,则实数 a 的取值范围是 ____________。 8.已知点 A(0,1)、B(2,3)及抛物线 y=x +mx+2,若抛物线与线段 AB 相交于两点,求 实数 m 的取值范围。 9.已知实数 x、y、z 满足等式 x+y+z=5 和 xy+yz+zx=3,试求 z 的取值范围。
2 10.已知 lg a -4·lg a ·lg b =0,求证:b 是 a、c 的等比中项。 2 2 2

c

b

c

11.设α 、β 、γ 均为锐角,且 cos α +cos β +cos γ +2cosα ·cosβ ·cosγ =1, 求证:α +β +γ =π 。
2 2 2 12.当 p 为何值时,曲线 y =2px (p>0)与椭圆 1 (x―2― p ) +y =1 有四个交点。(88

2

2

2

4

2

年全国高考) 13.已知关于 x 的实系数二次方程 x +ax+b=0 有两个实数根α 、β 。证明: ①. 如果|α |<2,|β |<2,那么 2|a|<4+b 且|b|<4; ②. 如果 2|a|<4+b 且|b|<4,那么|α |<2,|β |<2 。 (93 年全国理) 14.设 f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 k∈Z,用 I k 表示区间 (2k-1,2k+1],已知当 x∈I 0 时,f(x)=x 。
2 2

①.求 f(x)在 I k 上的解析表达式;

②.

对自然数 k,求集合 M k ={a|使方程 f(x)=ax 在 I k 上有两个不相等的实根}。 全国理)

(89 年

四、等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方 法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单 的问题。历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有 利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数 学问题时,没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换; 它可以在宏观上进行等价转化, 如在分析和解决实际问题的过程中, 普通语言向数学语言的 翻译; 它可以在符号系统内部实施转换, 即所说的恒等变形。 消去法、换元法、数形结合法、 求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进

7

行等价转化。 可以说, 等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不 变。由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则, 即把我们遇到的问题,通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的 问题,变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式… 等;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求 解过程, 比如数形结合法; 或者从非标准型向标准型进行转化。 按照这些原则进行数学操作, 转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透等价转化思想,可以提高解题的水平和能力。

Ⅰ、再现性题组:
1. f(x)是 R 上的奇函数, f(x+2)=f(x), 当 0≤x≤1 时, f(x)=x, 则 f(7.5)等于_____。 A. 0.5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5 2.设 f(x)=3x-2,则 f
?1

[f(x)]等于______。

A.

x?8 9

B. 9x-8
2 2

C. x
2 2

D.

1 3x ? 2

3. 若 m、n、p、q∈R 且 m +n =a,p +q =b,ab≠0,则 mp+nq 的最大值是______。

A.

a?b 2

B.

ab

C.

a 2 ? b2 2

D.

ab a?b

4. 如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值为______。 A. 1 B.

2

C. 2

D.

5

5. 设椭圆

y2 x2 + =1 (a>b>0)的半焦距为 c,直线 l 过(0,a)和(b,0),已知原点到 b2 a2

l 的距离等于

2 21 c,则椭圆的离心率为_____。 7
B.

A.

1 4

1 2

C.

3 3

D.

2 2

6. 已知三棱锥 S-ABC 的三条侧棱两两垂直,SA=5,SB=4,SC=3,D 为 AB 的中点,E 为 AC 的中点,则四棱锥 S-BCED 的体积为_____。 A.

15 2

B. 10

C.

25 2

D.

35 2

Ⅱ、示范性题组:
例 1. 若 x、y、z∈R 且 x+y+z=1,求(
?

1 1 1 -1)( -1)( -1)的最小值。 x z y
2

例 2. 设 x、y∈R 且 3x +2y =6x,求 x +y 的范围。

2

2

2

8

例 3. 求值:ctg10°-4cos10° 例 4. 已知 f(x)=tgx,x∈(0,

π π ),若 x 1 、x 2 ∈(0, )且 x 1 ≠x 2 , 2 2
(94 年全国高考)

求证:

x1 ? x 2 1 [f(x 1 )+f(x 2 )]>f( ) 2 2

9


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