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2012年数学一轮复习精品试题第37讲 直线的倾斜角


第三十七讲

直线的倾斜角、斜率及直线方程

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.(2010· 聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜 率,下列说法正确的是( A.所有

的直线都有倾斜角和斜率 B.所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D.所有的直线都有斜率,但不一定有倾斜角 解析:所有的直线都一定有倾斜角,而倾斜角为 90° 的直线不存在斜率. 答案:B 2.已知两直线的方程分别为 l1:x+ay+b=0,l 2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的关 系如图所示,则( ) )

A.b>0,d<0,a<c B.b>0,d<0,a>c C.b<0,d>0,a>c D.b<0,d>0,a<c 1 1 b d 解析:由图象知- >- >0,- <0,- >0,从而 c<a<0,b<0,d>0. a c a c 答案:C π π 3.直线 xsin +ycos =0 的倾斜角是( 7 7 )

π A.- 7 5π C. 7

π B. 7 6π D. 7

π 解析:由题意得:直线方程为 y=-tan · x, 7 π 6 6 ∴k=-tan =tan π,∵0≤α<π,∴α= π. 7 7 7 答案:D π π 4.直线 2xcosα-y-3=0(α∈?6,3?)的倾斜角的变化范围是( ? ? π π A.?6,3? ? ? π π C.?4,2? ? ? π π B.?4,3? ? ? π 2π D.?4, 3 ? ? ? )

π π 1 3 解析:直线 2xcosα-y-3=0 的斜率 k=2cosα,由于 α∈?6,3?,所以 ≤cosα≤ ,因 ? ? 2 2 此 k=2cosα∈[1, 3].设直线的倾斜角为 θ,则有 tanθ∈[1, 3],由于 θ∈[0,π),所 以 π π π π θ∈?4,3?,即倾斜角的变化范围是?4,3?.选 B. ? ? ? ? 答案:B 评析:当斜率表达式中含有字母又需求直线的倾斜角的范围时,应先求斜率的范围,再 结合正切函数的图象, 利用正切函数的单调性来解决倾斜角的取值范围问题. 其中必须注意 π π 的是: 切函数 y=tanx 在区间[0, 正 π)上并不是单调的, 但它在?0,2?上和?2,π?上都是递 增 ? ? ? ? 的. 5.若原点 O 和点 P(1,1)在直线 x+y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( A.a<0 或 a>2 C.0<a<2 B.a=0 或 a=2 D.0≤a≤2 )

解析:因为原点 O 和点 P 位于直线两侧,所以(-a)· (1+1-a)<0 ,解得 0<a <2.故选 C. 答案:C

6.过点(1,3)作直线 l,若 l 经过点(a,0)和(0,b),且 a、b∈N+,则可作出这样的直线 l 的条数为( A.1 C.3 ) B.2 D.多于 3

x y 1 3 解析:由题意可知 l: + =1,∴ + =1 a b a b ∴b= 3a 3(a-1) 3 3 = + =3+ (a≥2,且 a ∈N+) a-1 a-1 a-1 a-1

∴a-1 为 3 的正约数, 当 a-1=1 时,b=6,当 a-1=3 时,b=4,所以这样的直线有 2 条,故选 B. 答案:B 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右平移 1 个单位,所得到的直线方程为 ________. 1 解析:将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° 得到直线 y=- x,再向右平移 1 个单位, 3 1 1 1 所得到的直线方程为 y=- (x-1),即 y=- x+ . 3 3 3 1 1 答案:y=- x+ 3 3 8.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________. x y 3 3 3 解析:直线 AB 的方程为 + =1,设 P(x,y),则 x=3- y,∴xy=3y- y2= (-y2+ 3 4 4 4 4 3 2 4y)= [-(y-2) +4]≤3. 4 答案:3 9.(2010· 苏州月考)若点 A(a,0),B(0,b),C(1,-1)(a>0,b<0)三点共线,则 a-b 的 最小值等于________. b-0 -1-0 解析:因为 A(a,0),B(0,b),C(1,-1)三点共线,所以 kAB=kAC,即 = , 0-a 1-a

1 1 整理得 - =1, a b 1 1 b a 于是 a-b=(a-b)?a-b?=2- - ? ? a b b a =2+??-a?+?-b??≥2+2=4, ?? ? ? ?? 即 a-b 的最小值等于 4. 答案:4 10.直线 kx-y+1-3k=0,当 k 变动时,所有直线都通过定点_______ _. 解析:将直线方程化为点斜式,得 y-1=k(x-3),所以直线过定点(3,1). 答案:(3,1) 评析:将含有参数的直线方程化成点斜式 y-y0=k(x-x0)的形式,则直线必过点(x0,y0) 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 分析:注意截距概念的运用和直线的图象特征. 解:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,当然相等. ∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0, ∴ a-2 =a-2,即 a+1=1, a+1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0. (2)解法一:将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴? ?
? - ( a+ 1) ? 0, ? - ( a+ 1)= 0 , 或 ? . ? a- 2 ≤ 0, ? a- 2 ≤ 0

∴a≤-1.

综上可知 a 的取值范围是 a≤-1. 解法二:将 l 的方程化为: (x+y+2)+a(x-1)=0(a∈R). 它表示过 l1:x+y+2=0 与 l2:x-1=0 交点(1,-3)的直线系(不包括 x=1).由图象 可知 l 的斜率-(a+1)≥0,即 a≤-1 时,直线 l 不经过第二象限. 评析:忽略直线 l 在两坐标 轴上截距均为 0 的情形,直接设出直线的截距式方程进行求 解,从而导致错误. 每种直线方程的形式均有其适用范围, 对于不能由所设直线方程的形式来表达但又符合 题意的直线,应注意进行单独考查,并将其加上. x 10 12.过点 M(0,1)作直线,使它被两直线 l1:y = + ,l2:y=-2x+8 所截得的线段恰 3 3 好被点 M 平分,求此直线方程. 解:解法一:(利用点斜式方程) 过点 M 且与 x 轴垂直的直线显然不合题意,故可设所求方程为 y-1=kx,即 y=kx+1, 它与已知两直线 l1、l2 分别交于 A、B 两点,且 A、B、M 的横坐标分别为 xA、xB、xM.
? y= k x + 1 , ? y= k x + 1 , ? 联立方程组 ? x 10 与 ? , ? y= - 2 x+ 8 , ? y= + 3 3 ?

7 7 得 xA= ,xB= , 3k-1 k+2 又∵M 平分线段 AB,∴xA+xB=2xM. 即 7 7 1 + =0,解得 k=- . 4 3k-1 k+2

1 故所求直线方程为 y=- x+1. 4 解法二:(利用两点式方程) 设所求直线与 l1、l2 分别交于 A、B 两点, ∵点 B 在直线 l2:y=-2x+8 上,故可设 B(t,8-2t),

∵M(0,1)是 AB 中点,由中点坐标公式可得 A(-t,2t-6 ), ∵A 点在直线 l1:x-3y+10=0 上, ∴-t-3(2t-6)+10=0,解得 t=4. ∴A(-4,2),B(4,0). y-2 x-(-4) 由两点式方程得 = , 0-2 4-(-4) 整理得 x+4y-4=0 即为所求. 13.已知两直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(0<a<2)与两坐标轴的正半轴 围成四边形.当 a 为何值时,围成的四边形面积取最小值,并求最小值. 解:两直线 l1:a(x-2)=2(y-2), l2:2(x-2)=-a2(y-2),都过点(2,2), 如图.

a 设两直线 l1,l2 的交点为 C,且它们的斜率分别为 k1 和 k2,则 k1= ∈(0,1), 2 1 2 k2=- 2∈?-∞,-2?. ? a ? ∵直线 l1 与 y 轴的交点 A 的坐标为(0,2-a),直线 l2 与 x 轴的交点 B 的坐标为(2+a2,0). ∴S 四边形 OACB=S△OAC+S△OCB 1 1 = ×(2-a)×2+ ×(2+a2)×2 2 2 1 15 =a2-a+4=?a-2?2+ . ? ? 4 1 15 ∴当 a= 时,四边形 OACB 的面积最小,其值为 . 2 4


37讲直线的倾斜角

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