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山东省各地市2013届高三文科数学试题分类汇编9:圆锥曲线

时间:2014-04-20


山东省各地市 2013 届高三文科数学试题分类汇编 9:圆锥曲线
一、选择题 1 . ( 【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)已知圆 x
2

? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 与抛物

线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的准线相切,则 p 的值为
2

A.1

B.2

C.

1 2
2

D.4

【答案】B 解:圆的标准方程为 ( x ? 3)

p ? y 2 ? 16 ,圆心为 (3, 0) ,半径为 4.抛物线的准线为 3 ? (? ) ? 4 . 2

所以解得 p =2 ,选 B.
2 . ( 【 解 析 】 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 3 月 教 学 质 量 检 测 考 试 ( 一 模 ) 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知圆

x 2 ? y 2 ? mx ?
(A)±2 2

1 1 ? 0 与抛物线 y ? x 2 的准线相切,则 m= 4 4
(C)

(B) 3

2

(D)± 3
2

【答案】 D

抛物线的标准方程为 x ? 4 y ,所以准线为 y ? ?1 .圆的标准方程为 ( x ?

m 2 m2 ? 1 , ) ? y2 ? 2 4

所以圆心为 (?

m m2 ? 1 m2 ? 1 , 0) ,半径为 ? 1 ,解的 m ? ? 3 ,选 D. .所以圆心到直线的距离为 1 即 2 2 2

3 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 文 科 数 学 ) 如 图 ,F1,F2 是 双 曲 线

C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0,b ? 0 ) 的 左 、 右 焦 点 , 过 F2 的 直 线 与 双 曲 线 C 交 于 A,B 两 点 . 若 a 2 b2

|AB|:|BF1|:|AF1|=3:4:5.则双曲线的离心率为

A. 13

C .3 B.2

D. 5

【答案】A【解析】因为|AB|:|BF1|:|AF1|=3:4:5,所以设

AB ? 3x, BF1 ? 4 x, AF1 ? 5 x ,

所以三角形

ABF1 为直角三角形 . 因为 BF2 ? BF1 ? 2a , 所以 BF2 ? BF1 ? 2a ? 4 x ? 2a , 所以 AF2 ? x ? 2a . 又
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AF1 ? AF2 ? 2a ,即 5 x ? x ? 2a ? 2a ,解得 x ? a .又 BF2 ? BF1 ? 4c 2 ,即 (4 x ? 2a) 2 ? (4 x) 2 ? 4c 2 ,
所以 (4a ? 2a ) 2 ? (4a ) 2 ? 4c 2 ,即 52a 2 ? 4c 2 ,所以

2

2

c2 ? 13 ,即 e ? 13 ,选 A. a2
2

4 . ( 【解析】 山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学 (文) 试题) 若曲线 y ? x ? 1与

xy ? x ? y ? 1 ?m x 2 ? 3x ? 2

有唯一的公共点,则实数 m 的取值集合中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C

xy ? x ? y ? 1 y ( x ? 1) ? ( x ? 1) ( x ? 1)( y ? 1) y ? 1 ? ? ? ? m ,即 y ? mx ? 1 ? 2m ,它表示经过 x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) x ? 2

2 点 (2,1) , 斜 率 为 m 的 直 线 ( 不 含 x ? 1 的 点 ). 代 入 曲 线 y ? x ? 1 , 得 x 2 ? mx ? 2m ? 0 , 由

? ? m 2 ? 8m ? 0 得 , m ? 0 或 m ? 8 . 当 x ? 1 时 , 设直线 x ? 1 与 y ? x 2 ? 1 的交点为 B, 此时 y ? 2 , 即 B(1, 2) 此时直线经过点 B(1, 2) 时也有一个交点,此时 m ?

2 ?1 ? ?1 ,所以满足条件的 m ? ?1 或 m ? 0 或 1? 2

m ? 8 ,有 3 个,选 C.
5 . ( 【解析】山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题)已知与向量 v=(1,0)平行的直线 l 与

双曲线

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点,则 A B 的最小值为 4
B. 5 C.4 D. 2 5

A.2

【答案】C【解析】由题意可设直线

l 的方程为 y ?b ,代入

x2 ? y 2 ? 1 得 x 2 ? 4(1 ? b 2 ) , 所 以 4

x1 ? 4(1 ? b 2 ) ? 2 1 ? b 2 , x2 ? ?2 1 ? b 2 ,所以 A B ? x1 ? x2 ? 4 1 ? b 2 ,所以 A B ? 4 1 ? b 2 ? 4 ,
即当 b ? 0 时, A B 有最小值 4,选 C.
6 . ( 【解析】山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学)若抛物线 y
2

? 2 px ( p ? 0) 的焦点在直线

x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则该抛物线的准线方程为
A. x ? ?2 B. x ? 4 C. x ? ?8 D. y ? ?4
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【答案】 A 抛物线的焦点坐标为 (

p p , 0) ,代入直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 得 ? 2 ? 0 ,即 p ? 4 ,所以抛物线的准线 2 2

方程为 x ? ?

p 4 ? ? ? ?2 ,选 A. 2 2

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 2) , 7 . ( 【解析】山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文科数学)已知椭圆: 4 b2
左右焦点分别为 F1,F2 ,,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若 | BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5,则 b 的值是 A.1 B. 2 C.

3 2

D. 3

【答案】D 【解析】由题意知 a ? 2 ,所以 |BF2

| ? | AF2 | ? AB ? 4a ? 8 因为 |BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5,
3 2 3 2

所以 AB 的最小值为 3,当且仅当 AB ? x 轴时,取得最小值,此时 A(?c, ), B ( ?c, ? ) ,代入椭圆方程得

c2 9 4 ? b2 9 b2 9 b2 9 2 2 2 2 , 又 , 所以 , 即 , 所以 c ? a ? b ? 4 ? b ? 2 ?1 ? 2 ?1 1? ? 2 ? 1 ? 2 , 解得 4 4b 4 4b 4 4b 4 4b
b 2 ? 3 ,所以 b ? 3 ,选 D.
8 . ( 【解析】山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题)已知点 P 是抛物线 x =4y 上的动点,
2

点 P 在直线 y+1=0 上的射影是点 M,点 A 的坐标(4,2),则 P A ? P M 的最小值是 A. 17 B. 13 C.3 D.2

【答案】A

【解析】抛物线的焦点坐标 F (1, 0) , 准线方程为 y ? ?1 . 根据抛物线的定义可知 PM ? PF , 所以

P A ? P M ? P A ? P F ? AF ,即当 A,P,F 三点共线时,所以最小值为 42 ? (2 ? 1) 2 ? 17 ,选 A.
9 . ( 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线离心率等于 a 2 b2

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A.

3 5 6 B. 5 2

C.

3 2

D.

5 5
2

【答案】A【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3)

? y 2 ? 4 ,所以圆心坐标为 C (3, 0) ,半径 r ? 2 ,双曲线的渐近

线为 y ? ?

b b x , 不 妨 取 y ? x , 即 bx ? ay ? 0 , 因 为 渐 近 线 与 圆 相 切 , 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 a a

d?

3b a 2 ? b2

? 2 , 即 9b 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) , 所 以 5b 2 ? 4a 2 , b 2 ?

4 2 9 a ? c2 ? a2 , 即 a2 ? c2 , 所 以 5 5

9 3 5 ,选 A. e2 ? , e ? 5 5
10. ( 【解析】山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文(a) )已知双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的 a2 b2

一条渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3 x 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)2 3

【答案】 B 【解析】抛物线的焦点为 ( 3, 0) , 即 c ?

3 . 双曲线的渐近线方程为 y ?

b b x ,由 ? 2 ,即 a a

b ? 2a ,所以 b 2 ? 2a 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 c 2 ? 3a 2 ,即 e 2 ? 3, e ? 3 ,即离心率为 3 ,选 B.
11. ( 【解析】山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文科数学)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 16 9

A.10

B.5
2

C. 7

D. 2 7

【答案】D【解析】由题意知 a

? 16, b 2 ? 9 ,所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 7 ,所以 c ? 7 ,即焦距为 2c ? 2 7 ,选

D.
12. ( 【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)已知抛物线 y
2

? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与
2 AF ,

x2 y 2 双曲 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准 4 5
则 A 点的横坐标为 (A) 2 2 (B)3 (C) 2 3

线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且 AK ?

(D)4

【答案】 B 抛物线的焦点为 (

p p p , 0) , 准线为 x ? ? . 双曲线的右焦点为 (3, 0) , 所以 ? 3 , 即 p ? 6 , 即 2 2 2

y 2 ? 6 x . 过 F 做准线的垂线, 垂足为 M, 则 AK ? 2 AF ? 2 AM , 即 KM ? AM , 设 A( x, y ) , 则
y ? x ? 3 代入 y 2 ? 6 x ,解得 x ? 3 .选 B.
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13 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 1 月 份 期 末 测 试 ( 数 学 文 ) 解 析 ) 已 知 双 曲 线 的 方 程 为

x2 y 2 5 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 2 ? ,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 c (其中 c 为双曲线的半焦距长), 2 a b 3
则该双曲线的离心率为 A.

3 2

B.

5 2

C.

3 5 2

D.

5 2 b x ,即 bx ? ay ? 0 .则焦点到准线的 a

【答案】 A 解:不妨取双曲线的右焦点为 (c, 0) ,双曲线的渐近线为 y ?

距离为 选 A.

bc b ?a
2 2

?

5 5 5 4 9 3 c , b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 c 2 ? a 2 ,即 e 2 ? ,所以离心率 e ? , c ,即 b ? 3 9 9 4 2 3

14. ( 【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)已知两点 M(-5,0)和 N(5,0),若直

线上存在点 P, 使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“R 型直线”.给出下列直线:①y=x+l:②y=2;③y= ④y= 2x +1,其中为“R 型直线“的是 A.①② B.①③ C.①④

4 x; 3

D.③④

【答案】 【 解 析 】 由 题 意 可 知 , 点 P 的 轨 迹 是 在 双 曲 线 的 右 支 上 , 其 中 2a ? 6, a ? 3, c ? 5 , 所 以

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 16 .所以双曲线方程为
所以为“R 型直线“的是①②,选 A.

x2 y 2 ? ? 1, ( x ? 0) .显然当直线 y ? x ? 1 与 y ? 2 和双曲线有交点, 9 16

15 . ( 【 解 析 】 山 东 省 枣 庄 市 2013 届 高 三 3 月 模 拟 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 设 F1,F2 分 别 是 双 曲 线

??? ? ???? ? ???? ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ,O 为坐标 2 a b
原点,且 | PF1 |? A. 3 ? 1 B.

????

???? ? 3 | PF2 | ,则该双曲线的离心率为
3 ?1 2
C. 6 ?

2 D.

6? 2 2

【答案】A 由

??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 2 ???? ?2 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 得 (OP ? OF2 ) ? (OP ? OF2 ) ? 0 , 即 OP ? OF2 ? 0 , 所 以

??? ? ???? ? OP ? OF2 ? c , 所 以 △PF1F2 中 , 边 F1F2 上 的 中 线 等 于 |F1F2| 的 一 半 , 可 得 PF1 ? PF2 , 所 以

???? ???? ? PF12 ? PF2 2 ? 4c 2 , 又 | PF1 |? 3 | PF2 | , 解得 PF1 ? 3c, PF2 ? c , 又 PF1 ? PF2 ? 3c ? c ? 2a , 所以
c 2 ? ? 3 ? 1 ,所以双曲线的离心率为为 3 ? 1 ,选 A. a 3 ?1
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16. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)已知三个数 2,m,

8 构成一个等比数列,则圆锥曲

线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 m 2
2 2
(B) 3 (C)

(A)

2 或 3 2

(D)

6 2 或 2 2

【答案】 【答案】C 因为三个数 2,m,

8 构成一个等比数列,所以 m 2 ? 2 ? 8 ? 16 ,即 m ? ?4 .若 m ? 4 ,则

圆锥曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,此时为椭圆 ,其中 a 2 ? 4, b 2 ? 2, c 2 ? 4 ? 2 ? 2 ,所以 a ? 2, c ? 3 ,离心率 4 2

为 e?

y 2 x2 c 3 ? ?1 , 此 时 为 双 曲 线 , 其 中 . 若 m ? ?4 , 则 圆 锥 曲 线 方 程 为 ? 2 4 a 2
c 6 ? ? 3 .所以选 C. a 2

a 2 ? 2, b 2 ? 4, c 2 ? 4 ? 2 ? 6 ,所以 a ? 2, c ? 6 ,离心率为 e ?

17. ( 【解析】 山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学) 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? o) 的焦点为(5,0), a2 9

则该双曲线的离心率等于( ) A.

3 2

B.

4 3

C.

5 4

D.

5 3
2 2

【答案】C 因为双曲线的焦点为(5,0),所以 c ? 5 ,又 a ? 9 ? c ? 25 ,所以 a

2

? 16, a ? 4 ,所以离心率为

e?

c 5 ? ,选 C. a 4

18. ( 【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心且与 6 3

双曲线的线相切的圆的方程是 A. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3
3

B. x ? 3
2

?

?

2

? y2 ? 3

C. ? x ? 3? ? y 2 ?

D. ? x ? 3? ? y 2 ? 3

【答案】D【解析】双曲线的右焦点为 (3, 0) ,双曲线的渐近线为 y ? ?

2 2 x ,不妨取渐近线 y ? x ,即 2 2

2 x ? 2 y ? 0 , 所以圆心到直线的距离等于圆的半径 ,即 r ?
标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 3 ,选 D.
2 2

3 2 ( 2) 2 ? 22

?

3 2 3 ? ? 3 , 所以圆的 6 3

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19. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文)已知抛物线 y =2px (p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其

2

焦点 F 的距离为 5,则以 M 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程为 2 2 2 2 A.(x-1) +(y-4) =1 B.(x-1) +(y+4) =1 2 2 2 2 C.(x-l) +(y-4) =16 D.(x-1) +(y+4) =16

【答案】抛物线的焦点为 F (
2

p p p , 0) ,准线方程为 x ? ? ,所以 MF ? 1 ? (? ) ? 5 ,解得 p ? 8 ,即抛物线 2 2 2
2 2

为 y ? 16 x ,又 m 2 ? 16 ,所以 m ? 4 ,即 M (1, 4) ,所以半径为 1,所以圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? 1 , 选 A.

20. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学(文)试题)抛物线

y 2 ? 4 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 a2 b2
A.

5 ?1 2

B. 2 ? 1

C. 3 ? 1

D.

2 2 ?1 2

【答案】 B 解 : 抛物线的焦点为 F ( p, 0) , 即 p ? c . 当 x ? c 时 ,

y 2 ? 4 pc ? 4c 2 , 所以 y ? ?2c , 不妨取

y ? 2c ,即 A(c, 2c) .又因为点 A 在双曲线上,所以

c 2 4c 2 ? ? 1 ,即 2ac ? b 2 ,所以 2ac ? b 2 ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 b2

e 2 ? 2e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 1 ? 2 ,所以双曲线的离心率为 2 ? 1 ,选 B.
21. ( 【解析】 山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学) 已知抛物线 y
2

? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,

点 P 为抛物线上一点,且在第一象限, PA ? l ,垂足为 A , PF ? 4 ,则直线 AF 的倾斜角等于 A.

7? 12

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

【答案】B

抛物线的焦点坐标为 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 .由题意 PF ? PA ? 4 ,则 xP ? (?1) ? 4 ,即

xP ? 3 , 所 以 yP 2 ? 4 ? 3 , 即 yP ? ?2 3 , 不 妨 取 P(?1, 2 3) , 则 设 直 线 AF 的 倾 斜 角 等 于 ? , 则
tan ? ? 2 3 2? ? ? 3 ,所以 ? ? ?1 ? 1 3 ,选 B.
2

22. ( 【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆

x2 y 2 ? =1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
A.-2 B.2 C.-4 D.4

【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为 (

p p , 0) ,椭圆的右焦点为 (2, 0) ,所以由 ? 2 得 p ? 4 ,选 D. 2 2
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23. ( 【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的实轴长为 2,焦 a 2 b2

距为 4,则该双曲线的渐近线方程是 A. y ? ?3 x B. y ? ?

3 x 3

C. y ? ? 3 x

D. y ? ?2 x

【答案】C 由题意知 2a ? 2, 2c ? 4 ,所以 a ? 1, c ? 2 ,所以 b ?

c 2 ? a 2 ? 3 .又双曲线的渐近线方程是

y??

b x ,即 y ? ? 3 x ,选 C. a

24. ( 【解析】山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)已知椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线的焦点 4 3

是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率 A. 2 B.

3

C. 2

D. 3

【 答 案 】 C 解 : 椭 圆 的 焦 点 为 (1, 0) , 顶 点 为 (2, 0) , 即 双 曲 线中 a ? 1, c ? 2 , 所 以 双 曲线 的 离 心率为

e?

c 2 ? ? 2 ,选 C. a 1
2

25. ( 【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文) )过点 P(0,2)的双曲线 C 的一个焦点

与抛物线 x = - 16 y 的焦点相同,则双曲线 C 的标准方程是

(

)

x2 y 2 A. =1 12 4

x2 y 2 B. =1 20 4

y 2 x2 C. =1 4 12

y 2 x2 D. =1 4 20

【答案】C 解:抛物线的焦点为 (0, ?4) ,所以双曲线的焦点在 y 轴上,且 c ? 4 ,又双曲线过点 P (0, 2) ,所以

P 为双曲线的一个顶点, 所以 a ? 2 , b 2 ? c 2 ? a 2 ? 16 ? 4 ? 12 ,所以双曲线的标准方程为
选 C.
二、填空题

y 2 x2 = 1, 4 12

x2 y 2 26. ( 【解析】 山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试 (一模) 数学 (文) 试题) 已知双曲线 ? ?1 9 a
的右焦点为( 13 ,0),则该双曲线的渐近线方程为_______·

【答案】

2 y?? x 3

双曲线的右焦点为 ( 13, 0) ,即 c ? 13 ,所以 9 ? a ? c ? 13 ,所以 a ? 4 .即双曲
2

线为

2 x2 y 2 ? ? 1 ,所以双曲线的渐近线为 y ? ? x . 3 9 4

27. ( 【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)给出以下命题:
第 8 页 共 43 页

① 双曲线

y2 ? x 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ; 2
1 ? 2 ”是真命题; sin x

② 命题 p : “ ?x ? R + , sin x ?

? ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位; ③ 已知线性回归方程为 y
④ 已知

2 6 5 3 7 1 10 ?2 ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2 ,依照以上各式的 2?4 6?4 5? 4 3? 4 7 ? 4 1? 4 10 ? 4 ?2 ? 4

规律,得到一般性的等式为

n 8?n ? ? 2 ,( n ? 4 ) n ? 4 (8 ? n) ? 4

则正确命题的序号为_________________(写出所有正确命题的序号). 算步骤.
【 答 案 】 ①③⑤

3? 1 时 , sin x ? ? ?2 , 所 以 ② 错 误 .③ 正 确 .④ 因 为 2 sin x 1 ? P (? ? 1) ? P (? ? ?1) ? 0.2 0.6 ? ? 0.3 , 所以④错 P(? ? 1) ? P (? ? ?1) ? 0.2 , 所以 P(?1 ? ? ? 0) ? 2 2
① 正 确 .② 当 x ?

误.⑤正确.
28 . ( 【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学) 已知抛物线

x 2 ? 2 py ( p ? 0) 与圆

x 2 ? y 2 ? 1 有公共的切线 y ? x ? b ,则 p ? _____.
【答案】 2

2 圆心到直线的距离 d ?

b 2

? 1 , 所以 b ? 2 . 抛物线的方程为 y ?

x2 , 函数的导数为 2p

y' ?

2x 1 1 p p p ? x ,即 y ' ? x ? 1 ,所以 x ? p ,代入得 y ? ,代入切线 y ? x ? b 得 ? b ? p ,即 b ? ? , 2p p p 2 2 2
p ? 2 ,所以 p ? 2 2 ,即 p ? 2 2 . 2

所以 ?

x2 y2 ? ? 1 渐近线上的一个动点 P 29. ( 【解析】山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学)若双曲线 9 16
总在平面区域 ( x ? m) ? y ? 16 内,则实数 m 的取值范围是___________.
2 2

【答案】 ( ??,?5] ? [5,??) 双曲线的渐近线为 y ? ? ,
2 2

4 x ,即 4 x ? 3 y ? 0 要使渐近线上的一个动点 P 总在 3

平面区域 ( x ? m) ? y ? 16 内,则有圆心 (m, 0) 到渐近线的距离 d ? 4 ,即 d ? 得 m ? 5 ,即 m ? 5 或 m ? ?5 ,所以则实数 m 的取值范围是 (??,?5] ? [5,??) .

4m 42 ? 32

?

4m 5

? 4 ,解

第 9 页 共 43 页

30. ( 【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)若双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的一个焦点与抛物线 m

y 2 ? 8 x 的焦点重合,则 m 的值为__________.
【答案】3【解析】抛物线

y 2 ? 8 x 的焦点为 (2, 0) ,双曲线的一个焦点如抛物线的焦点重合,所以 c ? 2 .又

a 2 ? 1, b 2 ? m ,所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ,即 4 ? 1 ? m, m ? 3 .
31. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文)已知双曲线

x2 y 2 =1 的一个焦点是(0,2),椭圆 ? m 3m

y 2 x2 ? ? 1 的焦距等于 4,则 n=________ n m
【答案】5

因 为 双 曲 线 的 焦 点 为 (0,2), 所 以 焦 点 在 y 轴 , 所 以 双 曲 线 的 方 程 为

y2 x2 ? ?1 , 即 ?3m ?m

a 2 ? ?3m, b 2 ? ?m, c 2 ? ?3m ? m ? ?4m ? 4 ,解得 m ? ?1 ,所以椭圆方程为
焦距为 2c ? 4 ,即 c ? 2 ,所以 c 2 ? n ? 1 ? 4 ,解得 n ? 5 .

y2 ? x ? 1 ,且 n ? 0 ,椭圆的 n

32. ( 【解析】山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(文)试题)已知点 P 是抛物线 y

2

? 4x 上

的动点 , 点 P 在 y 轴上的射影是 M, 点 A 的坐标是 (4,a), 则当 | a |? 4 时 , | PA | ? | PM | 的最小值是 ____________.
【答案】

a 2 ? 9 ? 1 【解析】当 x ? 4 时, y 2 ? 4 ? 4 ? 16 ,所以 y ? ?4 ,即 y ? 4 ,因为 | a |? 4 ,所以点 A

在 抛 物 线 的 外 侧 , 延 长 PM 交 直 线 x ? ?1 ,

由抛物线的定义可知

PN ? PM ? 1 ? PF ,当,三点 A, P, F 共线时 , | PA | ? | PF | 最小, 此时为 | PA | ? | PF |? AF ,又焦点
坐 标 为 F (1, 0) , 所 以 AF ?

(4 ? 1)2 ? a 2 ? 9 ? a 2 , 即 PM ? 1 ? PA 的 最 小 值 为 a 2 ? 9 , 所 以
第 10 页 共 43 页

PM ? PA 的最小值为 a 2 ? 9 ? 1 .
33. ( 【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一 a 2 b2

条渐近线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则曲线的离心率等于______________.
【答案】

5

双曲线的渐近线为 y ? ?

b 1 b x . 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率为 y ? ? . 因为 y ? x 与直线 a 2 a

b 1 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,所以 ? (? ) ? ?1 ,即 b ? 2a .所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 5a 2 ,即 e 2 ? 5, e ? 5 . a 2
34. ( 【解析】山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(文)试题)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 m n

为 2,且一个焦点与抛物线 x ? 8 y 的焦点相同,则此双曲线的方程为______.
2

【答案】y ?
2

x2 ?1 3

抛物线的焦点坐标为 (0, 2) ,所以双曲线的焦点在 y 轴上且 c ? 2 ,所以双曲线的方

程为

c 2 y 2 x2 ? 2 ,解得 n ?1 , 所以 ? ? 1 , 即 a 2 ? n ? 0, b 2 ? ?m ? 0 , 所 以 a ? n , 又 e ? ? a n ?m n x2 ? 1. 3
2

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,即 ?m ? 3, m ? ?3 ,所以双曲线的方程为 y 2 ?

35. ( 【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学)过抛物线 x =2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角

300 的直线,与抛物线交于 A、B 两点(点 A 在 y 轴左侧),则

AF BF

的值是___________.

1 p p F (0, ) y?? 2 ,准线方程为 2 .设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线方程为 【答案】 3 【解析】抛物线的焦点为 p p 3p x ? 3( y ? ) y1 ? , y2 ? 2 2 2 ,代入抛物线方程消去 x 得 12 y ? 20 py ? 3 p ? 0 ,解得 6 2 .根据抛物线的

AF 1 p p p 2p p 3p p ? AF ? y1 ? ? ? ? , BF ? y2 ? ? ? ? 2p BF 3 2 6 2 3 2 2 2 定义可知 ,所以 .
36. ( 【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)已知抛物线 y
2

? ?8 x 的准

线过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,则双曲线的离心率为______. m 3
2

【答案】2 抛物线的焦点坐标为 ( ?2, 0) ,准线方程为 x ? 2 .则 c ? 2 .所以 c ? m ? 3 ? 4 ,解得 m ? 1 ,所以
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双曲线的离心率为 e ?

c ? 2. a

37. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

的左、右焦点分别为 F1,F2, 线段 F1F2 被抛物线 y ? 2bx 的焦点分成 5:3 两段 , 则此双曲线的离心率为
2

______.[学、科、网]

2 3 【答案】 3

b ? ( ?c ) 5 b 2 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ( , 0) , 由 题 意 知 ? , c ? 2b , 所 以 b 3 2 c? 2

c 2 ? 4b 2 ? 4(c 2 ? a 2 ) ,即 4a 2 ? 3c 2 ,所以 2a ? 3c ,所以 e ?

c 2 2 3 . ? ? a 3 3

x2 y 2 38. ( 【解析】山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学)已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a>0, b>0) 的左顶 a b
点与抛物线 y ? 2 px( p>0) 的焦点的距离为 4, 且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为
2

( ?2, ?1 ),则双曲线的焦距为____________.
【答案】 2

5

双曲线的左顶点为 (? a, 0) , 抛物线的焦点为 (

p p , 0) , 准线方程为 x ? ? . 由题意知 2 2

p p ? (? a ) ? 4 , 即 ? a ? 4 . 又 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 与 抛 物 线 准 线 的 交 点 坐 标 为 (?2, ?1) , 所 以 2 2 p p b x ? ? ? ?2 , 解 得 p ? 4 , 代 入 ? a ? 4 得 a ? 2 . 且 点 (?2, ?1) 也 在 渐 近 线 y ? x 上 , 即 2 2 a b ?1 ? ? (?2) ,解得 b ? 1 ,所以 c ? a 2 ? b 2 ? 4 ? 1 ? 5 ,所以双曲线的焦距为 2c ? 2 5 . 2
三、解答题 39 . ( 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 文 科 数 学 ) 设 F1,F2 分 别 是 椭

圆:

x2 y2 ? 2 (a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , 过 F1 倾 斜 角 为 45? 的 直 线 l 与 该 椭 圆 相 交 于 P, Q 两 点 , 且 2 a b
4 a. 3

| PQ |?

(Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设点 M (0, ? 1) 满足 | MP |?| MQ | ,求该椭圆的方程.

【答案】解:(Ⅰ)直线 PQ 斜率为 1,设直线 l 的方程为 y

? x ? c ,其中 c ? a 2 ? b 2

第 12 页 共 43 页

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,则 P, Q 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2a 2 c ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x ? x ? 化简得 , 则 , ( a ? b ) x ? 2 a cx ? a ( c ? b ) ? 0 ?x y 1 2 2 2 a ? b ? ? 1 ? 2 b2 ?a

a 2c 2 ? b 2 x1 x2 ? 2 . a ? b2
因为,所以 得

4 | PQ |? 2 | x2 ? x1 |? 2[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? a 3

4 4ab 2 2 2 a? 2 ,故 a ? 2b , 2 3 a ?b
c a 2 ? b2 2 ? ? a a 2

所以椭圆的离心率 e ?

(Ⅱ)设 PQ 的中点为 N ( x0 , y0 ) ,由(1)知 x0 ? 由 | MP |?| MQ | 得 k MN ? ?1

x1 ? x2 ? a 2c 2 c ? 2 ? ? c , y ? x ? c ? . 0 0 2 3 3 a ? b2

y0 ? 1 x2 y2 即 ?1 ? ?1 ,得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2 , b ? 3 .故椭圆的方程为 ? 18 9 x0
40. ( 【解析】山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

点分别为 F1 (?c , 0) , F2 (c , 0) .已知点 M ( 3, 且点 M 到两焦点距离之和为 4. (1)求椭圆的方程;

2 ) 在椭圆上, 2

(2)设与 MO ( O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于 A, B ( A, B 不重合),求 OA ? OB 的取值范围. y

A O B

M x

(第 21 题)
【答案】解:(1)∵2a=4,

∴a=2

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Y

A O B

M X

又 M ( 3,

2 3 1 ) 在椭圆上,∴ ? 2 ? 1 2 4 2b

解得: b 2 ? 2 ,

∴所求椭圆方程

x2 y2 ? ?1 4 2

(2) k MO ?

6 ,∴ k AB ? ? 6 . 6

设直线 AB 的方程: y ? ? 6 x ? m ,

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 联立方程组 ? 4 消去 y 得: 13 x ? 4 6mx ? 2m ? 4 ? 0 2 ? y ? ? 6x ? m ?
? ? (4 6m) 2 ? 4 ? 13(2m 2 ? 4) ? 8(12m 2 ? 13m 2 ? 26) ? 0 ,
∴ m 2 ? 26 .

x1 ? x2 ?

2m 2 ? 4 4 6m , x1 x2 ? 13 13

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,

3m 2 ? 28 则 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 7 x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? m ? 13
2

∴ OA ? OB 的取值范围 [?

28 50 , ) 13 13

41. ( 【解析】山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文(a) )已知椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的左 a2 b2

焦点 F 为圆 x ? y ? 2 x ? 0 的圆心,且椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 2 ? 1 .
2 2

(I)求椭圆方程;
第 14 页 共 43 页

(II)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,点 M( ?
【答案】

5 ,0 ),证明: MA ? MB 为定值. 4

42. ( 【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦 a 2 b2

距为 2 3 ,离心率为

(Ⅰ)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程;

??? ? ??? ?

2 ,其右焦点为 F ,过点 B (0, b) 作直线交椭圆于另一点 A . 2

???? 2 5 x2 y 2 1 (Ⅱ)若直线 y ? k ( x ? 2) 与椭圆 N : 2 ? 2 ? 相交于两点 G 、 H ,且 HG ? ,求 k 的取值范围. a b 3 3
【答案】解: (Ⅰ)由题意知: c ?

3,e ?

c 2 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , ? a 2

x2 y 2 ? ?1 解得: a ? 6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为: 6 3
第 15 页 共 43 页

由此可得: B (0, 3) , F ( 3, 0) 设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (? x0 , 3 ? y0 ) , BF ? ( 3, ? 3) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? AB ? BF ? ?6 ,?? 3 x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3
? 4 3 ? x0 2 y0 2 x0 ? ? x ? 0 ? ?1 ? ? ? ? 0 3 由? 6 ,或 ? 3 ?? ? ?y ? x ? 3 ? y0 ? ? 3 ?y ? 3 0 ? 0 0 ? 3 ?
即 A(0, ? 3) ,或 A(

4 3 3 , ) 3 3

①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 ,? ?ABF 外接圆是以 O 为圆心, 3 为半径的圆, 即x ? y ?3
2 2

②当 A 的坐标为 (

4 3 3 , ) 时, AF 和 BF 的斜率分别为 1 和 ?1 ,所以 ?ABF 为直角三角形,其外接圆是 3 3 2 3 2 3 1 15 , , ) ,半径为 AB ? 3 3 2 3

以线段 AB 为直径的圆,圆心坐标为 (

??ABF 外接圆的方程为 ( x ?

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3
2 2

综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x ? y ? 3 ,或 ( x ?

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3

(Ⅱ)由题意可知直线 GH 的斜率存在.设 G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2
由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 得: k 2 ?
4 2 2

1 (? ) 2

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

???? 2 5 2 5 ,即 1 ? k 2 x1 ? x2 ? ? HG ? 3 3

第 16 页 共 43 页

? (1 ? k 2 )[
?k2 ?
所以 ?

64k 4 8k 2 ? 2 20 ? 4 ? ]? (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2 9

1 1 1 ,结合( ? )得: ? k 2 ? 4 4 2

2 1 1 2 ?k?? 或 ?k? 2 2 2 2

43. ( 【解析】山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(文)试题)已知椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1 ,椭 16 4

圆 C2 以 C1 的短轴为长轴,且与 C1 有相同的离心率. (I)求椭圆 C2 的方程; (II)设直线 l 与椭圆 C2 相交于不同的两点 A、 B,已知 A 点的坐标为 ? ?2, 0 ? ,点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂直平 分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求直线 l 的方程.
【答案】

??? ? ??? ?

第 17 页 共 43 页

44. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)已知抛物线 y

2

? 4 x 的焦点为 F2,

点 F1 与 F2 关于坐标原点对称 , 直线 m 垂直于 x 轴 ( 垂足为 T), 与抛物线交于不同的两点 P 、 Q 且

???? ???? ? F1 P ? F2Q ? ?5 .
(I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程; ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F2 A ? ? F2 B ,若 ? ? ? ?2, ?1? , 求 TA ? TB 的取值范围.

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

???? ?

???? ?

??? ???

【答案】解:(Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P ( x0 , y0 ) , Q ( x0 ,? y0 )

则 F1P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 由 F1P ? F2Q ? ?5 , 得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,① 又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4 x0 ,② 联立①、②易得 x0 ? 2 (Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为
2 2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2
第 18 页 共 43 页

1 1 则 2 ? 2 ?1 a b2
a 2 ? b2 ? 1

③ ④

将④代入③,解得 b 2 ? 1 或 b 2 ? ? 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 故椭圆 C 的标准方程为 (ⅱ)方法一:

1 (舍去) 2

x2 ? y2 ? 1 2

容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

x2 将直线 l 的方程代入 ? y 2 ? 1 中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0 2
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: y1 ? y2 ? ?

2k k ?2
2

⑤ ⑥

y1 y2 ? ?

1 k ?2
2

因为 F2 A ? ? F2 B ,所以

y1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2

将⑤式平方除以⑥式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以

1 4k 2 5 1 1 1 ?0 ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 2 k ?2 2 ? 2 ?

0 ? k2 ?

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 又 y1 ? y2 ? ?

???

2 7

???

??? ???

4(k 2 ? 1) 2k x ? x ? 4 ? k ( y ? y ) ? 2 ? ? , 所以 , 1 2 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2

??? ??? 2 16(k 2 ? 1) 2 4k 2 2 2 ? 故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2

第 19 页 共 43 页

?

16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 ? 16 ? 2 ? 2 , 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2) 2
2

1 2 7 1 1 7 1 ,因为 0 ? k 2 ? 所以 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , k ?2 7 16 k ? 2 2 16 2 ??? ??? 2 7 17 所以 | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? . 4 2 7 1 169 而 t ? [ , ] ,所以 f (t ) ? [4, ]. 16 2 32
令t ? 所以 | TA ? TB |? [2, 方法二: 【D】1.)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1,

??? ???

13 2 ] 8

2 2 ) , B(1,? ), 2 2

又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

???

???

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

【D】2.)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
? 2k 1 ? 2k 2


y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?

y1 ? y2 ? k 2 ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ?
因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 将⑤式平方除以⑥式得:

? k2 1 ? 2k 2



y1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2

由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ? 故?

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1

1 ?4 7 ? ? 0 ,解得 k 2 ? 2 2 1 ? 2k 2
第 20 页 共 43 页

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 又 x1 ? x2 ? 4 ?
2

???

???

??? ???

? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2
2 2

故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?

16(1 ? k 2 ) 2 4k 2 ? (1 ? 2k 2 ) 2 (1 ? 2k 2 ) 2

?

4(1 ? 2k 2 ) 2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ? 4? ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 ) 2
1 7 ,因为 k 2 ? 2 1 ? 2k 2 ??? 2
所以 0 ?

令t ?

1 1 ? 1? ? ,即 t ? ? 0, ? , 2 1 ? 2k 8 ? 8? 5 2 17 ? 169 ? . ? ? 4, 2 ? 32 ? ?

所以 TA ? TB ? 2t 2 ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) 2 ?

???

所以 TA ? TB ? ? 2,

? 13 2 ? ? ? 8 ? ?
13 2 ] 8

综上所述: | TA ? TB |? [2,

??? ???

45. ( 【解析】 山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学) 设椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,

焦距为 2,F 为右焦点, B1 为下顶点, B2 为上顶点, S ?B1FB2 ? 1 . (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 同时满足下列三个条件:①与直线 B1 F 平行;②与椭圆交于两个不同的点 P、 Q ;③ S ?POQ ? 求直线 l 的方程.
【答案】

2 , 3

第 21 页 共 43 页

46. ( 【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心 a 2 b2

率为

3 , F1 、 F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点, ?F1 AB 的周长为 4 3 . 3

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若椭圆 C 上存在点 P,使得四边形 OAPB 为平行四边形,求此时直线 l 的方程.
【答案】

第 22 页 共 43 页

47. ( 【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)已知椭圆 C 的中心在坐标原点焦点

在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1、F2,且 F1 F2 ? 2, 点P ?1,

? 3? ? 在椭圆 C 上. ? 2?

第 23 页 共 43 页

(I)求椭圆 C 的方程; (II)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ?AF2 B 的面积为
【答案】

12 2 ,求直线 l 的方程. 7

第 24 页 共 43 页

48. ( 【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)已知椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的 a2 3

一个焦点为 F(-1,0),左右顶点分别为 A,B.经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (1)求椭圆方程; o (2)当直线 l 的倾斜角为 45 时,求线段 CD 的长; (3)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|s1-S2|的最大值.
【答案】

第 25 页 共 43 页

49. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)已知圆的方程为 x

2

? y 2 ? 4 ,过点 M (2, 4) 作圆

的两条切线,切点分别为 A1 、 A2 ,直线 A1 A2 恰好经过椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点. a 2 b2

(Ⅱ)设直线 x ? ?1 与椭圆相交于 A、B 两点, P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点,直线 AP 、 BP 分别交定 直线 l : x ? ?4 于两点 Q 、 R ,求证 OQ ? OR 为定值.

???? ??? ?

R
第 26 页 共 43 页

y

A
P

x

【答案】解:(Ⅰ) 观察知, x ? 2 是圆的一条切线,切点为 A1 (2, 0) ,

设 O 为圆心,根据圆的切线性质, MO ? A1 A2 , 所以 k A1 A2 ? ?

1 k MO

??

1 , 2
1 ( x ? 2) 2

所以直线 A1 A2 的方程为 y ? ?

直线 A1 A2 与 y 轴相交于 (0,1) ,依题意 a ? 2, b ? 1 , 所求椭圆的方程为 (Ⅱ)椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 4

x2 ? y 2 ? 1 ,设 P ( x 0 , y 0 ), A(?1, t ), B (?1, ?t ), 4

2 2 则有 x0 ? 4 y0 ? 4 ? 0 , m 2 ? 4n 2 ? 4 ? 0

在直线 AP 的方程 y ? t ?

t ? y0 ( x ? 1) 中,令 x ? ?4 ,整理得 ?1 ? x0


yQ ?

(4 ? x0 )t ? 3 y0 . (1 ? x0 ) ?3 y0 ? (4 ? x0 )t . (1 ? x0 )

同理, yR ?



2 ① ? ②,并将 y0 ? 1?

9 y 2 ? (4 ? x0 ) 2 t 2 1 2 2 3 x0 , t ? 代入得 y Q ? y R ? 0 (1 ? x0 ) 2 4 4

9(1 ?
=

1 2 3 x0 ) ? (4 ? x0 ) 2 ? 2 4 4 = ?3(1 ? x0 ) = ?3 (1 ? x0 ) 2 (1 ? x0 ) 2

而 OQ ? OR ? ?4, yQ ? ? ?4, yR ? ? 16 ? yQ ? yR = 13 为定值

???? ??? ?

?

?

50 . ( 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端到右焦点的距离为 3 . 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的方程: (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为
【答案】
第 27 页 共 43 页

3 ,求△AOB 面积的最大值. 2

51. ( 【解析】山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学(文)试题)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的离心率 e ?

3 ,短轴长为 2. 2

(1)求椭圆 C 的方程 o (2)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 为椭圆 C 上的不同两点,已知向量 m ? (

x1 y1 x y , ), n ? ( 2 , 2 ) ,且 m ? n ? 0. 已知 b a b a

O 为坐标原点,试问△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由,
【答案】
第 28 页 共 43 页

52. ( 【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),

与 x 轴正半轴相交于两点 M,N(点 M 必在点 N 的右侧),且 MN ? 3 已知椭圆 D: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 , a b
第 29 页 共 43 页

x2

y2

焦距等于 2 ON ,且过点 ( 2,

6 ) 2

( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 若过点 M 斜率不为零的直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点,求证:直线 NA 与直线 NB 的倾角互补.

【答案】解:(Ⅰ)设圆的半径为 r ,由题意,圆心为 ( r, 2) ,因为 | MN |? 3 ,

3 25 5 所以 r 2 ? ( ) 2 ? 22 ? , r ? , 2 4 2 5 25 故圆 C 的方程是 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ① 2 4 在①中,令 y ? 0 解得 x ? 1 或 x ? 4 ,所以 N (1,0), M (4,0).

? 2c ? 2 ? 2 由? c 1 得 c ? 1, a ? 2 ,故 b ? 3 e ? ? ? a 2 ?

x2 y2 ? ?1 4 3 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4).
所以椭圆 D 的方程为
? x2 y2 ?1 ? ? * 由? 4 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ○ 3 ? y ? k ( x ? 4) ?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ? 因为 k AN
?k? ?
?

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 y y k ( x1 ? 4) k ( x2 ? 4) ? k BN ? 1 ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

( x1 ? 4)( x2 ? 1) ? ( x2 ? 4)( x1 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

k ? [2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8] ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
k 2(64k 2 ? 12) 160k 2 ?[ ? ? 8] ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

=0. 所以 k AN ? ?k BN ,
1 * , ? ? 0 ,不合题意. 当 x1 ? 1 或 x2 ? 1 时, k ? ? ,此时,对方程○ 2

所以直线 AN 与直线 BN 的倾斜角互补
53. ( 【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)
第 30 页 共 43 页

椭圆 E:

x2 a
2

?

y2 10 2 5 ,离心率为 ,抛物线 ? 1(a ? b ? 0) 的 焦 点 到 直 线 x ? 3 y ? 0 的 距 离 为 2 5 5 b

G : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点与椭圆 E 的焦点重合;斜率为 k 的直线 l 过 G 的焦点与 E 交于 A,B,与 G 交于 C,D.
(1)求椭圆 E 及抛物线 G 的方程; (2)是否存在学常数 ? ,使
【答案】

1 ? ? 为常数,若存在,求 ? 的值,若不存在,说明理由. AB | CD |

54 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 文 科 数 学
第 31 页 共 43 页

)如图,已知半椭圆

C1:

x2 2 ,曲线 C2 是以半椭圆 C1 的短轴为直径的圆在 y 轴右侧的部分, ? y 2 ? 1( a ? 1,x ? 0 ) 的离心率为 2 a 2

点 P(x0,y0)是曲线 C2 上的任意一点,过点 P 且与曲线 C2 相切的直线 l 与半椭圆 C1 交于不同点 A,B. (I)求 a 的值及直线 l 的方程(用 x0,y0 表示); (Ⅱ)△OAB 的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.

2 a2 ?1 2 2 【答案】解:(I)? 半椭圆 C1 的离心率为 ,? =( ) , 2 2 a 2
? a= 2
设 Q (x,y ) 为直线 l 上任意一点,则 OP ? PQ ,即 OP ? PQ =0
2 2 (x0 ,y0 ) ? (x ? x0 ,y ? y0 )=0 , x0 x +y0 y =x0 +y0 2 2 又? x0 +y0 =1 , ? 直线l的方程为x0 x +y0 y ? 1=0

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? ? x x +y y ? 1=0 ? 0 (II)① 当 P 点不为(1,0)时, ? 0 , 2 ?x +y 2 =1 ? ? 2
2 2 2 2 2 得 (2 x0 +y0 )x 2 ? 4 x0 x +2 ? 2 y0 =0 , 即 (x0 +1)x 2 ? 4 x0 x +2 x0 =0

? 4x ? x1 +x2 = 2 0 ? x0 +1 ? 设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x2 ,y2 ? ,? ? 2 ? x x = 2 x0 2 ? 1 2 x0 +1 ? ?

AB = 1+k 2 ?

? x1 +x2 ?
2

2

? 4 x1 x2

=

?1 ? x ?? x +1?
2 0 2 0

2 8 x0 ?1 ? x02 ?

=

2 8 x0 4 2 x0 +2 x0 +1

第 32 页 共 43 页

=

8 8 < = 2 1 2 1 2 x0 + 2 +2 2 x0 ? 2 +2 x0 x0
1 1 2 AB OP = AB < 2 2 2 2 2

? S? OAB =

②当 P 点为(1,0)时,此时, S? OAB =

综上,由①②可得, ?OAB 面积的最大值为

2 2

55. ( 【解析】山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦 a2 b2

点分别为 F1 和 F2,由 4 个点 M(-a,b)、N(a,b)、F2 和 F1 组成了一个高为 3 ,面积为 3 3 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1 的直线和椭圆交于两点 A、B,求 ? F2AB 面积的最大值.
【答案】解:(1)由条件,得 b=

3 ,且

2a ? 2c 3 ?3 3, 2

所以 a+c=3 又 a 2 ? c 2 ? 3 ,解得 a=2,c=1.

x2 y2 所以椭圆的方程 ? ?1 4 3
(2)显然,直线的斜率不能为 0,设直线方程为 x=my-1,直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2).

联立方程

? x2 y 2 ?1 ? ? ,消去 x 得, 3 ?4 ? x ? my ? 1 ?
6m 9 , y1 y2 ? ? 2 . 2 3m ? 4 3m ? 4

(3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,

因为直线过椭圆内的点,无论 m 为何值,直线和椭圆总相交.

? y1 ? y2 ?
S ?F2 AB =

1 F1 F2 y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 2

? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 12

m2 ? 1 m2 ? 1 ? 4 1 (3m 2 ? 4) 2 (m 2 ? 1 ? ) 2 3

?4

1 2 1 m ?1? ? 3 9(m 2 ? 1)
2

,

令 t ? m 2 ? 1 ? 1 ,设 y ? t ? 所以

1 1 1 ,易知 t ? (0, ) 时,函数单调递减, t ? ( ,??) 函数单调递增 9t 3 3 10 当 t= m 2 ? 1 =1 即 m=0 时, y min ? 9
第 33 页 共 43 页

S ?F2 AB 取最大值 3
56 . ( 【 解 析 】 山 东 省 滨 州 市 2013 届 高 三 第 一 次 ( 3 月 ) 模 拟 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 椭 圆

C:

x2 y2 3 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心, ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

椭圆的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 与曲线 | y |? kx ( k ? 0) 的交点为 A 、 B ,求 ? OAB 面积的最大值.
【答案】

57. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学(文)试题)已知椭圆 C 方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,过右 2 a

焦点斜率为 1 的直线到原点的距离为

2 . 2

(1)求椭圆方程. (2)已知 A、B 方程为椭圆的左右两个顶点,T 为椭圆在第一象限内的一点, l 为点 B 且垂直 x 轴的直线,点 S 为直线 AT 与直线 l 的交点,点 M 为以 SB 为直径的圆与直线 TB 的另一个交点, 求证: TB ? SM=TB ? SO
第 34 页 共 43 页

??? ? ???? ??? ? ??? ?

【答案】解:(1)设右焦点为(c,0),则过右焦点斜率为 1 的直线方程为:y=x-c

则原点到直线的距离 d ?

c 2

?

2 2

? c ? 1, a ? 2

? 方程为

x2 ? y2 ? 1 2
2 )(k ? 0)设点T坐标为(x1 , y1)

(2)设直线 AT 方程为: y ? k ( x ?

? x2 2 ? ? y ?1 得:( 1 ? 2k 2)x 2 ? 4 2k 2 ? 4k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ? k(x ? 2) ?

? x1 x2 ?

4k 2 ? 2 1 ? 2k 2

又 ? A点坐标为( ? 2, 0) ? x1 ? 2 ? 2 2k 2 2 2k , y1 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
? 4 2k 2 2 2k , ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

又? B点的坐标为( 2, 0), ? BT ? ( 由圆的性质得: BT ? SM,

所以,要证明 O, M , S 只要证明 BT ? SO,即可 又? S点的横坐标为 2

? S点的坐标为( 2, 2 2k)

? SO ? ( ? 2, ? 2 2k)
? SO.BT ? 8k 2 ? 8k 2 ?0 1 ? 2k 2

即 BT ? SO,又 ? BT ? SM

? O, M , S三点共线
58. ( 【解析】 山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学 (文) ) 已知椭圆 C :
第 35 页 共 43 页

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) , a 2 b2

焦点到短轴端点的距离为 2,离心率为
2 2

2 ,过点 2

(m,o)作圆 x + y = 1 的切线 l 交椭圆 C 于,A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程: (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值
【答案】

59. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 a 2 b2

A(2,0),离心率为

3 ,O 为坐标原点. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P(异于点 A)为椭圆 C 上一个动点,过 O 作线段 AP 的垂线 l 交椭圆 C 于点 E, D 求

DE AP

的取值范围.

第 36 页 共 43 页

【答案】

第 37 页 共 43 页

60 . ( 【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试(一模)数学(文)试题) 如图,已知椭圆

C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右顶点为 A、B,离心率为 ,直线 x-y+l=0 经过椭圆 C 的上顶点,点 S 是 2 a b 2
第 38 页 共 43 页

椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 l : x ? ?

10 分别交于 M,N 两点. 3

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 P,使得△PAS 的面积为 l?若存在,确定点 P 的个 数;若不存在,请说明理由.

【答案】

第 39 页 共 43 页

61 .(【 解 析 】 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0), F1 (?c, 0) 、 F2 (c, 0) 分别为其左、右焦点,A、B 分别为其上顶点、右顶点,且满 a 2 b2
第 40 页 共 43 页

足 ?F1 AB ? 90o . (1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若 P 为椭圆 C 上的任意一点,是否存在过点 F2、 P 的直线 l ,使 l 与 y 轴的交点 R 满足 RP ? ?2 PF2 ? 若存 在,求出直线 l 的斜率 k;若不存在,请说明理由.
【答案】

uur

uuu r

x2 y 2 62. ( 【解析】 山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学) 如图, 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0) a b
的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 ,点 A 是椭圆上任一点,△AF1F2 的周长为 4+2 3 . 2
???? ? ????

(Ⅱ)过点 Q 任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,记 MQ ? ? QN ,若在线段 MN 上取一点 (-4,0) R,使得 MR ? ?? RN ,则当直线 l 转动时,点 R 在某一定直线上运动,求该定直线的方程.

????

????

第 41 页 共 43 页

y
A Q M F1 O F2 N

l

x

第 22 题图

【答案】解(Ⅰ)∵△AF1F2 的周长为 4 ? 2

3,

∴ 2a ? 2c ? 4 ? 2 3, 即 a ? c ? 2 ? 3 . ????????(1 分) 又e ?

c 3 ? , 解得 a ? 2, c ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1. ??????(3 分) a 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ????????????(4 分) 4

(Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率必存在, 设其方程为 y ? k ( x ? 4), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ).

? x2 2 ? ? y ?1 由? 4 , ? y ? k ( x ? 4) ?
得 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 4 ? 0. ?????????????(6 分)
2 2 2 2

则 x1 ? x2 ?

?32k 2 64k 2 ? 4 , x x ? ??????????????(7 分) 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

由 MQ ? ? QN ,得 (?4 ? x1 , ? y1 , ) ? ? ( x2 ? 4, y2 ) ∴ ?4 ? x1 ? ? ( x2 ? 4), ∴ ? ? ?

???? ?

????

x1 ? 4 .??????????????(8 分) x2 ? 4

设点 R 的坐标为( x0 , y0 ) ,由 MR ? ? RN , 得 ( x0 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ?? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ), ∴ x0 ? x1 ? ?? ( x2 ? x0 ),

????

????

第 42 页 共 43 页

解得 x0 ?

x1 ? ? x2 ? 1? ?

x1 ?

x1 ? 4 ? x2 x2 ? 4 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) ? 1 2 . ??????(10 分) x ?4 ( x1 ? x2 ) ? 8 1? 1 x2 ? 4

64k 2 ? 4 ?32k 2 8 而 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 2 ? ? 4? ?? , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 8 ?
?

?32k 2 8 ?8 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

8 2 ∴ x0 ? 1 ? 4k ? ?1, ???????????????????(13 分) 8 1 ? 4k 2 故点 R 在定直线 x ? ?1 上. ??????????????????(14 分)

第 43 页 共 43 页


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