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(北师大版)选修1-1课件:第3章-实际问题中导数的意义-参考课件


什么叫极大值,极小值,极值? 在包含x0的一个区间 (a, b)内,函数y ? f ( x)在任何一点的函数值都 不大于点x0的函数值, 称点x0为函数y ? f ( x)的极大值点 , 其函数值 f ( x0 )为函数的极大值 . 在包含x0的一个区间 (a, b)内,函数y ? f ( x)在任何一点的函 数值都不小于点 x0的函数值, 称点x0为函数y ? f ( x)

的极小 值点, 其函数值f ( x0 )为函数的极小值 . 极大值与极小值统称极值,极大值点与极小 值点统称为极值点. 如何来求函数的极值点? 一般情况下 , 我们可以通过如下步骤 求出函数y ? f ( x) 的极值点: 1.求出导数f ?( x). 2.解方程f ?( x) ? 0. 3.对于方程f ?( x) ? 0的每一个解x0 , 分析f ?( x)在x0 左, 右两侧的符号 (即f ( x)的单调性), 确定极值点: (1)若f ?( x)在x0两侧的符号 左正右负 , 则x0为极大值点 ; (2)若f ?( x)在x0两侧的符号 左负右正 , 则x0为极小值点 ; (3)若f ?( x)在x0两侧的符号相同 , 则x0不是极值点 . 功与功率 例1某人拉动一个物体前进 , 他所做的功 W (单位 : J )是时 间t (单位 : s )的函数, 设这个函数可以表示为 : W ? W (t ) ? t 3 ? 6t 2 ? 16t. (1)求t从1s变到3s时, 功W关于间时t的平均变化率 , 并解释 它的实际意义 ; (2)求W ?(1),W ?(2), 解释它们的实际意义 . 解 : (1)当t从1s变到3s时, 功W从W (1) ? 11J变到W (3) ? 21J , 此时功W关于时间t的平均变化率为 W (3) ? W (1) 21? 11 ? ? 5( J / s). 3 ?1 3 ?1 它表示从t ? 1s到t ? 3s这段时间 , 这个人平均每秒做功 5J . 在物理学中,通常称力在单位时间内 (2)首先求W ? (t ).根据导数公式和求导法 则可得 做的功为功率 ,它的单位是瓦特 . W ?(t ) ? 3t 2 ? 12t ? 16, 于是,W ?(1) ? 7 J / s, W ?(2) ? 4 J / s. W ?(1)和W ?(2)分别表示t ? 1s和t ? 2 s时, 这个人 每秒做的功为 7 J和4 J . 例2下表为一次降雨过程中一段时间内记录下 的降雨的数据: 时间(t)/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨强度 0 10 14 17 20 降雨量 (y)/mm 显然,降雨量y是时间t的函数, 用y ? f (t )表示. 22 24 (1)分别计算当t从0变到10, 从50变到60时,降雨量y关于时间t 的平均变化率 ,比较它们的大小 , 并解释它们的实际意义 ; (2)假设得到降雨量 y关于时间t的函数的近似表达式为 f (t ) ? 10t , 求f ?(40)并解释它们的实际意义 . 解 : (1)当t从0变到10时,降雨量y从0变到10, 此时, 降雨量y关于时间t的平均变化率为 y (10) ? y (0) 10 ? 0 ? ? 1(m m/ min). 10 ? 0 10 ? 0 它表示从0 min 到10 min 这段时间内 , 平均每分钟 降雨量为 1m m. 当t从50变到60时, 降雨量y从22变到24, 此时, 降雨量y关于时间t的平均变

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实际问题中导数的意义

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