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幂函数


问题引入

我们先看几个具体问题:

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她

需要支付p= w 元

y?x

2 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S y? ?a x2

(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V y?

?a x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方

形的边长 a ? S y? x (5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
1 2

1 2

速度 V ?

t

?1

km / s

y? x

?1

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来 ? 一般地,函数 , 表示,则它们的函数关系式将是 : y ? x 叫做幂函数

例1: 判断下列函数是否为幂函数. (1) y=x4

1 ( 2) y ? 2 x
(3) y= -x 2

(4) y ? x
(5) y=2x

1 2

(6) y=x3+2

任何一个幂函数都可以化为一般式:y=xa

例2、已知幂函数y ? f ( x)的图象过点(2, 2 ), 试求出这个函数的解析式.

解 ::设所求幂函数为 yy 解 :设所求幂函数为 设所求幂函数为 y? ?xx x , ,, 解 ? ?? ? 因为函数过点 (( 2 , ,, 2 ), 所以 2 因为函数过点 (2 2 2 ), 所以 2 2? ? 2 , ,, 因为函数过点 2 ), 所以 2 ? 2 1 1 1 1 1 2 12 2? 所以 ? log 2 ? log 2 所以 ?? ? log 2 ? log 2 ? 所以 ? ? log 2 ? log 2 ? 22 2 2 2 2 2 2 2 故所求的幂函数为 yy ? 故所求的幂函数为 y ?xx x. .. 故所求的幂函数为 ?
1 1 2 12 2

?? ?

三个图象

2 - 1 y = x y = x 在同一坐标系内作出幂函数 ,y = x 的图象。 ,

y= x

2

y= x

y = x- 1

探究二 :

x
y = x3

3 … 2 27 … 8

-1 -1

1 2 1 8

0

0

1 2 1 8
3

1 1

3 2 27 8

… …

y= x

Y=x^0.5

x
y= x
1 2

0 0

1 2
0.71

1 1

2

3

4 2

… …

1.41 1.73

y= x

1 2

五条图象

幂函数 y =

x ,y = x 2, y = x- 1, y = x3 ,y = x

1 2 的图象。

y = x3y = x 2

y= x

y= x

1 2

y= x

- 1

几个幂函数的性质:
y?x
y ? x2
值域

y ? x3
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

y?x

1 2

y ? x ?1
单调性 增函数
公共点

定义域

y?x
y ? x2 y?x
y?x
3
1 2

R R R

R
[0,+∞)

(-∞,0]为减函数 (0,+∞]为增函数

R

增函数 增函数
(-∞,0]为减函数 (0,+∞]为减函数

(1,1)

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶
( -∞,0)∪ (0, ( -∞,0)∪ (0, +∞) +∞)

y?x

?1

奇函数

探究四:
y = x3y = x 2
y= x

y= x
A

1 2

y = x- 1

幂函数的图象不经过第四象限。

练习:
1、求下列幂函数的定义域,并指出奇偶性、单调性:

(1)y=x

2 5

R

(2)y=x

1 3

R

(3)y=x

?

3 4

{x x ? 0} (4)y=x-2 {x x ? 0}

例3. 利用幂函数单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8

(3)

-2 -2 2.5 5 与 2.7 5

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8

(2)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习
1)

1.3
?2

0.5<

1.5

0.5

?2 < 5.1 2) 5.09

3)

(2 ? a )

2 ? 2 3



2

2 ? 3

例3: 用单调性定义证明幂函数f (x) ?

x在[0,??)上是增函数 .

证明: 任取x1 , x2 ?[0,??), 且x1 ? x2 , 则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2
方法技巧:分子有理化

?

x1 ? x 2 x1 ? x 2

因为0 ? x1 ? x2 , 所以x1 ? x2 ? 0, x1 ?

x2 ? 0,

所以f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即幂函数f ( x ) ? x在[0,??)上的增函数.

思考题
已知f(x)=(m +2m) ?x
2 m2 ? m ?1

, 当m为何值时,f(x)是:

(1)正比例函数; (2)反比例函数; (3)二次函数; (4)幂函数?

小结
1、幂函数的定义 及图象特征 a>0,在(0,+∞)上为增函数; 2、幂函数的性质 a<0,在(0,+∞)上为减函数 图象过定点(1,1)

思考

判断函数 f ( x) ? x , f ( x) ? x ,f ( x) ? x
的奇偶性。

5 3

3 4

2 5

f ( x) ? x (m,n均为整数,n ? 0)
奇偶性是怎样的? (n为偶数,m为奇数,非奇非偶; n为奇数,m为偶数,偶函数 n,m均为奇数,奇函数 )

m n


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