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2014年高考数学(文)一轮复习课件(人教A版)选修4-5.2不等式的证明1


选修4-5-2 不等式的证明

考纲点击 了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、 放缩法.

说基础
课前预习读教材

考点梳理 1.比较法 (1)作差比较法 ① 理 论 依 据 : a > b ? ① __________ > 0 ; a < b ? ② __________;a=b?③__

________. ②证明步骤:作差→④__________→⑤__________→得出 结论.

(2)作商比较法 a ①理论依据:b>0,b>1?⑥__________; a b<0,b>1?⑦__________. ② 证 明 步 骤 : 作 商 → ⑧ __________→ ⑨ ________________→得出结论.

2.综合法 (1)一般地,从⑩__________出发,利用?__________、? __________、?__________、?__________等,经过一系列的 ?__________、?__________而得出命题成立,这种证明方法 叫做综合法.综合法又叫?__________或?__________. (2) 使用综合法证明不等式应注意对基本不等式或已证不 等式的使用,常用的不等式有:① a2≥0 ;② |a|≥0 ;③ a2 + a+b 2 b ≥2ab;④ 2 ≥ ab(a,b>0)等.

3.分析法 证明命题时,从?__________出发,逐步寻求使它成立的 21 __________或○ 22 ?__________,直至所寻求的条件成为一个○ ____________________(定义、公理或已证明的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一 23 __________的思考和证明方法. 种○

4.反证法 24 ________________,以此为出发点,结合已知条 (1)假设○ 25 ______________ 等,进行正确的推理,得到和○ 26 件,应用○ __________(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 )矛盾 27 __________,我们把 的结论,以说明假设不正确,从而证明○ 它称为反证法. 28 __________→肯定原结论. (2)证明步骤:反设→○

5.放缩法 29 (1) 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值○ 30 __________,简化不等式,从而达到证明的目 __________或○ 的,我们把这种方法称为放缩法. (2)理论依据 a>b,b>c?a>c.

答案:①a-b ②a-b<0 ③a-b=0 ④变形 ⑤判断 符号 ⑥a>b ⑦a<b ⑧变形 ⑨判断与 1 的大小关系 ⑩ 已知条件 ? 定义 ? 公理 ? 定理 ? 性质 ? 推理 ? 论证 ? 顺推证法 ? 由因导果法 ? 要证的结论 ? 充分 21 已知条件 22 一个明显成立的事实 23 执果索因 条件 ○ ○ ○ 24 要证的命题不成立 25 公理、定义、定理、性质 26 命题的 ○ ○ ○ 27 原命题成立 28 归谬 29 放大 30 缩小 条件 ○ ○ ○ ○

考点自测 1.设 t=a+2b, s=a+b2+1, 则 s 与 t 的大小关系是( A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t

)

答案:A

2.若 a,b∈R,则使|a|+|b|>1 成立的一个充分不必要条 件是( ) 1 1 A.|a+b|≥1 B.|a|≥2且|b|≥2 C.b<-1 D.a≥1

答案:C

x y z 3.P= + + (x>0,y>0,z>0)与 3 的大小 x+1 y+1 z+1 关系是( ) A.P≥3 B.P=3 C.P<3 D.P>3

答案:C

4.已知|a+b|<-c(a、b、c∈R),给出下列不等式: ①a<-b-c;②a>-b+c;③a<b-c; ④|a|<|b|-c;⑤|a|<-|b|-c. 其中一定成立的不等式是__________(注:把成立的不等 式序号都填上)

答案:①②④

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.当被证明的不等式的两端是多项式、分式或对数式时, 常采用作差比较法证明. 作差比较法证明不等式的一般步骤: ①作差:将不等式左右两边的式子看作整体进行作差. ②变形:将差式进行变形,变形为一个常数,或变形为若 干个因式的积,或变形为一个或几个数(式)的平方和等. ③判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边 差正负号. ④结论:肯定不等式成立的结论.

2. 当被证明不等式(或变形后的不等式)的两端都是正数且 为乘积形式或幂指数形式时,一般使用作商比较法. 作商比较法证明不等式的一般步骤: ①作商:将不等式左右两边的式子进行作商. ②变形:化简商式到最简形式. ③判断:判断商与 1 的大小关系,就是判断商大于 1 或小 于 1 或等于 1. ④结论.

3.分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能 使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系较难发 现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使 用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 4.利用综合法证明不等式一般有两种途径:①从分析法 找思路;②从“重要不等式”,特别是均值不等式找思路.用 综合法证明不等式的逻辑关系是: A?B1?B2???Bn?B.综合 法的思维特点是:由因导果.

5.反证法是间接证明问题的一种常用方法,其证明问题 的一般步骤为 (1)反设:假定所要证的结论不成立;(否定结论) (2)归谬: 将“反设”作为条件, 由此出发经过正确的推理, 导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的 事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾) (3)结论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于 “反 设”的谬误. 既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成 立)

6.适宜用反证法证明的数学命题 (1)结论本身以否定形式出现的一类命题; (2)关于唯一性、存在性的命题; (3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题; (4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题; (5)要证的结论与条件之间的联系不明显, 直接由条件推出 结论的线索不够清晰.

7.用放缩法证明不等式的基本方法是:欲证 A≥B,可通 过适当放大或缩小,借助一个或多个中间变量,使得 B≤B1, B1≤B2,?,Bi≤A,或 A≥A1,A1≥A2,?,Ai≥B,再利用 传递性,达到目的.

8.放缩法的常用技巧:(1)舍去一些正项或负项如 a2+a ? 1?2 3 ? 1?2 +1=?a+2? +4>?a+2? 等;(2)在和或积中换大(或换小)某些 ? ? ? ? a a+m 项;(3)扩大(或缩小)分式的分子或分母,如b< (a , b , m b+m 1 1 1 2 + ∈R 且 a>b),k2< , < 等;(4)绝对值不 k?k-1? k k+ k+1 等式的性质,如|a+b|≤|a|+|b|等.

题型探究 题型一 用比较法证明不等式 例 1 设 a,b 是非负实数,求证:a3+b3≥ ab(a2+b2).
证明:由 a,b 是非负实数,作差得 a3+b3- ab(a2+b2)=a2 a( a- b)+b2 b( b- a) =( a- b)[( a)5-( b)5]. 当 a≥b 时, a≥ b, 从而( a)5≥( b)5, 得( a- b)[( a)5 -( b)5]≥0; 当 a<b 时, a< b, 从而( a)5<( b)5, 得( a- b)[( a)5 -( b)5]>0. 所以 a3+b3≥ ab(a2+b2).

点评: ①作差比较法证明不等式的一般步骤:作差、变形、判断 符号、得出结论. ②变形整理是关键,变形目的是为了判断差的符号.

变式探究 1 求证:当 a,b∈(0,+∞)时,aabb≥(ab)
a ?b 2

.

证明: 当 a=b

a a bb ? ab ?
a ?b 2

=a

a ?b 2

b

b?a 2

?a? a ?b =?b? 2 , ? ?

?a? a ?b 时,?b? 2 =1. ? ?

?a? a ?b a-b a 当 a>b>0 时,b>1, 2 >0,则?b? 2 >1. ? ? ?a? a ?b a-b a 当 b>a>0 时,0<b<1, 2 <0,则?b? 2 >1. ? ?

综上可知,当 a、b∈(0,+∞)时,aabb≥(ab)

a ?b 2

成立.

题型二

用分析法或综合法证明不等式
2 2 2

例 2 已知 a,b,c 均为正数,证明:a +b +c
2

?1 1 1? +?a+b+c ? ? ?

≥6 3,并确定 a,b,c 为何值时,等号成立.

解析:方法一:因为 a,b,c 均为正数, 所以 a2+b2+c2≥3(abc) ① 1 ? 1 1 1 3 + + ≥ 3( abc ) ,② a b c 2 ?1 1 1? ? 所以?a+b+c ?2≥9(abc) 3 . ? ? 2 2 ?1 1 1? ? 故 a2+b2+c2+?a+b+ c ?2≥3(abc) 3 +9(abc) 3 . ? ?
2 3

又 3(abc) +9(abc) ≥2 27=6 3,③ 所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立. 当且仅当 3(abc) =9(abc) 时,③式等号成立. 即当且仅当 a=b=c=3 时,原式等号成立.
1 4 2 3 ? 2 3

2 3

?

2 3

方法二:因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得 a2+ b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以 a2+b2+c2≥ab+bc +ac.① 1 1 1 1 1 1 同理a2+b2+c2≥ab+ac+bc② ?1 1 1? 1 1 2 2 2 2 ? ? 故 a + b + c + a+b+ c ≥ab + bc + ac + 3· ab + 3· bc + ? ? 1 3· ac≥6 3.③ 所以原不等式成立.

当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立. 当且仅当 a=b=c, (ab)2=(bc)2=(ac)2=3 时, ③式等号成 立. 即当且仅当 a=b=c=3 时,原式等号成立. 点评:综合法是由因导果,要求学生要有较强的观察与变 形的能力.分析法是执果索因,利于思考,但是表述格式要求 严谨,二者各有所短,相互补充.凡是能用分析法证明的不等 式,一定可以用综合法证明.
1 4

变式探究 2 (2013· 江苏模拟)已知 a>0, b>0, c>0 且 ab+bc+ca=1, 求证:a+b+c≥ 3.

证明: 要证 a+b+c≥ 3, 由于 a, b, c>0 只需证(a+b+c)2≥3, 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,而 ab+bc+ca=1, 故只需证 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca), 即证 a2+b2+c2≥ab+bc+ca① a2+b2 b2+c2 c2+a2 又 ab+bc+ca≤ 2 + 2 + 2 (当且仅当 a=b=c 时等号成立), ∴①式显然成立,即原不等式成立.

题型三 用反证法证明不等式 例 3 已知 f(x)=x2+px+q, (1)求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2; 1 (2)求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2.

证明: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q) =2. 1 (2) 假设|f(1)| 、 |f(2)| 、|f(3)| 都小于 2 ,则 |f(1)| +2|f(2)| + |f(3)| <2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)| ≥|f(1) + f(3) - 2f(2)| = |(1 + p + q) + (9 + 3p + q) - (8 + 4p + 2q)|=2,出现矛盾. 1 ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2.

点评: ①直接由条件推出结论很困难时,常用反证法. ②从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论时,常从反 面进行证明.

变式探究 3 若函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,当 f(a) +f(b)≥f(-a)+f(-b)时,试证明 a+b≥0.

证明: 假设 a+b<0,则 a<-b,b<-a, 又 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), 两 式 相 加 得 f(a) + f(b) < f( - a) + f( - b) 与 已 知 f(a) + f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,故 a+b≥0.

归纳总结 ?方法与技巧 用反证法证明不等式要把握三点: (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要 逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理, 且必须根据这一条件 进行论证, 否则, 仅否定结论, 不从结论的反面出发进行论证, 就不是反证法. (3)推导出来的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的 与假设矛盾,有的与定理、公理相违背等等,但推导出的矛盾 必须是明显的.

?失误与防范 (1)用分析法证明不等式一定要注意格式规范. (2)运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当.

新题速递 1.(2013· 锦州模拟) 2 设 a∈R 且 a≠- 2,试比较 和 2-a 的大小. 2+a

2 a2 解析: -( 2-a)= , 2+a 2+a a2 2 当 a>- 2且 a≠0 时,∵ >0,∴ > 2-a. 2+a 2+a a2 2 当 a<- 2时,∵ <0,∴ < 2-a. 2+a 2+a 2 当 a=0 时, = 2-a. 2+a

2 综上有:当 a>- 2且 a≠0 时, > 2-a, 2+a 2 当 a<- 2时, < 2-a, 2+a 2 当 a=0 时, = 2-a. 2+a

2.(2013· 鸡西模拟) a+b 2 - ab 3 已知 a, b, c 是不全相等的正数, 求证: ≤2, a+b+c 3 3 - abc 并指出等号成立的条件.

a+b+c 3 证明:∵a,b,c 是不全相等的正数,∴ 3 > abc, ?a+b+c ? ?a+b ? 3 ? ? ? ? 故不等式等价于 2? ≤ 3 , - ab - abc ? ? ? 3 ? 2 ? ? ? 3 即证 c+2 ab≥3 abc,① 又 c,a,b>0, ∴c+2 ab=c+ ab+ ab≥3 cab, ∴①式成立,原不等式得证. 取等条件是 c= ab,即 c2=ab 且 a,b,c 为互不相等的 正数. 3

1 3.(2012· 江苏卷)已知实数 x,y 满足:|x+y|<3,|2x-y| 1 5 <6,求证:|y|<18 解析:∵3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 由题设知|x+y|<3,|2x-y|<6, 2 1 5 ∴3|y|<3+6=6, 5 ∴|y|<18.


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