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四川省阆中中学校2015-2016学年高二数学上学期第二次段考试题 理


阆中中学校 2015 年秋高 2014 级第二学段教学质量检测 数学试题(理)
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中 只有一项是符合题目要求的。 ) 1.490 和 910 的最大公约数为( ). A. 2 B. 10 C. 30 D. 70 2.将 51 转化为二进制数为( ). A.100 111(2)

B.110 110(2) C.110 011(2) D.110 101(2) 2 2 3.已知直线 l:x+y-3=0 和曲线 C:(x-3) +(y-2) =2,则点 M(2,1)满足( ) A.在直线 l 上,但不在曲线 C 上 B.既在直线 l 上,也在曲线 C 上 C.既不在直线 l 上,也不在曲线 C 上 D.不在直线 l 上,但在曲线 C 上 2 2 4.命题 p : ?t ? R ,使得直线 x-y+t=0 与圆 x +y =1 相交;命题 q : ?m ? 0 ,双曲线

x2 y2 ? =1 的离心率为 2 。则下面结论正确的是( ). m 2 m2 A. p 是假命题 B. ? q 是真命题 C. p ? q 是假命题 D. p ? q 是真命题
5.已知条件 p:x≤1,条件 q: A.充分而不必要条件 C.充要条件 ,则¬p 是 q 的 ( ).

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 与 C2 的离心 率之积为 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 ). C.x±2y=0 1 1.9 3 3.2 4 4.4 D.2x±y=0

x2 y2 a b

x2 y2 a b

A.x± 2y=0 B. 2x±y=0 7.已知 x、y 的取值如下表所示: x 0 y 0.9

^ 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且y=0.8x+a,则 a=( ). A.0.8 B.1 C.1.2 D.1.5 8.有一底面半径为 1,高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随 机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( ). 1 2 3 1 A. B. C. D. 3 3 4 4 9.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测 后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其 中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为 [96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106], 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净 重大于或等于 98 克并且小于 102 克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C.60 D.45 10.曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,其中 m, n 是将一枚骰子 m2 n2 x2 y2 先后投掷两次所得点数,事件 A ? “方程 2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭 m n
-1-

圆”,那么 P ( A) ? ( A.

). B.

5 12

7 12
2

C.
2

1 2

D.

1 6
2 2

11.在区间[﹣3,3]上任取一个数 a,则圆 C1:x +y +4x﹣5=0 与圆 C2: (x﹣a) +y =1 有 公共点的概率为( ). A. B. C. D.

2 x2 y2 12.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,且 a b 2 过点(2, 2 ).又 M,N,P,Q 是椭圆 C 上的四个不同的点,两条都不和 x 轴垂直 1 1 的直线 MN 和 PQ 分别过点 F1,F2,且这两条直线互相垂直,则 为定值 ? MN PQ
( A. ).

3 2 8

B.

5 2 8

C.

7 2 8

D.

2 8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 2 13.命题“ ?x ? R , x ? x ? 8 ? 0 ”的否定为 _________________。 2 14.已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x,y),当 x,y∈R 时,P 满足(x-2) +(y- 2 2) ≤4 的概率是_________________。 2 2 15.设命题 p:c <c 和命题 q:对? x∈R,x +4cx+1>0,若 p 和 q 有且仅有一个成立, 则实数 c 的取值范围是________. 16.设 A,B 分别是直线 y= 足 = + x 和 y=x 上的两个动点,并且| |= ,动点 P 满 _。

,记动点 P 的轨迹为 C,求轨迹 C 的方程是

考号最后两位 阆中中学校 2015 年秋高 2014 级第二学段教学质量检测 数 shshu

(总分:150 分

数 学 答 题 卷 ( 理 ) 时间:120 分钟 命题教师:杨昭权

审题教师:黄德辉)

第Ⅱ卷(非选择题) 一、请将选择答案填入下列表格(每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 二、请将填空题答案填入下列横线(每小题 5 分,共计 20 分) 13.___________________________ 15.___________________________ 14.___________________________ 16.___________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)

-2-

x y 5 17.(本小题满分 10 分)求与椭圆 + =1 有公共焦点,并且离心率为 的双曲 9 4 2 线方程.

2

2

18.(本小题满分 10 分)已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 +y =1 的右焦点,交椭圆于 A、 4 B 两点,求弦 AB 的长.

x2

2

19.(本题分 12 分)已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x、y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别 1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a·b=-1 的概率; (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a·b<0 的概率.

-3-

20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a ? R , 命 题 p: "?x ? ?1,2?, x 2 ? a ? 0" , 命 题

q: " ?x ? R, x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0"
(1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 " p ? q" 为真命题,命题 " p ? q" 为假命题,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为

x2 y2 a b

A,上顶点为 B.已知|AB|=

3 |F1F2|. 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过点 F2 的 直线 l 与该圆相切于点 M,|MF2|=2 2.求椭圆的方程.

22.(满分 14 分)设椭圆 E: 2+ 2=1(a,b>0)过 M(2, 2),N( 6,1)两点,O 为坐标 原点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, → → 且OA⊥OB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;若不存在,请说明 理由.

x2 y2 a b

高 2014 届阆中中学高二年级第二次段考 数学(理科)试卷答案(2015.12) 一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中只有 一项是符合题目要求的。 ) 1、D 2、 C 3、 B 4、 D 5、 A 6、A 7、B 8、B 9、C 10、A 11、B 12、A 二、填空题(4 小题,每个 5 分,共 20 分) π 1 1 2 13、 ?x ? R , x ? x ? 8 ? 0 14、16 15、2≤c<1 或-2<c≤0. 16、 + =1 三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(满分 10 分)解:由椭圆方程 + =1,知长半轴 a1=3,短半轴 b1=2,焦距的一半 c1 9 4 = a1-b1= 5,(3 分)
2 2

x2 y2

-4-

∴焦点是 F1(- 5,0),F2( 5,0),因此双曲线的焦点也是 F1(- 5,0),F2( 5,0),(5 分)

c= 5, ? ?c =a +b , x y 设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),由题设条件及双曲线的性质,得? a b c 5 ? = , ?a 2
2 2 2 2 2 2 2

解得?

? ?a=2, ?b=1. ?

(9 分)

故所求双曲线的方程为 -y =1.(10 分) 4 18、(满分 10 分)解:解 ∴c= a -b = 3, ∴右焦点 F( 3,0), ∴直线 l 方程 y=x- 3. (3 分)
2 2

x2

2

∵a =4,b =1,

2

2

? ?y=x- 3, 由?x2 +y=1, ? ?4

消去 y 并整理得 5x -8 3x+8=0. (5 分)

2

设直线 l 与椭圆的交点的 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 3 8 则 x1+x2= ,x1x2= , (8 分) 5 5 ∴|AB|= ?x1-x2? +?y1-y2?
2 2 2

= ?x1-x2? +?x1- 3-x2+ 3?
2 2

2

= 2?x1-x2? = 2[?x1+x2? -4x1x2] 8 3 2 8 8 8 2[? ? -4× ]= ,即弦 AB 的长为 . 5 5 5 5



(10 分)

19、(满分 12 分)解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件 总数为 6×6=36(个);(2 分) 由 a·b=-1 有-2x+y=-1, 所以满足 a·b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共 3 个;(4 分) 3 1 故满足 a·b=-1 的概率为 = .(5 分) 36 12 (2)若 x, y 在连续区间[1,6]上取值, 则全部基本事件的结果为 Ω ={(x, y)|1≤x≤6,1≤y≤6};(6 分)
-5-

满足 a·b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且-2x+y<0};(8 分) 画出图形如图, 矩形的面积为 S 矩形=25,(9 分) 1 阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21,(10 分) 2 21 故满足 a·b<0 的概率为 .(12 分) 25 20、(满分 12 分)解:⑴命题 p :"?x ?[1, 2], x2 ? a ? 0" , 则分离参数得 a ? x 2 对 ?x ? [1,2] 恒成立,则 a ? (x 2) min (2 分 ) ( 4 分) (6 分)

f ( x) ? x 2 , x ? [1,2] , f min ? f (1) ? 1 则

a ?1

⑵命题 q 为真命题时, ? ? 4a2 ? 4(2 ? a) ? 0 ,解得 a ? ?2或a ? 1

命题 q 为假命题时, ? 2 ? a ? 1 由⑴可知,当命题 p 为真命题时, a ? 1 , ,命题 p 为假命题时, a ? 1 。??(8 分) 因为命题 " p ? q " 为真命题,命题 " p ? q " 为假命题,所以命题 p 与命题 q 一真一假,

当命题 p 为真,命题 q 为假时, ?

?a ? 1 ? ?2 ? a ? 1, ??2 ? a ? 1

(9 分)

当命题 p 为假,命题 q 为真时, ?

?a ? 1 ? a ? 1, ?a ? -2或a ? 1

(10)分

综上: a ? 1 或 ?2 ? a ? 1 . (12 分) 21、(满分 12 分)解 :(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0). 3 2 2 2 由|AB|= |F1F2|,可得 a +b =3c . (2 分) 2 c2 1 2 2 2 又 b =a -c ,则 2= . a 2 2 . (4 分) 2 2 2 2 2 (2)由(1)知 a =2c ,b =c . 所以,椭圆的离心率 e=

x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. (5 分) 2c c 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c),
→ → 有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). (6 分) → → 由已知,有F1P·F1B=0, 即(x0+c)c+y0c=0.又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 因为点 P 在椭圆上,故 2+ 2=1.② 2c c 2 由①和②可得 3x0+4cx0=0. 4 而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c, 3

x2 0

y2 0

-6-

c ? 4c c? 代入①得 y0= ,即点 P 的坐标为?- , ?. 3 ? 3 3? 设圆的圆心为 T(x1,y1), 4 c - c+0 +c 3 3 2 2 则 x1= =- c,y1= = c, 2 3 2 3
所以圆的半径 r= ?x1-0? +?y1-c? =
2 2 2 2 2

(8 分)

5 c. (10 分) 3 (11 分)

由已知,有|TF2| =|MF2| +r , 5 2 ? 2 ?2 ? 2 ?2 2 又|MF2|=2 2,故有?c+ c? +?0- c? =8+ c ,解得 c =3. 9 ? 3 ? ? 3 ? 所以,所求椭圆的方程为 + =1. 6 3 22、(满分 14 分)

x2 y2

(12 分)

解 (1)因为椭圆 E: 2+ 2=1(a,b>0)过 M(2, 2),N( 6,1)两点, 4 2 ? ?a +b =1, 所以? 6 1 ? ?a +b =1,
2 2 2 2

x2 y2 a b

1 1 ? ?a =8, 解得? 1 1 ? ?b =4,
2 2

(3 分)

所以?

?a =8, ? ? ?b =4,
2

2

椭圆 E 的方程为 + =1.(4 分) 8 4

x2 y2

→ (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA⊥ →

y=kx+m, ? ? 2 2 OB,设该圆的切线方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),解方程组?x y + =1 ? ?8 4
+2(kx+m) =8, 2 2 2 即(1+2k )x +4kmx+2m -8=0,(6 分) 2 2 2 2 2 2 2 2 则 Δ =16k m -4(1+2k )(2m -8)=8(8k -m +4)>0,即 8k -m +4>0. 4km ? ?x +x =-1+2k , 故? 2m -8 ?x x =1+2k , ?
1 2 2 2 1 2 2 2

得x

2

(7 分)

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 k2(2m2-8) 4k2m2 m2-8k2 2 = - + m = 2 2 2. 1+2k 1+2k 1+2k
→ → 要使OA⊥OB,需使 x1x2+y1y2=0, 2 2 2 2m -8 m -8k 即 + 2 2 =0, 1+2k 1+2k 2 2 所以 3m -8k -8=0,(8 分) 2 3m -8 2 所以 k = ≥0.(9 分) 8
? ?m >2, 又 8k -m +4>0,所以? 2 ?3m ≥8, ?
2 2 2

8 2 所以 m ≥ , 3

-7-

2 6 2 6 即 m≥ 或 m≤- ,(10 分) 3 3 因为直线 y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线, |m| 所以圆的半径为 r= , 2 1+k

r2=

m2

1+k

2



1+

m2 8 2 6 = ,r= , 2 3m -8 3 3
8

8 2 2 所求的圆为 x +y = ,(11 分) 3 2 6 2 6 此时圆的切线 y=kx+m 都满足 m≥ 或 m≤- ,(12 分) 3 3 2 6 x y 2 6 2 6 而当切线的斜率不存在时切线为 x=± 与椭圆 + =1 的两个交点为( , ± )或(- 3 8 4 3 3 2 6 2 6 → → ,± )满足OA⊥OB,(13 分) 3 3 8 2 2 综上,存在圆心在原点的圆 x +y = ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 3 → → 且OA⊥OB.(14 分)
2 2

-8-


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