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映射的概念


贾任佳

? 复 习:

1.集合与元素简单关系:
2.集合与集合之间的关系:
符号的哪边是元素? 问题1: a A a B A B,A 问题2: B,A B 分别表示什么?

? 新课: 初中我们学过一些“对应”的例子:
(2)对于坐标平面内的任何一个点,都有唯一的有序 实数对(x,y

)和它对应; (3)对于任意一个三角形,都有唯一的确定的面积 和它对应;

(1)对于任何一个实数,数轴上都有唯一的点和它对应;

(4)对于任意一个二次函数,相应坐标平面内都有 唯一的抛物线和它对应。

问题3:你还能找出生活中的一些 “对应”的例子吗?
*从集合的角度来讲,这些对应是集合之间根据 一定的法则进行的对应

A

对应
法则f

B
回到前面

(1)对于任何一个实数,数轴上都有唯一的点和它对应; A=R,B={数轴上的点} 法则f:在数轴上画点 (2)对于坐标平面内的任何一个点,都有唯一的有序 实数对(x,y)和它对应; A={坐标平面内的点},B={(x,y)| x , y ∈ R }

法则f:在坐标平面内画点 (3)对于任意一个三角形,都有唯一的确定的面积 和它对应; A={三角形},B={三角形的面积} 法则f:求面积 (4)对于任意一个二次函数,相应坐标平面内都有 唯一的抛物线和它对应。 A={二次函数},B={坐标平面内的抛物线}

法则f:画图像

(1)

A
9 4 1

开平方

B
3 -3 2 -2 1 -1

(2)

A
300

求正弦

B
?

450
600 900

1

(3)

A
1 -1 2 -2 3 -3

求平方

B
1 4 9 前进

(4)

A
1 2 3

乘与2

B
1 2 3 4 5 6

? 总结:
对于集合A中的任何一个元素,按照某种法则f, 在集合B中都有确定的(一个或多个)元素和它对应。 问题4:前面是各张图中,A中元素和B中分别 是怎样的对应?
回上图

发现规律:上图(2)(3)(4)中,A中任何一个 元素在B中都有唯一的元素和它对应
引出

? 定义:

一般地,设A、B是两个集合。如果按照 ? 定义1:

某种对应法则?,对于集合A中的任何一 个元素,在集合B中都有唯一的元素和它 对应,那么这样的对应(包括集合A、B 及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B 的映射。记作:f:A→B
(1)映射是一种特殊的对应; ? 注意:

(2)符号“f:A→B”表示A到B的映射; (3)映射有三个要素:两个集合,一种对应法则; (4)集合的顺序性:f:A→B 与 f:B→A是不同的: (5)箭尾集合中元素的任意性(少一个也不行)。 箭头集合中元素的唯一性(多一个也不行)。 即只能多对一、一对一,不能开花!

问题4:根据映射定义,指出哪些对应是A到B的映射?
(1)

A
9

开平方

B
3 -3 2 -2 1 -1
(2)

A
300
450 600 900

求正弦

B
?

4
1
(3)


1 乘与2

A
1 -1 2 -2 3 -3

求平方

B
1

(4)

A
1

B
1 2 3 4 5 6

4
9



2
3



例1:判断下面的对应是否为映射 :
(1)设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}。 集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的 元素2x+1对应,这个对应是否为集合A到集合B的映射? 为什么?



(2)设A=N+,B={0,1}。集合A中的元素x按照对应 法则“x除以2得的余数和集合B中的元素对应”,这个对 应是否为集合A到集合B的映射?为什么?



(3)设A={x | x是直角三角形},B={y | y>0},集合A 中的元素x按照对应法则“计算面积”和集合B中的元素对 应,这个对应是否为集合A到集合B的映射?为什么?



给定一个集合A到集合B的映射,且a∈A, ? 定义2:

b∈B。如果元素a和元素b对应,那么我 们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元 素b的原象。
A B

a

f

b

a的象

b的原象

(1)

A
9 4 1

开平方

B
3 -3 2 -2 1 -1

(2)

A
300 450

求正弦

B
?

的原象

600
900

1

450的象
(3)

A
1 -1 2 -2 3 -3

求平方

B
1

(4)

A
1

乘与2

B
1 2 3 4 5 6

4
9

2
3

? 注意:
给定映射f:A→B。则集合A中任何一个元素在集 合B中都有唯一的象,而集合B中的元素在集合A 中不一定都有原象,也不一定只有一个原象。 比如: A
1 2 3 乘2加1

B
3 4 5 6 7 8 9

A
1 -1 2 -2 3 -3

求平方

B
1 4 9

4

( 1) A
a b c d

f

B
m n p q

( 2) A
1

f

B
3 5 7 9



2 3 4



( 3) A
1 2 3 4

f

B
1

3
5

7
9



问题5:图中所示的三个对应 是不是映射?

( 1) A
a b c d

f

B
m n p q

( 2) A
1 2 3 4

f

B
3 5 7 9

问题6:图中的(1)(2)所示的映射有什么特点? 发现规律: (1)对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象, 我们把这样的映射称为单射。 (2)集合B中的每一个元素都有原象,我们把这样 的映射称为满射。 问题7:单射+满射=?
引出

定义3:
前进

?定义3:一般地,设A、B是两个集合。f:A→B
是集合A到集合B的映射,如果在这个映射 下,对于集合A的不同元素,在集合B中 有不同的象,且B中每一个元素都有原象, 那么这个映射叫做A到B上的一一映射。

单射
充要条件

满射 ? 注意:
(1)一一映射是一种特殊的映射。

(2)映射和一一映射之间的充要关系 一一映射 映射是一一映射的必要而不充分条件 返回 (3)一一映射: A和B中元素个数相等

例2:判断下面的对应是否为映射 ,是否为一一映射?
(1)A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64}, 对应法则 f:a →b = (a-1)2 A
0 1 2

B
0
1

4
9 64

4
9

答:是映射,不是一一映射。

(2)A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4}, 对应法则 f:求平方根

答:不是映射。
(3)A=Z,B=N*,对应法则 f:求绝对值

答:不是映射。
(4)A={11,16,20,21},B={6,2,4,0}, 对应法则 f:求被7除的余数

答:是映射,且是一一映射。 练习:课本49页1---4

?课时小结:
映射的定义(映射三要素:两个集合,一种对应法则)

映射的表示方法 f:A→B
象与原象的概念 一一映射的定义 单射+满射 = 一一映射

*注意:

1.映射是一种特殊的对应:多对一、一对一 2.一一映射是一种特殊的映射:A到B是映射, B到A也是映射。


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