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高二上学期数学练习题(10)(抛物线及其标准方程)

时间:2015-11-11


高二上学期数学练习题(10) (抛物线及其标准方程)
班级 一.选择填空题 1. 抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是 A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) ( D.(-4,0) ( D.(-8,± 8) ( D.y2=-8x ( D.抛物线 ). ). ). ). 姓名 学号

2. 若抛物线 y2=8x 上一点 P 到其焦点的距离为 1

0,则点 P 的坐标为 A.(8,8) B.(8,-8) C.(8,± 8)

x2 y2 3. 以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 16 9 A.y2=16x B.y2=-16x C.y2=8x

4. 动点到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则动点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支

5. 已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 11 C. 5 C.圆 37 D. 16 ) D.双曲线 ) ( ).

6. 在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线 x+2y=3 的距离相等的点的轨迹是( A.直线 B.抛物线

7. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1)

D.(0,1)

8. 抛物线 y2=mx 的焦点为 F,点 P(2,2 2)在此抛物线上,M 为线段 PF 的中点, 则点 M 到该抛物线准线的距离为 A.1 3 B. 2 C .2 5 D. 2 ) ( )

9. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( 1 A. 2 B.1 C.2 D.4

10. 若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是( A.x+4=0 B.x-4=0 C.y2=8x D.y2=16x

)

11. O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 B.2 2 C.2 3 D.4

)

12. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物线上, 且 2x2=x1+x3,则有 A.|P1F|+|P2F|=|FP3| C.2|P2F|=|P1F|+|P3F| ( )

B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2 D.|P2F|2=|P1F|· |P3F|

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13. 已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直 线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( 5 2 A. 2 二.填空题 14.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是________. 15. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为________. 1 16. 抛物线 y=- x2 上的动点 M 到两定点 F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为________. 4 17. 抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值为__________________. x2 y2 18. 以双曲线 - =1 的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线方程是____________________. 16 9 x2 y2 19. 抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A、B 两点,若△ABF 为等边三角形, 3 3 则 p=__________________. 三.解答题 20.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是 y=3; (2)过点 P(-2 2,4); (3)焦点到准线的距离为 2. ) 5 2 B. +1 2 5 2 C. -2 2 5 2 D. -1 2

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21. 已知动圆 M 经过点 A(3,0),且与直线 l:x=-3 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

22. 求顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,过点(-2,3)的抛物线的标准方程.

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23. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过抛物线 y2=2mx 的焦点 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|=6; (2)抛物线顶点在原点,对称轴是 x 轴,点 P(-5,2 5)到焦点的距离是 6.

24. 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过点 Q(6,0),求抛物线的方程.

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高二上学期数学练习题(10) (抛物线及其标准方程参考答案)
班级 一.选择填空题 1. 抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是 ( ).A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 姓名 学号

p 解析:依题意,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半轴上,由 2p=8 得 =2,故焦点坐标为(-2,0),故选 B. 2 2. 若抛物线 y2=8x 上一点 P 到其焦点的距离为 10,则点 P 的坐标为 A.(8,8) B.(8,-8) C.(8,± 8) ( D.(-8,± 8) ).

解析:依题意 p ? 4 设 P(xP,yP),则由已知和抛物线的焦半径公式可知: ∴xP=8,∴yP=± 8,故选 C.答案 C x2 y2 3. 以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 16 9 A.y2=16x B.y2=-16x C.y2=8x

p ? xP ? 2 ? xP ? 10 , 2

( D.y2=-8x

).

x2 y2 解析 由双曲线方程 - =1,可知其焦点在 x 轴上,由 a2=16,得 a=4,∴该双曲线右顶点的坐标是 16 9 p (4,0),∴抛物线的焦点为 F(4,0).设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),则由 =4,得 p=8,故所求抛物 2 线的标准方程为 y2=16x. 答案 A 4. 动点到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则动点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 ( D.抛物线 ).

解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x=-3 的距离”,由抛 物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选 D. 答案 D

5. 已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最 小值是 ( ).A.2 B.3 11 C. 5 37 D. 16

解析 直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线的定义 知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离,故本题 化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最小,最小值为 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距 |4-0+6| 离,即 dmin= =2,故选择 A. 答案 A 5 6. 在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线 x+2y=3 的距离相等的点的轨迹是( A.直线 B.抛物线 C.圆

) D.双曲线

[答案] A[解析] ∵点(1,1)在直线 x+2y=3 上, 故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线 x+2y=3 垂直的直线. 7. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1)
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)

D.(0,1)

p [答案] B[解析] 由抛物线 y2=2px(p>0)得准线 x=- ,因为准线经过点(-1,1),所以 p=2, 2 所以抛物线焦点坐标为(1,0),故选 B. 8. 抛物线 y2=mx 的焦点为 F,点 P(2,2 2)在此抛物线上,M 为线段 PF 的中点,则点 M 到该抛物线准线的距离 为( ) A.1 3 B. 2 5 C.2 D. [答案] D 2 [解析] ∵点 P(2,2 2)在抛物线上,∴(2 2)2=2m,

3+2 5 ∴m=4,P 到抛物线准线的距离为 2-(-1)=3,F 到准线距离为 2,∴M 到抛物线准线的距离为 d= = . 2 2 9. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切, 则 p 的值为( [答案] C p [解析] 抛物线的准线为 x=- 2 ) 1 A. 2 B. 1 C. 2 D. 4

将圆方程化简得到(x-3)2+y2=16,准线与圆相切,则 3 ? ? ?

? p? ? ? 4 ,∴p=2,故选 C. ? 2?
) D.y2=16x

10. 若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是( A.x+4=0 B.x-4=0 C.y2=8x

[答案] D[解析] 依题意可知 M 点到点 F 的距离等于 M 点到直线 x=-4 的距离,因此其轨迹是抛物线, 且 p=8,顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,∴其方程为 y2=16x,故答案是 D. 11. O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 )

[答案] C[解析] 抛物线 C 的准线方程为 x=- 2,焦点 F( 2,0),由|PF|=4 2及抛物线的定义知, 1 1 P 点的横坐标 xP=3 2,从而 yP=± 2 6,∴S△POF= |OF|· |yP|= × 2×2 6=2 3. 2 2 12. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物线上, 且 2x2=x1+x3,则有( A.|P1F|+|P2F|=|FP3| ) B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2 C.2|P2F|=|P1F|+|P3F| D.|P2F|2=|P1F|· |P3F|

[答案] C[解析] ∵点 P1、P2、P3 在抛物线上,且 2x2=x1+x3,两边同时加上 p, p p p 得 2(x2+ )=x1+ +x3+ ,即 2|P2F|=|P1F|+|P3F|,故选 C. 2 2 2 13. 已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直 线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( ) 5 2 A. 2 5 2 B. +1 2 5 2 C. -2 2 5 2 D. -1 2

[答案] D[解析] 设抛物线焦点为 F,过 P 作 PA 与准线垂直,垂足为 A,作 PB 与 l 垂直,垂足为 B, 则 d1+d2=|PA|+|PB|-1=|PF|+|PB|-1,显然当 P、F、B 三点共线(即 P 点在由 F 向 l 作垂线的垂线段上) 5 2 时,d1+d2 取到最小值,最小值为 -1. 2 p 4 二.填空题.14.解析 由抛物线的方程得 = =2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为 4+2=6.答案 6 2 2 p 15. 解析 由抛物线方程 y2=2px(p>0),得其准线方程为 x=- ,又圆的方程为(x-3)2+y2=16, 2
-6-

p ∴圆心为(3,0),半径为 4.依题意,得 3-(- )=4,解得 p=2. 答案 2 16. 解析 将抛物线方程化成标准方程为 x2=-4y,可知焦点坐 1 标为(0,-1),-3<- ,所以点 E(1,-3)在抛物线的内部, 4 如图所示,设抛物线的准线为 l,过 M 点作 MP⊥l 于点 P, 过点 E 作 EQ⊥l 于点 Q,由抛物线的定义可知,|MF|+|ME| =|MP|+|ME|≥|EQ|,当且仅当点 M 在 EQ 上时取等号,又 |EQ|=1-(-3)=4,故距离之和的最小值为 4. 答案 4

2

1 1 1 1 17.[答案] - [解析] 抛物线方程化为标准形式为 x2= y,由题意得 a<0,∴2p=- ,∴p=- , 8 a a 2a p 1 1 ∴准线方程为 y= =- =2,∴a=- . 2 4a 8 18. [解析] ∵双曲线的左焦点为(-5,0),故设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),又 p=10,∴y2=-20x. 19. [答案] 6 p p [解析] 如图不妨设 B(x0,- ).F(0, ),FD=p,可解得 B( 2 2 3+ 3+ ,- ). 4 2

p2

p

p2
4 . ∴p =36,p=6.
2

在 Rt△DFB 中,tan30°= ,∴ 三.解答题

BD DF

3 = 3

p

20.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是 y=3; 解 (2)过点 P(-2 2,4); (3)焦点到准线的距离为 2.

p (1)∵所求抛物线的准线方程为 y=3,∴所求抛物线的焦点在 y 轴负半轴上,且 =3,∴p=6, 2 ∴所求抛物线的标准方程为 x2=-12y.

(2)∵点 P(-2 2,4)在第二象限,∴可设所求抛物线的标准方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0), 将点 P(-2 2,4)代入 y2=-2px,得 p=2 2;代入 x2=2py,得 p=1. ∴所求抛物线的标准方程为 y2=-4 2x 或 x2=2y. (3)∵所求抛物线的焦点到准线的距离为 2,∴p= 2, ∴所求抛物线的标准方程为 y2=2 2x,或 y2=-2 2x,或 x2=2 2y,或 x2=-2 2y。 21. 已知动圆 M 经过点 A(3,0),且与直线 l:x=-3 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解:法一 设动点 M(x,y),设⊙M 与直线 l:x=-3 的切点为 N,则根据题意可得:|MA|=|MN|,即动点 M 到定点 A 和定直线 l:x=-3 的距离相等,∴由抛物线的定义可知,点 M 的轨迹是抛物线,且以 A(3,0)为 p 焦点,以直线 l:x=-3 为准线,∴ =3,∴p=6. ∴圆心 M 的轨迹方程是 y2=12x. 2 法二。设动点 M(x,y),则依题意点 M 的轨迹是集合 P={M||MA|=|MN|},

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? x ? 3?

2

? y 2 ? x ? 3 ,化简整理可得 y 2 ? 12 x , ∴所求圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ? 12 x .

22. 求顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,过点(-2,3)的抛物线的标准方程. 解:∵点(-2,3)在第二象限,∴所求抛物线的焦点在 x 负半轴或者焦点在 y 轴正半轴, ∴可设所求抛物线方程为 y2=-2px(p>0)或 x2 ? 2 p?y ( p? ? 0) ,
2 又∵点(-2,3)在所求抛物线上,∴ 3 ? ?2 p ? ? ?2 ? , 或

? ?2 ?

2

? 2 p? ? 3 ( p? ? 0)

9 2 9 4 ∴p= ,或 p′= ,∴所求抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y. 4 3 2 3 23. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过抛物线 y2=2mx 的焦点 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|=6; (2)抛物线顶点在原点,对称轴是 x 轴,点 P(-5,2 5)到焦点的距离是 6. 解: (1)依题意 AB ? 2 p ? 6 , ∴ p ? 3 ,∴所求抛物线方程为 y2=± 6x. (2)设焦点为 F (a,0) ,则 PF ?
2

? ? a ? ? ?5 ? ? ? ? 0?2 5
2

?

?

2

?

? a ? 5?

2

? 20 ? 6 ,

整理可得: a ? 10a ? 9 ? 0 ,解之得 a ? ?1, 或 a ? ?9 ①当 a ? ?1 时,所求抛物线的焦点为 F (?1, 0) 时,

p ? 1, 2

∴ p ? 2 ,抛物线开口方向向左,其方程为 y 2 ? ?4x ; ②当 a ? ?9 时,所求抛物线的焦点为 F (?9, 0) 时,

p ?9, 2

∴ p ? 18 ,抛物线开口方向向左,其方程为 y 2 ? ?36 x . 24. 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上的两个动点 (AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过点 Q(6,0),求抛物线的方程. p 解:依题意可设所求抛物线的方程为 y2=2px (p>0),则其准线为 x=- . 2 p p 设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵|AF|+|BF|=8,∴x1+ +x2+ =8,∴x1+x2=8-p. 2 2 ∵Q(6,0)在线段 AB 的中垂线上,∴|QA|=|QB|,即 ?6-x1?2+?-y1?2= ?6-x2?2+?-y2?2,
2 2 2 即:? 6 ? x1 ? ? y1 ? ? 6 ? x2 ? ? y2 ,又∵y1 =2px1,y2 2=2px2,∴ 2 2

? 6 ? x1 ?

2

? 2 px1 ? ? 6 ? x2 ? ? 2 px2 ,
2

2 2 即: ?? 6 ? x1 ? ? ? 6 ? x2 ? ? ? ? 2 px1 ? 2 px2 ? ? 0 ,

?

?

即: ? ?? 6 ? x1 ? ? ? 6 ? x2 ? ? ??? ?? 6 ? x1 ? ? ? 6 ? x2 ? ? ? +2 p ? x1 ? x2 ? ? 0 , 即:? x2 ? x1 ? ? ? ?12 ? ? x1 ? x2 ? ? ? +2 p ? x1 ? x2 ? ? 0 ,即: ? ? x1 ? x2 ? ? ? ?12 ? ? x1 ? x2 ? ? ? +2 p ? x1 ? x2 ? ? 0 , ∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,∵AB 与 x 轴不垂直,∴x1≠x2, ∴x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,∴p=4,∴所求抛物线方程为 y2=8x。
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