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浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(文)试题


镇海中学 2015 年高考模拟试卷 数学(文科)试卷
说明:本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分 钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.

/>3 1

球的表面积公式:S=4πR2 ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式:V= πR3 ,其中 R 表示球的半径.
3 4

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? { x ? 1 ? x ? 2} ,N ? { x | log2 x ? 0} , 则M ?N ?
[来源 :学#科#网]

(▲)

A. [?1,??) 2.已知三个命题如下:

B. (1,? ?)

C. ( ?1,2)

D. ( 0,2)

①所有的素数都是奇数; ② ? x∈R, ( x ? 1) ? 1 ? 1 ;③有的无理数 的平方还是无理数.
2

则这三个命题中既是全称命题又是真命题的个数是 A.0 B.1 C.2

(▲) D.3 (▲)

3.已知 ? , m , n 是两条不同的直线, 则下列正确的是 ? 是两个不同的平面, A.若 m // ? , ?

? = n ,则 m //n

B.若 m⊥ ? ,n ? ? ,m ⊥n ,则 ? ⊥ ? D. 若 ? ⊥ ? ,?

C. 若 ? // ? ,m⊥ ? , n // ? ,则 m⊥n

? = m ,m //n,则 n // ?

? y ? ? x ? 2, ? 4.已知不等式组 ? y ? kx ? 1, 所表示的平面区域为面积等于 1 的三角形,则实数 k 的值为 ?x ? 0 ?
(▲)
[来源:学科网 ZXXK]

A.-1

B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

5.设 f ( x) ? cos2x ? 3 sin 2x ,把 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位后,恰好得 到函数 g ( x) ? ? cos2x ? 3 sin 2x 的图象,则 ? 的值可以为 (▲)

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

6.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存 a2 b2

在一点 P ,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 | PF 3 | PF2 | ,则双曲 1 |? 线的离心率为 A. (▲) B. 2 ? 1 C.

2 ?1 2

3 ?1 2

D. 3 ? 1

7.已知不等式 xy ? ax 2 ? 2 y 2 ,若对任意 x ? ?1, 2? 及 y ? ? 2,3? ,该不等式恒成立,则实数 a 的 范围是 A. ? (▲) B. ?3 ? a ? ?1 C. a ? ?1 D. a ? ?3

35 ? a ? ?1 9

8. 在数列 {an } 中,若存在非零整数 T ,使得 am?T ? am 对于任意的正整数 m 均成立,那么称 数 列 {an } 为 周 期 数 列 , 其 中
T

叫 做 数 列 {an } 的 周 期 . 若 数 列 {xn } 满 足

xn?1 ?| xn ? xn?1 | (n ? 2, n ? N ) ,如 x1 ? 1, x2 ? a(a ? R, a ? 0) ,当数 列 {xn } 的周期最
小时, 该数列的前 2015 项的和是 A.671 B.672 C.1342 D.1344 (▲)

第Ⅱ卷(非选择题
9.已知函数 f ( x) ?

共 110 分)


二、 填空题: 本大题共 7 小题, 前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分.

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 .当 a=1 时不等式 f ( x) ? 1 的解集是
▲ .
8

;若函数

f ( x) 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是
10.已知某几何体的三视图如下图所示,其正视图 为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形.则该几何 体的表面积是 ▲ ;体积是 ▲ .

4 正视图 侧视图

11. 已知 2cos ?? ? x ? ? 3cos ?

?? ? ? x ? ? 0 ,则 tan 2 x ? ?2 ?

4▲ 4

, sin 2 x ?



.

12.已知点 P (a, b) 关于直线 l 的 对称点为 P?(b ? 1, a ? 1) ,则圆 C : x 俯视图 ? y ?6 x ? 2 y ? 0 关于
2 2

直线 l 对称的圆 C ? 的方程为



;圆C与圆C’的公共弦的长度为



.

13. 在直角三角形 ABC 中,?C ? 900 , AB ? 2 , AC ? 1 ,若 AD ? ▲ .

3 AB ,则 CD ? CB ? 2

14.已知{ an }是公差不为 0 的等差数列,{ bn } 是等比数列,其中 a1 ? 2, b1 ? 1, a2 ? b2 , 2a4 ? b3 , 且存在常数 ? , ? ,使得 an = log? bn ? ? 对每一个正整数 n 都成立,则 ? ? = ▲ .

15.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AC1、A1B1 的中点.点 P 在该正 方体的表面 上运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 15 分) 已知 a,b,c 分别为 ?ABC 三个内角 A,B,C 的对边, b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (Ⅰ)求 ? B 的值; ( Ⅱ)若 b ? 3 ,求 2a+c 的最大值.

17.(本题满分 15 分) 在数列 {an } 中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3log 1 an (n ? N*) 4 an 4 4

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {cn } 满足 cn ? (?1)n?1bnbn?1 ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? tn2 对于所有的偶数 均恒成立,求实数 t 的取值范围.

18.(本题满分 15 分) 如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直 径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的 三 等 分 点 , 平 面 AEC 外 一 点 F 满 足

FB ? FD ? 5a , FE ? 6a .
(Ⅰ)证明: EB ? FD ; ( Ⅱ ) 已 知 点 R 为 线 段 FB 上 的 点 , 且

FR ? ? FB, 求当 RD 最短时,
直线 RE 和平面 BDE 所成的角的正弦值.

19.(本题满分 15 分) 已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1)求动 圆的圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2)若曲线 C 上一点 A( x0 ,4) ,是否存在直线 m 与 C 相交于两不同的点 B, C ,
[来源:Z.xx.k.Com]

使 ?ABC 的垂心为 H (8,0) ?若存在,求直线 m 的方程,若不存在,说明理由.

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 5 | x ? a | ?2a (Ⅰ)若 0 ? a ? 3 , x ? [a,3] ,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 若a ? 0, 且存在实数 x1 , x2 满足 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? 0 ,f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k 。 设 | x1 ? x2 | 的最大值为 h(k ) ,求 h(k ) 的取值范围(用 a 表示) 。

镇海中学 2015 年高考模拟试卷 数学(文科)参考答案
一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.A; 5.A ; 2.B; 6.D; 3.C; 7.C; 4.B; 8.D.

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9 -12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9. ?? ?,0? ? ?2,??? , 0 ? a ? 1 12. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 , 38 10.

64 ? 32 2,
13. 9/2

160 3

11.

12 17 , 5 13
15.2+ 5

14..4

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. B ?

?
3

;2 7
1 1 an ?1 1 1 公比为 的等比数列, ∴ a n ? ( ) n ( n ? N *) . ? ,∴数列 {a n } 是首项为 , 4 4 4 an 4
∴ bn ? 3 log 1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 .∴ b1 ? 1 ,公差 d ? 3
4

17. (1) ?

(2)? bn ? 3 log 1 a n ? 2
4

1 4

∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.

1 (3)由(1)知, a n ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 , 4
当 n 为偶数时

Sn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? ? ? bn?1bn ? bnbn?1 ? b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? ? ? bn (bn?1 ? bn?1 )
(4 ? 3n ? 2) ? 2 n 2

? ?6(b2 ? b4 ? ? ? bn ) ? ?6

3 2 3 ? ? n(3n ? 2) ? tn 2 ,即 t ? ? (3 ? ) 对 n 取任意正偶数都成立 2 n 2
所以 t ? ?6 18.(1)证明: BE ? 平面 BDF (2) 过 R 做 RH ? 平 面 B D F , 所 以 ? REH 即 为 RE 和 平 面 BD E 所 成 的 角 ,

RH ?

4 3 4 5 a, RE ? a ,所以 sin REH ? 5 15 5

19. 解: (1)如图,设 M 为动圆圆心,设 F ?1,0 ? ,过点 M 作 直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N , 由题意知: MF ? MN …………………………………2 分 即动点 M 到定点 F 与到定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ?1,0 ? 为焦点,
N
A M

x

o

F ?1,0 ?

x ? ?1

x ? ?1 为准线, ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x
(另法:设 M ( x, y )

………………………………………………5 分

MF ? MN ? x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? y 2 化简得y 2 ? 4 x )

(2)易求出抛物线 C 上的点 A(4, 4) ,……………………………………………………6 分 假设存在直线 m 与抛物线 C 相交于两不同的点 B, C ,使 ?ABC 的垂心为 H (8,0) ,设

B ? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? , 显然直线 AH 的斜率为 ?1 ,则直线 m 的斜率为 1,设直线 m 的方程
? y2 ? 4x , 消去x化简得y2 ? 4 y ? 4b ? 0, ? 是 y ? x ? b ,由 y ? x ? b ………………………8 分 ?
? y1 ? y2 ? 4, y1 ? y2 ? 4b, ? ? 16 ?16b ? 0即b ? 1. …………… ……………………10 分
因为 ?ABC 的垂心为 H (8,0) ,所以

AC ? BH ,? AC ? BH ? ( x1 ? 8)( x2 ? 4) ? y1 ( y2 ? 4) ? 0. …………………………11 分
即 x1 x2 ? 4x1 ? 8x2 ? y1 y2 ? 4 y1 ? 32 ? 0,

?

y12 y2 2 ? 4( y1 ? b) ? 8( y2 ? b) ? y1 y2 ? 4 y1 ? 32 ? 0 16

y12 y2 2 ? ? y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 12b ? 32 ? 0 ,…………………………………………12 分 16

?b2 ? 16b ? 0,?b ? 0或b ? ?16. ……………………………………………………13 分
当 b ? 0 时,直线 m 的方程是 y ? x ,过点 A(4, 4) ,不合题意,舍去,………14 分 所以存在这样的直线 m ,其方程是 y ? x ? 16. ………………………………………15 分 20. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 5 | x ? a | ?2a ? ?
2

? x 2 ? 5x ? 7a,( x ? a)
2 ? x ? 5 x ? 3a,( x ? a)

因为 x ? [a,3] , f ( x) ? x ? 5x ? 7a
2

若0 ? a ? 若a?

5 5 5 ,则 f ( x) 在 [ a , ] 上为减函数,在 [ , 3] 上为增函数; 2 2 2

5 ,则 f ( x) ? x2 ? 5x ? 3a 在 x ? [a,3] 上为增函数 2

(Ⅱ)因为 x1 , x2 满足 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? 0 ,不妨设 x1 ? a ? x2 ①当 a ?

5 时, k ? f (a) ? a2 ? 2a 2

x1 ?

?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a , x2 ? 2 2

?| x1 ? x2 |max ? x2 ? x1 ?

5 ? 25 ? 4k ? 28a ?5 ? 25 ? 4k ? 12a ? 2 2

1 ? 5 ? [ 25 ? 4k ? 28a ? 25 ? 4k ? 12a ] ? h(k ) 2
因为 h(k ) 关于 k 为增函数,所以 h(k ) ? 5 ? [| 2a ? 5 | ? | 2a ? 5 |] ? 5 ? 2a
[来源:Z_xx_k.Com]

1 2

②当 0 ? a ?

5 25 时, k ? f (a ) ? 7 a ? 2 4

x1 ?

?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a , x2 ? 2 2

?| x1 ? x2 |max ? x2 ? x1 ?

5 ? 25 ? 4k ? 28a ?5 ? 25 ? 4k ? 12a ? 2 2

1 ? 5 ? [ 25 ? 4k ? 28a ? 25 ? 4k ? 12a ] ? h(k ) 2
因为 h(k ) 关于 k 为增函数,所以 h(k ) ? 5 ? 10a
[来源:学科网]

5 ? 1 5 ? [ 25 ? 4k ? 28a ? 25 ? 4k ? 12a ], k ? a 2 ? 2a, a ? ? ? 2 2 综上: h(k ) ? ? ?5 ? 1 [ 25 ? 4k ? 28a ? 25 ? 4k ? 12a ], k ? 7 a ? 25 , 0 ? a ? 5 ? ? 2 4 2
所以当 0 ? a ?

5 5 时, h(k ) ? 10a ? 5 ,当 a ? 时, h(k ) ? 2a ? 5. 2 2


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