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等比数列前n项的求和公式教学设计(1)


等比数列前 n 项的求和公式教学设计 南郑县职教中心:刘永涛 一、教学内容分析 1、本节课讲述内容是职高数学基础模块二册等比数列,前 n 项和的 公式及其应用。 2、教学重点:会判断等比数列,会用求和公式。 3、学难点:实际生活中的按结贷款每年给银行的付费的问题。 知识与技能目标:在等差数列的基础上理解等比数列的慨念,会求等 比数列的通项公式,前 n 项和的公式及应用。 过程与方

法目标:引导学生学会用变化的思想和理念,搞清楚等比数 列的变化规律,特别是项与项数的关系,引导推出求和公式(乘公比 做差法)初步感受等比数列在生产实践中的应用。 情感态度与价值观目标: 让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到 一般的辨证思想. 二、教学基本条件分析 1.学生条件:学生有较好的数学基础,在学习了等比数列慨念和通 项公式基础上进行的求和公式推导与应用, 学生有一定的数学运算能 力,和数学理解能力,喜欢思考,乐于探究。 2.前期内容准备:围棋棋单,银行按结贷款的详细说明。在学习 等差数列, 等比数列慨念和通项公式的基础上进行的项数与其总和的 一种函数关系,即前 n 项和的公式。 3.教学媒体条件:支持幻灯片展示。
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三、教学过程设计 开门见山,揭示课题 引语:大家还记得前面我们学习的等差数列、等差数列前项和公式、 等比数列慨念和通项公式吗?那么等比数列前 n 项和怎么求呀? (幻灯片展示)提出问题:

这是发生在国际象棋棋盘上的一个故事。国际象棋是印度宰相西萨 · 班· 达依 尔发明的,国王舍罕知道后非常赞赏,就把宰相达依尔召到面前,说: “老爱卿, 你以自己的聪明才智发明了这种变化无穷、 引人人胜的游戏, 我要重重地奖赏你。 那就请你在棋盘的第一个小格内赐给我 1 粒麦子吧。 ” “什么? 1 粒麦子?”国王感到非常意外,惊讶地问。 “是的,陛下,1 粒普通的麦子。 ”宰相说, “请在第二个小格内赐给我 2 粒,第 三个小格内赐给我 4 粒,第四个小格 8 粒,第五个小格 16 粒,照这样下去,每 一小格是前一小格的 2 倍。 把摆满棋盘 64 个小格的所有麦子赏赐给你的仆人吧!” “竟是这种愿望!你不是在开玩笑吧?”国王有些生气了。宰相所要求的,不仅 您所有粮仓的麦子不够,就是把全世界的麦子都给了他,也相差太远太远了。 ”
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“能这样吗?你是不是算错了?”国王怀疑地说。 “一点不错,陛下,这是千真万确的!”接着,侍从便算给国王听。 宰相达依尔要求赏赐的麦子是多少呢?通过计算才知道,这需要:1+2+2 的 2 次方+2 的 3 次方+2 的 4 次方+……+2 的 62 次方+2 的 63 次方=18,446,744, 073,709,551,615(颗麦子) 1 立方米麦子约有 15,000,000 粒。照这样计算,国王就得给宰相 1,200, 000,000,000 立方米的麦子。这些麦子比全世界两千年生产麦子的总和还多。 假如造一个高 4 米、宽 10 米的粮仓装这些麦子,这个粮仓就有 30,000,000 千米长,能绕地球赤道转 700 圈,等于地球到太阳距离的两倍。所以国王是无法满
足的。这个故事就是本节课要讲授的内容。

1、复习回顾等比数列的通项公式,等比中项。
n ?1 an ? a 1 q

G ? ? ab

强调这两个公式的重要性,并指出作业中存在的问题 2、导入新课: A, 利用前面在国际象棋棋格盘子里放麦粒的问题中棋盘到底 能放多少麦子,国王能否兑现他的承诺. 1, 2, 4 , 8 ,…… 263 B,假设有一张很大的纸张厚度是0.05 毫米问对折再对折这样 对折 100 次问纸张的厚度是多少米?答案请同学们来猜 A,30 米 B, 150 米 C,能从地球到达月球. D,都不对 3、请同学们阅读 92 页麦粒求和的问题
s64 ? 20 ? 21 ? 22 ? 23 ? ...... ? 263



关键是对①式两边乘以 2 得:
2s64 ? 21 ? 22 ? 23 ? ...... ? 264


3

我们观察①和②看出它们好多项是相同的, 我们用②—①就得到
2s64 ? s64 ? 264 ? 20 ? s64 ? 264 ?1

告诉你呀:国王是奖赏不起的啊,大约要 8 千万吨小麦
4、师生一起来推导等比数列的求和公式?
sn ? a1 ? a2 ? ...... ? an



设等比数列的公比为 q 用 q 乘③式得 ④ ? qsn ? a2 ? a3 ? ......an ? a n?1 ⑤ 当 q≠1 时则

qsn ? a1q ? a2q ? ..... ? an q

用③—⑤得: sn ? qsn ? a1 ? an?1 ? (1? q)sn ? a1 ? a1qn
sn ? a1 (1 ? q n ) 1? q

特别:当 q=1 时为常数列即既是等差数列又是等比数列则
sn ? an

5、教授求和公式的记忆方法(有四个变量,只要知道三个就能 求出另外的一个。公式的形式是分式,推出方式是乘公比然后做 差,特别强调乘公比做差在等比数列中的作用。 )引导学习求和 公式的应用。 例 1、求等比数列 1, 解:分析因为 a1=1
1 1 1 , , ...... 的前 10 项的和 2 4 8 1 q ? 所以带入公式得 2

1 ? ? 1 ?1 ? ( )10 ? 10 2 ? 2 ? 1 1023 s 10 ? ? ? 9 ? 1 2 512 1? 2

例 2、已知等比数列的前三项的和为 ,第三项为 ,求它的前 10 项的和? 解:分析:根据等比数列的通项公式和求和公式
4

9 2

3 2

?1.5 ? a1q 2 ?a ? 6 1 ? q ? q2 1 ? ? 1 3 ? ? 3? q ? ? ? ? ? 1 a1 (1 ? q ) q2 2 ?q ? ? ?4.5 ? 1 ? q ? 2 ?

1 6(1 ? (? )10 ) 1 2 所以 s 10 ? ? 4(1 ? 10 ) 1 2 1 ? (? ) 2

6、课堂练习(分组练习)94 页练习 1 求下列数列的前 6 项的 和 一组:⑴ 二组;⑵ 三组;⑶ 四组;⑷ 并上黑板写出各自的答案(点评对和错) 7、归纳总结: 1、重点:求和公式的推导和记忆 2、要求:熟练掌握和应用。 8、课外大作业: 某人购房因资金不足采用按结贷款的方式买了一套 10 万元 的房子,从该年年末开始,每年偿还 a 元(定值),银行年存款利 率为 0.03,贷款利率为 0.06,恰好五年还清。求 a 难点透析:你每付一笔款银行(给你)加息,利率为 0.03;把利息 也作为还款的一部分。 因为你分期付款时先付的款就像存在银行 中一样;同样,你的贷款也要加息,利率为 0.06(你拖了五年,最后 还贷总额肯定是 10(1+0.06)5 次方) 流程: 第一年 a 元 第二年 a 元 第三年 a 元 第四年 a 元 第五年 a 元
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显然,第一年年末存 a 元,单这一笔 a 元实际在银行放了 4 年, 利息也要支付 4 年,依次类推;最后一年年末付完最后一个 a 元,没有存期,自然也没有利息。 所以,可以设 q=1+0.03 可得:aq4+aq3+aq2+aq+a =10 (1+0.06)5 (此第五年) 等比公式会吧? a(1+q+q2+q3+q4)=10(1+y)5 得:a(1-q5)/(1-q)=10(1+0.06)5 可以把 q=1+0.03 代入,进一步化简。 9、必交作业:p94 习题 4—5 第 1,2,3 题
(四)板书设计
3.函数相等

3.11 函数概念 1. 函数定义 2. 函数定义域 3.函数值域

例 1: 幻灯屏幕 例 2:

幻灯屏幕 (五) 效果评价 这节课从总体上激发了学生主动参与课堂的意识, 激发了学生探究发 现的兴趣,特别是对无限的 慨念有了更进一步的理解。运用多媒体 讲故事,快捷、明了、便于学生;理解和掌握。今后要多尝试。

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