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2016届高三数学周练卷5.6黄秀英


2016 届高三数学理科周练卷(5.14)
第 I 卷(选择题)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、已知集合 U ? { y | y ? log 2 x, x ? 1}, P ? { y | y ?

7.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面 积为( ) A. 14 ? 4 3 ? 4

2 B. 14 ? 2 3 ? 4 2 C. 10 ? 4 3 ? 4 2 D. 10 ? 2 3 ? 4 2 8.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派 5 名 教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这 3 种题型进行改 编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( ) A. 150 B. 180 C. 200 D. 280

1 A. (0, ) 2
2、已知

B. (0, ??)

1 C. [ , ??) 2

1 , x ? 2} ,则 CU P ? ( ) x 1 D. ( ??, 0) ? [ , ??) 2

m ? 1 ? ni ,其中 m, n ? R,i 为虚数单位,则 m ? ni ? ( ) 1? i A 、 1 ? 2i B、 2 ? i C、 1 ? 2i D、 2 ? i 3.已知偶函数 f(x),当 x ? ?0,2 ? 时, f ( x) ? sin x ,
当 x ?? 2, ??? 时, f ( x) ? log2 x 则 f (?

开始

) ? f (4) ? ( ) 3 A. ? 3 ? 2 B.1 C.3

?

S=0,k=1

D.

3?2
k=k+1
S?S? 1 3k ? 1 ? 3k ? 2

? ? x ? y ? 1 ? 0, 2 ? 1? 1 ? 9.若不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 表示的区域 Ω,不等式 ? x ? ? ? y 2 ? 表示的区域为 Γ,向 2? 4 ? ? 1 ? y ? ? 0. 2 ?
Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻,则落在区域 Γ 中芝麻数约为( A.114 B.10 C.150 D.50 10.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是双曲线 )

4 4.某程序框图如图所示, 若输出 S ? , 则判断框中 M 3
为( ) k ? 7 A. ? B. k ? 6 ? C. k ? 8 ? D. k ? 8 ? 5.如图所示,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一 a 2 b2




个焦点,两条曲线的交点的连线过点 F,则双曲线的离心率为(
M 否

C 1? 2 D .1 ? 3 3 11、在四面体 S-ABC 中, SA ? 平面 ABC, ?BAC ? 120? , SA ? AC ? 2, AB ? 1, A.

2

B.

?
2

)

则该四面体的外接球的表面积为( )
输出 S

离 y 轴 最 近 的 零 点 与 最 大 值 均 在 抛 物 线

A. 11?

B. 7?

C.

10? 3

D.

40? 3

3 1 y ? ? x 2 ? x ? 1 上,则 f ( x) =( ) 2 2 1 ? 1 ? A. f ( x ) ? sin( x ? ) B. f ( x ) ? sin( x ? ) 6 3 2 3
C. f ( x) ? sin(

结束

12.已知函数 f ( x) ? ?

? x>0 ? ln x 2 ,若关于戈的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 ? ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? 0

?

2

x?

?

3

) D. f ( x) ? sin(

?

x? ) 2 6

?

(b, c ? R) 有 8 个不同的实数根,则由点(b,c)确定的平面区域的面积为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a ? (2,1), b ? ( x, ?1) ,且 a ? b 与 b 共线,则 x 的值为 14. 已知随机变量 X 服从正态分布 X~N(2, σ2), P(X<4)=0.84, 则 P(X≤0)的值为 15.已知函数 f ? x ? ? 围是 。

3 3 6 .二项式 (ax ? ) ( a ? 0 ) 的展开式的第二项的系数为 6 a 3 x 2 dx 的值为( ) ,则 ? ? 2 2 7 7 10 (A) (B) 3 (C) 3 或 (D) 3 或 ? 3 3 3

?

?

? ?

?

?



1 2 ?1 ? x ? 2ax ? ln x ,若 f ? x ? 在区间 ? , 2 ? 上是增函数,则 a 的取值范 2 ?3 ?

16.如图,已知点 D 在 ?ABC 的 BC 边上,且 ?DAC ? 90? , cos C ?

6 , AB ? 6 , 3

BD ? 6 ,则 AD sin ?BAD ? ___________.
三、解答题(共 6 个题,共 70 分)

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为 2 2 a b 半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切, 过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、
20.已知椭圆 C : B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点.

??? ? ??? ?

17.已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? an ? log 2 an ,其前 n 项和为 Sn ,若 (n ?1) ? m(Sn ? n ?1) 对于 n ? 2 恒成立,
2

a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.

21、 (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ex ? ax ? 2,(e 是自然对数的底数, a ? R) 。

求实数 m 的取值范围. 18.国家“十三五”计划,提出创新兴国,实现中国创新,某市教育局为了提高学生的创新能 力,把行动落到实处,举办一次物理、化学综合创新技能大赛,某校对其甲、乙、丙、丁四 位学生的物理成绩( x )和化学成绩( y )进行回归分析,求得回归直线方程为 y ? 1.5 x ? 35 .由于某种原因,成绩表(如下表所示)中缺失了乙的物理和化学成绩. 甲 乙 丙 丁 75 m 80 85 物理成绩(x) 80 n 85 95 化学成绩(y) 综合素质 155 160 165 180 (x? y) (1)请设法还原乙的物理成绩 m 和化学成绩 n ; (2)在全市物理化学科技创新比赛中,由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共 举行 3 场比赛, 每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛, 每场比赛所抽的选 手中,只要有一名选手的综合素质分高于 160 分,就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章.若记 比赛中赢得荣誉奖章的枚数为 ? ,试根据上表所提供数据,预测该校所获奖章数 ? 的分布列 与数学期望. 19 .如图,在四棱锥 S ? ABCD中,底面 ABCD 是菱形, B 底 面 ABCD , 并 且 ?BAD ? 600 , 侧 面 S A ? S A ? S? B 2 A ? B , F 为 SD 的中点. (1)求三棱锥 S ? FAC 的体积; (2)求直线 BD 与平面 FAC 所成角的正弦值.

(1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 k 为整数, a ? 1 ,且当 x ? 0 时, 导函数,求 k 的最大值。 请考生在第 22—24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 22.选修 4-4 几何证明选讲 如图, BC 是圆 O 的直径,点 F 在弧 BC 上,点 A 为弧 BF 的中点,作 AD ? BC 于点 D , BF 与 AD 交于点 E , BF 与 AC 交于点 G . (1)证明: AE ? BE ; (2)若 AG ? 9 , GC ? 7 ,求圆 O 的半径.

k?x f ? ? x ? ? 1 恒成立,其中 f ? ? x ? 为 f ? x ? 的 x ?1

23.选修 4-4

极坐标与参数方程

已知曲线 C 的极坐标方程为 2? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,曲线 C1 : ? (1)求曲线 C1 的普通方程;

? x ? 3cos ? ( ? 为参数) . ? y ? 2sin ?

(2)若点 M 在曲线 C1 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值.

24.已知函数 f ( x) ?| x ? m | ? | x ? 2 | . (1)若函数 f ( x ) 的值域为 [?4, 4] ,求实数 m 的值; (2)若不等式 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集为 M ,且 [2, 4] ? M ,求实数 m 的取值范围.

2016 届高三数学周练试卷(理科)答题卡
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17、 (12 分) 15、 16、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

19、 (12 分)

20、 (12 分) 18、 (12 分)

21、 (12 分)

选做题 22□ 23□

24□(10 分)

22 题图

2016 届高三数学周练卷答案(5.14)
1-12 CBDDC 13、 ? 2 BDAAC DA

4 3 17.试题解析:试题解析: (1)设等比数列的首项为 a1 ,公比为 q , 由题意可知: 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,又因为 a2 ? a3 ? a4 ? 28
13、 0.16 15、 a ? 16、 2 a ? 所以 a3 ? 8, a2 ? a4 ? 20.

4 3

?a ? 32 3 ? ?a1 ? 2 ? 1 ?a1 q ? a1 q ? 20 ?? 2 ,解得 ? 或? 1 (舍) ? q? ?q ? 2 ?a1 q ? 8 ? 2 ? n ∴ an ? 2
(2)由(1)知, bn ? n ? 2 ,
n

2 C2 5 5 ? ? ~ B(3, ) 2 C 6 6 , 4 (2)在每场比赛中,获得一枚荣誉奖章的概率 ,则 1 1 1 5 1 5 P (? ? 0) ? C30 ( )3 ? P(? ? 1) ? C3 ? ? ( )2 ? 6 216 , 6 6 72 , 所以 5 1 25 5 125 3 P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? P(? ? 3) ? C3 ? ( )3 ? 6 6 72 , 6 216 . 所以预测 ? 的分布列为:

p ? 1?

?
P

0

1

2

3

1 216
E? ? 3 ? 5 5 ? 6 2.

5 72

25 72

125 216

? Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 2
2 3

n

2Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? n ? 2n?1
①-②得 ? S n ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? n ? 2n?1

故预测 19.试题解析: (Ⅰ)如图 4,取 AB 的中点 E,连接 SE,ED,过 F 作 FG∥SE 交 ED 于 G, 因为平面 SAB ? 平面ABCD ,并且 SA ? SB ? AB ? 2,
∴SE ? 平面ABCD ,∴FG ? 平面ACD ,

? S n ? ?(

2?2 ? n ? 2 n ?1 ) ? (n ? 1)2 n ?1 ? 2 1? 2 2 n?1 2 若 (n ? 1) ? m(S n ? n ? 1) 对于 n ? 2 恒成立,则 (n ? 1) ? m[(n ? 1)2 ? 2 ? n ? 1] n ?1 (n ? 1) 2 ? m(n ? 1)( 2 n ?1 ? 1),? m ? n ?1 , 2 ?1 n ?1 令 f ( n) ? n ?1 , 2 ?1 ?2 ? n?2 n?1 ? 1 ? 0 n n ?1 则当 n ? 2 , f (n ? 1) ? f (n) ? n? 2 ? n?1 ? n?2 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 n?1 ? 1) 1 当 n ? 2 , f ( n) 单调递减,则 f ( n) 的最大值为 , 7 1 ? ? 故实数 m 的取值范围为 ? , ?? ? . ?7 ?
18 、 【解析】 ( 1 )由已知可得,
y? n ? 260 m ? 240 ,x ? 4 4 ,因为回归直线 y=1.5 x ? 35 过点

n ?1

又 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60? , SE ? 3 , 1 3 1 且 FG ? SE ? , S△ACD ? ? 2 ? 2sin120? ? 3 , 2 2 2 ∴三棱锥 S? FAC 的体积 V三棱锥S ? FAC ? V三棱锥S ? ACD ? V三棱锥F ? ACD
1 1 1 1 ? V三棱锥S ? ACD ? ? ? 3 ? 3 ? . 2 2 3 2

(Ⅱ)连接 AC,BD 交于点 O,取 AB 的中点 E,连接 SE,则 BD ? AC , SE ? AB ,以 O 为原 点,AC,BD 为轴建系如图所示,

( x , y ),
n ? 260 m ? 240 ? 1.5 ? ? 35,?3m ? 2n ? 80 4 4 所以 , m ? 80, n ? 80 又 m ? n ? 160 ,解得 .

设直线 BD 与平面 FAC 所成角为 ? , 则 A(? 3, 0, 0) , C( 3, 0, 0) , B(0,? 1,0) ,
? ? ? 3 1 3? 3 1 D(0,, 1 0) , S ? ? ,? , 3 ? , F ? ? , , ? , ? 4 4 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ???? ? 3 3 1 3 ? ???? 所以, AF ? ? 0, 0) , ? 4 ,4 , 2 ? ? , AC ? (2 3, ? ? ? 设平面 FAC 的法向量为 n ? ( x,y, 1) , ???? ? 3 3 ???? ? 1 3 AF ? n ? x? y? ? 0 , AC ? n ? 2 3x ? 0 , 4 4 2 ? 得 n ? (0, ? 2 3, 1) , ??? ? 又 BD ? (0, 2, 0) , ? ??? ? 4 3 2 39 ? 所以 sin ? ?| cos? n, BD? |? , 13 2 13

1 , 4 32k 2 64k 2 ? 12 x x ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , ,① 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2 2 2 ??? ? ??? ? 87 2 64k ? 12 2 32k ? 4 k ? 16k 2 ? 25 ? 2 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k ) 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ??? ? ??? ? 13 1 87 87 87 2 ?? 2 ?? ∵ 0 ? k ? ,∴ ? ,∴ OA ? OB ? [?4, ) , 4 3 4k ? 3 4 4 ??? ? ??? ? 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 [?4, ) . 4 (3)证明:∵ B、E 两点关于 x 轴对称,∴ E ( x2 , ? y2 ) , y ? y2 y (x ? x ) 直线 AE 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 得: x ? x1 ? 1 1 2 , x1 ? x2 y1 ? y2 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) 又 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) ,∴ x ? 1 2 , x1 ? x2 ? 8 由将①代入得: x ? 1 ,∴直线 AE 与 x 轴交于定点 (1, 0) .
2 由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ?12) ? 0 ,得: k ?

21.解析: (1) f / ( x) ? e x ? a, x ? R .

若 a ? 0 ,则 f / ( x) ? 0 恒成立,所以, f ( x) 在区间 ?? ?,??? 上单调递增.........2 分 若 a ? 0 ,当 x ? ?ln a,??? 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 ?ln a,?? ? 上单调递增. 综上, 当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 ?? ?,??? ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 ?ln a,?? ? . .................................. ...................... 4 分
2 2

故直线 BD 与平面 FAC 所成角的正弦值为

2 39 . 13
2

20.试题解析: (1)由题意知 e ? 又b ?

c a ?b 1 c 1 4 ? ,∴ e 2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b 2 , 2 a 2 3 a a 4

6 ? 3 ,∴ a2 ? 4, b2 ? 3 , 1?1 x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆的方程为 4 3 (2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) , ? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,得: (4k ? 3) x ? 32k x ? 64k ?12 ? 0 , ?1 ? ? 3 ? 4

k?x f ?( x) ? 1 ? (k ? x)(e x ? 1) ? x ? 1 x ?1 x ?1 x x 当 x ? 0 时, e ? 1 ? 0 ,故 (k ? x) ?e ?1 ? ? x ? 1 ? k ? x ? x ————①......6 分 e ?1
(2)由于 a ? 1 ,所以,

x ?1 ? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) / ? x ( x ? 0) ,则 ? ? g x ? ? 1 ? . 2 2 ex ?1 e x ?1 e x ?1 x 函数 h( x) ? e ? x ? 2 在 ?0,??? 上单调递增,而 h(1) ? 0, h(2) ? 0. 所以 h( x) 在 ?0,??? 上存在唯一的零点,
令 g ? x? ?

?

?

?

?

故 g ( x ) 在 ?0,??? 上存在唯一的零点. .............................8 分
/

设此零点为 ? ,则 ? ? ?1,2? .
/

当 x ? ?0, ? ? 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? ?? ,??? 时, g ( x) ? 0 ;
/

所 以 , g ( x) 在

?0,???

上 的 最 小 值 为 g (? ) . 由 g / (? ) ? 0, 可 得 .....................................

e? ? ? ? 2,
....................10 分

所以, g (? ) ? ? ? 1 ? ?2,3?. 由于①式等价于 k ? g (? ) . 故整数 k 的最大值为 2. .............................................12 分

? 的中点, 22.试题解析: (1)连接 AB ,因为点 A 为 BF

? ?? AF ,??ABF ? ?ACB 故 BA 又因为 AD ? BC , BC 是 ? O 的直径,
??BAD ? ?ACB ??ABF ? ?BAD ? AE ? BE 2 (2)由 ?ABG ? ?ACB 知 AB ? AG ? AC ? 9 ?16 AB ? 12 直角 ?ABC 中由勾股定理知 BC ? 20
圆的半径为 10

x ? cos ? ? ? ? x ? 3cos ? ? x2 y 2 3 2 2 ? ?1 23.试题解析: (1)由 ? 得? ,代入 cos ? ? sin a ? 1 得 9 4 ? y ? 2sin ? ?sin ? ? y ? ? 2 (2)曲线 C 的普通方程是: x ? 2 y ? 10 ? 0 设点 M (3cos ? , 2sin ? ) ,由点到直线的距离公式得: 3cos ? ? 4sin ? ? 10 3 4 1 d? ? 5cos(? ? ? ) ? 10 其中 cos ? ? ,sin ? ? 5 5 5 5 9 8 ?? ? ? ? 0 时, dmin ? 5 ,此时 M ( , ) 5 5
24.试题解析:(1) 由不等式的性质得: x ? m ? x ? 2 ? x ? m ? x ? 2 ? m ? 2 因为函数 f ? x ? 的值域为 ? ?4, 4? ,所以 m ? 2 ? 4 , 即 m ? 2 ? ?4 或 m ? 2 ? 4 所以实数 m = ? 2 或 6 . (2) f ? x ? ? x ? 4 ,即 x ? m ? x ? 2 ? x ? 4 当 2 ? x ? 4 时, x ? m ? x ? 4 + x ? 2 ? x ? m ? ? x+4+x ? 2 ? 2 ,

x ? m ? 2 ,解得: x ? m ? 2 或 x ? m ? 2 ,即解集为 ? ??, m ? 2? 或 ?m ? 2, ??? , 由条件知: m+2 ? 2 ? m ? 0 或 m ? 2 ? 4 ? m ? 6 所以 m 的取值范围是 ? ??,0? ? ?6 , +?? .


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