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2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(二)[来源:学优高考网371712]

时间:2015-07-02


江苏省天一中学数学竞赛内部资料

预赛模拟

2013 年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(二)
班级__________姓名__________ 1、设集合 A ? {x || x ? a |? 1, x ? R}, B ? {x | 6x ? 5 ? x 2 , x ? R} ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的 取

值范围是__________ 解:由题得 A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1, x ? R} , B ? {x | 1 ? x ? 5, x ? R} ,又 A B ? ? ,所以有

a ? 1 ? 1 或 a ? 1 ? 5 ,即 a ? 0 或 a ? 6
2、从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘,积是偶数的概率是__________ 1 5 解: P ? 1 ? 2 ? ,正面列举亦可,积是偶数情况有 1,6;1,8;3,6;3,8;6,8 C4 6 3、已知 a 是实数,方程 x 2 ? (4 ? i ) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则 | a ? bi | 的值为________ 解:由题: b2 ? (4 ? i )b ? 4 ? ai ? 0 ? b2 ? 4b ? 4 ? (a ? b)i ? 0 ,故 ? 所以 | a ? bi |?| 2 ? 2i |? 22 ? ( ?2)2 ? 2 2
3 2 4、设 x1 , x2 是方程 x ? x ? 4 ? 0 的两实数根,则 x1 ? 5x2 ?10 ?
2

?b2 ? 4b ? 4 ? 0 ?a ? b ? 0

?a ? 2 ?? ?b ? ?2

解:由 x1 , x2 是方程 x ? x ? 4 ? 0 的两实数根得,
2
3 2 2 2 x1 ? x1 ? x1 ? x1 (4 ? x1 ) ? 4 x1 ? x1 ? 4 x1 ? x1 ? 4 ? 5x1 ? 4, ?5x2 ? ?5(4 ? x2 ) ? ?20 ? 5x2 ,

2 ? 10 ? 5( x1 ? x2 ) ? 10 ? 24 ? ?5 ? 10 ? 24 ? ?19. 则 x13 ? 5x2

1? ? 4 ? ?x? ? ??x ? x? ? ? 5、设 x ? 0 ,则 f ? x ? ? 3 1? ? 3 ? x ? ? ? ??x ? x? ? ?

4

1 ? ? x4 ? 的最小值为 1? ? x3 ?

1 1 1 解:令 t ? x ? (t ? 2) ,则 x 4 ? 4 ? t 4 ? 4t 2 ? 2, x 3 ? 3 ? t 3 ? 3t x x x

所以 f (t ) ?

t 4 ? (t 4 ? 4t 2 ? 2) 4t 2 ? 2 4t 2 7 ? ? ? 在 [2, ??) 上单调递增,故最小值为 f (2) ? t 3 ? (t 3 ? 3t ) 3t 3 3t 3
2012 i ?1

6、设 ?an ? 为等比数列,且每项都大于 1,则 lg a1 lg a2013 ? 解:当 q ? 1 时, lg a1 lg a2013 ?
i ?1 2012

1 的值为 lg ai lg ai ?1

1 2012 ? lg 2 a1 ? 2 ? 2012 lg ai lg ai ?1 lg a1

当 q ? 1 时,
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2012 i ?1

lg a1 lg a2013 ?
i ?1

2012

lg a1 lg a2013 1 ? lg ai lg ai ?1 lg q

? ( lg a

1

?
i

lg a1 lg a2013 1 1 1 )? ( ? ) ? 2012 lg ai ?1 lg q lg a1 lg a2013

? 7、方程 17sin( x ? ) ? sin 2 x ?9 的解集为 4
? 1 ? 1 解: .令 sin( x ? ) ? t ,则 2t 2 ? 17t ? 8 ? 0 .由于 t ? [ ?1,1] ,故 t ? ,即 sin( x ? ) ? .
4 2 4 2

其解为: x ? k? ? (?1)k ?

?
6

?
10

?
4

, k ? Z .故解集为 ? x x ? k? ? ( ?1)k ?
?
10

?

?
6

?

?
4

? ,k ? Z ? ?

8、实数 x1 , x2 , , x10 满足 ? xi ? 1 ? 4, ? xi ? 2 ? 6, ,则 x1 , x2 , , x10 的平均值 x =__________
i ?1 i ?1

解: 10 ?
10

? [( x ? 1) ? ( x ? 2)] ? ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? 10
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

所以有 ? xi ? 1 ? 4, ? xi ? 2 ? 6 ? 1 ? xi ? 2 ,故 x = 1 ?
i ?1 i ?1

10

1 10 7 ( xi ? 1) ? ? 10 i ?1 5

9、方程 2m ? 3n ? 3n ?1 ? 2m ? 13 的非负整数解 ? m, n ? ? 解:方程 2 ? 3 ? 3
m n n ?1

? 2m ? 13 变形为 (2m ? 3)(3n ? 1) ? 10 ,因为 3n ? 1 ? 0 ,故 2m ? 3 ? 0

m m ? ? ?2 ? 3 ? 1 ?2 ? 3 ? 5 ? ( m, n ) ? (2, 2) 或 (3, 0) 所以 m ? 2, 2m ? 3 必为奇数,故 ? n 或? n ? ?3 ? 1 ? 10 ? ?3 ? 1 ? 2

10、数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1, a2 ? 2, an ?2 ?

2 ? n ? 1? n an ?1 ? an , n ? 1,2, n?2 n?2

.若 am ? 2 ?

2011 , 2012

则正整数 m 的最小值为 解:由题设得: (n ? 2)an ?2 ? 2(n ? 1)an ?1 ? nan ,则有
(n ? 2)an ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? ? 2a2 ? a1 ? 3

所以 nan ? (n ? 1)an ?1 ? 3 ,令 bn ? nan ,则 bn ? bn ?1 ? 3 ,所以 bn ? nan ? 2a2 ? 3(n ? 2) ? 3n ? 2 ,
an ? 3n ? 2 2 2 2011 ? 3 ? ,故 am ? 3 ? ? 2 ? ? m ? 4024 ,所以 m 最小值为 4025 m 2012 n n

11、设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上且异于 A, B 两点, a 2 b2

O 为坐标原点. 若 |AP|=|OA| ,证明:直线 OP 的斜率 k 满足 | k |? 3 .

解法一:设 P(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) , A( ?a, 0) .由 | AP |?| OA | ,有
(a cos? ? a)2 ? (b sin ? )2 ? a ,即 a 2 cos2 ? ? 2a 2 cos ? ? b2 sin 2 ? ? 0 .
? ?1 ? cos ? ? 0,
2 2 2 2 2 2 2 ? ?a cos ? ? 2a cos ? ? b sin ? ? a sin ? .

----------5 分

从而 ?

------------------------10 分

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1 b2 sin2 ? 2 所以, ? ? cos ? ? 0 ,且 2 2 ? ?1 ? ?3. 2 a cos ? cos?

------------------------15 分 ------------------------20 分

所以, | k |?

b sin ? 2 ? ?1 ? ? 3. a cos ? cos ?

解法二:设 P(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) .则线段 OP 的中点 Q( cos ? , sin ? ) .

a 2

b 2

|AP|=|OA| ? AQ ? OP ? kAQ ? k ? ?1 .

k AQ ?

b sin ? ? b sin ? ? ak AQ cos ? ? 2ak AQ . 2a ? a cos ?

------------------------10 分

2 2 2 ? 2ak AQ ? (b2 ? b2k AQ ) ? (sin2 ? ? cos2 ? ) ? b2 ? a 2k AQ ? a 2 ? a 2k AQ

?| k AQ |?

1 ?| k |? 3 . 3

------------------------20 分

12、已知正实数 a , b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ,求 m 的最小值. 解 令 a ? cos ? , b ? sin ? , 0 ? ? ?
m?

?
2

,则

cos3 ? ? sin3 ? ? 1 (cos? ? sin? )(cos2 ? ? cos? sin? ? sin2 ? ) ? 1 ? .-------------------------5 分 (cos? ? sin? ? 1) 3 (cos? ? sin? ? 1) 3

? x 2 ?1 令 x ? cos ? ? sin ? ,则 x ? 2 sin( .----------------10 分 ? ? ) ? (1, 2 ] ,且 cos ? sin ? ? 4 2 于是
x(1 ? m? x 2 ?1 ) ?1 2 ? 3x ? x 3 2 ? x ? x 2 2? x 3 1 2 ? ? ? ? ? . 3 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2( x ? 1) 3 2( x ? 1) 2

----------------15 分

因为函数 f ( x) ?

3 1 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减,所以 f ( 2 ) ? m ? f (1) . 2( x ? 1) 2

3 2 ?4 . ----------------------------20 分 2 13、已知四边形 PQRS 是圆内接四边形, ?PSR ? 90? ,过点 Q 作 PR、PS 的垂线,垂足分

因此,m 的最小值为 f ( 2 ) ?

别为点 H、K,HK 与 QS 交于点 T (1)求证:Q、H、K、P 四点共圆; (2)求证:QT=TS.

Q

R

H T K

P

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S

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证明: (1)由 ?QHP ? ?QKP ? 90? ,所以 Q、H、K、P 四点共圆-------------------------5 分 (2)因为 Q、H、K、P 四点共圆,所以 ?HKS ? ?PQH -------------------------10 分 ∵ ?PSR ? 90? ,∴PR 为圆的直径,∴ ?PQR ? 90? , ?QRH ? ?HQP ,而 ?QRH ? ?QSP 故 ?QRH ? ?HKS ,TS=TK, ------------------------15 分 又 ?SKQ ? 90? ,∵ ?SQK ? ?TKQ ∴QT=TK, ∴QT=TS ------------------------20 分 14、设 i1 , i2 , , i10 是 1,2,…,10 的一个排列,记 S ? i1 ? i2 ? i3 ? i4 ?
? i9 ? i10 ,求 S 可以取

到的所有值. 解:由题可知: S ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 5, S ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 25 且 S ? ? k (mod 2) ? 1(mod 2) ,
k ?1 10

…………………10 分

下面证明 S 可以取到 5 到 25 的所有奇数. 记 f (i2 , i4 , i6 , i8 , i10 , i1 , i3 , i5 , i7 , i9 ) 为排列 i2 , i4 , i6 , i8 , i10 , i1 , i3 , i5 , i7 , i9 对应的 S,则 f (1, 2,5,7,9,3, 4,6,8,10) ? 7 , f (1, 2, 4,7,9,3,5,6,8,10) ? 9 , f (1, 2,3,7,9, 4,5,6,8,10) ? 11 f (1, 2,3,6,9, 4,5,7,8,10) ? 13 , f (1, 2,3,5,9, 4,6,7,8,10) ? 15 , f (1, 2,3, 4,9,5,6,7,8,10) ? 17 f (1, 2,3, 4,8,5,6,7,9,10) ? 19 , f (1, 2,3, 4,7,5,6,8,9,10) ? 21 , f (1, 2,3, 4,6,5,7,8,9,10) ? 23 所以 S 取到的值为 5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25 参考答案: 一、 1. cupboard 2. chewing 3. possessed 4. abnormal 5. potential 6. circulating 7. beneficial 8. application 9. approved 10. effectively 11. revolutionary 12. accelerated 二、 1. focused on 2. in the form of 3. carried out 4. try out 5. in large quantities 6. figure out 7. mass production 8. by accident 9. cure; of 10. does harm to 三、 1. going; likely to increased 四、 1. But for; millions; would have 2. effect(s); as; does on 3. Not only did; apologized 4. due / owing; effects; from production; use 5. not until; that; widespread 五、 1. medical 2. Whoever 3. given burned 10. put
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…………………20 分

2. proved beneficial 3. only did; also 4.

With;

development;

length;

4. suggestions 5. occur 6. acquire 7. bitten 8. running 9.

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六、1. There is no doubt that the Internet is changing the way we understand the world and even our way of life. 2. First of all, the Internet provides us with a more convenient and efficient means by which we can address lots of daily affairs. 3. For example, some of us can work, study and do some shopping at home with the help of the Internet. 4. What’s more, we can share abundant information with people around the world through the Internet. 5. Certainly, there is also a huge amount of false information on the Internet, but will you stop using the Internet because of the drawback?

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