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2010年5月份康杰中学高三数学模拟试题理(二)

时间:2011-10-01


2010 年 5 月份康杰中学高三数学(理)模拟试题(二) 月份康杰中学高三数学 康杰中学高三数学( 模拟试题(
一、选择题
1? 1? ? ? 1.已 1.已知 x ∈ [0,2π ] ,且集合 M = ? x | sin x > ?, N = ? x | cos x < ? ,则 M ∩ N = 2? 2? ? ?





π π π 5π 5 5 π 5 (A) ( , ) (B) ( , ) (C) ( π , π ) (D) ( , π ) 6 3 3 3 6 3 3 6 2 ? bi 2.如果复数 为虚数单位, 为实数)的实部和虚部互为相反数, 2.如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数, 1 + 2i
那么 b =( (A) 2 ) (B)
2 3

(C) ?

2 3

(D)2 (D)2

3.曲线 垂直, 3. 曲线 y = ax 2 ? ax + 1(a ≠ 0) 在点 (0,1) 处的切线与直线 2 x + y + 10 = 0 垂直 , 则a = ( (A) 1 3 ) (B) 1 2 (C) ? 1 3 (D) ? ) (D)(D)-1 ) 1 2

的最小值为( 4.函数 f ( x) = 3 sin x ? cos x(0 ≤ x ≤ π ) 的最小值为( 4.函数 (A)(A)-2 (B)1 (B)1 (C) ? 3

5.设等差数列 5.设等差数列 {an }前 n 项和为 S n ,若 S3 = 9, S 6 = 36, 则 a7 + a8 + a9 = ( (A)63 (A)63 (B)45 (B)45 (C)81 (C)81 (D)27 (D)27

(纵坐标不变) (纵坐标不变 , 6.将函数 y = f (x) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变) 6.将函数 再将整个图象向左平移 解析式可以为 解析式可以为( 可以 (A) y = ? sin
x 2

π
2

个单位长度, 的图象, 个单位长度,得函数 y = sin x 的图象,则 f (x) 的

) (B) y = ? cos 2 x (C) y = ? sin 2 x (D) y = co 2 x

7.正四棱锥的底面边长等于 60°的二面角, 7.正四棱锥的底面边长等于 2 3 ,侧面与底面成 60°的二面角,则此四棱锥
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体积为( 体积为( (A)9 (A)9

) (B)12 (B)12 (C)15 (C)15 (D)18 (D)18

8.在半径为 内有一内接正三棱锥 8.在半径为 R 的球 O 内有一内接正三棱锥 S ? ABC , ?ABC 的外接圆恰好是 的一个大圆, 出发沿球面运动, 球 O 的一个大圆,一个动点 P 从顶点 S 出发沿球面运动,经过其余三点 A、 经过的最短路程是( B、C 后返回点 S,则 P 经过的最短路程是( (A) 2πR )

7 8 7 (B) πR (C) πR (D) πR 3 3 6 a?x 3 9.已知函数 f ( x) = 的反函数 f ?1 ( x) 的图象的对称中心是 (?1, ) , 则 x ? a ?1 2

的单调递增区间是( 函数 h( x) = log a ( x 2 ? 2 x) 的单调递增区间是( (A) (1,+∞) (B) (?∞,1) (C) (?∞,0)

) (D) (2,+∞)

10.设函数 上的奇函数, 10.设函数 y = f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) = ? f ( x) 对一切
x ∈ R 成立,当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) = x 3 ,则① f (x) 是以 4 为周期的函数; 成立, 为周期的函数;

的图象的一条对称轴; 上单调递增; ② x = ?3 是 f (x) 的图象的一条对称轴;③ f ( x)在区间[1,3] 上单调递增;④

f ( x)在区间[3,5] 上的解析式为 f ( x) = ( x ? 4) 3 , 其中正确命题的序号为
( ) (B)①②④ (B)①②④ (C)①③ (C)①③ (D)①②③④ (D)①②③④

(A)①②③ (A)①②③

11.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 的坐标, 11.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则 P 落在区 ?x ? y > 0 内的概率为( 域? 内的概率为( ?x + y ? 6 ≤ 0 (A)
1 4

) (C)
7 36

(B)

2 9

(D)

1 6

12.平面内定点 F 12.平面内定点 F1 (?1,0)、 2 (1,0) ,设满足 PF1 + PF2 = 4 的动点 P 的轨迹为曲 下列说法中: 线 C1 ,满足 PF1 + 2 PF2 = 4 的动点 P 的轨迹为曲线 C2 ,下列说法中: 轴对称; 个公共点; ① C2 关于 x 轴对称;② F1 (?1,0) 在 C2 上;③ C1 与 C2 至少有 1 个公共点;
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必无公共点,你认为正确的说法有( ④ C2 与直线 x + y + 2 = 0 必无公共点,你认为正确的说法有( (A)1 个 (A)1 二、填空题 (B)2 个 (B)2 (C)3 个 (C)3 (D)4 个 (D)4



13.在 的展开式中, 项的系数是_____________ _____________。 13.在 (1 + x + x 2 )(1 ? x)10 的展开式中, x 4 项的系数是_____________。 14. 已 知 G 为 ?ABC 的 重 心 , ∠A = 120 , AB ? AC = ?2, 则 AG 的 最 小 值 为 _____________。 _____________。 CD, 15.已知 1 15.已知 P( ,2)和圆x 2 + y 2 = 9 ,过 P 作两条互相垂直的弦 AB 和 CD,则 AC 的轨迹方程是_____________ _____________。 的中点 M 的轨迹方程是_____________。 16. 椭 圆
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的 焦 点 为 a 2 b2

F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角为 45°的直线,与 45°的直线,
y 轴、椭圆分别交于点 M、P,如图所示, 椭圆分别交于点 如图所示,

若 ?F1MO 与四边形 OF2 PM 的面积之比 3:5,则椭圆的离心率为_____________ _____________。 为 3:5,则椭圆的离心率为_____________。 个小题,解答应写出必要的文字说明、 三、解答题(本在题共 6 个小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及 解答题( 演算步骤) 演算步骤) 17.( 17. ( 10 分 ) 在 ?ABC 中 , ∠A、∠B、∠C 的对边边长分别为 a、b、c , 且
a、b、c 成等比数列。 成等比数列。
的取值范围; (1)求角 B 的取值范围; (2)若关于角 B 的不等式 cos 2 B ? 4 sin( 若关于角 的取值范围。 实数 m 的取值范围。 18. ( 12 分 ) 如 图 , 三 棱 锥 P — ABC ,

π
4

+

B π B ) sin( ? ) + m > 0 恒成立,求 恒成立, 2 4 2

AC = BC = 2, ∠ACB = 90 , AP = BP = AB,
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PC ⊥ AC

(1)求证: PC ⊥ AB ; 求证:

的大小。 (2)求二面角 B ? AP ? C 的大小。

19.( 乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜” 19.(12 分)甲、乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜”制,即先 赢四局者为胜,若甲、乙两人水平相当,且已知甲先赢了前两局, 赢四局者为胜,若甲、乙两人水平相当,且已知甲先赢了前两局,求: (1)乙取胜的概率; 乙取胜的概率; (2)比赛进行完七局概率; 比赛进行完七局概率;

(3)记比赛局数为 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ 。 20. ( 12 分 ) 已知函数 f ( x) =
1

1 x2 ? 4

( x < ?2), f ( x) 的反函数为 g ( x) , 点

An (a n ,?

a n +1

) (n ∈ N * ) 在曲线 y = g (x) 上,且 a1 = 1

? 1 ? 为等差数列; (1)证明:数列 ? 2 ? 为等差数列; 证明: ? an ?

(2)设 bn =

1 1 1 + an an+1

的值。 ,求 b1 + b2 + ? ? ? + bn 的值。

21.( 21.(12 分)已知中心为原点 O的椭圆C 的短轴长为 2 2 ,对应于焦点为点
F(c,0)c > 0) 的准线与 x 轴相交于点 A, OA = 3FA . (
的方程; (1)求椭圆 C 的方程; 两点, (2)过点 A 是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于 P、Q 两点,且 OP ? OQ = 0 ,若 若不存在请说明理由。 存在求 OP + OQ ,若不存在请说明理由。 22. 22.(12 分)设函数 f ( x) = (1 + x) 2 ? ln(1 + x) 2

1 恒成立, 的取值范围; (1)若当 x ∈ [ ? 1, e ? 1] 时,不等式 f ( x) > m 恒成立,求实数 m 的取值范围; e
在区间[0,2]上恰好有两上相异实根, [0,2]上恰好有两上相异实根 ( 2)若关于 x的方程x 2 + x + a = f ( x) 在区间[0,2]上恰好有两上相异实根 , 的取值范围。 求实数 a 的取值范围。
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高三数学模拟( 高三数学模拟(二)参考答案 数学模拟
2.理 2.理 D 文 B 11.C 2 13.135 14. 3 1.D 10.D 3.D 12.C 4.D 5.B 6.B 7.B 8.B 9.C

15. 15. x 2 + y 2 ? x ? 2 y ? 2 = 0
∴ b 2 = ac (1 分)

16. 16. 2 2 ? 5

17.解 17.解:①∵ a、b、c 成等比
又 cos B =

a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac a 2 + c 2 1 1 = = ? ≥ ( 4 分) 2ac 2ac 2ac 2 2

∴ B ∈ (0, ) (5 分) 3 B π B π 由题知, ②由题知, cos 2 B ? 4 sin( + ) cos( + ) + m > 0 2 4 2 4 B π ∴ cos 2 B ? 2 sin( + ) + m > 0 (6 分) ∴ cos 2 B ? 2 cos B + m > 0 2 2 ∴ m > 2 cos B ? cos 2 B 恒成立 1 3 即 m > (2 cos B ? cos 2 B ) max (cos B ≥ ) (8 分) ∴ m > (10 分) 2 2 又∵B 为 ?ABC 的内角 18.解法一: 1)取 AB 中点 D,连接 PD、CD 18.解法一: ( PD、 解法一 (1 ∵AP=BP ∵AC=BC ∵ PD ∩ CD = D ∴ PD ⊥ AB ∴ CD ⊥ AB ∴ AB ⊥ 平面PCD

π

∵ PC ? 平面PCD (2)∵AC=BC,AP=BP

∴ PC ⊥ AB (6 分) ∴ ?APC ≌ ?BPC 又 PC ⊥ AC ∴ PC ⊥ BC

又 ∠ACB = 90 ,即 AC ⊥ BC 且 AC ∩ PC = C BE, 取 AP 中点 E,连结 BE,CE ∵EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影 ∵ AB = BP

∴ BC ⊥ 平面PAC ∴ BE ⊥ AP

∴ CE ⊥ AP

的平面角( ∴ ∠BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角(9 分) 在 ?BCE 中, ∠BCE = 90 , BC = 2, BE =
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3 AB = 6 2
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∴ sin ∠BEC =

BC 6 = (11 分) BE 3 6 (12 分) 3

∴二面角 B ? AP ? C 的大小为 arcsin 解法二: 解法二:

(1)∵AC=BC,AP=BP ∴ ?APC ≌ ?BPC AC=BC, ∵ AC ∩ BC = C ∴ PC ⊥ 平面ABC

又 PC ⊥ AC

∴ PC ⊥ BC

∵ AB ? 面ABC ∴ PC ⊥ AB (6 分)

(2)如图, C 为原点建立空间直角坐标 如图,以 系 C ? xyz 则 C (0,0,0), A(0,2,0), B(2,0,0) 设 P (0,0, t ) ∵ PA = AB = 2 2 ∴ t = 2, P(0,0,2) 取 AP 中点 E,连接 BE,CE ∵ AC = PC

AB = BP

∴ CE ⊥ AP

BE ⊥ AP

∴ ∠BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角(9 分) 的平面角( ∵ E (0,1,1), EC = (0,?1,?1), EB = (2,?1,?1) ∴ cos ∠BEC =

EC ? EB EC EB

=

2 3 = (11 分) 3 2? 6 3 也可求法向量来求二面角的大小) (也可求法向量来求二面角的大小)(12 分) 3

∴二面角的大小为 arccos

19.解 (1 19.解: 1)乙取胜有两种情况 (

1 1 一是乙连胜四局, 一是乙连胜四局,其概率 P=( ) 4 = (1 分) 1 2 16 二是第 3 局到第 6 局乙胜 3 局,第 7 局乙胜 1 1 1 3 3 1 其概率 P2 = C 4 ( ) 3 (1 ? ) ? = (2 分) 乙胜概率为 P + P2 = (4 分) ∴ 1 2 2 2 8 16
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局有两种情况。 (2)比赛进行完 7 局有两种情况。 一是甲胜, 局中甲胜一局, 局甲胜, 一是甲胜,第 3 局到第 6 局中甲胜一局,第 7 局甲胜,
1 1 1 1 1 其概率 P3 = C4 ? ? (1 ? ) 3 = (5 分) 2 2 2 8

二是乙胜, 二是乙胜,同(1)中第二种情况, P4 = P2 = 中第二种情况, ∴比赛进行完 7 局的概率为 P3 + P4 = (3)据题意, ξ 的可能取值为 4,5,6,7. 据题意,
1 1 P (ξ = 4) = ( ) 2 = 2 4 1 4 1 1 1 1 P (ξ = 6) = ( ) + C3 ( ) 3 ? = 2 2 2 4

1 ( 6 分) 8

1 ( 8 分) 4

1 1 1 1 P (ξ = 5) = C2 ( ) 2 ? = 2 2 4 1 P (ξ = 7) = 4

所以 ξ 的分布列为

ξ
P ∴ Eξ = 4 ×

4
1 4

5
1 4

6
1 4

7
1 4

(10 分)

1 1 1 1 + 5 × + 6 × + 7 × = 5.5 (12 分) 4 4 4 4

20.解 20.解(1)∵点 An (an ,? 反函数 ∴点 ( ?

1 )(n ∈ N * ) 在曲线 y = g (x) 上,而 f ( x)和g ( x) 互为 an+1

1 , an ) 必在曲线 f ( x) = an+1

1 x2 ? 4

( x < ? 2 ) 上 ( 2 分)

∴ an =

1 ( 4 分) 1 ?4 2 an+1



?1? 1 1 ? 2 = 4( n ∈ N * ) ∴ 数 列 ? 2 ? 为 等 差 数 2 an+1 an ? an ?

( 列 。 6 分)

?1? 1 为等差数列, (2)∵数列 ? 2 ? 为等差数列,且首项为 2 = 1 ,公差为 4 a1 ? an ?
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1 = 1 + 4(n ? 1) a12

2 ∴ an =

1 4n ? 3

而 an > 0 , an = ∴

1 (7 分) 4n ? 3

∴ bn =

1 1 1 + an an+1

=

1 = 4n ? 3 + 4n + 1

4n + 1 ? 4n ? 3 ( 9 分) 4

∴ b1 +b 2 + ? ? ? +bn =

5 ?1 9? 5 4n + 1 ? 4n ? 3 + + ??? + = 4 4 4

4n + 1 ? 1 4

(12 分) 21) (文 (理 21) 文 22) ( 22) (1)据题意可设椭圆方程为
x2 y2 a2 + 2 = 1(a > b > 0) F (c,0), ∴ A( ,0) (1 分) a2 b c a2 a2 ,0) = 3( ? c,0) c c

= 由已知可得 2b = 2 2 ∴ b = 2 , b 2 = 2, 又OA 3FA ∴ (
∴ 2a 2 = 3c 2 = 3(a 2 ? b 2 ) = 3(a 2 ? 2) ∴ a2 = 6

x2 y2 = 1 (5 分) ∴椭圆 C 的方程为 + 6 2

存在, (2)显然直线 l 的斜率 k 存在,又因为直线 l 过点 A(3,0) ,可设直线 l 的方程 为 y = k ( x ? 3) 并整理得: 代入椭圆 C 的方程消去 y 并整理得: (3k 2 + 1) x 2 ? 18k 2 x + 27 k 2 ? 6 = 0 (7 分) 因直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点 ∴ ? = (?18k 2 ) 2 ? 4(3k 2+1)(27 k 2 ? 6) > 0 ∴0 ≤ k2 <
2 ( 8 分) 3

? 18k 2 x1 + x2 = 2 ? ? 3k + 1 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则有 ? 2 ? x x = 27 k ? 6 ? 1 2 3k 2 + 1 ?
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3k 2 ∴ y1 y2 = k ( x1 ? 3) ? k ( x2 ? 3) = k [ x1 x2 ? 3( x1 + x2 ) + 9] = 2 3k + 1
2

由 OP ? OQ = 0可得x1 x2 + y1 y2 = 0即
1 , 5 1 2 ∵ < 5 3

30k 2 ? 6 =0 3k 2 + 1
5 满足条件( 满足条件(10 分) 5

∴k2 =

∴k = ±
5 ( x ? 3) 5

所以直线 l 存在且方程为 y = ±

又 OP ? OQ = 0 ∴ OP + OQ = PQ = 1 + k

2

( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2

? 18k 2 9 x1 + x2 = 2 = ? ? 3k + 1 4 此时 ? 2 ? x x = 27k ? 6 = ? 3 ? 1 2 3k 2 + 1 8 ?

∴ PQ = 1 +

1 9 2 3 3 14 ( ) ? 4 ? (? ) = (12 分) 5 4 8 4

9 3 5 2 3 14 另解: ) = 另解: OP + OQ = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( ) 2 + (± 4 5 4

21.( (1 21.(文) 1) f ' ( x) = 3 x 2 + 2bx + c ( ∴?
2b = 2 于是b = ?6 (4 分) 6

∵ f ' ( x) 图象关于直线 x = 2 对称

由 知 (2) (1) , f ( x) = x 3 ? 6 x 2 + cx

f ' ( x) = 3 x 2 ? 12 x + c = 3( x ? 2) 2 + c ? 12

无极值( ( i )当 c ≥ 12 时, f ' ( x) ≥ 0 ,此时 f (x) 无极值(5 分) ( ii )当 c < 12 时, f ' ( x) = 0 有两个互异的实根 x1 , x2 不妨设 x1 < x2时,f ' ( x) > 0, f ( x)在(?∞, x1 ) 内为增函数 当 x1 < x < x2时,f ' ( x) < 0, f ( x)在( x1 , x2 ) 内为减函数 当 x1 > x2时,f ' ( x) > 0, f ( x)在( x2 ,+∞) 内为增函数 处取极大值, 处取极小值。 所以 f ( x)在x = x1 处取极大值,在 x = x2 处取极小值。
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因 此 , 当 且 仅 当 c < 12时,函数f ( x)在x = x2 处 存 在 唯 一 极 小 值 , 所 以

t = x2 > 2 ,于是 g (t )的定义域为(2,+∞) (8 分)
由 f ' (t ) = 3t 2 ? 12t + c = 0得c = ?3t 2 + 2t 于是 g (t ) = f (t ) = t 3 ? 6t 2 + ct = ?2t 3 + 6t 2 , t ∈ (2,+∞) 当 t > 2时,g ' (t ) = ?6t 2 + 12t = 6t (2 ? t ) < 0 所以函数 g (t )在区间(2,+∞) 内为减函数 22.( (1 22.(理) 1) f ' ( x) = 2(1 + x) ? (
1 x ∈ [ ? 1, e ? 1] e

故 g (t )值域为(?∞,8)(12 分)

2 2 x ( x + 2) = ( 2 分) 1+ x 1+ x 1 ∴当 x ∈ [ ? 1,0]时f ' ( x) < 0 e ∴

当 x ∈ (0, e ? 1]时,f ' ( x) > 0 (4 分) 当 x = 0时,f ( x) min = f (0) = 1
m ∈ (?∞,1) (6 分)

(2)设 g ( x) = (1 + x) 2 ? ln(1 + x) 2 ? a 由 g ' ( x) > 0 ? x ∈ (?∞,?1) ∪ (1,+∞)

则 g ' ( x) = 1 ?

2 x ?1 = ( 7 分) 1+ x x +1

g ' ( x) < 0 ? x ∈ (?1,1)又x ∈ [0,2]

上单调递减, 在单调递增( ∴ g ( x)在[0,1] 上单调递减,在 [1,2] 在单调递增(9 分) 是极小值点, 上有两个相异零点, ∴ x = 1 是极小值点,要使 g (x) 恰好在 [0,2] 上有两个相异零点,只要方程

g ( x) = 0在[0,1)和[1,2] 上各有一个实根(10 分) 上各有一个实根(
? g (0) ≥ 0 ? ∴ ? g (1) < 0 ? 2 ? 2 ln 2 < a ≤ 3 ? 2 ln 3 (12 分) ? g (2) ≥ 0 ?

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