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第二章数列单元综合测试题附答案


回澜阁教育 姓名______ 学号_______ 班级______

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第二章
命题

数列测试题 (1)
洞口三中 方锦昌

一、选择题 1、设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13

,则数列 {an } 前 8 项的和为( A.128 B.80 C.64 D.56 )

)

2、记等差数列的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( A、2 B、3 C、6 D、7

3、设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 ?( ) a2

A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2

4、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.45 C.36 D.27
1 n



5、在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( ) A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n ) (D)15 D. 1 ? n ? ln n

6、若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( (A)12 (B)13 (C)14

7、已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ?

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? 4
?n

? an an?1 =(

)

(A)16( 1 ? 4

?n



(B)16( 1 ? 2

) (C)

32 ?n (1 ? 4 ) 3

(D)

32 ?n (1 ? 2 ) 3


8、非常数数列 {an } 是等差数列,且 {an } 的第 5、10、20 项成等比数列,则此等比数列的公比为 ( A.

1 5

B.5

C.2

D.

1 2


9、已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =(

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3 2

10、在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,黑、白两只蚂蚁均从点 A 出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬 完一段”,白蚂蚁的爬行路线是 AA1?A1D1?D1C1??;黑蚂蚁的爬行路线是 AB?BB1?B1C1??,它们都遵 循以下的爬行规则:所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在的直线必为异面直线(其中 i 为自然数),设黑、白 蚂蚁都爬完 2008 段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 0

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二、填空题 11.已知 ?an ? 为等差数列, a3 ? a8 ? 22 , a6 ? 7 ,则 a5 ? ____________ 12.设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? ___________。 13.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, a12 ? ?8 , S9 ? ?9 ,则 S16 ? 14.已知函数 f ( x) ? 2x ,等差数列 {ax } 的公差为 2 .若 f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 , 则 log2[ f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ?

? f (a10 )] ?

.

15、将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左 向右的第 3 个数为 三、解答题 16、已知数列 ?xn ? 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2n p ? np n ? N*, p, q为常数 ,且 x1 差数列。求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ) 数列 ?xn ? 前 n 项和 Sn 的公式。 17.已知数列 {an } 的首项 a1 ?

?

?

x4

x5 , 成等

2 2an 1 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. (Ⅰ)证明:数列 { ? 1} 是等比数列; 3 an ? 1 an

(Ⅱ)数列 {

n } 的前 n 项和 Sn . an

18.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值. 19.设等比数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 , 2 且数列 ?an ? 各项均正。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。

20、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度 1 投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游 5 1 业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 ;①设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元, 4 旅游业总收入为 bn 万元,写出 an、bn 的表达式;② 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 21.已知等差数列 ?an ? 满足 a 3 ? a 6 ? ? , (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

分别作为数列 ?b n ?的第 1 项、第 2 项、第 3 项、??、第 n 项、??,求数列 2

4 a 1a 8 ? ? 且a 1 ? a 8 3 (2) 、把数列 ?an ? 的第 1 项、第 4 项、第 7 项、??、第 3n-2 项、??

1 3

? ? 的所有项之和;
bn

第二章 数列测试题 (2) 一、选择题 1、下列命题中正确的( ) (A)若 a,b,c 是等差数列,则 log2a,log2b,log2c 是等比数列 (B) a b c 若 a,b,c 是等比数列,则 log2a,log2b,log2c 是等差数列 (C)若 a,b,c 是等差数列,则 2 ,2 ,2 是 a b c 等比数列 (D)若 a,b,c 是等比数列,则 2 ,2 ,2 是等差数列 2、若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则
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a c ? ?( m n

)

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(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 n 2 2 2 2 3、等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+?+an=2 -1,则 a1 +a2 +a3 +?+an 等于( ) (A) (2 n ? 1) 2 (B) (2 ? 1)
n

1 3

(C) 4 ? 1
n

(D)

1 n (4 ? 1) 3

4、已知数列{an}是等差数列,首项 a1<0,a2005+a2006<0,a2005·a2006<0,则使前 n 项之和 Sn<0成立的最 大自然数 n 是( )A 4008 B 4009 C 4010 D 4011 5、已知数列{an}满足 a1=4, an+1 +an =4n+6(n∈N*),则 a20 =( ) A 40 B 42 C 44 D 46 6、在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项之和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则 Sn=( ) n+1 n A 2 -2 B 3n C 2n D 3 -1 7、已知数列{an}满足:a1=1, an+1 =2an +3(n∈N*),则 a10 =( ) 10 11 12 13 A、2 -3 B、 2 -3 C、2 -3 D、2 -3 8、已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? ( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 ) )

9、各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S30=14,则 S40 等于( A.80 B.30 C.26 D.16

10、设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? ( A.2 B.4 C.6 D.8



二、填空题 11、已知等比数列{an}中,a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an}的前 n 项和 Sn= __________ 12、 数列{an}满足:a1=

1 n 2an-1 +n-1 ,且 = (n∈N*,n≥2),则数列{an}的通项公式是 an =______ an an-1 3

1 2 13、已知数列{an}满足:a1=2, an+1 =2(1+ ) ·an (n∈N*),则数列{an}的通项公式 an =____ n 14、已知数列{an}满足:a1=1, an+1 - an =4n-2(n∈N*),则使 an ≥163 的正整数 n 的最小值是____ n+1 15、已知数列{an}的通项公式 an =log2( ) (n∈N*),其前 n 项之和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的正整数 n 的 n+2 最小值是_____ 三、解答题: ★16.等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .

★17、设关于 x 的一元二次方程 an x - an ?1 x+1=0 (n∈N*)有两根α和β,且满足 6α-2αβ+6β=3. (1) 试用 an 表示 a n?1 ; 2 7 (2)求证:数列{ an - }是等比数列.(3)当 a1 = 时,求数列{ an }的通项公式. 3 6
*

2

★18.设数列 ?an ? 满足 a0 ? a, an?1 ? can ? 1 ? c, c ? N , 其中 a , c 为实数,且 c ? 0 通项公式 (Ⅱ)设 a ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; 2 2

★19.已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 .
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(Ⅰ)求 ?an ? 的通项 an ;

(Ⅱ)求 ?an ? 前 n 项和 Sn 的最大值.

★20 题、沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召,对西部地区乙企业进行扶持性技术改造,乙企业的经 营状况是,每月收入 45 万元,但因设备老化,从下个月开始需支付设备维修费,第一个月为 3 万元,以 后逐月递增 2 万元。甲公司决定投资 400 万元扶持改造乙企业;据测算,改造后乙企业第一个月收入为 16 万元,在以后的 4 个月中,每月收入都比上个月增长 50%,而后各月收入都稳定在第五个月的水平上,若 设备改造时间可忽略不计,那么从下个月开始至少经过多少个月,改造后的乙企业的累计总收益多于仍按 现状生产所带来的总收益? ★21、 已知正数数列{

a

n

}满足:

a =1,n∈ N
1

*

时,有

a a

n ?1 n

=

a

n ?1

?1

1? an

(1)、求证:数列{

1

a

}为等差数列;并求{
n

a

n

}的通项公式; (2) 、试问

a ·a
3

6

是否为数列



a

n

}中的项,如果是,是第几项,如果不是,说明理由; (3) 、设
n

c =a
n

n

·

a

n?1

(n∈

N

*

) ,

若{

c

}的前n项之和为

S

n

,求

S

n

附(备选例题) : ★1.在数列 an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ? 数列 an ? 的前 n 项和 Sn ★2、 已知数列 {log2 (an ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅱ)证明 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; (Ⅱ)求 2 n ?1

?

1 1 1 ? ??? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an

★3、 甲乙两物体分别从相距 70 米的两处相向运动, 甲第 1 分钟走 2 米, 以后每分钟比前 1 分钟多走 1 米, 乙每分钟走 5 米,①甲、乙开始运动几分钟后相遇?②如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分 钟比前 1 分钟多走 1 米 ,乙继续每分钟走 5 米,那么开始运动几分钟之后第二次相遇? ★4、 某企业去年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降,若不进行技术 改造,预测今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元。今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改 1 造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+ n)万元(n 为正整 2 数) ;设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累计纯利 润为 Bn 万元(需扣除技术改造资金),(1) 、求 An、Bn 的表达式;(2) 、依上述预测,从今年起该企业至少 经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 ★5、如图所示,一个计算装置示意图,J1、J2 是数据入口,C 是计算结果的出口;计 算过程由 J1、J2 分别输入自然数 m 和 n,经过计算所得结果由出口 C 输出,此种计算 装置完成的计算满足以下三个性质:①若 J1、J2 分别输入 1,则输出结果为 1;②若 J1 输入任何固定自然数不变,J2 输入自然数增大 1,则输出结果比原来增大 2;③若 J2 输入 1,J1 输入自然数增大 1,则输出结果为原来的 2 倍 试问:①若 J1 输入 1,J2 输入自然数 n, 则输出结果为多少? ②若 J2 输入 1,J1 输入自然数 m, 则输出结果为多少? ③若 J1 输入 m,J2 输入自然数 n, 则输出结果为多少? 参考答案: 数列测试题(1) :
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1、

C ;2、B ;3、C; 4、B;5、A ; 6、B ;7、C ;8、C; 9、B; 10、B

11. 15;12.

n ? n ? 1? n2 ? n ? 6 ; ? 1 ;13. -72 ; 14. -6 ; 15、 2 2

16、 (Ⅰ)解:由 x1 ? 3, 得 2 p ? q ? 3, 又x4 ? 24 p ? 4q, x5 ? 25 p ? 5q, 且x1 ? x5 ? 2x4 ,

? 3 ? 25 p ? 5q ? 25 p ? 8q, ? p ? 1, q ? 1
(Ⅱ)解: S n ? (2 ? 2 ?
2

? 2n ) ? (1 ? 2 ?

? n) ? 2n ?1 ? 2 ?

n(n ? 1) . 2

17.解: (Ⅰ)

an ?1 ?

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an an ? 1

?

2 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? , 3 an ?1 2 an

?

1 1 1 1 1 ? 1 ? , ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. 2 2 a1 2 an 1 2 3 n 1 1 1 1 n n 1 1 即 设 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , ? 1 ? ? n?1 ? n , ? n ?1 , ? ? n ?n. 2 2 2 2 an?1 2 2 2 an 2 an 2
由① ? ②得

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知



则 Tn ?

1 2

1 2 n ?1 n ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2

1 1 1 Tn ? ? 2 ? 2 2 2

1 1 (1 ? n ) 1 n 2 ? n ? 1 ? 1 ? n , ? T ? 2 ? 1 ? n .又 ? n ? n ?1 ? 2 n 1 2n ?1 2n 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2

n(n ? 1) 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n 1 ? 2 ? 3 ? ? ?n ? ? ? n . . ? 数列 { } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? 2 2 2 2 2 an
18 、(1)由已知 a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得:-

23 23 <d<- ,又 d∈Z,∴d=-4 5 6 6?5 (-4)=78 2

(2)∵d<0,∴{an}是递减数列,又 a6>0,a7<0 ∴当 n=6 时,Sn 取得最大值,S6=6×23+

(3)Sn=23n+ 12.

n( n ? 1) (-4)>0,整理得:n(50-4n)>0 2

∴0<n<

25 ,又 n∈N*,所求 n 的最大值为 2

19. (Ⅰ)由 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , 即

210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ?? a20 ) ? a11 ? a12 ? ?? a20 . 1 1 n ?1 10 10 ? n , n ? 1,2, ?. (Ⅱ)因为 {an } 是 因为 an ? 0 ,所以 2 q ? 1, 解得 q ? ,因而 a n ? a1 q 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . 则数列 {nS } 的前 n 首项 a1 ? 、公比 q ? 的等比数列,故 S n ? 2 n n 1 2 2 2n 2n 1? 2
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项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ?

1 1 2 n ?1 n 1 2 n T ? ? ? n ), n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 前两式相减,得 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 1 n n(n ? 1) 2 2 ? n ? n ?1 ? n ? 2. 即 Tn ? ? ? n ?1 1 2 2 2 4 2 1? 2
② 总收入:b1=800 万元, 5 n 1-( ) 4 bn = 400× 5 14

20、●解、①总投入:a1=800 万元, 4 n 1-( ) 5 an = 800× 4 15

4 n 5 n =4000[1-( ) ] = -1600[1-( ) ] 5 4 4 n 5 n 4 n 2 2 考查 bn- an >0 则 5×( ) +2×( ) -7>0;设 ( ) =x,则 5x -7x+2> 0 从而有 x< 即 5 4 5 5 21.解: (1){an}为等差数列, a 3 ? a 6 ? a 1 ? a 8 ? ? 求得 a1 ? 1 ,a 8 ? ?

4 n 2 ( ) < , 则有 n≥5 5 5

1 4 ,又 a 1 ? a 8 ? ? 且 a1 ? a 8 3 3
∴ a n ? 1 ? ( n ? 1) ? ?

4 3

公差 d ?

a 8 ? a1 1 ?? 7 3

1 3

1 3

n?
∴2

4 3
?

n ? N*
2 ? ( n ?1)?2 2
?n ? 2

(2) b1 ? a1 ? 1, b2 ? a 4 ? 0

∴ b n ? a 3n ?2 ? ? (3n ? 2) ?

1 3

4 ? ?n ? 2 3

b n ?1 bn

2

?

1 2

∴{ 2 n }是首项为 2,公比为 1 的等比数列
2

b

∴{ 2

bn

}的所有项的和为

2 1 1? 2

?4

数列测试题(2) : 1、C ;2、C ;3、D ;4、C;5、B ; 6、C; 7、B;8、B;9、C ;10、B

? ?1? ? n 2 n 11、 S n ? 12?1 ? ? ? ? ;12、an = ;13、n ·2 ;14、n≥10;15、n≥63 2n+1
n

? ?

? 2? ? ?

16 .

解:设数列

?an ?

的 公 差 为 d , 则 a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d ,
2

2 ,即 ( a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d .由 a3,a6, a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 10 ? d )( 10 ? 6 )d ( ? 10 2? ) d

,整

d ? 1d 0? 理得10
2

0 ,

解 得 d ? 0 或 d ? 1 . 当 d ? 0 时 , S2 0 ? 2 0 a 4? 2 0 . 0 当 d ?1 时 ,

a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3?1 ? 7 ,于是 S20 ? 20a1 ?
17、解: (1)根据韦达定理,得α+β=

20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . 2

an ?1 1 ,α? β= ,由 6α-2αβ+6β=3 得 an an

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2 a 2 1 1 2 1 1 1 2 3 ? 1, 6 ? n?1 ? ? 3, 故an?1 ? an ? (2)证明:因为 an ?1 ? ? an ? ? (an ? ), 所以 2 an an 2 3 3 2 3 2 3 2 an ? 3 an ?1 ?
18.解: (1) ∵an?1 ?1 ? c(an ?1)

∴ 当 a ? 1 时, ?an ?1? 是首项为 a ? 1 ,公比为 c 的等比数列。

∴an ?1 ? (a ?1)cn?1 ,即 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 。当 a ? 1 时, an ? 1 仍满足上式。 ∴ 数列 ?an ? 的
通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) 。 (2) 由(1)得 bn ? n(1 ? a)c
n ?1

1 ? n( ) n 2

Sn ? b1 ? b2 ?

? bn ?

1 1 ? 2( ) 2 ? 2 2

1 1 1 1 ? n( ) n Sn ? ( ) 2 ? 2( )3 ? 2 2 2 2

1 ? n( ) n ?1 2

1 1 1 ∴ Sn ? ? ( )2 ? 2 2 2 1 ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) n 2

1 1 1 1 ? ( ) n ? n( ) n ?1 ∴ Sn ? 1 ? ? ( ) 2 ? 2 2 2 2

1 1 1 1 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n 2 2 2 2

19 . 解 : ( Ⅰ ) 设 ?an ? 的 公 差 为 d , 由 已 知 条 件 , ?

? a1 ? d ? 1 , 解 出 a1 ? 3 , d ? ?2 . 所 以 ? a1 ? 4d ? ?5

(Ⅱ)S n ? na1 ? an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 .

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 .所以 n ? 2 时,Sn 取 2

到最大值 4 . 20、解、设乙企业仍按现状生产至第 n 个月所带来的总收益为 An 万元,进行技术改造后生产至第 n 个月所 2 2 带来的总收益为 Bn ①An=45n-[3+5+?+(2n +1)]=45n-(n +2n)=43n-n 3 5 3 n 16[( ) -1] 16[( ) -1] 2 2 3 4 ②当 n≥5 时, Bn= +16· ( ) · (n-5) -400=81n-594 当 n≤4 时, Bn= -400=16[2 3 2 3 -1 -1 2 2 3 n ( ) -27]<0 显然,在前 4 个月里,对乙企业的技改投资未能收回,当 n≥5 时,Bn - An=n2+38n-594>0, 2 则 n≥12, 所以,至少经过 12 个月,改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益 21、解、①

a
n

n

+2·

a

n

·

a

n?1



a

n?1

=0,则

1

a


n

1

a

=2 则

n ?1

a

n

=

1 2n ? 1



a ·a
3

6

=

1 ,是第 28 55

项;③

c =a
n

·

a

n ?1

=

1 1 1 1 1 1 1 · = · ( - ) 则Sn= · (1- ) 2 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

附(备选例题) : 1、解:(Ⅰ) an?1 ? 2an ? 2n ?

an ?1 an a an ? n- ? 1 ? n+1 - n- =1 即 bn+1-bn =1,所以数列 ?bn ? 是等差 n 1 n 2 2 2 2 1
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数列 (Ⅱ)由(Ⅰ)

an 1 ? 0 ? (n-1) ? 1 ? n ,所以 an ? n 2n?1 所以 n-1 2 2

Sn ? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ??? n2n-1 ? 2Sn =
? -Sn ? 20 ? 21 ? 22 ??? 2n-1-n ? 2n ?

21 +2 ? 22 +…+(n- 1)2n-1 +n ? 2n

1-2n -n ? 2n ? (- 1 n) ? 2n - 1 ?Sn =(n- 1) ? 2n +1 1-2
由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即

2、解:设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 d.

d=1.所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 an ? 2 n ? 1. (II)证明因为

1 1 1 ? n?1 ? n ,所 n an?1 ? an a ? 2 2



1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an 2 2 2 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2

n(n-1) 3、解、①设 n 分钟后第一次相遇,则 2n+ +5n=70;∴n=7 2 n(n-1) ②设 n 分钟后第二 次相遇 ,则有 2n+ +5n=70×3;∴n =15 2 4、解、①依题意,有 An=(500-20)+(500-40)+(500-60)+?+(500- 1 1 1 500 2 2n)=490n-10n Bn=500[(1+ )+(1+ 2)+?+(1+ n)]-600=500n- n -100 2 2 2 2 50 50 考查 Bn - An =10[n(n+1)- n -10]而函数 y=x(x+1)- x -10 在(0,+∞) 上为增函数,当 n=1 或 2 或 3 时, 2 2 50 50 50 n(n+1)- n -10 <0 当 n≥4 时,n(n+1)- n -10≥20- -10>0;∴仅当 n≥4 时,Bn>An 2 2 16 ∴至少经过 4 年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 5、解、①转化条件:?(1,1)=1; ?(m,n+1)=?(m,n)+2; ?(m+1,1)=2?(m,1) ; ②所求: ? (1,n+1)=?(1,n)+2 ?等差数列;?(1,n)=?(1,1)+2(n-1)=2n-1; ?(m+1,1)=2?(m,1) ?等 m-1 m-1 m-1 比数列;?(m,1)=?(1,1)×2 =2 ;?(m,n+1)=?(m,n)+2;则?(m,n)=?(m,1)+2(n-1)=2 +2n-2

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