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2015高考数学(文)一轮总复习课件:3.2 同角三角函数间的基本关系与诱导公式


第三章 §3.2 同角三角函数间的基本关系与诱导公式

§3.2

同角三角函数间的基本关系与诱导公式

最新考纲
1. 能用单位圆中的三角函数线推导 ±α,π±α,2kπ±α的正弦、
2 π

余弦、正切的诱导公式. 2. 理解同角三角函数间的基本关系式:sin2α+cos2α

=1, cosα =tanα.
sinα

最新考纲 基础梳理

第 二 节

自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选

基础梳理
1. 同角三角函数间的基本关系式 sin2α+cos2α=1 . 平方关系:________________ sinα tanα = 商数关系:________________ . cosα 倒数关系:tanα·cotα=______ 1 . 2. 与α相关的角的表示 原点 对称的角可以表示为π+α. (1)终边与角α的终边关于______ x轴 对称的角可以表示为-α(或2π-α). (2)终边与角α的终边关于______ (3)终边与角α的终边关于______ y轴 对称的角可以表示为π-α. 直线y=x 对称的角可以表示为-α. (4)终边与角α的终边关于_________

3. 诱导公式

函数 角 α +2kπ π+α -α π-α π -α 2 π +α 2

sin α sin α -sin α -sin α sin α cos α

cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α

tan α tan α tan α -tan α -tan α cot α

cos α

-sin α

-cot α

拓展延伸

对诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”含义的理解: π 诱导公式的左边为 · k+α(k∈Z)的正弦或余弦函数,当k为奇数时,右 2 边的函数名称正余互变;当k为偶数时,右边的函数名称不改变,这就是 “奇变偶不变”的含义,再就是将α“看成”锐角,然后分析
π 2 第几象限角,再判断公式左边这个三角函数(原函数)是正还是负,也就是

· k+α(k∈Z)为

公式右边的符号.

自主测评
1. 判断下列命题是否正确. (1)三角函数的诱导公式中α必须是锐角.

(2)若sin(nπ-θ)=

1

2 2 (3)cos(π+α)=-cos α中,α可以是任意角.
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”中的符号与α的大小无关. (5)y=tan x的定义域为R. 解析: (1)错误.三角函数的诱导公式中α可能是锐角,也可能是任意角.只是把α看

(n∈Z),则sin θ=

1

.

成锐角时,公式更容易记忆.

(2)错误.由三角函数的诱导公式可知,应对n进行分类讨论:n是奇数或n

是偶数两种情况.
(3)正确.三角函数诱导公式中的α可以是任意角. (4)正确. (5)正确. tan x=
sin x cos x

中,cos x≠0,故x≠kπ+ ,k∈Z.
2

π

2.

? π? 4π 2π ? ? sin?- ?+2sin +3sin =____. 3 3 3 ? ?

解析:

π π π 原式=-sin -2sin +3sin =0. 3 3 3

? 20π? ? ? 3. (教材改编)cos?- ?=____. 3 ? ?
? 20π? ? 2π? 1 20π π ? ? ? ? 解析: cos?- ?=cos 3 =cos?6π+ 3 ?=-cos 3 =-2. 3 ? ? ? ?

?π ? 3 ?5π ? ? ? ? ? 4. 已知 sin? -x?= ,则 cos? -x?=____. ?3 ? 5 ?6 ?
?5π ? ?π π ? ?π ? 3 ? ? ? ? ? ? 解析: cos? -x?=cos? + -x?=-sin? -x?=- . 5 ?6 ? ?2 3 ? ?3 ?

2sin α -cos α 5. 若 tan α =2,则 =____. sin α +2cos α

解析:

2tan α -1 4-1 3 = = = . sin α +2cos α tan α +2 2+2 4 2sin α -cos α

题型分类 ·典例研析
题型1 · 同角三角函数间的基本关系
? π? ? ? 例1: 已知 α ∈?0, ?,sin 2? ? (1)求 sin α +cos α -cos α= . 5 2sin2α +sin 2α 1-tan α 的值. 1

α 的值;(2)求

1 思路点拨: (1)对sin α-cos α= ,两边平方后,可得2sin αcos α的值,再 5 对sin α+cos α平方求解.(2)由同角三角函数关系化切为弦,代
入已知条件求解. .

规范解答:
(1)∵sinα -cosα =

1 5

, ∴(sinα -cosα )2=

, 即 1-2sinα cosα = , ∴2sin 25 25

1

1

24 49 2 α cosα = .(3 分)∴(sinα +cosα ) =1+2sin α cosα = . 25 25
? π? 7 ? ? 又 α ∈?0, ?,∴sinα +cosα = .(5 分) 2? 5 ?

2sin2α +2sin α cos α 2sin α cos α (sin α +cos α ) (2)原式= = sin α cos α -sin α 1- cos α 7 168 24 5 = × =- .(10 分) 25 1 25 - 5

? π? ? ? 易错警示: α∈?0, ?,故sin α+cos α的值为正,三角函数的求值问题, 2? ? 一定要注意角的范围,避免出现不应有的结果.

点评: 知道sin α±cos α的值,可得sin αcos α的值,反之,知道 sin
αcos α 的值,也可得sin α±cos α的值.

规律总结:

根据已知条件求三角函数值是很重要的一种题型,方法是根据所给式与
被求式的特点,发现联系,恰当地选择诱导公式与同角三角函数关系式 灵活处理.主要有以下几种类型:(1)利用sin2x+cos2x=1实现角的正弦、 余弦的互化,利用tan x=
sin x cos x

实现角的弦切互化;(2)借助于公式sin2x

+cos2x=1联立方程组,由方程组求解未知数的值;(3)在三角函数中,

我们要熟悉sin x+cos x,sin xcos x,sin x-cos x这三个式子之间的关
系,利用(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x,三者知其一可求其他两式,这是常用的解题技巧.一般要先平 方,若涉及开平方,要注意根据角的范围进行取舍.

?π π? ? ? 迁移发散1 已知α ∈? , ?,sin ?4 2? (1)cos α -sin

α ·cos

α= . 8

1

α =________;

?π ? ? ? sin? -α ? ?2 ? tan(α -π) (2) . =________. sin(α +π) cos(3π-α )

规范解答:(1)由(cos
3

α -sin

α )2 =1 -2sin

α cos

α = ,得 cos 4

3

α - sin

?π π? ? ? α =± ,又 α ∈? , ?, 2 ?4 2? ∴cos α <sin α .∴cos α -sin α =- 3 2 .

? ?cos α -sin α =- 3, 2 ? cos α tan α 1 (2)原式= · = .又? -sin α -cos α cos α ? 1 sin α ·cos α = , ? 8 ?
解得 cos α = 5- 3 4 ,故原式= 4 5- 3 =2( 5+ 3).

题型2 · 三角函数诱导公式的应用
例 2. 已 知 sin α 是 方 程 5x2 - 7x - 6 = 0 的 根 , 化 简 : ?π ? ? ? cos(-α -3π)cos(5π-α )sin2(2π-α )cos2? -α ? ?2 ? . ? ? ?π ? 3 π ? ? ? ? cos?α - ?cos? +α ?cos2(π-α )cos2(2π-α ) 2? ? ?2 ?

思路点拨: 解方程求出 sin α 的值,然后利用诱导公式化简所给式子,
再把 sin α 的值代入求解.

规范解答:

由方程得 x1=- ,x2=2 , 5 3 9 16 2 2 ∴sin α =- ,∴sin α = ,cos α = ,(4 分) 5 25 25 9 cos2α sin4 α sin2α ∴原式= 2 = = .(10 分) sin α cos4 α cos2α 16

3

易错警示:应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断. 点评: 本题考查对诱导公式的运用,为了快速解题,最好是记忆常见的

几组,但是解题时忘记或记忆不清楚时,一定不要胡乱应用,可
以用口诀直接变形或利用两角和与差的三角公式展开变形也可 以.

规律总结:
使用诱导公式对三角函数式进行化简是本部分内容的另一种主要 ? π? ? ? 和常见的题目类型,一般先把负角变为正角,再把正角变成?0, ? 2? ? 内的角,最后化简求值.

迁移发散2:
? 29π? ? 25π? 29π ? ? ? ? - (1)sin +cos?- + tan =________; ? ? ? 3 ? 4 ? 6 ? ? ?3π ? ? ? sin? -α ?tan(π+α ) ? 31π? ?2 ? ? ? (2)已知 f(α )= ,则 f?- ?=________. 3 tan(π-α ) ? ?

规范解答 :
? ? ? 5π? π? π? 5π π ? ? ? ? ? ? (1) 原式= sin ?4π+ ? + cos ?10π- ? - tan ?6π+ ? = sin + cos - 6 3 4 6 3 ? ? ? ? ? ? π tan =0. 4

?3π ? ? ? sin? -α ?tan(π+α ) -cos α tan α ?2 ? (2)f(α )= = =cos tan(π-α ) -tan α ? 31π? ? 31π? ? ? ? ? - ∴f?- = cos ? ? ?=cos 3 3 ? ? ? ?

α,

? π? 31π π 1 ? ? =cos?10π+ ?=cos = . 3? 3 3 2 ?

题型3 · 齐次下的弦切互化
例 3. 已知 tan α =2,求下列各式的值: 2sin α -3cos α (1) ; 4sin α -9cos α 2sin2α -3cos2α (2) ; 4sin2α -9cos2α

(3)4sin2α -3sin α cos α -5cos2α .

思路点拨:
(1)注意分式的分子、分母均为关于sin α,cos α的一次齐次式,将分 子、分母同除以cos α(cos α≠0),然后代入tan α=2即可.(2)分子、 分母同除以cos2α.(3)把分母看做sin2α+cos2α,再把分子、分母同除 以cos2α.

规范解答: 2tan α -3 2×2-3 (1)原式= = =-1.(3 分) 4tan α -9 4×2-9
(2)原式= 2tan2α -3 4tan2α -9 = 8-3 16-9 = .(6 分) 7 5

(3)原式=

4sin2α -3sin α cos α -5cos2α sin2α +cos2α



4tan2α -3tan α -5 tan2α +1 16-6-5 4+ 1 =1.(10 分)



规律总结:

在已知tan α=m的条件下,求关于sin α,cos α的齐次式,这 类问题的解法有两个,一是直接求出sin α和cos α的值,再代

入求解,但这种方法较繁琐.二是将所求式转化为只含tan α
的代数式,再代入求解,这是常用的解法.但应用此法时要注 意两点:①一定是关于sin α和cos α的齐次式(或能化为齐次式) 的三角函数式;②因为cos α≠0,可同时除以cosn α(n∈N), 这样可以将所求式化为关于tan α的表达式,从而可以整体代

入tan α=m进行求解.

迁移发散3: 已知 =-1, 则 sin2α +sin tan α -1 规范解答 : 由
tan α 1

tan α

α cos

α +2=____.

=-1,得 tanα = ,∴sin2α +sinα cosα +2= tan α -1 2 = 3tan2α +tan α +2 tan2α +1 =

3sin2α +sin α cos α +2cos2α sin2α +cos2α ?1? ? ?2 1 3×? ? + +2 2 13 ?2? = ?1? 5 ? ?2 ?2? +1 ? ?

数学思想应用
转化与化归思想在三角函数中的应用
已知 α 是三角形的内角,且 sin α +cos α = . 5 (1)求 tan α 的值; (2)把 1 cos2α -sin2α 用 tan α 表示出来,并求其值. 1

思路点拨: (1)由sinα+cosα=
1 5 只要求出sin α,cos α即可.

应联想到隐含条件sin2α+cos2α=1,要求tan α,

(2)将“1”用cos2α+sin2α来代换,然后将分子、分母分别除以cos2α并 利用(1)中的结果即可求解.

规范解答:

1 ? ?sin α +cos α = , 5 (1)由题可得? ? ?sin2α +cos2α =1, 1

① ②

由①得 cos α = -sin α ,将其代入②, 5 整理得 25sin2α -5sin α -12=0.(2 分)

? ?sin α =4, 5 ? ∵α 是三角形的内角,∴? (4 分) ?cos α =-3. ? 5 ?
∴tan α =- .(6 分) 3 4

sin2α +cos2α cos2α sin2α +cos2α tan2α +1 (2) = = = , (8 分) cos2α -sin2α cos2α -sin2α cos2α -sin2α 1-tan2α 1 cos2α ∵tan α =- , 3 ? 4? ? ?2 - ? +1 3 25 1 tan2α +1 ? ? ? ∴ = = =- .(12 分) ? 4? cos2α -sin2α 1-tan2α 7 ? ?2 1-?- ? ? 3? 4

规律总结: 在解决三角函数的求值或证明问题时,我们常常会用“化弦”的方 法.在遇到sin x,cos x的齐次问题时,我们常将齐次式化为tan x 的一元关系式,这样的转化,是为了消元化简,正是转化与化归 思想的体现.

迁移发散: 已知 tan α =-
1

1 3

, 则: (1)2sin2α -

3 2

sin α cos α +5cos2α =________;

(2) =________. 1-sin α cos α
2sin2α - 3 2 sin α cos α +5cos2α 1 3 2 sin α cos α +5cos2α = 2tan2α - 3 2 tan α +5

规范解答: (1)原式=

2sin2α - =

sin2α +cos2α sin2α +cos2α

tan2α +1 tan2α +1

103 = . 20

10 (2)原式= 2 = = . sin α +cos2α -sin α cos α tan2α +1-tan α 13

备课优选
题型4 · 证明三角恒等式
? 1 ? 例4. (1)求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ ?1+ tan ? ? 1 1 ? = + ; θ? sin θ cos θ ?

(2)已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.
思路点拨:(1)把切化为弦,分组通分后,利用同角三角函数的关系证明. (2)利用三角函数的诱导公式进行证明.

规范解答:
(1)左边=sin

? sin θ ? ? ? θ ?1+ ?+cos cos θ ? ? +cos θ + cos2θ sin θ

? cos θ ? ? ? θ ?1+ sin θ ? ? ? (2 分)

=sin θ +

sin2θ cos θ

? ? cos2θ ? sin2θ ? ? ? ? ? cos θ + =?sin θ + + ? sin θ ? cos θ ? ? ? ? ? = sin2θ +cos2θ sin θ 1 sin θ + 1 cos θ + cos2θ +sin2θ cos θ



=右边.

∴原式得证.(6 分)

π (2)∵sin(α +β )=1,∴α +β=2kπ+ (k∈Z), 2 π ∴α =2kπ+ -β,(8 分) 2 ? ? ? ? π ? ? ? ? ∴tan(2α +β)+tan β=tan ?2?2kπ+ -β ?+β ?+tan β(9 分) 2 ? ? ? ? =tan(4kπ+π-2β+β)+tan =tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0, ∴tan(2α +β)+tan β=0 得证.(12 分) β

易错警示: 此类题目经常出现因公式不熟导致失误,尤其是正负号的判断. 点评: 证明三角恒等式时一般是从左到右进行证明,熟记三角函数的相关公 式是解决此类题的关键. 规律总结: 证明三角恒等式离不开三角函数的变换,在变换过程中,常把 正切函数化成正弦或余弦函数来减少函数种类,往往有利于发 现等式两边的关系或使式子简化.要细心观察等式两边的差异, 灵活运用学过的知识.

题型5 · 综合应用
例5 在△ABC中,若sin(2π-A)=-

2 sin(π-B),
3cos A=

2 cos(π-B),求△ABC的三个内角.

思路点拨:先利用诱导公式化简已知条件,再利用平方关系求得cos A.求角 时,一般先求出该角的某一个三角函数值,再确定该角的范围, 最后求角.

规范解答:
? ?sin A= 2sin B, ① 由已知得? ? ? 3cos A= 2cos B, ①2+②2,得 2cos2A=1,即 2

② 2 2 .

cos A=±

3 (1)∵当 cos A= 时,cos B= ,且 A,B 是三角形的内角, 2 2 π π 7 ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= π.(5 分) 4 6 12

(2)当 cos A=-

2 2

时,cos B=- 3

3 2

.

5 又 A,B 是三角形的内角,∴A= π,B= π,不合题意.(9 分) 4 6 π π 7 综上,A= ,B= ,C= π.(10 分) 4 6 12

点评:

注意公式的变形使用,弦切互换、消元是三角代换的重要思想,要尽量减少 开方运算,慎重确定符号.注意“1”的灵活代换.由一个角的三角函数值求这

个角时,要注意讨论角的范围.
规律总结:在解决同角三角函数式的综合问题时,应注意:
(1)利用商数关系、平方关系实现弦切互化、“1”的变形. (2)当与二次函数等其他知识综合时,应注意三角函数本身的有界性. (3)三角形中诱导公式的应用.常用结论有:A+B=π-C, A B C π + + = . 2 2 2 2

精选习题
1、
(2014·济南模拟)给出下列各函数值: ①sin(-1 000°);②cos(-2 200°); 7π sin cos π 10 ③tan(-10);④ . 17π tan 9 其中符号为负的是( A. ① B. ② C. ③ ) D. ④

解析: sin(-1 000°)=sin 80°>0;
cos(-2 200°)=cos(-40°)=cos 40°>0;

7π 7π sin cos π -sin 10 10 tan(-10)=tan(3π-10)<0; = , 17π 17π tan tan 9 9 7π sin cos π 10 7π 17π ∵sin >0,tan <0,∴ >0.故选 C 10 9 17π tan 9

? 7π? 3 ? ? 已知 α ∈(π,2π),sin?α - ?=- ,则 sin(3π+α )的值为__. 2、 2? 5 ?

解析:

? ?7π ? ? π ? ?π ? 7π? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? sin?α - ?=-sin? -α ?=-sin?- -α ?=sin? +α ?=cos α =- , 2? 5 ? ?2 ? ? 2 ? ?2 ? 又α ∈(π,2π),∴sin α =- . 5 ∴sin(3π+α )=sin(π+α )=-sin α = . 5 4 4

? ? π? π? ? ? ? ? 3、 (1)化简 sin?α - ?+cos?α + ?; 4? 4? ? ? (2)已知 π<α <2π,cos(α -9π)=- ,求 tan(10π-α )的值. 5 3

?π ? ? ? ? ? π? π? π? π? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 解析: (1)原式=sin?α - ?+cos? +?α - ??=sin?α - ?-sin?α - ?=0.(4 分) 4? 4 ?? 4? 4? ? ? ? ?2 ? (2)∵cos(α -9π)=cos(α -π)=- ,∴cos α = .(6 分) 5 5 ∵π<α <2π,∴sin α =- ,tan α = =- ,(8 分) 5 cos α 3 ∴tan(10π-α )=-tan(α -10π)=-tan α = .(10 分) 3 4 4 sin α 4 3 3

;②2sin2α - 4、 (1)(2014·昆明模拟)若 tan α = 2,求值:① cos α -sin α sin α cos α +cos2α . . 1-sin4x-cos4x sin α 1+ cos α 1+ 2 解析: (1)①原式= = =-3-2 2.(2 分) sin α 1- 2 1- cos α (2)求值: 1-sin6x-cos6x

cos α +sin α

②∵cos2α =

1 1+tan2α

= , 3 α +1)= 5- 3 2 .(4 分)

1

∴原式=cos2α (2tan2α -tan

(2)∵sin6x + cos6x = (sin2x + cos2x)(sin4x - sin2x · cos2x + cos4x) =(sin2x+cos2x)2-3sin2x·cos2x=1-3sin2x·cos2x.(6 分) 又 sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2x · cos2x = 1 - 2sin2x·cos2x.(8 分) ∴原式= 1-(1-3sin2α ·cos2α ) 1-(1-2sin2α ·cos2α ) = .(10 分) 2 3

5、 已知 A,B,C 是三角形的内角, 3sin A,-cos
A 是方程 x2-x+2a=0 的两根. (1)求角 A; 1+2sin Bcos B (2)若 =-3,求 tan B. cos2B-sin2B

解析: (1)由已知可得

3sin A-cos A=1. ①

又 sin2A+cos2A=1,∴sin2A+( 3sin A-1)2=1, 即 4sin2A-2 3sin A=0, 3 2 ,(3 分)

得 sin A=0(舍去)或 sin A=

π 2π π 2π 则 A= 或 A= ,将 A= 或 A= 3 3 3 3 π 2π 代入①知 A= 时不成立,故 A= .(6 分) 3 3 1+2sin Bcos B (2)由 =-3, 2 2 cos B-sin B 得 sin2B-sin Bcos B-2cos2B=0, ∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0,∴tan B=2 或 tan B=-1.(10 分) ∵tan B=-1 使 cos2B-sin2B=0,舍去, 故 tan B=2.(12 分)


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