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红对勾理科数学课时作业63


课时作业 63

二项式定理

时间:45 分钟 分值:100 分 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1 1. 记二项式(x+2x)n 的展开式中第 m 项的系数为 am, 若 2a3=3a4, 则 n 的值为( A.6 C.8 ) B.4 D.3

1 1 n -r 1 r n - 2r 解析:因为 Tr+1

=Cr (2x) =(2)rCr ,所以 a3=4×C2 nx nx n, a4 1 3 =8×Cn ,由 2a3=3a4,可得 n=6. 答案:A 2 2.若二项式( x-x)n 的展开式中第 5 项是含 x2 的项,则自然数 n 的值是( A.12 C.8 ) B.16 D.10

2 n n 4 解析:T5=Cn ( x)n-4· (-x)4=24C4 n=16. nx -6,依题意 -6=2, 2 2 答案:B

3.(2013· 陕西卷)设函数

??x-1?6,x<0, x f(x)=? ?- x,x≥0,
) B.20 D.15

则当 x>0 时,

f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( A.-20 C.-15

解析:x>0 时,f(x)=- x<0,故 f(f(x))=f(- x)=(

1 - x) 6 其 x

r r-3 展开式的通项为 Tr+1=Cr ,令 r-3=0 得常数项为 r=3 时, 6(-1) x 3 T4=C3 6(-1) =-20.故选 A.

答案:A
?1 ? 4.(x2+2)?x2-1?5 的展开式的常数项是( ? ?

)

A.-3 C.2

B.-2 D.3

解析:本题主要考查二项式定理.求展开式中的常数项,即分以 下两种来源: 1 4 第一个因式取 x2,第二个因式取x2得:1×C1 5(-1) =5; 第一个因式取 2,第二个因式取(-1)5 得:2×(-1)5=-2;故展 开式的常数项是 5+(-2)=3. 答案:D 1? ? 5.若二项式?x3+x2?n 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n
? ?

的最小值为( A.3 C.7

) B.5 D.10

3n-3r -2r r 3n-5r 解析:展开式的通项公式是 Tr+1=Cr x =Cn x ,若二项 nx

1? ? 5r 式?x3+x2?n 的展开式中含有非零常数项,则 3n-5r=0,即 n= 3 (r=
? ?

0,1,2,…,n),故当 r=3 时,此时 n 的最小值为 5.选 B. 答案:B 6. 设 a∈Z, 且 0≤a<13, 若 512 012+a 能被 13 整除, 则 a=( )

A.0 C.11 解析:512
012

B.1 D.12 +a=a+(1-13×4)2
012 012 1 2 =a+1-C2 01213×4+C2 012 012

012 2 (13×4)2+…+C2 2 012(13×4)

,当 a+1 为 13 的倍数时,512

+a

能被 13 整除,又 0≤a<13.故 a=12. 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 ? ? ? 2 x+ ?n 2 7.? 3 ? 的展开式中各项系数之和为 729,则该展开式中 x x? ? 的系数为________. 1 ? ? ?2x+ ?6 解析:依题意得 3 =729,n=6,二项式? 3 ? 的展开式的通 x? ?
n

项是

6-x ? Tr+1=Cr · 6×(2x) ?3

? 1 ? 4r 4r ?r r 6-r = C × 2 · x 6 - . 令 6 - =2,得 r=3. 6 ? 3 3 ? x?

6 -3 因此,在该二项式的展开式中 x2 的系数是 C3 =160. 6×2

答案:160 1 ? ? 8.二项式?x2+x2-2?2 的展开式中常数项是________.
? ?

1 ?r ? 2 1 ?r 2- r? 2 ? ? ?x + 2? x + 解析:由题意通项为 Tr+1=Cr × ( - 2) 2 ,其中 2 x x
? ? ? ?
k 2 r-k? 1 ?k k 2r-4k 的通项为 Tk+1=Cr (x ) ?x2? =Cr x ,而且 0≤k≤r≤2,当 r=k=0

? ?

时,系数为 4,当 r=2,k=1 时,系数为 2,故常数项为 6. 答案:6 9.若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+ a5(1+x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3=________. 解析:不妨设 1+x=t,∴x=t-1,因此有(t-1)5=a0+a1t+a2t2

+a3t3+a4t4+a5t5,
2 而 a3=C5 (-1)2=10.

答案:10 三、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) 1 ? ? ? x+ ?n 10. (15 分)已知? 前三项系数成等差数列. 4 ? 的展开式中, 2 x ? ? (1)求 n; (2)求第三项的二项式系数及项的系数; (3)求含 x 项的系数. 1 1 1 2 解:(1)∵前三项系数 1,2Cn ,4Cn成等差数列. 1 1 1 2 2 ∴2· C n=1+ Cn,即 n -9n+8=0. 2 4 ∴n=8 或 n=1(舍). (2)由 n=8 知其通项公式 r,r=0,1,…,8. ∴第三项的二项式系数为 C2 8=28.
?1? 2 第三项系数为?2?2· C8=7. ? ?

Tr+1=Cr ( 8·

x)

8-r

? 4 ? ?1? 3 ?1 r 1?r=? ?r· · C · x 4 - 8 ? 2 4 x? ?2 ? ? ?

3 (3)令 4-4r=1,得 r=4,
?1? 4 35 ∴含 x 项的系数为?2?4· C8= 8 . ? ?

11.(20 分)设(x2-x-1)50=a100x100+a99x99+a98x98+…+a0. (1)求 a100+a99+a98+…+a1 的值; (2)求 a100+a98+a96+…+a2+a0 的值.

解:(1)令 x=0,得 a0=1;令 x=1,得 a100+a99+a98+…+a1 +a0=1, 所以 a100+a99+a98+…+a1=0. (2)令 x=-1,得 a100-a99+a98-…-a1+a0=1① 而 a100+a99+a98+…+a1+a0=1② 由(①+②)÷ 2 得 a100+a98+a96+…+a2+a0=1. ——创新应用—— 12.(20 分)从函数角度看,组合数 Cr n可看成是以 r 为自变量的函 数 f(r),其定义域是{r|r∈N,r≤n}. n-r+1 (1)证明:f(r)= r f(r-1); (2)利用(1)的结论,证明:当 n 为偶数时,(a+b)n 的展开式中最 中间一项的二项式系数最大.
r 解:(1)证明:∵f(r)=Cn =

n! , r!?n-r?!

-1 f(r-1)=Cr n =

n! , ?r-1?!?n-r+1?!

∴ =

n-r+1 n-r+1 n! f ( r - 1) = · r r ?r-1?!?n-r+1?! n! . r!?n-r?! n-r+1 r f(r-1)成立. n-r+1 r f(r-1),f(r-1)>0,

则 f(r)=

(2)设 n=2k,∵f(r)= ∴ 2k-r+1 f ?r ? = . r f?r-1?

2k-r+1 令 f(r)≥f(r-1),则 ≥1, r 1 则 r≤k+2(等号不成立). ∴当 r=1,2,…,k 时,f(r)>f(r-1)成立. 反之,当 r=k+1,k+2,…,2k 时,f(r)<f(r-1)成立.
k ∴f(k)=C2 k最大,

即(a+b)n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大.


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