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湖北省沙市中学2016届高考数学考前最后一卷试题文(新)

时间:2016-07-14


2015—2016 学年下学期高三年级 最后一卷文数试卷
考试时间:2016 年 5 月 26 日 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. )
a 1.集合 A ? 3, 2 , B ? ?a , b? ,若 A ? B ? ?2? ,则 A ? B ?

?

?

A. ?1,2,3?

B. ?2,3,4?

C. ?2,3?

D. ?2,3,5?

2.已知 z 满足 zi ? z ? ?2 ,则 z 在复平面内对应的点为 A. (1, ?1) B. (1, 1) C. (?1,1) D. (?1, ?1) uu u r uuu r uuu r uuu r 3.向量 AB, AC 在正方形网格中的位置如图所示.设向量 m = 2? AC ? 3 AB , uuu r 若 m ? AB ,则实数 ? 的值为 A.

C

1 3 C. 1

1 2 D. 2
B.
x

A

B

第 3 题图

4.已知命题 p : ?x ? R, 使得 x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, e ? 1 ,则 A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题

5.函数 f ( x) ? cos 2 x ? 3sin x cos x ( x ? [0, ? ] )的单调递减区间为 A. [0,

?
3

]

B. [

? 2?
6 , 3

]

C. [

? 5?
3 6 ,

]

D. [

5? ,? ] 6

6. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离为 4 ,且双曲 a 2 b2

线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ? ?1, ?1? ,则双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1 A. 16 4
C.

x2 ? y2 ? 1 B. 4
D.

x2 y2 ? ?1 9 9

x2 y2 ? ?1 3 3
开始

7.如图给出的是计算 1 ?

1 1 1 的值的一个程序框图,则图 ? ??? 3 5 2015

s ? 0, n ? 1, i ? 1

1

s ? s ?1/ n

中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是 A. n ? n ? 1, i ? 1009 C. n ? n ? 1, i ? 1008
2

B. n ? n ? 2, i ? 1009 D. n ? n ? 2, i ? 1008

8.函数 f ( x) ? ( x ? 1) sin x 的图象大致是

y
O
A

y

x

O

x

B

y
O

y
x
C

O

x

D
? ?

9.在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 1 ,点 P 为矩形 ABCD 内一点,则使得 AP ? AC ? 1 的概率为 A.

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几 何体的三视图,则该几何体的体积为 A. 64 C. 40 B. 48 D. 56

x2 y2 2 2 2 11.已知双曲线 2 ? 2 =1 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,过 F 1 作圆 x ? y ? a 的切线分别交双曲线 a b
的左、右两支于点 B , C ,且 BC ? CF2 ,则该双曲线的渐近线方程为 A. y ? ?3x B. y ? ?2 2x C. y ? ?( 3 ? 1) x D. y ? ?( 3 ?1) x

? ?4 x ? 1, 12.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ? x ? 6 x ? 10,

x ? ?1 ,关于 t 的不等式 f (t ) ? mt ? 2m ? 2 ? 0 的解集是 x ? ?1

(t1 , t2 ) U (t3 , ??) ,若 t1t2t3 ? 0 , 则实数 m 的取值范围是
A. (?4,3)

1 B. ( ?4, ? ) 2

C. ( ? ,1)

1 2

1 D. ( ??, ? ) 2

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上. )

?y ? 2 1 x ? 13.设 x , y 满足不等式 ? x ? y ? 1 ,若 M ? 4 x ? y , N ? ( ) ,则 M ? N 的最小值为 2 ?x ? y ? 1 ?
?2 x ?1 ? x, x ? 0, 14.函数 f ( x) ? ? 的零点个数为 ??1 ? ln x, x ? 0
15.如图 ABCD -A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体,S- ABCD 是高为 l 的正四棱 锥,若点 S,A1,B1,Cl,D1 在同一个球面上,则该球的表面积为 16.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边边长分别为 a, b, c ,且 tan B ? 2tan C .



第 15 题图 若 c ? 2 ,则 ?ABC 的面积最大值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分)已知公差为正数的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 2a1 , a3 ? 3 , a4 ? 5 成等比数 列. (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? ? ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

18. (本题满分 12 分) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查, 在高三的全体 1000 名 学生中随机抽取了 100 名学生的体检表,并得到如图 1 的频率分布直方图. (1)若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在 5. 0 以下的人数,并估计这 100 名学生视力的中位数(精确到 0. 1 ) ; (2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是 否有关系,对高三全体学生成绩名次在前 50 名和后 50 名的学生进行了调查,得到如表 1 中数据, 根据表 1 及临界值表 2 中的数据,能否在犯错的概率不超过 0. 05 的 前提下认为视力与学习成绩有 关系? 年级名次 前 50 名 是否近视 近视 不近视
图1 表1

后 50 名 34 16

42 8

附:临界值表 2

P( K 2 ≥ k )
( 参 考 公 式 :

0.15 2.07 2

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0.001 10.82 8
3

k

K2 ?

n( ad ? bc )2 ( a ? b)( c ? d )( a ? c )(b ? d )

, 其中 n ? a ? b ? c ? d )

19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, ?ABC ? 90o ,

AB ∥ CD , AB ? AD ? 2 , CD ? 1 ,侧面 PAD ⊥底面 ABCD ,且 ?PAD 是以 AD 为底的等腰三
角形. (1)证明: AD ⊥ PB ; (2)若三棱锥 C ? PBD 的体积等于

1 ,问:是否存 在过点 C 的平面 2

CMN ,分别交 PB 、 AB 于点 M , N ,使得平面 CMN ∥平面 PAD ?
若存在,求出 ?CMN 的面积;若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 A 、 B ,点 A 关于 x 轴的对称点 A? ( A? 与 B 不重合),则直 线 A?B 与 x 轴是否交于一定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ? (1) 当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性;

x2 y2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? ? ? 经过点 ? 0,1? ,离心率为 . 2 a b 2

1 ? 2ax . x

(2) 若对任意的 a ? ?? 3,?2?, x1 , x2 ? ? 求实数 m 1,3? 恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图, EF 是圆 O 的直径, AB ∥ EF ,点 M 在 EF 上, AM , BM 分别交圆 O 于点 C, D .设圆 O 的半径为 r , OM ? m . (1)证明: AM 2 ? BM 2 ? 2(r 2 ? m2 ) ; (2)若 r ? 3m ,求
AM BM 的值. ? CM DM

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.

? 2 t ?x ? m ? ? 2 ( 为参数) 已知直线 l 的参数方程为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 t 2 ?y ? t ? ? 2 2 2 2 2 立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos ? ? 3? sin ? ? 12 , 且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上. (1)若直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,求 | FA | ? | FB | 的值; (2)求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值.
24.(本小题满分 10 分)【选修 4-5:不等式选讲】 已知关于 x 的不等式 x ? 2 ? 4 ? x ? m 的解集为空集.
4

(1)求实数 m 的取值范围; (2)若实数 m 的最大值为 n ,正数 a , b 满足

1 1 ? ? n ,求 a ? b 的最小值. a ? 2b 2a ? b

高三第五次文数答案 ACBCB CDADD AB 13.-4 14.2 15.

81? 16

16.3

17. (1) 2a1 , a3 ? 3, a4 ? 5 成等比数列,

? (a3 ? 3)2 ? 2a1 (a4 ? 5)
d ? 0, ?d ? 4
………………6 分

2d 2 ? 7d ? 4 ? 0 ,

?an ? 4n ? 3
所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? 4n ? 3 , n ? N? . (2)由(1)可得 bn ? (?1)n an ? (?1) n ?4 n ? 3 ?, 当 n 为偶数时, Tn ? ?1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? ? ? ? 4n ? 3? ? 4 ?

n ? 2n, 2

当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, Tn ? Tn?1 ? bn?1 ? 2(n ? 1) ? (4n ? 1) ? ?2n ? 1. 综上, Tn ? ?

?2n, n为偶数, ??2n ? 1, n为奇数.

…………………………12 分

18. 【解析】 (1)设各组的频率为 f i (i ? 1,2,3,4,5,6) , 由图可知,第一组有 3 人,第二组 7 人,第三组 27 人, 因为后四组的频数成等差数列, 所以后四组频数依次为 则后四组频率依次为
27, 24, 21,18 0.27,0.24,0.21,0.18

…………………3 分

视力在 5.0 以下的频率为 3 ? 7 ? 27 ? 24 ? 21 ? 82 人, 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000 ? 设 100 名学生视力的中位数为 x , 则有 (0.15 ? 0.35 ?1.35) ?0.2 ?( x ?4.6) ?(0.24 ?0.2) ?0.5 ………………… 7 分 x ? 4.7 2 100(42 ?16 ? 34 ?8) 200 ? ? 3.509 ? 3.841 (2) k 2 ? ………………… 11 分 50 ? 50 ? 76 ? 24 57 因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩没有关系. …………12 分 19. 【解析】 (1)取 AD 中点 E ,连 PE, BE ∵ ?PAD 为等腰三角形, PA ? PD
5

82 ? 820 人. 100

………………… 5 分

∴ PE ? AD 在直角梯形中,由 AB ? AD ? 2 , CD ? 1 , 得 BC ? 3 , ?DAB ? 60o , 则 ?ABD 为正三角形,∴ BE ? AD ∴ AD ? 平面 PEB , AD ⊥ PB . (2)由(1)知 PE ? AD ,又平面 PAD ? 底面 ABCD ∴ PE ? 平面 ABCD 则 VC ?PBD ? VP?BDC ? ? PE ? ? DC ? BC ?

………………… 2 分

………………… 5 分

1 3

1 2

1 ,∴ PE ? 3 2

…………………8 分

取 PB 中点 M , AB 中点 N ,连 CM , MN , CN 由 MN //PA, CN //AD 可知平面 CMN // 平面 PAD 取 BE 中点 G , MG //PE , MG ? …………………10 分

S?CMN

1 PE , ∴ MG ? CN 2 1 3 3 1 ? . ? CN ? MG ? ? 2 ? 2 2 2 2

…………………12 分

?b ? 1 ? x2 3 ?c ? y 2 ? 1 .(4 分) 20.(1)由题意得 ? ? ,解得 a ? 2 ,所以椭圆 C 的方程为 4 2 ?a 2 2 2 ? ?a ? b ? c

? x2 2 2 ? ? y ?1 2 (2)由 ? 4 消去 x 得 ? my ? 1? ? 4 y ? 4 ,即 ? m 2 ? 4 ? y 2 ? 2my ? 3 ? 0 . ? ? x ? my ? 1
设 A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A? ? x1, ? y1 ? 且 y1 ? y2 ? ?

2m 3 , y1 ? y2 ? ? 2 . (6 分) 2 m ?4 m ?4

经 过 A? ? x1, ? y1 ? , B ? x2 , y2 ? 的 直 线 方 程 为 y ? y1 ?

y1 ? y2 ? x ? x1 ? , 令 y ? 0 , 则 x2 ? x1

x?

y1 x2 ? y2 x1 . y1 ? y2
又因为 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 ,所以

6m 2m y1 ? my2 ? 1? ? y2 ? my1 ? 1? 2my1 y2 ? y1 ? y2 ? m 2 ? 4 ? m 2 ? 4 ? 4 .即直线 A?B 与 ? x? ? 2m y1 ? y2 y1 ? y2 ? 2 m ?4
6

x 轴交于一定点 ? 4,0? .(12 分)
21.解:(1) f ?( x) ?

2?a 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) 1 1 ? 2 ? 2a ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? ? , 2 a x x x 2

当 a ? ?2 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的在定义域 (0, ??) 单调递减; 当 ?2 ? a ? 0 时,在区间 (0, ) , (?

1 2

1 , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, a

在区间 ( , ? ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 a ? ?2 时,在区间 (0, ? ) , ( , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 在区间 ( ?

1 2

1 a

1 a

1 2

1 1 , ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增 a 2

故 a ? ?2 时,递减区间为 (0, ??)

1 1 1 1 ?2 ? a ? 0 时,递减区间为 (0, ) , (? , ??) ,递增区间为 ( , ? ) 2 a a 2 1 1 1 1 a ? ?2 时,递减区间为 (0, ? ) , ( , ??) ,递增区间为 ( ? , ) ............ 6 分 a 2 a 2
(2)由(1)知当 a ? (?3, ?2) 时,函数 f ( x) 在区间 ?1.3? 单调递减;所以,当 x ??1.3? 时,

1 f ( x)max ? f (1) ? 1 ? 2a , f ( x)min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3
问题等价于: 对任意的 a ? (?3, ?2) , 恒有 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 1 ? 2a ? (2 ? a) ln 3 ?

1 ? 6a 成立, 3

2 2 ? 4a ,因为 a ? 0 , ? 4)nm ,? m ? ( i 3 3a 13 ?…………………………12 分 所以,实数 m 的取值范围是 ( ?? ,? 3
即 am ? 22. 【解析】 (1)作 AA' ? EF 交 EF 于点 A ' ,作 BB ' ? EF 交 EF 于点 B ' . 因为 A' M ? OA'? OM , B ' M ? OB '? OM , 所以 A ' M 2 ? B ' M 2 ? 2OA '2 ? 2OM 2 . 从而 AM 2 ? BM 2 ? AA '2 ? A ' M 2 ? BB '2 ? B ' M 2 ? 2( AA' 2 ? OA ' 2 ? OM 2 ) . 故 AM 2 ? BM 2 ? 2( r 2 ? m2 ) . (2)因为 EM ? r ? m , FM ? r ? m , ………………… 5 分

所以 AM ? CM ? BM ? DM ? EM ? FM ? r 2 ? m2 . AM BM AM 2 BM 2 AM 2 ? BM 2 ? ? ? ? 因为 CM DM AM ? CM BM ? DM EM ?FM
7

所以

AM BM 2( r 2 ? m2 ) . ? ? 2 CM DM r ? m2 AM BM 5 又因为 r ? 3m ,所以 ? ? . CM DM 2

………………… 10 分

x2 y 2 ? ? 1 ,则其左焦点为 (?2 2,0) ,则 m ? ?2 2 , 23.解(1) 已知曲线 C 的标准方程为 12 4
? 2 t ? x ? ?2 2 ? x2 y 2 ? 2 ? ? 1 联立, 将直线 l 的参数方程 ? 与曲线 C 的方程 12 4 ?y ? 2 t ? ? 2
得 t 2 ? 2t ? 2 ? 0 ,则 | FA | ? | FB |?| t1t2 |? 2 . (5 分)

x2 y 2 ? ? 1 ,可设曲线 C 上的动点 P(2 3cos? ,2sin? ) (2) 由曲线 C 的方程为 12 4
则以 P 为顶点的内接矩形周长为 4 ? (2 3 cos ? ? 2sin ? ) ? 16sin(? ? 因此该内接矩形周长的最大值为 16 . 24.【解析】 (1) x ? 2 ? 4 ? x ? ( x ? 2) ? (4 ? x) ? 2 当且仅当 ?x ? 2??x ? 4? ? 0 时取等 (10 分)

?
3

)(0 ? ? ?

?
2

),

? 当 2 ? x ? 4 时, ? x ? 2 ? 4 ? x ?min ? 2
?m ? 2
(2)有(1)可知 n ? 2 ,则 ………………… 5 分

1 1 ? ?2 a ? 2b 2a ? b 1 1 1 a?b ? ( ? 3a ? 3b) ?( ? ) 6 a ? 2b 2a ? b 1 1 1 ? ( ? a ? 2b ? 2a ? b) ?( ? ) 6 a ? 2b 2a ? b 1 2a ? b a ? 2b 2 ? ( ? 1?1? ? ) ? 6 a ? 2b 2a ? b 3 1 当且 a ? 2b ? 2a ? b ,即 a ? b ? 时,上式等号成立. 3 2 所以 a ? b 的最小值是 . 3

…………………10 分

8


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