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第一讲《集合的含义与表示》学案


——数学思维训练方法讲义

学习改变命运

思考成就未来

第一讲

集合的含义与表示

课标考纲解读 1.理解集合的概念,会判断一组对象能否构成集合。 2.了解元素与集合的“属于”关系,会判断某一元素属于或不属于某一集合,掌握表示“属于” 与“不属于”的符号“ ? ”与“ ? ”

。 3.了解常用数集及其记法。 4.掌握集合元素的特征,并能运用它们解题。 5.理解列举法和描述法的意义,掌握这两种集合的表示方法和特征,并会运用它们正确地表示 一些简单的集合。

一、考点知识清单:
1.一般的,我们把 2.只要构成两个集合的 统称为元素,把 叫做集合,简称 。

,我们就称这两个集合是相等的。 集合 A,记作 。 ;

3.元素与集合之间存在的两种关系:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 集合 A,记作

4.集合中的元素具有三个特性: 、 、 。 ①确定性:集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能说明他是或不是某个集合的元素,两者情 况必居其一且仅居其一,不会模棱两可。例如: “著名的科学家” “与 2 接近的数”等都不能组成 一个集合; ②互异性:集合中的元素是互不相同的,即同一元素在同一集合中,不能重复出现; ③无序性:在一个集合中,元素之间都是平等的,它们都充当集合中的一员,无先后次序之说,无 高低贵贱之分。 5.数学中一些常用的数集及其记法: (1) 称为非负整数集(或自然数集) ,记作 ; (2) 称为正整数集,记作 ; (3) 称为整数集,记作 ; (4) 称为有理数集,记作 ; (5) 称为实数集,记作 。 6.常见的集合表示方法有 、 、 。 例:列举法:正整数集 N = ? ,2,3,4,??;描述法: x p(x) 或 x ? A p(x) 。 1
?

?

? ?

?

7.把集合中的元素 8.用集合所含元素的 9.集合的分类: 10.奇数集: 、

的方法叫做列举法,例:正整数集 N = ? ,2,3,4,??。 1
?

的方法叫做描述法,其形式: x p(x) 或 x ? A p(x) 。 、 ;偶数集合:
1

?

? ?

?

。 。
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——数学思维训练方法讲义 二、典例分析
考点一 集合的概念 命题规律:判断一组对象是否构成集合 例 1、下列各组对象哪些能构成一个集合? (1)著名的数学家; (2)某校 2007 年在校的所有高个子同学; (3)不超过 20 的非负数; (4)方程描述法: x ? 9 ? 0 在实数范围内的解;
2

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(5)直角坐标平面内第一象限的一些点; (6) 3 的近似值的全体。 针对训练: 1.下列各组对象不能构成集合的是( ) A.某校大于 50 岁的教师 B。某校 30 岁的教师 C。某校的年轻教师 D。某校的女教师 2.对于以下说法: ①接近于 0 的数的全体构成一个集合;②正三角形的全体构成一个集合;③未来世界的高科技产品 构成一个集合;④不大于 3 的所有自然数构成一个集合。正确的是( ) A.①② B。②③ C。③④ D。②④ 3.由实数 x , ? x , x , x 2 , ? 3 x 3 所组成的集合中,最多含有元素的个数为( )

A.2 B。3 C。4 D。5 考点二 元素与集合之间的关系 命题规律: 判定元素与集合之间的关系; 考查正确运用元素与集合之间的从属关系符号 (1) (2) “∈” 与“ ? ” ,以及特殊数集的符号。 例 2、用符号“∈”或“ ? ”填空: (1)2 (2)4

?x x ? 11?,3
2

?x ? Z ? 5 ? x ? 2?;
2

?x x ? n

? 1, n ? Z ,5
2

(3) (-1,1) 针对训练: 1.给出下列关系:① A.1

? ?x x ? n ? 1, n ? Z ?; ?y y ? x ?, ?( x, y) y ? x ?。 (-1,1)
2

1 ? R ;② 2 ? Q ;③ ? 3 ? N ? ;④ ? 3 ? Q 其中正确的个数为( 2
C。3



2 2 2.设 M ? k k ? m ? n , m, n ? N ,试问 10,102,103 是否属于 M?

?

B。2

?

D。4

例 3、设集合 A ? x x ? 2k , k ? Z , B ? x x ? 2k ? 1, k ? Z 。若 a ? A, b ? B ,试判断 a ? b 与 A,B 的关系。

?

?

?

?

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例 4、数集 A 满足条件:若 a ? A ,则

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1? a 1 ? A( a ? 1) 。若 ? A ,求集合 A 中的其他元素。 1? a 3

考点三

集合中元素的特征

命题规律: (1)利用集合元素的三性(确定性、互异性、无序性)分析解决问题; (2)解题后检验 元素是否满足集合元素的三性。 例 5、若集合 A 的四个元素 x,y,z,w 为边长构成一个四边形,那么这个四边形可能是( A.梯形 B。平行四边形 C。菱形 D。矩形 针对训练: 1.已知集合 A= ?a ? 3,2a ? 1?,若 ? 3 ? A ,求实数 a 的值。 )

2.已知 x 2 ? ? ,0, x? ,求实数 x 的值。 1 例 6、判断下列说法是否正确,并说明理由。 (1)1,

3 6 1 1 , , ? , 这些数组成的集合有五个元素; 2 4 2 2

(2)由 a,b,c 组成的集合与由 b,a,c 组成的集合是同一个集合。 例 7、含有三个实数的集合可表示为 ?a,

? b ? ,1? ,也可表示为 a 2 , a ? b,0 。求 a 2006 ? b 2007 的值。 ? a ?

?

?

考点四

集合的表示方法

命题规律: (1)用列举法表示集合; (2)用描述法表示集合; (3)选择适当的方法表示集合; (4) 集合的不同表示方法的相互转化。 例 8、用列举法表示下列集合: (1)不大于 10 的非负偶数集; (2)自然数中不大于 10 的质数集; (3)由

a a

?

b ( a, b ? R ) 所确定的实数集合。 b
1 有意义的实数 x 的集合; x ? x?6
2

例 9、用描述法表示下列集合: (1)使 y ?

(2)坐标平面上第一、第三象限上的点的集合; (3)函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象上所有点的集合;
2

(4)方程 x ? (m ? 2) x ? m ? 1 ? 0(m ? Z ) 的解集。
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针对训练: 1.用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值不大于 2 的整数; (2)在直角坐标平面上不在一、三象限内的点; (3)方程 2 x ? 1 ? y ? 2 ? 0 的解; (4) M ? ( x, y) x ? y ? 4, x ? N?, y ? N ? 例 10、 (1)已知集合 M ? ? x ? N

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?

?

? ?

? 6 ? Z ? ,求 M; x ?1 ?

(2)已知集合 C ? ?

? 6 ? ? Z x ? N ? ,求 C。 ? x ?1 ?

2 2 2 例 11、下面三个集合:① x y ? x ? 1 ;② y y ? x ? 1 ;③ ( x, y ) y ? x ? 1 。 (1)它们是不

?

?

?

?

?

?

是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?

考点五

创新、拓展、探究

命题规律:给出定义求集合或求满足条件的集合。 例 12、设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= a ? b a ? P, b ? Q ,若 P=﹛0,2,5﹜,Q= ﹛1,2,6﹜,则 P+Q 中元素的个数是( ) A.9 B。8 C。7 D。6
2 例 13、已知集合 A= x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R 。 (1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A

?

?

?

?

中最多有一个元素,求 a 的取值范围; (3)若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围。

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例 14、若集合 A ? x x ? 3n ? 1, n ? Z , B ? x x ? 3n ? 2, n ? Z , M ? x x ? 6n ? 3, n ? Z 。 (1)若 m ? M ,问是否有 a ? A, b ? B ,使 m ? a ? b ? (2)对于任意 a ? A, b ? B ,是否一定有 a ? b ? m 且 m ? M ?证明你的结论。

?

?

?

?

?

?

例 15、设 S 是由满足下列条件的实数所构成的集合:① 1 ? S ;②若 a ? S ,则 下列问题: (1)若 2 ? S ,则 S 中必有另外两个数,求出这两个数; (2)求证:若 a ? S ,则 1 ?

1 ? S 。请解答 1? a

1 ?S ; a

(3)在集合 S 中元素能否只有一个?请说明理由。 (4)求证:集合 S 中至少有三个不同的元素。

例 16、非空集合 G 关于运算 ? 满足: (1)对任意 a, b ? G 都有 a ? b ? G ; (2)存在 e ? G ,使得 对于一切 a ? G ,都有 a ? e ? e ? a ? a ,则称 G 关于运算 ? 为“融洽集” 。现给出下列集合与运 算 : ① G ? 非负整数 , ? 为 整 数 的 加 法 ; ② G ? 偶数 , ? 为 整 数 的 乘 法 ; ③

?

?

?

?

? G ?? 二次三项式 , ? 为多项式的加法。其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”的是
课堂训练: 1.用描述法表示下列集合: (1)被 5 除余 1 的正整数集合; (2)大于 4 的全体奇数构成的集合; (3)坐标平面内,两坐标轴上的点的集合; (4)三角形的全体构成的集合。



2 2 2.设集合 A ? a a ? n ? 1, n ? N , 集合 B ? b b ? k ? 4k ? 5, k ? N , a ? A , 若 试判断 a 与 B

?

?

?

?

的关系。 3.集合 M 中的元素是非零的自然数,且满足:如果 x ? M ,则 8 ? x ? M 。回答下列问题: (1)写出只有 1 个元素的集合 M (2)写出只有 2 个元素的集合 M; (3)满足题设条件的集合 M 共有多少个?

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【基础训练】 一、选择题(共 6 个,每题 4 分) 1.下列指定对象,能构成一个有限集合的一组是 ( ) A.泸州市所有的高中学生 B.平面上所有的点 C.我们班上所有的高个子 D.全国著名的数学家 2.下列各式中,正确的是 ( ) A.0={0} B.0?{0} C.0?Φ D. Φ {0} 3.集合 A={a,b,c}的非空真子集的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.若 U={x|x≤7,x∈N},A={x|x 为质数 } ,则 C U A 为 A.{2,4,6} B.{4,6}
2

( D.{0,1,4,6} )

)

C.{1,4,6}

5.如果集合 A={ x | ax + 2 x + 1=0}中只有一个元素,则 a 的值是 (

A.0 B.0 或 1 C.1 D.不能确定 6.下列命题中, (1)如果集合 A 是集合 B 的真子集,则集合 B 中至少有一个元素 (2)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 的元素少于集合的 B 元素 (3)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 的元素不多于集合 B 的元素 (4)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 和 B 不可能相等 错误的命题的个数是: ( ) A. 0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(共 4 个,每题 4 分) 7.下列各题中的 M 与 P 表示相同集合的是 (1)M={(1,-5)} ,P={(-5,1)}; (2)M= ? ,P={0}; (3)M={1,-5},P={-5,1};
m ?1

(4)M= ? ,P={x| x 2 +1=0} 。 .

8.用列举法表示集合: M ? {m| 10 ? Z , m ? Z} =

9.设集合 U={(x,y)|y=3x-1},A={(x,y)| y ? 2 =3},则 C U A=
x ?1

10.已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x<a};若 A B,则实数 a 的取值集合是______________. 【整合提高】 三、解答题 11.已知下列集合: (1) A1 ={n | n = 2k+1,k ? N } ?1, ? 2 }; (5) A5 ={(x, y) | x+y = 6 , x ? N , y ? N } ; (Ⅰ)用列举法表示上述各集合; (Ⅱ)对集合 A1 , A2 , A3 ,如果使 k ? Z,那么 A1 , A2 , A3 所表示的集合分别是什么? 12.已知集合 A={-3,4},B={x|x -2px+q=0},B≠φ ,且 B ? A,求实数 p,q 的值.
2

,k ? 5} ;

(2) A2 ={x | x = 2k, k ? N, k ? 3} ;
2

(3) A3 ={x | x = 4k+1,或 x = 4k-1,k ? N , k ? 3} (4) A4 ={y | y= x -1,且 x ? {0, ;

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