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福建省2013届福州八中高三毕业班模拟考数学文科试卷


福州八中 2012—2013 学年高三毕业班模拟考

数学(文)试题
考试时间:120 分钟 参考公式:回归直线方程: ? y = bx + a ,其中 b = 试卷满分:150 分
n

∑ x y ? nx y
i i i =1 n

, a = y ? bx
2
<

br />∑ xi2 ? nx
i =1

1 锥体体积公式: V = Sh , 其中 S 为底面面积, h 为高; 3
球的表面积公式: S = 4π R2 ; 球的体积公式: V =

4 π R3 ,其中 R 为球的半径。 3
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z = 1 + 2i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 D. 2i a b 2.命题 p : 若x < y, 则 | x |<| y | ,命题 q : 若 2 > 2 ,则 a > b .则 c c A. “ p 或 q ”为真 C. p 真 q 假 B. “ p 且 q ”为真 D. p , q 均为假
开 始

A. ? 2

B. 2

C. ? 2i

3.在递增等比数列{ a n }中, a 2 = 2, a 4 ? a3 = 4 ,则公比 q = A.-1 B.1 C.2 D.

1 2


n=6, i=1

4.某程序框图如图所示,则该程序 运行后输出的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 5.下列说法中,正确的是 A.与定点 F 和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 m (0 , ) B.抛物线 x2 =2my 的焦点坐标为 2 ,准线方程

n 是奇数 n=3n-5 i=i +1 n=2
是 输出 i 结 束 否 否 n n= 2

1

为 y=-

m 2 C.准线方程为 x=-4 的抛物线的标准方程为 y2=8x
D.焦准距(焦点到准线的距离)为 p (p >0)的抛物线的标准方程为 y2 =±2px

6.若角α 的终边与单位圆交于第三象限的一点 P,其横坐标为 ? A. ?

10 ,则 tan α = 10

1 3

B.

1 3

C. ? 3

D. 3

7. 如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是 底面的中心)P-ABCD 的底面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则它 的侧视图的周长等于 A.17cm C.16cm B. 119 + 5cm D.14cm

8. 设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点, O 为任意一点, 则 OA + OB + OC + OD = A. OM B. 2OM C. 3OM D. 4OM

9.在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一个矩形,邻边长分别等于线段 AC、CB 的 长,则该矩形的面积大于 24 cm2 的概率是 A.

1 6

B.

1 5

C.

1 4

D.

1 3 sin 2 θ ,其中 k 是常 r2

10.在半径为 a 的圆桌中心上方安装一吊灯,桌面上灯光的强度 y = k 数, r 是灯与桌面上被照点的距离, 是光线与桌面的夹角 (如图) , 现为使桌边最亮,则 sin θ = A.

3 2 2 3

B.

3 3 2 2

r
?

C.

D.

a

11. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 是偶函数,且满足 f (1 + x ) = f (1 ? x ) ,当 x ∈ [? 1,1]时,

f ( x ) = 1 ? x 2 ,若函数 g ( x) = log 5 x ,则 h ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 在区间(0,5]内的零点的个数是
A.2 B.3 C.4 D.5

2

12 .若双曲线

x2 y2 ? = 1 渐近线上的一个动点 P 总在平面区域 ( x ? m) 2 + y 2 ≥ 16 内,则 9 16
B. (?∞, ?3] ∪[3, +∞) D. ( ?∞, ?5] ∪ [5, +∞ ) 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)

实数 m 的取值范围是 A. [?3, 3] C. [ ?5, 5]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应横线上. π 13.函数 y=sin (2x + )的图象可由函数 y=sin 2 x 的图象向左平移 个单位长度 4 而得到. 14.设函数 f ( x ) = ? 围是 . 15.若关于 x 的不等式 m ( x ? 1) > x 2 ? x 的解集为 { x 1 < x < 2} ,则实数 m 的值为
2 2 2 ? ? x ? x + b, x ≥ 3 ,若函数 f (x ) 在 R 上为增函数,则实数 b 的取值范 ?2 x , x < 3 ?



x y + = 1上任意一点 P , A1 , A2 是椭圆的左、右顶点, 设直线 PA1 , PA2 斜 9 5 率分别为 k PA1 , k PA2 ,则 k PA1 ? k PA2 = ,现类比上述求解方法,可以得出以下命题:已知
16. 已知椭圆

x2 y 2 ? = 1上任意一点 P , A1 , A2 是双曲线的左、右顶点,设直线 PA1 , PA2 斜率分别 a2 b2 为 k PA1 , k PA2 ,则 k PA1 ? k PA2 = .
双曲线 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 12 分) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学 生, 将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100) , [100,110), …, [140,150]后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信 息,回答下列问题: (1)求分数在[120,130)内的频率; (2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区 100+110 间[100,110) 的中点值为 =105) 作为这组数据的平 2 均分,据此,估计本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130) 的学生中抽取一个容量为 6 的样本, 将该样本看 成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率.

18. (本题满分 12 分) 已知 a =

(

函数 f ( x ) = a ? b , 且 f (x ) 3 sin ωx, ? cos ωx , b = (cos ωx, cos ωx ) , ω > 0 ,

)

3

的图像相邻两条对称轴间的距离为

π . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)若 ? ABC 的三条边 a , b , c 所对的角分别为 A,B,C 满足 2 bc cos A = a 2 ,求角 A 的取 值范围.

19 . (本题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,侧面 AA1C1 C ⊥ 底面 ABC , AA1 = A1 C = AC = 2 ,

AB = BC , AB ⊥ BC , O 为 AC 的中点.
⑴ 证明: A1 O ⊥ 平面 ABC ; ⑵ 若 E 是 线 段 A1 B 上 一 点 , 且 满 足
A1 B1 C1

VE ? BCC1 =

1 V ABC ? A1B1C1 ,求 A1 E 的长度. 12

A

O B

C

20 . (本题满分 12 分) 数列 { an }的前 n 项和 Sn =

n2 1 5 ,已知 a1 = , a2 = . an + b 2 6

(1)求数列 { an }的前 n 项和 Sn ; (2)求数列 { an }的通项公式; (3)设 bn =

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . n + n ?1
2

21. (本题满分 12 分)

x2 y2 2 ,且过点 (0, ?1) . + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 2 a b 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
已知椭圆 C : (Ⅱ)若过点 M (2, 0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A、 B ,设 P 为椭圆上一点,且满足

??? ? ??? ? ??? ? ,求整数 t 的最大值. OA + OB = tOP (其中 O 为坐标原点)

4

22 . (本题满分 14 分) 若斜率为 k 的两条平行直线 l , m 与曲线 C 相切并至少有两个切点,且曲线 C 上的所有点 都在 l , m 之间(也可在直线 l , m 上) ,则把 l , m 称为曲线 C 的“夹线” ,把 l , m 间的距 离称为曲线 C 在“ k 方向上的宽度” ,记为 d ( k ). 已知函数 f ( x ) = x +3cos x . (Ⅰ)若点 P 横坐标为 0,求 f ( x ) 图象在点 P 处的切线方程; (Ⅱ)试判断 y = x + 3 和 y = x ? 3 是否是 f ( x ) 的“夹线” ,若是,求 d (1) ;若不是,请说 明理由; (Ⅲ)求证:函数 F ( x) = ? x 3 + x 的图象不存在“夹线”.

1 3

福州八中 2012—2013 学年高三毕业班模拟考

数学(文)试题参考答案
1-12、BACCB DDDBD 13、 CD 15、2 16、 ?

π 8

14、 [ 2,+∞)

5 b2 ; 2 9 a
…………3 分

17、解:(1)分数在[120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3 (2)估计平均分为

x =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121
………………………6 分 (3)依题意,[110,120)分数段的人数为 60×0.15=9(人). [120,130)分数段的人数为 60×0.3=18(人). ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n; 在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a,b,c,d; 设“从样本中任取 2 人, 至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A, 则基本事件共有(m, n), (m,a),…,(m,d),(n,a),…,(n,d),(a,b),…,(c,d)共 15 种. 则事件 A 包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n, 9 3 c),(n,d)共 9 种.∴P(A)= = . 15 5 …………12 分

5

18、解: (I) f ( x ) = a ? b =

3 sin ωx cos ωx ? cos ωx cos ωx
……….2 分

=


3 1 1 π? 1 ? sin 2ωx ? cos 2ωx ? = sin ? 2ωx ? ? ? 2 2 2 6? 2 ?

f (x) 相邻两条对称轴的距离为 ,∴ f (x) 最小正周期为 π
2π π? 1 = π 得 ω = 1 . 函数 f ( x ) = sin ? ? 2x ? ? ? 2ω 6? 2 ?
……………… 4 分

π 2



π π π π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ +  k ∈ Z 得 kπ ? ≤ x ≤ kπ + 2 6 2 6 3 π π ∴函数 f ( x ) 的单调增区间[ kπ ? , kπ + ] k ∈ Z ……………….6 分 6 3
由 2 kπ ? (II)∵2 bc cos A = a 2
2 2

又由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A .

∴ 4bc cos A = b + c

,

∴ cos A =

b 2 + c 2 2bc 1 ≥ = 4bc 4bc 2
…………………….12 分

又∵ A 为三角形内角,所以 0 < A ≤

19、解:(1) ∵ AA1 = A1 C = AC = 2 ,且 O 为 AC 的 为 AC , A1 O ? 面A 1 AC , ∴ A1 O ⊥ 平面 ABC

π . 3

中点,∴ A1 O ⊥ AC ,又∵ 侧面 AA1C1 C ⊥ 底面 ABC ,交线 ………… 6 分
A1 B1 C1

1 1 (2) VE ? BCC1 = V ABC ? A1 B1C1 = V A1 ? BCC1 , 12 4 1 3 因此 BE = BA1 , 即 A1 E = A1 B , 4 4 又在 R t?A 1 OB 中, A1 O ⊥ OB , A1O = 3, BO = 1 , 3 可得 A1 B = 2, 则A1 E 的长度为 ………… 12 分 2 1 1 1 4 20、 解: (1) 由 S1 = a1 = , 得 由 S2 = a1 + a2 = , = ; 2 a +b 2 3 4 4 得 = . 2a + b 3 ?a + b = 2 ?a = 1 n2 ∴? ,解得 ? , 故 Sn = n +1 ? 2a + b = 3 ?b = 1
(2)当 n ≥ 2 时, an = Sn ? Sn ?1 =

A

O B

C

………… 4 分

n 2 ( n ?1) 2 n3 ? ( n ?1) 2 ( n +1) n2 + n ?1 . ? = = n +1 n n( n + 1) n2 + n 1 n 2 + n ?1 n 2 + n ?1 由于 a1 = 也适合 an = . ∴通项 an = ………8 分 2 2 n +n n2 + n

6

(3) bn =

an 1 1 1 = = ? . n + n ? 1 n( n + 1) n n + 1
2

∴数列 {bn } 的前 n 项和 Tn = b1 + b2 + ? + bn ?1 + bn = 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 + ? +? + ? + ? 2 2 3 n?1 n n n+1

1 n = ……… 12 分 n +1 n +1 c 2 c2 a2 ? b2 1 21、解: (Ⅰ)由题知 e = = , 所以 e 2 = 2 = = .即 a 2 = 2b 2 . 2 a 2 a a 2 x2 2 2 又因为过点 (0, ?1) ,所以 b = 1 , a = 2 .故 C 的方程为 + y 2 = 1 ……3 分 2 (Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y = k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x, y) , = 1? ? y = k ( x ? 2), ? 得 (1 + 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x + 8k 2 ? 2 = 0 . 2 + y = 1. ? ?2 1 ? = 64 k 4 ? 4(2 k 2 + 1)(8 k 2 ? 2) > 0 , k 2 < ………………5 分 2 8k 2 8k 2 ? 2 x1 + x2 = , x x = 1 2 2 2 1 + 2k 1 + 2k ??? ? ??? ? ??? ? x + x2 8k 2 ∵ OA + OB = tOP ,∴ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = t( x, y) , x = 1 = , t t (1 + 2 k 2 ) y +y 1 ?4k y = 1 2 = [ k ( x1 + x2 ) ? 4k ] = . ………………8 分 t t t (1 + 2k 2 ) (8k 2 )2 (? 4k )2 ∵点 P 在椭圆上,∴ 2 +2 2 = 2, 2 2 t (1 + 2 k ) t (1 + 2 k 2 ) 2 ∴ 16k 2 = t 2 (1 + 2 k 2 )
由 ? x2

t2 =

16k 2 16 16 = < = 4,则- 2 < t < 2 , 2 1 1 + 2k +2 2+ 2 2 k

………………11 分

∴ t 的最大整数值为 1. ……………………12 分 22、解: (Ⅰ)由 f '( x) = 1 ? 3sin x , k = f '(0) = 1? 3sin 0 = 1, f (0) = 0+3cos 0 = 3 ,所以 P 坐标为 P(0, 3) , ∴ f ( x ) 图象在点 P 处的切线方程是 y ? 3 = x ? 0 即 y = x + 3 …………3 分 (Ⅱ) y = x + 3 和 y = x ? 3 是 f (x ) 的“夹线”. …………4 分 由(Ⅰ)知 y = x + 3 是 f ( x ) 图象在点 P 处的切线,切点为(0,3).

∵ f '( x) = 1 ? 3sin x =1 ,∴ sin x = 0 . 当 x = 2π 时, y = 2π +3 , f (2π ) = 2π +3cos 2π = 2π +3, ∴ (2 π ,2 π +3) 是函数 y = x + 3 和 f ( x ) = x +3cos x 图象的另一个切点. y = x + 3 和 f ( x ) = x +3cos x 的图象相切且至少有两个切点. 同理, ( π , π -3) , ( 3π , 3π -3)是 y = x ? 3 和 f (x ) = x +3cos x 图象的两个切点

7

因此,两条平行直线与曲线相切并至少有两个切点。 对任意 x∈R , g ( x ) ? f ( x ) = ( x + 3) ? ( x +3cos x ) = 3 ? 3cos x ≥ 0 ,∴ g ( x ) ≥ f ( x )

h ( x ) ? f ( x ) = ( x ? 3) ? ( x+3cos x ) = ?3 ? 3cos x ≤ 0 , ∴ h ( x ) ≤ f ( x ) y = x + 3 和 y = x ? 3 是 f ( x ) 的“夹线”
∴ d (1) = 3 ? ( ? 3) 1 +1
2 2

=3 2

………………9 分

(Ⅲ)证明:设 F ( x) = ?

1 3 x + x 的图象上任一点为 P (x0 , y 0 ) , 3 1 ∴ F ′( x ) = ? x 2 + 1 ,∴ k = F '( x0 ) = ? x0 2 + 1, F ( x0 ) = ? x0 3 + x0 , 3 1 3 ? ? F ( x) 在点 P (x0 , y 0 ) 处的切线方程为∴ y ? ? ? x0 + x0 ? = ( ? x0 2 + 1) ( x ? x0 ) ? 3 ? 2 ? y = ( ?x0 2 +1) x + x0 3 ? 1 2 ? 3 即? ∴? x 3 + x = ( ? x0 2 + 1) x + x03 1 3 3 ? y = ? x3 + x ? ? 3
2

∴ ( x ? x0 ) ( x + 2 x0 ) = 0 ∴ k = F '( x0 ) = ? x0 + 1,
2

∴ x = x0或x = ?2 x0

∴ k ′ = F ′( ?2 x0 ) = ?(?2 x 0 ) 2 + 1 = ?4 x 0 2 + 1 , 1 3 ∴ k = k ' 时,当且仅当 x0 =0 时取到,此时切线与 F ( x) = ? x + x 的图象只有一个交点. 3 1 3 ∴ F ( x) = ? x + x 的图象和它在任一点处的切线至多只有一个切点. 3 1 ∴函数 F ( x) = ? x 3 + x 的图象不存在“夹线” ……………………14 分 3

8


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