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2、3、2抛物线的简单几何性质


2、3、2 抛物线的简单几何性质(2 课时)
学案编写者:丰都县职业教育中心数学教师秦红伟

一、 【学习目标】 (约 2 分钟) 1.掌握抛物线的简单几何性质和直线与抛物线的位置关系。 2.能够熟练利用抛物线的定义解决问题,会求抛物线的焦点弦长. 【教学效果】:教学目标的给出,使学生们对这节课产生了极大的兴趣,起到了 较好的效果. 二、 【教学内容

和要求及教学过程】 (约 18 分钟) 自学教材第 56---57 页的内容,结合教材回答下列问题(约 18 分钟)
<1>抛物线的范围是什么? <2>抛物线的对称性是什么?<3>抛物线的顶点是什么?<4>抛物 线的离心率?

结论
时,

(1)范围因为

,由方程可知

,所以抛物线在

轴的右侧,当

的值增大

也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 代 ,方程不变,所以抛物线关于 轴对称.我们把抛物线的对

(2)对称性 以 称轴叫做抛物线的轴.

(3)顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点,在方程中,当 因此抛物线的顶点就是坐标原点. (4)离心率 由抛物线的定义可知





抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,

其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得,教师用小黑板给出来表让学生填写. 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率









再向学生提出问题:与椭圆、双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有什么特点? 学生和教师共同小结: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; (4)抛物线的离心率是确定的,为 1. 【例题分析】教材 P60 页例 3 主要是熟悉抛物线的标准方程。

例 4: 斜率为 1 的直线经过抛物线

的焦点, 与抛物线相交于两点



, 求线段

的长。 如图,由抛物线的标准方程可知,焦点 ,准线方程 .

由题设,直线 .

的方程为:

.

代入抛物线方程

,整理得:

解法一:解上述方程得:



分别代入直线方程得:



坐标分别为 .



解法二:设



,则:

解法三:设 距离 . 即



. 由抛物线定义可知, 同理

等于点

到准线



点拨:1.解法一利用传统的基本方法求出
求出 的长。解法二没有直线求出

两点坐标,再利用两点间距离公式 与 的关系,

坐标。而是利用韦达定理找到

利用直线截二次曲线的弦长公式 求得,这是典型的设而不求思想方 法比解法一先进, 解法三充分利用抛物线的定义, 把过焦点的这一特殊的弦分成两个半径的 和,转化为准线的距离,这是思维质的飞跃。2.抛物线 到焦点 的距离 上一点

这就是抛物线的焦半径公式。焦点弦长

例 5:直线与抛物线的位置关系。
例 6(1)设抛物线 被直线 截得的弦长为 ,求 k 值.

(2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积为 9 时,求

P 点坐标.
分析:(1)题可利用弦长公式求 k,(2)题可利用面积求高,再用点到直线距离求 P 点坐 标.

解:(1)由

得:

设直线与抛物线交于



两点.则有:

,即

(2)

,底边长为

,∴三角形高

∵点 P 在 x 轴上,∴设 P 点坐标是

则点 P 到直线 或

的距离就等于 h,即 ,即所求 P 点坐标是(-1,0)或(5,0).

例 7 正三角表的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 正三角形的边长. 分析:正三角表和抛物线都是轴对称圆形,如果能证明 而学生往往忽略了它的证明,可教师一边分析一边讲解. 解:如图 ,设正三角形 则: 的顶点 ,

上,求这个

轴是它们的公共对称轴,则易解,

在抛物线上,且它们坐标分别为



又 即:

所以: ,



由此可得

, 即线段





轴对称. ,

由于

垂直于

轴,且

,而

于是

点评:(1)求边长并不困难,往往会直观上承认抛物线与三角形的对称轴是公共的而忽略 了它的证明.

(2)可由

解得





【教学效果】:这一部分内容渗透了类比的思想,由于初中对椭圆和双曲线的学 习,学生们几乎都能很快的给出自己的思路。 三、 【练习与巩固】 (约 15 分钟) 练习一:请你将教材第 63 页的 1、2、3 题做到教材上;

【教学效果】 :及时练习效果较好.

四、【小结】1.求抛物线的标准方程需判断焦点所在的坐标轴和确定

的值,过焦点的直 线与抛物线的交点问题有时用焦半径公式较简单。2.直线与抛物线的位置关系

设抛物线方程为 于 (或

,当直线斜率存在时,把直线方程代入抛物线方程得关 )

)的一元二次方程(二次项系数为

直线与抛物线有两个公共点

直线与抛物线有一个公共点 行与抛物线的对称轴);

,或二次项系数

(此时直线平

直线与抛物线没有公共点 这里特别要注意 不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件,当直线平行于抛物 线的对称轴时,也只有一个公共点. 3.要重视抛物线定义的应用,“回归定义”有时使问 题变得简捷明确,利用坐标法求曲线的方程并研究其性质,体现解析几何反映的数学思想方法.

4.焦点弦的几条性质:设直线过焦点

与抛物线

相交于



两点,则:① .

; ②

③通径长为

④焦点弦长

五、【作业】1、必做题:第 64 页习题 2.3A 组 3---6 题(请同学们独立完成) 2、选做题:整理教材知识。 六、【反思】这节课总体上感觉不是很成功的.因为有难度。
扩展资料 对课本一道习题的变式研究

题目)过抛物线 ,求证 .

的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为

证明:在本题中,直线 两个交点的纵坐标 具有

过焦点

,具有上述性质,反之若直线与抛物线 ,直线是否经过焦点 呢?



变式 1,若抛物线 ,则直线 证明:设

上两个动点 经过焦点 . 、

的纵坐标分别是

且满足

的坐标分别为

.



,则由 ,此时直线

, 过焦点 . 若

,知

,所以 ,由直线的斜率公式得:







代入得 因此 三点共线,直线 过焦点 .





过焦点

的充要条件。

变式 2



是抛物线 ,求证

对称轴上的一个定点,过 是定值。

的直线交抛物线于

两点,其纵坐标为

证明: 因为 消去 得:

与抛物线交于两点, 因此可设 ,由韦达定理知

的方程为 (定值)

代入



变式 3 (

设抛物线

上面动点 是否恒过来某一定点?

分别为



, 且满足

为常数),问

解:当

时,



的方程为



代入化简,整理得

的方程







过定点

.



时,结论成立,(实际上 ,所以当 时,必有 )

时,

同号,点

在对称轴的同侧且

变式 4 求 中点

设抛物线 的轨迹方程。

的两动点



, 满足



是常数) ,

解:设

的坐标为

,则



,又

在抛物线上,所以



, 代入化简得点

,则 的轨迹方程是 .

,将



由以上可知,对课本题进行联想、引申和改造,可以得到综合性强,形式新颖的命题,多思 考、多训练可提高思维的广阔性与灵活性,培养探索创新的能力。


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