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上海市嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研数学试卷


一 、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1、设 为虚数单位,则复数 的虚部为 ( A.-4 B.-4i C.4 D.4i )

2、设集合 ,则 =( ) A. B. C. D.R

3、设向量 , ,则下列结论中正确的是( ) A、 B、 C、 与 垂直 D

、 ∥

4、下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是( ) A. B. C. D. )

5、对于函数 ,下列命题中正确的是 ( A. C. B. D.

6 、某班 4 个小组的人数为 10,10, 8,已知这组数据的中位数与平均数相等,方差等于 2,则 的 值为 ( ) A.9 B. 8 C. 12 D. 8 或 12 )

7、执行如图所示的程序框图,输出的 值为( A. C. B. D.

8、已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 ,则该双曲线的方程为 ( A. ) B. C. D.

9、已知点 满足 ,目标函数 仅在点(1,0)处取得最小值,则 的范围为( ) A. B. C. D.

10、已知集合 , ( A. 0 )

.若存在实数 使得 成立,称点 为“£”点,则“£”点在平面区域 内的个数是

B. 1

C. 2

D. 无数个

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11、函数 的定义域为__________.

12、已知圆 : ,过点 的直线 将圆 分成弧长之比为 的两段圆弧,则直线 的方程为 13、某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14, (坐标系与参数方程选做题) 曲线 : ( 为参数)上的点到曲线 : ( 为参数)上的点的最短距离为________. 15.(几何证明选讲选做题) 。 如图, 是圆 的切线, 为切点, 是圆 的割线.若 ,则 ______. .

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 . (Ⅰ )求函数 的最小正周期和值域; (Ⅱ )若 为第二象限角,且 ,求 的值. 17、 (本小题满分 13 分) 公安部发布酒后驾驶处罚的新规定(一次性扣罚 12 分)已于今年 4 月 1 日起正式施行.酒后违法 驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精 含量 (简称血酒含量,单位是毫克/100 毫升) ,当 时,为酒后驾车;当 时,为醉酒驾车.某市公 安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中,依法检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量(如 下表). 血酒含量 (0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120] 人数 194 1 2 1 1 1 依据上述材料回答下列问题: (Ⅰ )分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率; (Ⅱ )从酒后违法驾车的司机中,抽取 2 人,请一一列举出所有的抽取结果,并求取到的 2 人中 含有醉酒驾车的概率. (酒后驾车的人用大写字母如 A,B,C,D 表示,醉酒驾车的人用小写字 母如 a,b,c,d 表示)

18、 (本小题满分 13 分) 已知数列 是等差数列, ,数列 的前 n 项和是 ,且 . (I)求数列 的通项公式;

(II)求证:数列 是等比数列;

19、 (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 中,平面 平面 .四边形 为正方形,且 为 的中点, 为 的中点. (Ⅰ )求证: 平面 ; (Ⅱ )求证: 平面 ; (Ⅲ )若 , 为 中点,在棱 上是否存在点 , 使得平面 ⊥ 平面 ,并证明你的结论.

20、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 的中心在原点,左焦点为 ,离心率为 .设直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ,记点 在 第一象限时直线 与 轴、 轴的交点分别为 ,且向量 .求: (I)椭圆 的方程; (II)求 的最小值及此时直线 的方程.

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 ( R). (1) 若 ,求函数 的极值; (2)是否存在实数 使得函数 在区间 上有两个零点,若存在,求出 的取值范围;若不存在,说 明理由。

宝安区 2012—2013 学年高三摸底考试 文科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B C D D B A 二、填空题 11、 12、 或 13、

14、1 15、 三、解答题 16、解: )因为 (Ⅰ ……………………1 分



……………………3 分 ……………………5 分

所以函数 的周期为 ,值域为 . (Ⅱ )因为 , 所以 ,即 . 因为

……………………6 分 ……………………8 分



……………………10 分 ……………………11 分

因为 为第二象限角, 所以 . 所以 .

……………………12 分 ………………………1 分

17、解: )由表可知,酒后违法驾车的人数为 6 人, (Ⅰ 则违法驾车发生的频率为: 或 ;

………………………3 分

酒后违法驾车中有 2 人是醉酒驾车,则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为 .……6 分 (Ⅱ )设酒后驾车的 4 人分别为 A、B、C、D;醉酒驾车的 2 人分别为 a、b……………7 分 则从违法驾车的 6 人中,任意抽取 2 人的结果有:(A,B),(A,C),(A ,D),(A,a), (A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b), (a,b)共有 15 个. 设取到的 2 人中含有醉酒驾车为事件 E, …………………9 分 …………………10 分

则事件 E 含有 9 个结果:(A,a),(A,b),(B,a),(B,b) ,(C,a),(C,b),(D,a),(D,b), (a,b). ∴ 18、解: (1)由已知 解得 …………………12 分 ……13 分 ………………4 分

………………6 分 (2)令 ,得 解得 , 由于 , 当 时, ② ① -② , 得 又 , , ,满足 ……………10 分 ………12 分 ① ………7 分

∴ 数列 是以 为首项, 为公比的等比数列. 19、证明: )因为四边形 为正方形,则 . (Ⅰ

……………………13 分 …………………1 分

又平面 平面 , 且面 面 , 所以 平面 . (Ⅱ )取 SC 的中点 R,连 QR, DR. 由题意知:PD∥ 且 PD= BC.…………………4 分 BC 在 中, 为 的中点,R 为 SC 的中点, 所以 QR∥ 且 QR= BC. BC 所以 QR∥ 且 QR=PD, PD 则四边形 为平行四边形. ………………………………………………9 分 所以 PQ∥ DR.又 PQ 平面 SCD,DR 平面 SCD, 所以 PQ∥ 平面 SCD. …………………………………………………………12 分 (另解:连 QM,设 为 中点,因为四边形 为正方形,且 为 的中点,M 为 的中点,所以 ,又因为 为 中点, 为 的中点,所以 , 所以平面 平面 ,因为 平面 ,所以 PQ∥ 平面 SCD.) 20、解:(Ⅰ )由题意可知 , ,所以 ,于是 ,由于焦点在 轴上,故 C 椭圆的方程为 ………………………………5 分 (Ⅱ )设直线 的方程为: , 消去 得: …………………7 分 …………………5 分

直线 与曲线 有且只有一个公共点, 即① ∵ ② ……………………11 分 …………………… 9 分

将① 式代入② 得:

当且仅当 时,等号成立,故 ,此时直线方程为: . 21、解:(1) …………………14 分 ………………2 分

递减 极小值 递增 极大值 递减 ………………4 分

, ……6 分 (2) , , ……………8 分

① 当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数, , , ,所以 在区间 , 上各有一个零点,即在 上有 两个零点; ………………………10 分

② 当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数, 上为增函数, , , , ,所以 只在区间 上有一个零 点,故在 上只有一个零点; …………………………12 分

③ 当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数, 上为增函数, , , , , 所以 只在区间 上有一个零 点,故在 上只有一个零点; …………………………13 分

故存在实数 ,当 时,函数 在区间 上有两个零点…………………14 分


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