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2014届高考数学二轮专题检测:专题12 概率和统计


2014 届高考数学二轮专题检测:专题 12 概率和统计
一.基础题组 1.【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随 机撒豆子,若撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的估计值为( )

?

A.

ma n



B.

na m

C.

ma 2 n

D.

na 2 m

2.【北 京市昌平区 2013 届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个数 x ,则事件 “ tan xgcos x ? A.

1 3

1 ”发生的概率为( 2 1 B. 2

) C.

2 3

D.

3 4

3.【北 京市东城区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科)】如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩
100? , 的频率分布直方图, 其中成绩分组区间是: ? 40 ,50? , ?50 ,60? , ?60 ,70? , ?70 ,80? , ?80 ,90? , ?90 ,

则图中 x 的值等于( A. 0.754

) B. 0.048 ? C. 0.018 D. 0.012

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4.【北 京市西城区 2013 年高三二模试卷(理科) 】右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: cm )数据的茎叶 图.记甲,乙两组数据的平均数依次为 x甲 和 x乙 ,则 x甲 ______ x乙 . (填入: “?” , “?” ,或“ ? ” )

【答案】 ? 【解析】 试题分析: x甲 ? (151 ? 153 ? 165 ? 167 ?170 ?172) ? 6=163 ;

x乙 ? (150 ?161 ?162 ?163 ?164 ? 172) ? 6 ? 162 ,所以 x甲 ? x乙 .
考点:茎叶图,平均数. 5.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考(二)数学试题(理科) 】已知随机变量 X 的分布 列如下,则 EX 的值等于

X P

1
1 2

2
1 3

3

m

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6.【北京市丰台区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知变量 x, y 具有线性相关关系,测得

? ? 1.4 x ? a ,则 a 的值是 ( x, y ) 的一组数据如下: (0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) ,其回归方程为 y



二.能 力题组 1.【北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷(理科) 】某品牌汽车的 4 S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行了统计,统计结果如下表所示:已知分 3 期付款的频率为 0.2,且 4 S 店 经销一辆该品牌的汽车,顾客若一次付款,其利润为 1 万元;若分 2 期付款或 3 期付款,其利润为 1.5 万 元;若分 4 期付款或 5 期付款,其利润为 2 万元.用? 表示经销一辆该品牌汽车的利润. 付款方式 频数 一次 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b

(1)若以频率作为概率,求事件 A : “购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 1 位采用分 3 期付款” 的概率 P? A? ; (2)求? 的分布列及其数学期望 E ?? ? .

第 3 页(共 18 页)

2.【北京市顺义区 2013 年高考数学二模试卷(理科)】为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务 宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年 龄分组区间是: ?20,25?, ?25,30?, ?30,35?, ?35,40?, ?40,45? . (I)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40? 岁的人数; (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数 为 X ,求 X 的分布列及数学期望.
第 4 页(共 18 页)

(II)用分层抽样的方法,从中选取 20 名, 则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名,

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考点:1.古典概型;2.随机事件的分布列及期望.

3.【北京市昌平区 2013 届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】某市为了提升市民素质和城市文明程度, 促进经济发展有大的提速,对市民进行了“生活满意”度的调查.现随机抽取 40 位市民,对他们的生活 满意指数进行统计分析,得到如下分布表: 满意级别 满意指数(分) 人数(个) 非常满意 90 15 满意 60 17 一般 30 6 不满意 0 2

(I)求这 40 位市民满意指数的平均值; (II)以这 40 人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数,若从全市市民(人数很多)中任选 3 人,记 ? 表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求 ? 的分布列; (III)从这 40 位市民中,先随机选一个人,记他的满意指数为 m ,然后再随机选另一个人,记他的满 意指数为 n ,求 n ? m ? 60 的概率. 【答案】 (Ⅰ) 63.75 ; (Ⅱ)
第 6 页(共 18 页)

ξ
P

0

1

2

3

1 125

12 125

48 125

64 125

(Ⅲ)

77 . 780

【解析】

? ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

1 125

12 125

48 125

64 125
?????8 分

(Ⅲ)设所有满足条件 n ? m ? 60 的事件为 A
1 ①满足 m ? 0且n ? 60 的事件数为: A21 A 17 ? 34 1 ②满足 m ? 0且n ? 90 的事件数为: A21 A 15 ? 30

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4.【北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科)】某校高三年级同学进行体育测试, 测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表: (单位:人) 优秀 男 女
180 120

良好
70

合格
20 30

a

按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 50 人,其中成绩为优的有 30 人. ⑴ 求 a 的值; ⑵ 若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,从中任选 2 人,记 X 为抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望.

X 的分布列为: X
0

1

2

第 8 页(共 18 页)

P
EX ? 0 ?

1 10 1 3 3 6 ?1 ? ? 2 ? ? . 10 5 10 5

3 5

3 10

………………………………………13 分

考点:1.分层抽样;2.古典概型;3.随机事件的分布列、期望. 5.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考(二)数学试题(理科) 】某地区举办了一次数学 知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了 40 名学生的成绩,并 根据他们的成绩制作了频率分布直方图(如图所示) . (1) 试估计这 40 名学生成绩的众数; (2) 试估计这 40 名学生的成绩在 ?72,84? 之间的人数; (3) 从参加活动的学生中任取 5 人,求这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90? 之间的概率.

【答案】 (Ⅰ)77.5; (Ⅱ)20(Ⅲ)0.3087 【解析】 试题分析:(1) 77.5; ???????????????3 分

(2) 所求为:直线 x ? 72 与直线 x ? 84 之间的直方图的面积 ? 40 , 因此, (3 ? 0.035? 5 ? 0.045? 4 ? 0.040) ? 40 ? 19.6 ?????????7 分

第 9 页(共 18 页)

考点: 1.古典概型;2. 频率分布直方图;3. 众数. 6.【北京市房山区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】小明从家到学校有两条路线,路线 1 上 有三个路口,各路口遇到红灯的概率均为

1 3 4 ;路线 2 上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 2 4 5

(Ⅰ)若小明上学走路线 1,求最多遇到 1 次红灯的概率; (Ⅱ)若小明上学走路线 2,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好 的上学路线,并说明理由.

(Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.

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考点: 1.古典概型;2. 随机事件的分布列、期望. 7.【北京市丰台区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】16 国家对空气质量的分级规定如下表: 污染指数 空气质量 0~50 优 51~100 良 101~150 轻度污染 151~200 中度污染 201~300 重度污染 >300 严重污染

某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下: 34 42 140 101 18 38 73 163 121 154 210 22 40 27 45 36 78 151 23 49 65 103 79 135 207 20 81 16 60 48

根据以上信息,解决下列问题: (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质量为优或良 的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX. 频率分布表 分组 [0,50] (50,100] 频数 14 a 频率

7 15
x

第 11 页(共 18 页)

(100,150] (150,200] (200,250] 合计

5 b 2 30

1 6
y

1 15
1

?X 的
分布列为: X P 0 1 2 3 4

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

………………………….11 分
第 12 页(共 18 页)

2 2 8 ? X~B(4, ), ? EX ? 4 ? ? . 3 3 3

………………………….13 分

考点: 1.古典概型;2. 随机事件的分布列、期望;3. 频率分布表. 8.【北京市顺义区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】为增强市民的节能环保意识,某市面向全 市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图 所示,其中年龄分组区间是: ?20, 25? , ?25,30? , ?30,35? , ?35, 40 ? , ? 40, 45? . (I)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40 ? 岁的人数; (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再从这 20 名 中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中 “年龄低于 35 岁” 的人数为 X , 求 X 的分布列及数学期望.

?x ?

1 ? 0.70 ? 0.06 .?????????????????????3 分 5

500 名志愿者中,年龄在 ?35,40 ? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人).

第 13 页(共 18 页)

三.拔 高题组 1. 【北京市西城区 2013 年高三二模试卷 (理科) 】 某超市在节日期间进行有奖促销, 凡在该超市购物满 300 元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个 白球和 1 个黑球.顾客不放回的每次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸 出才停止.规定摸到红球奖励 10 元,摸到白球或黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (Ⅱ)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】(I) 【解析】 试题分析:(I)类似抽签,概率公式 P( A) ?

1 ; (Ⅱ)10 4

Ain??11 1 ? ;(II)求得 P( X ? xi ) ,写出分布列,求期望. Ain n
???1 分 ??4 分

试题解析: (Ⅰ)解:设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A ,
2 1 A3 1 则 P( A) ? 3 ? ,故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为 . 4 A4 4

第 14 页(共 18 页)

考点: 1.抽签中奖概率公式;2.随机变量分布列,期望. 2.【北京市朝阳区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科) 】为提高学生学习数学的兴趣,某 地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有 90 分,70 分,60 分,40 分,30 分五种,按本次比赛成绩 共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统 计,得到如下数据表: 成绩等级 成绩(分) 人数(名) A 90 4 B 70 6 C 60 10 D 40 7 E 30 3

(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为 “ A 或 B ”的概率; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选 3 人,记 X 表 示抽到成绩等级为“ A 或 B ”的学生人数,求 X 的分布列及其数学期望 EX ; (Ⅲ)从这 30 名学生中,随机选取 2 人,求“这两个人的成绩之差大于 20 分”的概率.

第 15 页(共 18 页)

从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ A 或 B ”的概率约为

1 .??3 分 3

(Ⅲ)设事件 M:从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分.

第 16 页(共 18 页)

所以从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分的概率为 考点: 1.古典概型;2.随机事件的分布列、期望;3.排列组合.

34 .?13 分 87

3.【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福 彩中心准备发行一种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下: (1)该福利彩票中奖率为 50%; (2) 每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元, 50 元和 150 元三种; (3) 顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概率为 p , 获得 50 元奖金的概率为 2% . (I)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求 p 的取值范围. 【答案】(I)0.75 ; (II) 0 ? p ? 【解析】 试题分析:第(I) 利用互斥事件的概率公式 p( A) ? 1 ? p( A) 进行求解 ;第(II)需仔细随机变量的各种取 值进行分析,写出对应随机变量的分布列. 试题解析: (I)设至少一张中奖为事件 A
2 则 P( A) ? 1 ? 0.5 ? 0.75

8 725



???????4 分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ?

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考点:1、互斥事件的概率公式;2、随机变量的概率分布列.

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