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第六章4 复合求导

时间:2011-09-17


第四节 多元复合函数的微分法
一元复合函数
求导法则 微分法则

第六章

本节主要内容: 一、链式法则 二、全微分形式不变性

三、隐函数求导法则

一、链式法则
基本形式一 两个中间变量,一个自变量 定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数 在点 t 可导, 且有

链式法则 d z ? z d u ? z dv ? ? ? ? d t ?u d t ?v d t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v , ?z ?z ? z ? ?u ? ?v ? o ( ? ) ?u ?v

z ? f (u, v)

z

u
t

v
t

? z ? z ? u ? z ?v o( ? ) ( ? ? (?u ) 2 ? (?v) 2 ) ? ? ? ? t ?u ? t ?v ? t ?t

则有 ?u ? 0 , ?v ? 0 , ?u du ?v dv ? , ? ?t dt ?t dt
? o( ? )

z
u
t

v
t

?

(△t<0 时,根式前加“–”号)

d z ? z d u ? z dv ? ? ? ? d t ?u d t ?v d t

( 全导数公式 )

推广: 中间变量多于两个的情形. 例如, z ? f (u, v, w) ,

u ? ? (t ) , v ? ? (t ) , w ? ? (t ) ? z dv ? z dw d z ? z du ? ? ? ? ? ? ?v d t ?w d t d t ?u d t ? f1?? ? ? f 2?? ? ? f 3? ? ?
基本形式二 两个中间变量,两个自变量

z
u v w
t t t

z ? f (u, v) , u ? ? ( x, y) , v ? ? ( x, y)
? z ? z ?u ? z ?v ? ? ? ? ? ? ? f1??1 ? f 2?? 1 ? x ?u ? x ?v ? x ? z ? z ?u ? z ?v ? ? ? f1?? 2 ? f 2?? 2 ? ? ? ? ? y ?u ? y ?v ? y

z
u v

x

y x

y

一种特殊形式:

z ? f ( x, v) , v ? ? ( x, y)
当它们都具有可微条件时, 有

?z ? f ? ?x ?x ?z ?y

? ? ? f1? ? f 2 ? 1 ? ? ? f2 ? 2

z? f

x

v
x y

?z ? f 不同, 注意: 这里 与 ?x ?x ?z ?f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 ?x ?x

dz 【例6-26】 设 z ? u v ? sin t , u ? e , v ? cos t , 求 . dt d z ? z du ?z z ? ? ? 解: d t ?u d t ?t u v t t ? ve ? cos t
t

? e t (cos t ? sin t ) ? cos t

t

t

?z ?z 【例6-27】设 z ? e sin v , u ? x y , v ? x ? y , 求 , . ?x ? y ?z ? z ?v ? ? 解: ?x ?v ? x
u

? eu sin v
?z ?y

? eu cos v ?1

z
u v yx y

? z ?v ? ? ?v ? y

x

? e sin v
u

? e cos v ? 1
u

【例6-28】u ? f ( x, y, z ) ? e

x2 ? y2 ? z 2

?u ? f ? 解: ?x ?x
? 2 xe
x2 ? y2 ? z 2

?u ?u , z ? x sin y, 求 , ?x ? y
2

?2z e
2

x2 ? y2 ? z 2

? 2 x sin y

u
x y z

? 2 x (1 ? 2 x sin y ) e
2

x 2 ? y 2 ? x 4 sin 2 y

?u ? f ? f ? z ? ? ? ? y ? y ?z ? y

x
y
x 2 ? y 2 ? x 4 sin 2 y

y

? 2 ye

x2 ? y2 ? z 2

?2ze

x 2 ? y 2 ? z 2 ? x 2 cos

? 2 ( y ? x sin y cos y ) e
4

【例6-29】设

f 具有二阶连续

?w ? 2 w ? w , f1? , f 2 偏导数,求 , . ? x ? x? z u v 解: 令 u ? x ? y ? z , v ? x y z , 则 w ? f (u, v) x y zx y z ?w ? ? f2 ? yz ?x ? ? y z f 2 ( x ? y ? z, x y z ) ?2w ?? ?? ? f12 ? x y ? f 22 ? x y ? x? z 2 f ?z f ?? ? y f ? 2 f ?? ?? ? ? f11 ? ,y引入记号 ? ?x? ( x ? z ) f12 f y ,22f ?? ? 2 ,? 为简便起见 1 12 ?u ?u ?v

【例】 设 极坐标系下的形式 解: 已知

二阶偏导数连续,求下列表达式在

,则

u
?u ?u ?r ? (1) ? x ?r ? x

r ?

x yx y

y (当? 在二、三象限时, ? ? arctan ? ? ) x
?u ?u sin ? ? cos? ? ?r ?? r

?u ?u ?r ?u ?? ? ? ? y ?r ? y ?? ? y

? r y ?? ? , ?y r ?y

1 x ? y 2 1? ( x )

?

x x ?y
2 2

?

?u y ?u x ? ? ?r r ?? r 2 ?u ?u cos ? ? sin ? ? ?r ?? r ?u 2 ?u 2 ?u 2 1 ?u 2 ( ) ?( ) ?( ) ? 2 ( ) ?x ?y ?r r ??

u
r ?

x yx y

?u ?u ? u sin ? 已知 ? cos? ? ?x ? r ?? r
? 2u

? ?u sin? ? ?u ? ?u r ? ) ( 2) ? (( ) ) ?cos ? ? ( ? r ?? ? x ? x 2 ?r ? x ?x ?x x yx y ? ?u ?u sin ? ? ( cos? ? ) ? cos? 注意利用 ?r ?r ?? r 已有公式 ?u sin ? sin ? ? ?u cos? ? ? ( )? ?? r ?? ?r r

?u u ?x

2
2 ?u 2 sin ? cos? ?u sin ? ? ? ?r r ?? r2

? 2u ?x2

同理可得
2

? u 2 sin ? cos? ? u sin 2 ? ? ? 2 ?? ?r r r

? u ? 2u 2 ? 2u sin ? cos? ? 2u cos 2 ? sin ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ?r?? r ?y ?r ?? r2 ?u 2 sin ? cos? ?u cos 2 ? ? ? 2 ?? ?r r r 2 2 ? 2u 1 ? 2u ? u ? u ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?r r ?? ?x ?y ? ?u ? 2u 1 ? 2 ?r (r ) ? 2 ? ?r ?r ?? r

二、全微分形式不变性
设函数 都可微, 则复合函数 z ? f (? ( x, y ) , ? ( x, y ) ) 的全微分为 ?z ?z dz ? dx ? d y ?x ?y ? z ?u ? z ?v ? ( ? ? ? )dy ?u ? y ?v ? y ?u ?u ?v ?v ( dx ? d y ) ( dx ? d y ) ?x ?y ?x ?y

du

dv

可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.



利用全微分形式不变性再解例6-27.

d z ? d( eu sin v ) 解: u ? e cos v dv
d (x y)
( yd x ? xd y)

d ( x ? y) (dx ? d y ) dy

? e x y [ y sin( x ? y ) ? cos(x ? y)]d x
所以 例1 . z ? eu sin v, u ? x y, v ? x ? y, 求 ? z , ? z . ?x ? y

三 隐函数的求导方法
(1) 一个方程所确定的隐函数 及其导数

(2) 方程组所确定的隐函数组 及其导数

本小节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;

2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .

(1) 一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) ? 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) ? 0

则方程
导数

的某邻域内可唯一确定一个 并有连续

单值连续函数 y = f (x) , 满足条件

Fx dy ?? (隐函数求导公式) dx Fy 定理证明从略,仅就求导公式推导如下:



两边对 x 求导



的某邻域内 Fy ? 0

Fx dy ?? dx Fy

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :

Fx ? Fy

d y Fx Fx d y ? ? ? (? ) ? (? ) 2 ? x Fy ? y Fy d x dx
2

x y x
2 Fy

??
??

Fx x Fy ? Fy x Fx
2 Fy

?

Fx y Fy ? Fy y Fx

Fx (? ) Fy

Fx x Fy 2 ? 2 Fx y Fx Fy ? Fy y Fx 2 Fy3

例1. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数

在点(0,0)某邻域
并求

dy d2 y , dx x ? 0 dx 2 x ? 0
解: 令 F ( x, y ) ? sin y ? e ? x y ? 1, 则
x

① Fx ? e x ? y, Fy ? cos y ? x 连续 ,
② F (0,0) ? 0 , ③ Fy (0,0) ? 1 ? 0 由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且

Fx dy ex ? y ?? ?? cos y ? x x ? 0, y ? 0 d x x ? 0 Fy x ? 0
d y dx 2 x ? 0
2

d ex ? y ?? ( ) d x cos y ? x

??

( e x ? y?)(cos y ? x) ? (e x ? y )(? sin y ? y? ? 1)
( cos y ? x )
2

? ?3

x?0 y?0 y ? ? ?1

导数的另一求法 — 利用隐函数求导

sin y ? e x ? x y ? 1 ? 0, y ? y( x)
两边对 x 求导

y?

x?0

ex ? y ?? cos y ? x (0,0)

两边再对 x 求导

? sin y ? ( y?) 2 ? cos y ? y??
令 x = 0 , 注意此时 y ? 0 , y? ? ?1

d2 y ? ?3 2 x?0 dx

定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) ? 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) ? 0 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx ?z ?? , ?x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,

Fy ?z ?? ?y Fz

定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:



F ( x, y , f ( x , y ) ) ? 0
两边对 x 求偏导

?z Fx ? Fz ?0 ?x
Fx ?z ?? ?x Fz
同样可得

Fy ?z ?? ?y Fz

?2z 2 2 2 例2. 设 x ? y ? z ? 4 z ? 0 , 求 2 . ?x 解法1 利用隐函数求导 ?z x ?z ?z ? 2x ? 2z ? 4 ? 0 ? x 2? z ?x ?x
再对 x 求导

2?
?z 2 1? ( ) ?x

? z ?4 2 ?0 ?x
2

解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 z 则 Fx ? 2x , Fz ? 2z ? 4

?

x x Fx ?z ?? ? ?? z?2 2? z ?x Fz
两边对 x 求偏导

?2z ? x ? ( ) 2 ?x 2 ? z ?x

(2 ? z ) 2 ? x 2 ? (2 ? z )3

例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解法1 利用偏导数公式.

确定的隐函数, 则 F1? ? 1 ?z z ?? ?x ? ? (? x2 ) ? F2 ? (? ? F1
z

z

z F1? ? y ? x F1? ? y F2 2) ? z F2 ? ? x F1? ? y F2

?z ?? ?y ? ? (? x2 ) ? F2 ? (? y2 ) ? F1
z z

? z F2 ? 1



Fx ?z z ?z ?z (F1?d x ? F2?d y) ?? dz ? dx ? d y ? x F1? ? y F2? ? x ?x ?y Fz

解法2 微分法. 对方程两边求微分:

x y ? F1? ? d( ) ? F2 ? d( ) ? 0 z z z d x ? xd z zd y ? y d z ? F1?? ( ) ? F2 ? ( )?0 2 2 z z ? ? F1?d x ?F2 d y xF1?? y F2 dz ? z z2 z ? dz ? (F1?d x ? F2 d y) ? x F1? ? y F2

(2) 方程组所确定的隐函数的求导法则
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.

以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即

?u ? u ( x, y ) ? F ( x, y , u , v ) ? 0 ? ? ? v ? v ( x, y ) ?G ( x, y, u, v) ? 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式

?( F , G ) Fu J? ? Gu ?(u, v)

Fv Gv

称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.

定理3. 设函数 ① 在点
导数;

满足:
的某一邻域内具有连续偏

② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) ? 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) ? 0 ;

③J

?( F , G) ? P ?(u, v)

?0
P

则方程组 F ( x, y, u, v) ? 0 , G ( x, y, u, v) ? 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 ? u( x0 , y0 ) ,

v0 ? v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u ? u( x, y) , v ? v( x, y), 且有偏导数公式 :

Fx Fv 1 ?u 1 ?( F , G ) ?? ?? Fu Fv G x Gv ?x J ? ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 ?u 1 ?( F , G ) ?? ?? Fu Fv G y Gv ?y J ?( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 ?v 1 ?( F , G ) ?? ?? Fu Fv Gu G x ?x J ?( u, x ) Gu Gv 定理证明略. ?v Fu Fy 1 1 ?( F , G ) 仅推导偏导 ? y ? ? J ?( u , y ) ? ? Fu Fv G G y u 数公式如下: Gu Gv

? F ( x, y , u , v ) ? 0 有隐函数组 设方程组 ? ?G ( x, y, u , v) ? 0



?u ?v Fx ? Fu ? ? Fv ? ? 0 ? ?x ?x 两边对 x 求导得 ? ? Gx ? Gu ? ?u ? Gv ? ?v ? 0 ?x ?x ?u ?v 这是关于 , 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 ?x ?x Fu Fv ? 0 , 故得 系数行列式 J ? G G
u v

?u 1 ?( F , G ) ?? ?x J ?( x, v )
?v 1 ?( F , G ) ?? ?x J ?( u , x )
同样可得

?u 1 ?( F , G ) ?? ?y J ?( y , v ) ?v 1 ?( F , G ) ?? ?y J ?( u , y )

?u ?u ?v ?v , , , . 例4. 设 x u ? y v ? 0 , y u ? x v ? 1, 求 ?x ? y ?x ? y 解: 方程组两边对 x 求导,并移项得 ?u ?v x ? y ? ?u ?u ?v ?x ?x , 练习: 求 ?u ?v ?y ?y y ? x ? ?v 答案: ?x ?x ?u y u ? xv x ?y 2 2 ?? 2 由题设 J ? ?x ?y ?0 ?y x ? y2 y x ?v xu ? yv ?u 1 ?u ? y xu ? yv ?? 2 ? ?? 2 ?y x ? y2 2 ? x J ?v x x ?y 故有 xv ? yu ?v 1 ?? 2 ? 2 x ?y ?x J

例5.设函数
邻域内有连续的偏导数,且

在点(u,v) 的某一

1) 证明函数组

在与点 (u, v) 对应的点

( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数. 解: 1) 令 F ( x, y, u, v) ? x ? x (u, v) ? 0

G( x, y, u, v) ? y ? y (u, v) ? 0

则有

? ( F , G ) ? ( x, y ) J? ? ? 0, ? ( u, v ) ? ( u, v )

由定理 3 可知结论 1) 成立.

2) 求反函数的偏导数.
① ①式两边对 x 求导, 得 ? x ?u ? x ?v ? ? 1? ? ?u ? x ?v ? x ? y ?u ? y ?v 0? ? ? ? ?u ? x ?v ? x



注意 J ? 0, 从方程组②解得 ?x 1 ?v ?u 1 1 ? y ?v 1 ? ? ? , ? x J 0 ? y J ?v ? x J ?v
同理, ①式两边对 y 求导, 可得

?x 1 1?y ?u ?? ?y J ?u 0 ?u

?u 1?x ?? , ?y J ?v

?v 1 ? x ? ? y J ?u

注意 J ? 0, 从方程组②解得
?x 1 ?v ?u 1 1?y ? ? , ? x J 0 ? y J ?v ?v

?x 1 1?y ?v 1 ?u ?? ? J ?u ?x J ?y 0 ?u

同理, ①式两边对 y 求导, 可得

?u 1?x ?? , ?y J ?v

?v 1 ? x ? ? y J ?u

1. 设 又函数
xy

有连续的一阶偏导数 , 分别由下列两式确定 :
x ? z sin t

e

t 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得

? x y ? 2 , e ? ?0
x

dt ,

(2001考研)

u
x y z

解得
因此

e x ( x ? z) z? ? 1 ? sin( x ? z ) du y e x ( x ? z) ? f 3? ? f1? ? f 2? ? ?1 ? dx x sin( x ? z )

x x

2. 设

是由方程 所确定的函数 , 求
(99考研)



解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得

(1 ? y?)

?x f? f ?x f?

dz ? ? dx

Fy
Fy

? Fx
Fz

?x f? 1

( f ? x f ?) Fy ? x f ? ? Fx ? Fy ? x f ? ? Fz

( Fy ? x f ? ? Fz ? 0)

解法2 微分法.

z ? x f ( x ? y), F ( x, y, z ) ? 0
对各方程两边分别求微分:

化简得

? x f ?d y
? F2? d y
dz 消去 d y 可得 . dx


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