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第四章指数与对数基础题


12-13 学年电子商贸学校 10 级高考基础知识专题复习(四)

第四章 指数函数与对数函数基础题
1. 整数指数的意义, a n ? a ? a ? ?? a(n个a连乘) ,

1

1

1

1

1

1

r />2

1

1

2

(9)(a 2 ? b 2 )(a 2 ? b 2 ); (10)(a 3 ? b 3 )(a 3 ? a 3 b 3 ? b 3 ); (11)( x ?1 ? x ? 2)( x ?1 ? x ? 2); (12) a a a

a n 就是 n 个相同因子 a 的连乘积的

3.求值:
2 1 2 1 ? ? 8a ?3 ? 3 3 3 6 (1)(3 ) ; (2)10000 ; (3)27 ? 9 ? 3 ; (4)? ? 3b 6 ? ? ; (5)125 ; (6)2 ? 2 ? 2 ; ? ? ?2 3 1 4 ?2 ?3 4 1 ?2

缩写。 a n 叫做 a 的 n 次幂, a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数. 规定
a1 ? a

(7)(0.2) ?2 ? (0.064) 3 ; (8)2 2 ? 4 2 ? 8 2.

1.a m ? a n ? a m ? n ; 2.(a m ) n ? a mn ; 3. am ? a m ? n (m ? n, a ? 0); an 4.(ab) m ? a m b m .
n

a 0 ? 1(a ? 0) a
?n

4.判断(对的打“√” ,错的打“ ? ” )
(1) x m ? x n ? x m ? n ; ? ( 2) x ? x ? x
m n 3 3 m?n 6

1 ? n (a ? 0, n ? N ? ) a

( 3)( ?5 x ) ? ?5 x ; ? ? y? (4)[ x 2 ? 2? ? ? x?
?3 ? 1 3

;?

? ? ? ?

如果 x ? a(n ? 1, n ? N ), 则 x 叫做 a 的 n 次方根 .正数的偶次方根有两个 ,它们互为相反 数.分别表示为 n a ,?n a ( n 为偶数);负数的偶次方根没有意义.正数的奇次方根是一个正 数,负数的奇次方根是一个负数,都表示为 a ( n 为奇数). 正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根. 当 n a 有意义的时候,
n n

]0 ? 1; ( x ? 0)?

?a? (5)? ? ? (a ? b ) ? 3 ; ? ?b? (6)( a ? b ) ? 2 ? a ? 2 ? b ? 2 .?

? ?
x? y 2

5.填空
(1)已 知10 ? 3,10 ? 4, 则10
x y

a 叫做根式, n 叫做根指数.

? ________;

( 2)已 知3 ? 2,3 ? 5, 则3
a b

2a ? b

? ________;

根据 n 次方根的定义,当 n a 有意义的时, (n a ) n ? a ;

( 3) 3 3 3 ? _____; (4)若a ? 0, b ? 1, 且b a ? b ? a ? 2 2 , 则b a ? b ? a ? _______

当n为奇数时, a ? a; ?a, (a ? 0) 当n为偶数时, a ? a ? ? ?? a, (a ? 0)
n n
1

n

n

6.化简

an ? n a
m

(1)(x ? x ) 2 ; 1 1 (2) ? 1 1? x 4 1? x

1 2

?

1 2

a n ? (n a ) m ? n a m , (n, m ? N ? , 且
2.计算
3 5 2 5 2 3 2 ?3 3

m 为既约分数) n
2 1

1 4

?

2 1? x
1 2

?

4 . 1? x
单调性 增函数 图象特性 过点(0,1)
x ? 0 时 y>1; x <0 时
0<y<1 (基础组不做要求)

y ? ax

定义域 R

值域 R+

9 (1)8 ? 8 ; (2)8 ; (3)27 ; (4)( ) 2 ; (5)(3 ? 6 ) 3 ; (6)3 3 ? 3 3 ? 6 3; (7)(a 3 b 4 ) 3 ; 4
? ?4? (8)? ? ? (?8.3) 0 ? 0.125 3 . ?9? 1 2 1

a >1

1

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0 ? a ?1

R

R

+

减函数

x ? 0 时;0<y<1; 过点(0,1) x <0 时, y>1
(基础组不做要求)

定义,对数具有下列性质: ⑴负数与零没有对数
?ab ? 0 ?a b ? N ? 0

一般情况下,把函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1, x ? R) 叫指数函数。 7.用指数函数的性质,比较下列各题中两上值的大小: (1)1.72。5 与 1.73; (2)0.8-0.1 与 0.8-0.2;(3) 1.70.2 与 0.61.1

⑵ loga 1 ? 0 , loga a ? 1 ∵对任意 a ? 0 且 a ? 1 , 同样易知:
0 都有 a ? 1

∴ loga 1 ? 0

8.求下列函数的定义域和值域: (1) y ? 2 ? 3
x

log a a ?1
则有 a loga N ? N

(2) y ? 2

1 x ?2

;

(3) y ? 1 ? 2 x

⑶对数恒等式如果把 a b ? N 中的 b 写成 loga N , 21.将下列指数式写成对数式: (2) 2 ?6 =
1 64

9.函数 y=2x 在________内是________函数; 10.函数 y=2-x 在________内是________函数; 11.函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1, x ? R) 的值域是__________; 12.所有指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1, x ? R) 的图象都通过点_______;
x

(1) 54 =625

(3) 3a =27

1 m (4) ( ) =5.73 3

22.将下列对数式写成指数式: (1) log1 16 ? ?4 ; (2) log2 128=7;
2

(3)log100.01=-2;

13.函数 y=2x 与 y=2-x 的图象关于________轴对称; 14.a6>a12 成立的充要条件是________; 15.f(x)=3x,则 f(3), f(0), f(-3)的大小关系是________.
?1 ? 16.函数 f(x)的定义域是 ? ,1? ,则函数 f(2x)的定义域是__________; ?2 ?

23.求下列各式的值 log 1 (1) log5 25; (2) log2 ; (3) log15 15 ;(4) log0.4 1; (5) 2 log 2 3 ;(6) 3log3 9 ;(7) 3 16

3

5

常用对数: 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 为了简便,N 的常用对数 log10 N 简
王新敞
奎屯 新疆

17.函数 y ? 3 x ? 1 的定义域是___________; 18.给定函数 y=2 ,当 x ?______时, y ? (0,1] ;
x

记作 lgN

王新敞
奎屯

新疆

24.求 lg 100,

lg 0.01,

lg 10000,

log3 3 ? lg1 ? 10lg 2

1 19.函数 y ? 1 ? ( ) x 的定义域是__________值域是____________; 2
20. 某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一次分裂为 2 个)经过 3 小时,这种细菌 由 1 个繁殖成_______个;
b 定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N, 就是 a ? N ,那么数 b 叫

loga (MN ) ? loga M ? loga N

做 以 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数 根据对数的
王新敞
奎屯 新疆

2

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24.计算:
loga M ?? loga M ? loga N N

判断下列命题的真假:
(1) log 3 5 ? 1 ; ( log 5 3 log b a ;( log b N ) ) )

loga M n ? n ? loga M

( 2) log a N ?

( 3) lg e ? ln 10 ? 1 (

(1) log2 (32? 64)
(4) lg 10 100
7 5

( 2) log 3 5 ? log 3

1 5

(3) log6 2 ? log6 3

29.填空:
(1) log81 21 ? _________; (2) log2 20 ? log4 25 ? ________; (3)设 lg 2 ? a, 则 ?lg 5?2 ? _____.
(4) log 2 9 ? log 3 5 ? log 5 2 ? ______; (5)?lg 5 ? ? lg 2 ? lg 50 ? ______;
2

(5) lg 20 ? lg 2

(6) lg 100

5

(7) log2 (4 ? 2 ) 25.计算下列各式的值
1 (1) log2 6 ? log2 3; (2) lg 5 ? lg 2 (3) log 5 3 ? log 5 ; (4) log3 5 ? log3 15; 3

(6)若 log 3 2 ? log 2 3 x , 则x ? _____; (7)设 log 3 4 ? log 4 8 ? log 8 m ? log 4 16, 那 么m ? _____

(5) log3 (27 ? 9 2 );

3 (6) lg 0.0001 ;

30。计算: (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2) 定义:函数 x=logay(a>0,且 a≠1,y>0) 叫做对数函数;它与指数函数 y=ax (a>0 且 a≠ 1) 中的 x,y 两个变量之间的关系是一样的。只是在指数函数中,x 当作自变量,y 当 作因变量,而在对数函数中,y 当作自变量,x 是因变量。因此两者互为反函数。由于 对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关 于 y=x 的对称图形, 对数函数的性质, 由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质。 y=logax 定义域 值域 单调性 图象特性
)

26.判断命题的真假: (a ? 0, a ? 1, x ? 0, y ? 0, x ? y)
(1) log a x . log a y ? log a ( x ? y ); ( ( 2) log a x ? log a y ? log a ( x ? y ); ( ( 3) log a x ? log a ( x ? y ); ( y log a x ; ( log a y ) ) ) )

(4) log a ( x ? y ) ?

(5)[log a ( x ? y )] 2 ? 2 log a ( x ? y ) (

a>1

(0, +∞)

R

增函数

x>1 时 y>0; 过点(1,0) 0<x<1 时 y<0
(基础组在此不做要求)

换底公式: logb N ?

loga N loga b

( b > 0 ,b ? 1 , a ? 0 , a ? 1,N>0)

0<a<1

(0, +∞)

R

减函数

x>1 时; y<0; 过点(1,0) 0<x<1 时, y>0
(基础组在此不做要求)

在科学技术中,常常使用以无理数 e=2.71828…为底的对数.以 e 为底的对数叫自然对 数. loge N 通常记作 ln N . 27.求下列各式的值: (1) log8 9 ? log27 32; (2) log64 32. 28.已知 log18 9 = a , 18b = 5 , 用 a , b 表示 log36 45
3

31.: 求下列函数的定义域: (1)y=logax2; (3) log3 4与log6 5 33.选择题: (2)loga(4-x); (3)y=loga(9-x2). 32.比较大小: (1) log 2 3与 log 2 3.5 ; (2) log0.7 1.6与log0.7 1.8 ;

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(1)下列各式的值为零的是(

)

( A)0

0

( B) l o g 21
)

(C ) log2 2

( D)(2 ? 3 )
x log ax ? ; y log a y

0

(2)下列各式正确的是(

? 27 ? 3 (4)? ? ? ? ________; ? 8 ?
5 (5)3 3 4 ? 33

?

2

( A) loga ( x ? y) ? loga x ? loga y;
loga x ? log y x; loga y
( B)2 ? a

( B) l o g a

? _________;

(C )

( D) loga ( x ? y) ? loga x ? loga y
)
( D)100a

(3)如果 lg3.12= a , 则 lg0.0312=(

( A)a ? 2

a (C ) 100

34。判断真假:

(1)a ? 1(a ? R); ?
0

?

n ( 2) a m

? (3)(?1) 2n ?1 ? ?1(n ? Z ); ? ? (4)a m b n ? (ab) mn ; ? ? (5)a 5 ? a 3 (a ? 0且a ? 1); ? ?
?
m n

a (a ? 0); ?

(6)函数y ?

1 2 x 的定义域是?x |

x ? 0?; ?

?

(7) y ? 2 x 的最小值是0; ?

(8) loga 5 ? loga 7的充要条件是a ? 1; ?

? (9)函数y ? log x (? x)的定义域是(0,??); ? ? 1 .9 ? 0 .8 (10)0.4771 ? 0.4771 ;? ?
35.填空:
1 (1) lg1 ? 25 ? (64) 3 ? ______; 0 ?

?

(2) lg 1000 ? _________;

4


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