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2015年高考复习资料:圆锥曲线及其性质应用 教师版

时间:2015-03-28


圆锥曲线的性质及应用
【考纲要求】 内 容 椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 抛物线定义及标准方程 圆锥曲线 与方程 圆锥曲线 抛物线的简单几何性质 双曲线定义及标准方程 双曲线的简单几何性质 直 线与 圆锥 曲线 的位 置 关系 曲线与方 程 曲线与方程的对应关系 √ √ √ √ 知识要求 了 解 理 解 掌 √ √ √ √ 握

【考题分析】在三年的新课标高考中,选择填空题以圆锥曲线的性质考查为主,其中双曲线 为主要考查对象,由于双曲线的层次是理解,比其它两类曲线的要求要低,出现解答题的可 能性不高,而将圆、椭圆、双曲线、抛物线中的两种或两种以上的曲线有机和谐地组合构成 综合性问题是近年高考命题者惯用的手法。其中离心率是比较重要的性质。 【考题重现】 (2012· 湖北理科卷· 第 14 题) 如图, 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) a 2 b2

的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两端点为 B1 , B 2 ,两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别为 A, B, C , D . 则 (Ⅰ)双曲线的离心率 e ? ; (Ⅱ)菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 与矩形 .

ABCD 的面积 S 2 的比值

S1 ? S2

【解析】 (Ⅰ)由于以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,因此点 O 到 直线 F2 B2 的距离为 a ,又由于虚轴两端点为 B1 , B 2 ,因此 OB 2 的长为 b ,那么在 ?F2 OB2 中,由三角形的面积公式知,

1 1 1 bc ? a | B2 F2 |? a (b ? c) 2 , 又 由 双 曲 线 中 存 在 关 系 c 2 ? a 2 ? b 2 联 立 可 得 出 2 2 2

(e 2 ? 1) 2 ? e 2 ,根据 e ? (1,??) 解出 e ?

5 ?1 ; 2
2

(Ⅱ) 设 ?OF2 B2 ? ? ,很显然知道 ?AOB2 ? ? ,因此 S 2 ? 2a sin(2? ) .在 ?F2 OB2 中求得

sin ? ?

b b2 ? c2

, cos? ?

c b2 ? c2

, 故 S 2 ? 4a 2 sin ? cos? ?

4a 2 bc ; b2 ? c2

菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 ? 2bc ,再根据第一问中求得的 e 值可以解出 ( 2013· 湖北理科卷 · 第 5 题 ) 已知 0 ? ? ?

S1 2 ? 5 ? S2 2

π x2 y2 ,则双曲线 C1 : ? ? 1 与 C2 : 2 4 sin ? cos2 ?

y2 x2 ? 2 ? 1 的( 2 cos ? sin ?
A.实轴长相等
2

) B.虚轴长相等
2

C.离心率相等

D.焦距相等

【解析】 双曲线 C1 中,a ? sin

2 2 所以 c ? 1 , 离心率为 e ? ? , b2 ? cos2 ? ,

1 。C2 中, sin 2 ?

a2 ? cos2 ? , b2 ? sin 2 ? ,所以 c 2 ? 1 。所以两个双曲线有相同的焦距,选 D.
(2014· 湖北理科卷· 第 9 题) 已知 F1 , F2 是椭圆与双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点, 且 ?F1 PF2 ?

?
3

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是(



A.

4 3 3

B.

2 3 3

C .3

D.2

【领悟】从以上的圆锥曲线性质的考查中。以双曲线的性质考查为主要内容,而其中离心率 又是考查的重点。根据图形的具体特点如何建立 a, b, c 之间的相互关系是解决问题的关键。 【性质应用】 一、合理利用圆锥曲线的定义: 1.直接利用定义: (1) (课本 P61)双曲线 4 x2 ? y 2 ? 64 ? 0 上一点 P 到它的一个焦点的距离为 1,那么点 P 到另一个焦点的距离为 简答:17

x2 y 2 变式 1: (2014 年全国高考题) 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点为 F 1 、F2 , a b
离心率为

3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为 3
) 【来源· A.

( A

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

变式 2: (2014 年湖南高考题)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F ?1, 0? 的距离和到 直线 x ? ?1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P?? 1 , 0?且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范 围是__________ 简答: (??, ?1) _.

(1, ??)

(2).利用定义合理进行转化

x2 y 2 (2013 年福建高考题)椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 a b
2c , 若直线 y ? 3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF 则该椭圆的 1F 2 ? 2?MF 2F 1,
离心率等于__________ 简答: 3 ? 1

x2 y 2 变式: (2013 年湖南高考题)设 F1 , F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P a b
是 C 上一点,若 PF1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为

简答:

4 3 3

二、求离心率或取值范围: 1.利用直线与圆锥曲线的位置关系确定离心率:

1 x2 y 2 (2014 年江西高考题) 过点 M (1,1) 作斜率为 ? 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
相交于 A, B ,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为

简答:

2 2

变式: (2014 年浙江高考题)设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? 0, b ? 0) 两条渐近线分别交于点 A, B ,若点 P(m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离
心率是

简答:

13 3

2.利用定义确定离心率 (2014 年重庆高考题)设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双 a 2 b2
9 ab, 则该双曲线的离心率为 4

曲线上存在一点 P 使得 | PF1 | ? | PF2 |? 3b, | PF1 | ? | PF2 |? ( B )
A.

4 3

B. 5

3

C. 9

4

D.3

变式:设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点。若在 C 上存在一点 P , a 2 b2

使 PF1 ? PF2 ,且 ?PF 1 F2 ? 30? ,则 C 的离心率为___________. 简答: 3 ? 1 3.构建不等关系确定离心率的取值范围: 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线右支上的任 a 2 b2

| PF1 |2 意一点,若 的最小值为 8a ,则双曲线离心率的取值范围是(D) 。 | PF2 |
+? ? A. ?1,
变式:若双曲线 B. ?1, 2 ? C. 1, 3 ?

?

?

D. ?1, 3?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP ( O 为 a2 b2


双曲线的中心)的对称点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 简答: (1, 2] 三、其它性质的简单应用: 1.与渐近线有关的性质:

过双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的焦点 F 作渐近线的垂线 l ,则直线 l 与圆 a 2 b2

O : x 2 ? y 2 ? a 2 的位置关系是( B )

A.相交

B.相切

C. 相离

D.无法确定

变式题:左焦点为 F 的双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的右支上存在点 A ,使得直线 a 2 b2


FA 与圆 x2 ? y 2 ? a2 相切,则双曲线 C 的离心率取值范围是
简答: ( 2, ??) 2.对称性质应用: 设 F1 , F2 分别为椭圆 坐标是 .

x2 ? y 2 ? 1的左右焦点,点 A, B 在椭圆上,若 F1 A ? 5F2 B ,则点 A 的 3

简答: (0,1) 或 (0, ?1)

变式: 设过原点的直线与双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1, 分别相交于 A, B 两点,M 为双曲线上异与 4 5

A, B 的任意一点,则 MA, MB 的直线的斜率之积 kMA ? kMB =
简答:

5 4


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