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贵阳市2014年高三适应性监测考试(一)理科数学


贵阳市 2014 年高三适应性监测考试(一)理科数学
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个 是符合题目要求的.
1.设集合 A={x||2x-1|≤3},集合 B 为函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域,则 A∩B= A. (1, 2) 2. 复数 B.[1, 2] C.[1, 2) D.(1,

2]

2?i ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点在 i3
B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

3.在等差数列 {an } 中, a4 ? 2, 则前 7 项的和 S7 等于 A.28 B.14 C.3.5 D.7 D. -2

4. 阅读右图所示程序框图,运行相应的程序,输出 S 的值等于
A. -3 B. -10 C. 0 5. 右图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积等于 A.2 4 C. 3 2 B. 3 D.4

6. 若 sin(

?

2 ? ? ) ? , 则 sin 2? 等于 4 5
8 B. 25 17 C.― 25 17 D. 25

8 A.― 25

7. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2 , BC=2,点 E 为 BC 的中点, 点 F 在 CD 上,若 AB · AF = 2 ,则 AE · BF 的值是 A. 2 B. 2 D. 1
→ → → →

C. 0 8. 下列命题中假命题 的是 ...

A.??,?∈R,使 sin(?+?)=sin?+sin? B. ??∈R,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 C. ? x0 ? R ,使 x03 ? ax02 ? bx0 ? c ? 0(a, b, c ? R且为常数) D. ? a >0, 函数 f ( x) ? ln x ? ln x ? a 有零点
2

1

9. 已知 f ( x) ?

1 2 ? x ? sin( ? x) , f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,则 f ?( x ) 的图象是 4 2

10. 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若?OFM 的外 接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积 9?,则 p= A.2 B. 2 C .3 D. 3

11. 在区间[0,2]上随机取两个数 x, y ,则 0≤ xy ≤2 的概率是 A. 1-ln2 2 B. 3-2ln2 4 C. 1+ln2 2 D. 1+2ln2 2

1 2 x2 y 2 2 2 12.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过左焦点 F1 作圆 x ? y ? a 的切线, 4 a b
切点为 E,直线 EF1 交双曲线右支于点 P. 若 OE = ( OF 1 ? OP ),则双曲线的离心率是 A. 10 B. 2 2 C. 10 2 D. 2

? → 1 ???? ??? 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 (2 x ? ) ( a ? 0) 的展开式中常数项为 96,则实数 a 等于
4

a x



?2x-y≤0 ? x? y 14.已知变量 x, y 满足?x-2y+3≥0, 则 2 的最大值为 ?x≥0 ?
15.已知四棱锥 O―ABCD 的顶点在球心 O,底面正方形 ABCD 的四个顶点在球面上,且四棱锥 O―ABCD 的体积为

.

16. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数, 且满足 f ( x) ? f ( x ? 3) , f (?2) ? ?3, 若数列{an } 中,a1 ? ?1, 且前 n 项和 Sn 满足

Sn a ? 2 ? n ? 1 ,则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? n n

____

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a =(sin x , -1) , b =( 3cos x ,- ) , 函数 f ( x ) =( a + b )· a -2. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期 T;





1 2

→ →



2

(Ⅱ)已知 a, b, c 分别为?ABC 内角 A、B、C 的对边,其中 A 为锐角,a =2 3 ,c=4, 且 f ( A) ? 1,

求?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 某班研究性学习小组在今年 11 月 11 日“双 11 购物节”期间,对[25,55)岁的人群随机抽取了 1000 人进行了一次是否参加“抢购商品”的调查,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图. (I)求统计表中 a ,p 的值; (Ⅱ)从年龄在[40,50)岁参加“抢购商品”的人群中,采用分层抽样法抽取 9 人参满意度调查,其 中 3 人感到满意,记感到满意的 3 人中年龄在[40,50)岁的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X).

组数
频率 组距

分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55]

抢购商品 的人数 120 195 100

占本组 的频率 0.6 p 0.5 0.4 0.3 0.3

第一组 第二组

0.040 0.030 0.020 0.010 25 30 35 40 45 50 55 年龄(岁)

第三组 第四组 第五组 第六组

a
30 15

19.(本题满分 12 分) 如图,正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2. (Ⅰ)若点 E 为 AB 的中点,求证:BD1∥平面 A1DE; (Ⅱ)在线段 AB 上是否存在点 E,使二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 存在,请说明理由.

? ?若存在,求出 AE 的长;若不 6

3

20.(本题满分 12 分)

已知椭圆 C1:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的长轴、短轴、焦距分别为 A1A2、B1B2、F1F2,且 | F1 F2 |2 是 | A1 A2 |2 与 2 a

| B1B2 |2 的 等差中项
(Ⅰ )求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ )若曲线 C2 的方程为 ( x ? t ) ? y ? (t ? 3t ) (0 ? t ?
2 2 2 2

2 ) ,过椭圆 C1 左顶点的直线 l 与曲线 C2 2

相切,求直线 l 被椭圆 C1 截得的线段长的最小值 . 21. (本小题满分12分) 已知函数 f ? x ? ?

1 ? ln x . x

1 (Ⅰ)若函数在区间( a , a + )( a >0)上存在极值,求实数 a 的取值范围; 2 (Ⅱ) 求证:当 x≥1 时,不等式 f ( x ) >

2 sin x 恒成立. x ?1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,AB 是圆 O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. (Ⅰ)求证:∠DEA=DFA; (Ⅱ) 求证: AB ? BE ? BD ? AE ? AC .
2

E D F A

O
C

B

23. (本小题满分10分)选修4—4:极坐标和参数方程

以直角坐标系的原点为极点, x 轴非负半轴为极轴,在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线 l 的 方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0( ? ? 0) ,曲线 C 的参数方程为 ? 曲线 C 上的一动点. (Ⅰ)求线段 OM 的中点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值.?

? x ? 2cos ? ,点 M 是 (? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数

f ( x) ? x ?1 ? x ? 4 ? a.


(Ⅰ)当 a =1 时,求函数 f ( x)的最小值

4 (Ⅱ)若 f ( x ) ≥ +1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. a
4

贵阳市 2014 年高三适应性监测考试(一)

理科数学参考答案与评分建议
2014 年 2 月 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C 7 A 8 B 9 A 10 B 11 C 12 C

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)2 (14) 8 (15) 8 6? (16)3

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ?| a |2 ?a ? b ? 2

? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 1 ? cos 2 x 3 1 ?2 ? ? sin 2 x ? 2 2 2 2

?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2
2? ? ? ????????????????6 分 2

因为 ? ? 2 ,所以 T ?

(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ? 因为 A ? (0,

?
6

) ?1

?
2

), 2 A ?

?
6

? (?

? 5?
6 , 6

) ,所以 2 A ?
2

?
6

?

?
2

,A?

?
3

2 2 2 则 a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 12 ? b ? 16 ? 2 ? 4b ?

1 2 ,即 b ? 4b ? 4 ? 0 2

则b ? 2 从而 S ?

1 1 bc sin A ? ? 2 ? 4 ? sin 60? ? 2 3 ????????????????12 分 2 2

(18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为总人数为 1000 人

0 0 0 ? 5 ? 0 . 0 3 ? 1 5 0 所以年龄在[40,45)的人数为 1 人 ? 1 5 0 ? 0 . 4 ? 6 0 所以 a
5

因为年龄在[30,35)的人数的频率为 1 ? 5 ? ( 0 . 0 4 ? 0 . 0 4 ? 0 . 0 3 ? 0 . 0 2 ? 0 . 0 1 ) ? 0 . 3 .

0 0 0 ? 0 . 33 ? 0 0 所以年龄在[30,35)的人数为 1 人
所以 p ?

195 ? 0.65 ????????????????6 分 300

(Ⅱ)依题抽取年龄在[40,45) 之间 6 人,抽取年龄在[45,50)之间 3 人,

X ? 0,1, 2,3
3 1 2 C CC 1 1 8 3 6 3 P (X ?0 ) ? 3 ? , PX ( ? 1 )? 3 ? , C 8 4 C 8 4 9 9 3 2 1 C C6 C3 45 2 0 6 , P ( X ? 3 ) ? ? ? 3 3 C 8 4 C9 84 9

P( X ? 2) ?

所以 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 84

18 84

45 84

20 84

所以 E ??????????????12 分 X ? 0 ?? 1 ?? 2 ?? 3 ?? 2

1 1 8 8 4 8 4

4 5 2 0 8 4 8 4

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)四边形 ADD1 A 1 为正方形,连接 AD 1 , 则 F 是 AD1 的中点,又因为点 E 为 AB 的中点,连

A1D ? AD1 ? F ,
接 EF ,则 EF 为

?ABD1 的中位线,所以 EF ? BD1
又因为 BD1 ? 平面 A 1DE , EF ? 平面 A 1DE 所以 BD1

? 平面 A1DE …………………………………………6 分
标 原 点 , 直角坐标系

(Ⅱ)根据题意得 DD1 ? 平面 ABCD ,以 D 为坐

DA, DC, DD1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间
则 D(0,0,0), A 1 (1,0,1), D 1 (0,0,1), C(0, 2,0) 设满足条件的点 E 存在,
6

令 E(1, y0 ,0),(0 ≤ y0 ≤ 2) 因为 EC ? (?1,2 ? y0 ,0), DC ? (0,2, ?1) 1 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 D1EC 的一个法向量

??? ?

???? ?

??? ? ? ? n1 ? EC ? 0 ? ? x1 ? (2 ? y0 ) y1 ? 0 则? 得? ,设 y1 ? 1 ,则平面 D1 EC 的法向量为 n1 ? (2 ? y0 ,1, 2) ,由题 ???? ? 2y ? z ? 0 ? ? n1 ? D1C ? 0 ? 1 1
知平面 DEC 的一个法向量 n2 ? (0,0,1) 由二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 得 6

cos

?
6

?

| n1 ? n2 | 2 3 3 ? ? 解得 y0 ? 2 ? ? [0, 2] 2 | n1 | ? | n2 | 2 3 (2 ? y0 ) ? 1 ? 4

所以当 | AE |? 2 ?

3 ? 时二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 ………………………12 分 6 3

(20) (本小题满分 12 分)
2 2 2 解:(I)由题意得 | B1B2 |? 2b ? 2 , | A 1A 2 |? 2a , | F 1 F2 |? 2c ( a ? b ? c )





2? c ( 22 ?

a ) ?2 ( , 22 解 ) 得 2 a2 ? 3, c2 ? 2







C









x2 ? y 2 ? 1.???????????6 分 3
l (II)由(I)得椭圆的左顶点坐标为 A 1 (? 3,0) ,设直线 的方程为 y ? k ( x ? 3)
由直线 l 与曲线 C2 相切得

| k (t ? 3) | k ?1
2

? (t ? 3)t ,整理得

|k| k 2 ?1

?t

又因为 0 ? t ≤

2 |k| 2 2 即0 ? 解得 0 ? k ≤1 ≤ 2 2 2 k ?1

? x2 ? y2 ? 1 ? 联立 ? 3 消去 y 整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6 3k 2 x ? 9k 2 ? 3 ? 0 ? y ? k ( x ? 3) ?
M ,解方程可得点 B 的坐标为 直 线 l 被 椭 圆 C1 截 得 的 线 段 一 端 点 为 A 1 (? 3,0) , 设 另 一 端 点 为

?3 3k 2 ? 3 2 3k ( , 2 ) 3k 2 ? 1 3k ? 1

7

?3 3k 2 ? 3 12k 2 2 3 k 2 ?1 2 ? 3) ? ? 所以 | AB |? ( 3k 2 ? 1 (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1
令 m ? k 2 ? 1(1 ? m ≤ 2) ,则 | AB |?

2 3m 2 3 ? 2 3(m ? 1) ? 1 3m ? 2 m

考查函数 y ? 3m ?

2 2 2 的性质知 y ? 3m ? 在区间 (1, 2] 上是增函数,所以 m ? 2 时, y ? 3m ? 取 m m m

最大值 2 2 ,从而 | AB |min ?

6 .?????????????12 分 2

(21) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x ) ?

1 ? ln x ln x ( x ? 0 ),则 f ?( x ) ? ? 2 ( x ? 0 ), x x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时 f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减; 所以函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数在区间 (a, a ? ) (其中 a ? 0 )上存在极值,

1 2

?a ? 1 1 ? 所以 ? ,解得 ? a ? 1 ????????????6 分 1 2 a ? ?1 ? ? 2
(Ⅱ)证明:当 x ≥ 1 时,不等式 f ( x ) ? 记 g ( x) ?

2sin x ( x ? 1)(1 ? ln x) ? ? 2sin x x ?1 x

( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ≥ 1) x [( x ? 1)(1 ? ln x)]? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x ? 所以 g ?( x) ? x2 x2 1 令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x ) ? 1 ? , x
由 x ≥ 1 得 h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 [h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 从而 g ?( x) ? 0 故 g ( x) 在 [1, ??) 上是单调递增,所以 [ g ( x)]min ? g (1) ? 2 , 因为当 x ≥ 1 时 2sin x ≤ 2 ,所以 g ( x) ≥ 2sin x
8

又因为当 x ? 1 时 2sin x ? 2sin1 ? 2

( x ? 1)(1 ? ln x) ? 2sin x x 2sin x 所以当 x ≥ 1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立. ????12 分 x ?1
所以当 x ≥ 1 时 g ( x) ? 2sin x ,即 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 证明: (Ⅰ)连结 AD ,因为 AB 为圆的直径, 所以 ?ADB ? 90? ,又 EF ? AB, ?EFA ? 90? , 则 A, D, E , F 四点共圆, 所以 ?DEA ? ?DFA ?????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, BD ? BE ? BA ? BF ,连结 BC , 又 ?ABC ∽ ?AEF ,所以 即 AB ? AF ? AE ? AC , 所以 BE ? BD ? AE ? AC ? BA ? BF ? AB ? AF ? AB( BF ? AF ) ? AB2 ???????????????????????????????????10 分 (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)设中点 P 的坐标为 ( x, y ) ,依据中点公式有 ?

E D F A

O
C

B

AB AC ? AE AF

? x ? cos ? ( ? 为参数) , ? y ? 1 ? sin ?
2 2

这是点 P 轨迹的参数方程,消参得点 P 的直角坐标方程为 x? .???5 分 ( y ? 1 )? 1 (Ⅱ)直线 l 的普通方程为 x ,曲线 C 的普通方程为 x? , ( y ? 2 )? 4 ? y ? 1 ? 0
2 2

表示以 (0, 2) 为圆心,以 2 为半径的圆, 故所求最小值为圆心 (0, 2) 到直线 l 的距离减去半径, 设所求最小距离为 d ,则 d ?

|?? 12 ? 1 | 32 . ? 2 ? ? 2 2 1 ? 1
3 2 ? 2 .?????10 分 2

因此曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为

9

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

??2 x ? 2 , x ≤ ?1 , ? ?1 ? x ? 4 , 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 4 ? 1 ? ?4 , ?2 x ? 4 , x ≥ 4 . ?

? f ?x ? 4 ?????5 分 ? m i n
(Ⅱ) f ? x?≥

4 4 ? 1 对 任 意 的 实 数 x 恒 成 立 ? x ? 1 ? x ? 4 ?1 ≥ a ? 对任意的实数 x 恒成立 a a

4 ? a? ≤4 a 当 a ? 0 时,上式成立;
当 a ? 0 时, a ? 当且仅当 a ?

4 4 ≥2 a? ? 4 a a

4 4 即 a ? 2 时上式取等号,此时 a ? ≤ 4 成立. a a

综上,实数 a 的取值范围为 ? ?? , 0? ? ?2? ??????????10 分

16.已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f(3/2-x)=f(x),f(-2)=-3,数列 {an}满足
已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f(3/2-x)=f(x), f(-2)=-3, 数列{an}满足 a1=-1, 且 Sn=2an+n,则 f(a5)+f(a6)=?

an + S(n-1) = Sn = 2an+n an = S(n-1) - n a1 = -1, Sn = -1 a2 = S1 - 2 = -3, S2 = - 4 a3 = S2 - 3 = -7, S3 = -11 a4 = S3 - 4 = -15, S4 = -26 a5 = S4 - 5 = -31, S5 = -57 a6 = S5 - 6 = -63 f(3/2-x) = f(x) 【【f(x) = f(3/2-x) = -f(x - 3/2) = - f(3-x) = f(x -3)
10

所以同期为 3 f(a5) = f(-31) = f(2) = -f(2) = 3; f(a6) = f(-63) = f(0) = 0 f(a5)+fa6) =3】】
16、 (2013 全国 II, )已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 半径的球的表面积为________。 【答案】 24? 思路分析: 考点解剖:本题考查锥体的体积、球的表面积计算,考查学生的运算能力,属基础题。 解题思路:先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 O-ABCD 的高,再利用直角三角形求出正四 棱锥 O-ABCD 的侧棱长 OA,最后根据球的表面积公式计算即得 解答过程:设正四棱锥的高为 h ,则 ? ( 3) h ?
2

3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球心, OA 为 2

1 3

3 2 3 2 ,解得高 h ? 。则底面正方形的对角线 2 2

长为 2 ? 3 ? 6 ,所以 OA ? (

3 2 2 6 ) ? ( )2 ? 6 ,所以球的表面积为 4? ( 6)2 ? 24? . 2 2

规律总结:计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多 面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解

11


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