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高中物理奥赛必看讲义——力与物体的平衡


力与物体的平衡

第一讲 力的处理

一、矢量的运算 1、加法 表达: a + b = c 。 名词: c 为“和矢量” 。 法则:平行四边形法则。如图 1 所示。 和矢量大小:c = 的夹角。 和矢量方向: c 在 a 、 b 之间,和 a 夹角β = arcsin 2、减法 表达: a = c - b 。 名词: c 为“被减数矢量”

, b 为“减数矢量” , a 为“差矢量” 。 法则:三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量的起 始端平移到一点,然后连接两时量末端,指向被减数时量的时量,即是 差矢量。 差矢量大小:a =

?

?

?

?

? ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos? ,其中α 为 a 和 b

?

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b sin ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos?

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? ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos? ,其中θ 为 c 和 b 的夹角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题:已知质点做匀速率圆周运动,半径为 R ,周期为 T ,求它在 平均加速度大小。 解说:如图 3 所示,A 到 B 点对应 度矢量分别设为 v A 、 v B 和 v C 。

1 1 T 内和在 T 内的 4 2

1 1 T 的过程,A 到 C 点对应 T 的过程。这三点的速 4 2

?

?

?

1

? ? ? ? vB ? vA ? vt ? v0 ? 根据加速度的定义 a = 得: a AB = , t t AB

? ? vC ? vA ? a AC = t AC
由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 ?v 1 = v B -

?

?

? ? ? ? v A , ?v 2 = v C - v A ,根据三角形法则,它们在图 3 中
的大小、方向已绘出( ?v 2 的“三角形”已被拉伸成一条直 线) 。 本题只关心各矢量的大小,显然:

?

vA = vB = vC =

2 ?R ,且: ?v 1 = T

2 vA =

4 ?R 2 2?R , ?v 2 = 2 v A = T T

所以: a AB =

?v1 t AB

4 ?R 2 2?R ?v 2 8 2?R T = 8 ?R 。 T = = , a AC = = 2 T T T2 t AC T 2 4

(学生活动) 观察与思考: 这两个加速度是否相等, 匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 答:否;不是。 3、乘法 矢量的乘法有两种:叉乘和点乘,和代数的乘法有着质的不同。 ⑴ 叉乘 表达: a × b = c 名词: c 称“矢量的叉积” ,它是一个新的矢量。 叉积的大小:c = absinα ,其中α 为 a 和 b 的夹角。意义:

?

?

?

?

?

?

? ? ? c 的大小对应由 a 和 b 作成的平行四边形的面积。
叉积的方向:垂直 a 和 b 确定的平面,并由右手螺旋定则 确定方向,如图 4 所示。 显然, a × b ≠ b × a ,但有: a × b = - b × a ⑵ 点乘

?

?

?

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2

表达: a · b = c 名词:c 称“矢量的点积” ,它不再是一个矢量,而是一个标量。 点积的大小:c = abcosα ,其中α 为 a 和 b 的夹角。 二、共点力的合成 1、平行四边形法则与矢量表达式 2、一般平行四边形的合力与分力的求法 余弦定理(或分割成 RtΔ )解合力的大小 正弦定理解方向 三、力的分解 1、按效果分解 2、按需要——正交分解

?

?

?

?

第二讲 物体的平衡

一、共点力平衡 1、特征:质心无加速度。 2、条件:Σ F = 0 ,或 ?Fx = 0 , ?Fy = 0 例题:如图 5 所示,长为 L 、粗细不均匀的横杆 被两根轻绳水平悬挂,绳子与水平方向的夹角在图上 已标示,求横杆的重心位置。 解说:直接用三力共点的知识解题,几何关系比 较简单。 答案:距棒的左端 L/4 处。 (学生活动)思考:放在斜面上的均质长方体,按实际情况分析受力,斜面的支持力会 通过长方体的重心吗? 解:将各处的支持力归纳成一个 N ,则长方体受三个力(G 、f 、N) 必共点,由此推知,N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图 6 所 示(通常的受力图是将受力物体看成一个点,这时,N 就过重心了) 。

?

3

答:不会。 二、转动平衡 1、特征:物体无转动加速度。 2、条件:Σ M = 0 ,或Σ M+ =Σ M如果物体静止,肯定会同时满足两种平衡,因此用两种思路均可解题。 3、非共点力的合成 大小和方向:遵从一条直线矢量合成法则。 作用点:先假定一个等效作用点,然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。

?

第三讲 习题课

1、如图 7 所示,在固定的、倾角为α 斜面上,有一块可以转动 的夹板(β 不定) ,夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球 体,试求:β 取何值时,夹板对球的弹力最小。 解说:法一,平行四边形动态处理。 对球体进行受力分析,然后对平行四边形中的矢量 G 和 N1 进行平移,使它们构成一个三角形,如图 8 的左图和中图所示。 由于 G 的大小 和方向均不变,而 N1 的方向不可变, 当β 增大导致 N2 的 方向改变时,N2 的 变化和 N1 的方向变 化如图 8 的右图所 示。 显然,随着β 增大,N1 单调减小,而 N2 的大小先减小后增大,当 N2 垂直 N1 时,N2 取 极小值,且 N2min = Gsinα 。 法二,函数法。 看图 8 的中间图,对这个三角形用正弦定理,有:

4

N2 G G sin ? = ,即:N2 = ,β 在 0 到 180°之间取值,N2 的极值讨论是很 sin ? sin ? sin ?
容易的。 答案:当β = 90°时,甲板的弹力最小。 2、把一个重为 G 的物体用一个水平推力 F 压在竖直的足够高的墙壁上,F 随时间 t 的变化

规律如图 9 所示,则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力 f 的变化图线是图 10 中的哪一个? 解说:静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题,但本题是一个例外。物体在竖直 方向的运动先加速后减速,平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律,是本题授课时的难 点。 静力学的知识,本题在于区分两种摩擦的不同判据。 水平方向合力为零,得:支持力 N 持续增大。 物体在运动时,滑动摩擦力 f = μ N ,必持续增大。但物体在静 止后静摩擦力 f′≡ G ,与 N 没有关系。 对运动过程加以分析,物体必有加速和减速两个过程。据物理常 识,加速时,f < G ,而在减速时 f > G 。 答案:B 。 3、如图 11 所示,一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R 的 光滑大环上, 另一轻质弹簧的劲度系数为 k ,自由长度为 L (L<2R) , 一端固定在大圆环的顶点 A ,另一端与小球相连。环静止平衡时位于 大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ 。 解说:平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论,解三角形的典型思 路有三种:①分割成直角三角形(或本来就是直角三角形) ;②利用正、余弦定理;③利用 力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。

5

分析小球受力→矢量平移,如图 12 所示,其中 F 表示弹簧弹 力,N 表示大环的支持力。 (学生活动)思考:支持力 N 可不可以沿图 12 中的反方向? (正交分解看水平方向平衡——不可以。 ) 容易判断,图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形Δ AOB 是 相似的,所以:

F AB ? G R
由胡克定律:F = k( AB - R) 几何关系: AB = 2Rcosθ 解以上三式即可。 答案:arccos



⑵ ⑶

kL 。 2(kR ? G )

(学生活动)思考:若将弹簧换成劲度系数 k′较大的弹 簧, 其它条件不变, 则弹簧弹力怎么变?环的支持力怎么变? 答:变小;不变。 (学生活动)反馈练习:光滑半球固定在水平面上,球 心 O 的正上方有一定滑轮,一根轻绳跨过滑轮将一小球从图 13 所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。 试判断: 在此过程中, 绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化? 解:和上题完全相同。 答:T 变小,N 不变。 4、如图 14 所示,一个半径为 R 的非均质圆球,其重心不在球心 O 点, 先将它置于水平地面上,平衡时球面上的 A 点和地面接触;再将它置于 倾角为 30°的粗糙斜面上,平衡时球面上的 B 点与斜面接触,已知 A 到 B 的圆心角也为 30°。试求球体的重心 C 到球心 O 的距离。 解说:练习三力共点的应用。 根据在平面上的平衡, 可知重心 C 在 OA 连线上。 根据在斜面上的平 衡,支持力、重力和静摩擦力共点,可以画出重心的具体位置。几何计

6

算比较简单。 答案:

3 R 。 3

(学生活动) 反馈练习: 静摩擦足够, 将长为 a 、 厚为 b 的砖块码在倾角为θ的斜面上, 最多能码多少块? 解:三力共点知识应用。 答:

a ctg ? 。 b

4、两根等长的细线,一端拴在同一悬点 O 上,另一端各系一个小球,两球的质量分别为 m1 和 m2 ,已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线 张开一定角度,分别为 45 和 30°,如图 15 所示。则 m1 : m2 为多少? 解说:本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。 对两球进行受力分析,并进行矢量平移,如图 16 所示。

首先注意,图 16 中的灰色 三角形是等腰三角形, 两底角相 等,设为α 。 而且,两球相互作用的斥力 方向相反,大小相等,可用同一 字母表示,设为 F 。 对左边的矢量三角形用正弦定理,有:

m 1g F = sin 45? sin ?



同 理 , 对 右 边 的 矢 量 三 角 形 , 有 : ② 解①②两式即可。 答案:1 : 2 。

m 2g sin ?

=

F sin 30?

7

(学生活动)思考:解本题是否还有其它的方法? 答:有——将模型看成用轻杆连成的两小球,而将 O 点看成转轴,两球的重力对 O 的力 矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。 应用:若原题中绳长不等,而是 l1 :l2 = 3 :2 ,其它条件不变,m1 与 m2 的比值又将 是多少? 解:此时用共点力平衡更加复杂(多一个正弦定理方程) ,而用力矩平衡则几乎和“思 考”完全相同。 答:2 :3 2 。 5、如图 17 所示,一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆,细杆的左端 用铰链与墙壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。 由于金属球和木板之间有摩擦(已知摩擦因素为μ ) ,所以要将木板从球下面向右抽出时, 至少需要大小为 F 的水平拉力。试问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要多大的水平 推力? 解说:这是一个典型的力矩平衡的例题。 以球和杆为对象,研究其对转轴 O 的转动平衡, 设木板拉出时给球体的摩擦力为 f ,支持力为 N , 重力为 G ,力矩平衡方程为: f R + N(R + L)= G(R + L) 球和板已相对滑动,故:f = μ N 解①②可得:f = ① ②

?G (R ? L) R ? L ? ?R

再看木板的平衡,F = f 。 同理,木板插进去时,球体和木板之间的摩擦 f′=

?G (R ? L) = F′。 R ? L ? ?R

答案:

R ? L ? ?R F 。 R ? L ? ?R

第四讲 摩擦角及其它

8

一、摩擦角 1、全反力:接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力,一般用 R 表示,亦称接 触反力。 2、摩擦角:全反力与支持力的最大夹角称摩擦角,一般用φ 此时,要么物体已经滑动,必有:φ 要么物体达到最大运动趋势,必有:φ 常处理为φ
m ms m m 表示。

= arctgμ (μ 为动摩擦因素) ,称动摩擦力角;

= arctgμ s(μ s 为静摩擦因素) ,称静摩擦角。通

= φ

ms



3、引入全反力和摩擦角的意义:使分析处理物体受力时更方便、更简捷。 二、隔离法与整体法 1、隔离法:当物体对象有两个或两个以上时,有必要各个击破,逐个讲每个个体隔离 开来分析处理,称隔离法。 在处理各隔离方程之间的联系时,应注意相互作用力的大小和方向关系。 2、整体法:当各个体均处于平衡状态时,我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成 一个整体进行分析处理,称整体法。 应用整体法时应注意“系统” 、 “内力”和“外力”的涵义。 三、应用 1、物体放在水平面上,用与水平方向成 30°的力拉物体时,物体匀速前进。若此力大 小不变, 改为沿水平方向拉物体, 物体仍能匀速前进, 求物体与水平面之间的动摩擦因素μ 。 解说:这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留下 深刻印象。 法一,正交分解。 (学生分析受力→列方程→ 得结果。 ) 法二,用摩擦角解题。 引进全反力 R ,对物体两个平衡状态进行受 力分析,再进行矢量平移,得到图 18 中的左图和 中间图(注意:重力 G 是不变的,而全反力 R 的 方向不变、F 的大小不变) ,φ
m 指摩擦角。

再将两图重叠成图 18 的右图。由于灰色的三 角形是一个顶角为 30°的等腰三角形, 其顶角的角平分线必垂直底边??故有: φ 最后,μ = tgφ
m m

= 15°。



9

答案:0.268 。 (学生活动)思考:如果 F 的大小是可以选择的,那么能维持物体匀速前进的最小 F 值 是多少? 解:见图 18,右图中虚线的长度即 Fmin ,所以,Fmin = Gsinφ m 。 答:Gsin15°(其中 G 为物体的重量) 。 2、如图 19 所示,质量 m = 5kg 的物体置于一粗糙斜面上,并用一平行斜面的、大小 F = 30N 的推力推物体,使物体能够沿斜面向上匀速运动,而斜面体始终静止。已知斜面的质量 M = 10kg ,倾角为 30°,重力加速度 g = 10m/s ,求地面对斜面体的摩擦力大小。 解说: 本题旨在显示整体法的解题的优越 性。 法一,隔离法。简要介绍?? 法二,整体法。注意,滑块和斜面随有相 对运动,但从平衡的角度看,它们是完全等 价的,可以看成一个整体。 做整体的受力分析时,内力不加考虑。受力分析比较简单,列水平方向平衡方程很容易 解地面摩擦力。 答案:26.0N 。 (学生活动)地面给斜面体的支持力是多少? 解:略。 答:135N 。 应用:如图 20 所示,一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上,斜面的倾角为 θ 。另一质量为 m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力 F 作用在滑块上,使之能沿斜 面匀速上滑,且要求斜面体静止不动,就必须施 加一个大小为 P = 4mgsinθ cosθ 的水平推力作用 于斜面体。使满足题意的这个 F 的大小和方向。 解说:这是一道难度较大的静力学题,可以动 用一切可能的工具解题。 法一:隔离法。 由第一个物理情景易得,斜面于滑块的摩擦因素μ = tgθ
2

10

对第二个物理情景,分别隔离滑块和斜面体分析受力,并将 F 沿斜面、垂直斜面分解成 Fx 和 Fy ,滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示(N 表示正压力和弹力,f 表 示摩擦力) ,如图 21 所示。 对滑块, 我们可以考查沿斜面方向和垂直斜 面方向的平衡—— Fx = f + mgsinθ Fy + mgcosθ = N 且 f = μ N = Ntgθ 综合以上三式得到: Fx = Fytgθ + 2mgsinθ ①

对斜面体,只看水平方向平衡就行了—— P = fcosθ + Nsinθ 即:4mgsinθ cosθ =μ Ncosθ + Nsinθ 代入μ 值,化简得:Fy = mgcosθ ②代入①可得:Fx = 3mgsinθ 最后由 F = Fx ? Fy 解 F 的大小,由 tgα =
2 2



Fy Fx

解 F 的方向(设α 为 F 和斜面的夹角) 。

答案:大小为 F = mg 1 ? 8 sin 2 ? ,方向和斜面夹角α = arctg( ctg ? )指向斜面内部。 法二:引入摩擦角和整体法观念。 仍然沿用“法一”中关于 F 的方向设置(见图 21 中的α 角) 。 先 看 整 体 的 水 平 方 向 平 衡 , 有 : Fcos( θ ⑴ 再隔离滑块,分析受力时引进全反力 R 和摩擦角φ ,由于简化后只有三个力(R、mg 和 F) ,可以将矢量平移后构成一个三角形,如图 22 所示。 α ) = P

1 3

11

在图 22 右边的矢量三角形中, 有:

F mg mg = = sin(? ? ?) sin ?90? ? (? ? ?)? cos(? ? ?)



注意: φ = arctgμ = arctg(tgθ ) = θ 解⑴⑵⑶式可得 F 和α 的值。 ⑶

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