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高中数学 数列 专题练习及答案精析版含答案(68页)


高中数学 数列 专题练习及答案

1.数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N *) .若则 b3 ? ?2 ,

b10 ? 12 ,则 a8 ? ( )
(A)0 (B)3 (C)8 (D)11 ) D. ?2 ) 2.已知 ?an ? 是等比数列,且 a1 ?

2 , a4 ? A. 2 B.

1 2

1 ,则公比 q ? ( 4 1 C. ? 2

3.n 个连续自然数按规律排成下表, 根据规律, 2011 到 2013, 箭头的方向依次为 (

A.↓→

B.→↑

C.↑→

D.→↓

4. 等差数列 ?an ? 中,a1 ? a4 ? a7 ? 39 ,a3 ? a6 ? a9 ? 27 , 则数列 ?an ? 前 9 项的和 S9 等于( A.66 ) B.99 C.144 D.297

5.已知 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 a3 ? a8 ? a11 ? a15 ? 4 ,则 S15 ? S 5 的值是 A、5 B、8 C、16 D、20

6.等差数列 ?an ?中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 a9 ? a11 ? ( A、17 B、16 C、15 D、14 )

1 3



7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于( A.1 B.

5 3

C.- 2

D. 3 )

8.已知等差数列 ?an ? 中 a4 ? a7 ? 42,则前 10 项和 S10 ? ( A.420 B.380 C.210 D.140

9. 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S8 ? 30, S4 ? 7 ,则 a4 的值等于( A.



1 4

B.

9 4

C.

13 4

D.

17 4

10 .已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 前 n 项和为 Sn ,且点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在一次函数

y ? x ? 1 的图象上,则

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

1 =( Sn



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A.

2n n ?1

B.

2 n(n ? 1)

C.

n(n ? 1) 2

D.

n 2(n ? 1)

11.数列 等于 A. -2

?an ? 中,a1 ? 2, a2 ? 7
B.2 C.5



an?2 ? an?1 ? an (n ? N ? ) ,则 a2012
D.7

12 . 己 知 {

an

} 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ,

a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 4, 则a5 ? a6 ? a7 ? a8 ?
A.80 B.20 C.32 D.

255 3


13.在等差数列 {an } 中,已知 a3 ? 4 ,则该数列的前 5 项之和为( ( A )10 ( B )16 ( C )20 )

( D )32

14.在数列 {an } 中, a1 =1, an?1 ? an ? 2 ,则 a51 的值为( A.99 B.49 C.102 D. 101

15.已知等差数列{ an }的前 2006 项的和 S2006 ? 2008 ,其中所有的偶数项的和是 2, 则 a1003 的值为( A.1 ) B.2 C.3 D.4 )

16.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 17.在等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 18.设数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn,且 an ? ?2n ? 1,则数列 { A. ? 45 B. ? 50 C. ? 55 )

Sn } 的前 11 项和为 ( ) n
D. ? 66 ( )

19.在数列 ?a n ? 中, a1 ? 2, 2an+1 =2an +1,n ? N * , 则 a101 的值为 A. 49 B. 50 C. 51 D.52

20.设数列 {an } 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是数列 {an } 是递增数列的( (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 21.以下各数不能构成等差数列的是 ( ) A.4,5,6 B.1,4,7 C. 2 , 2 , 2 22.等比数列 A. ?? ? ,?1? D. 2 , 3 , 5 )



?an ?中,若 a2 ? 1 ,其前 3 项和 S3 的取值范围是(
B. (?? ,0) ? (1,??)
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C. ?3,???

D.

?? ? ,?1? ? ?3,???

23.已知数列 ?an ? 为等比数列, S n 是它的前 n 项和,若 a2 a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2a 7 的等 差中项为 A.35

5 ,则 S 5 = 4
B.33 C.31 D.29

24.已知等差数列 {an } 中, a 7 ? a9 ? 16 , s11 ? A. 15 B.30

99 , 则 a12 的值是 2
D.64 )

C.31

25.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若

S8 S ? 3 ,则 16 ? ( S4 S8
C.

A.

4 3

B.

10 3

9 5


D. 3

26.在等比数列{an}中,若 a3a5a7 a9 a11 =243,则

2 a9 的值为( a11

A.9 B.1 C.2 D.3 27.在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,?中, x 等于( A.11 B.12 C.13 D.14 28.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , 2an?1 ? 2an ? 1,则 a101 的值为 A.49 B.50 C.51 (





D.52

1 等差数列 ?a n ? 中,已知 a1 ? ,a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33, 则n为 3 29. (
A.48 B.49 C.50 D.51



30.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 ? 5 项和为( ) (B)

?1? ? 的前 ? an ?

85 (A) 32

31 16

(C)

15 8

(D)

85 2
) D.8 )

31.已知等比数列 ?an ? 的前三项为 1, 2 ,2,则 a7 ? ( A.4 B. 8 2 C. 4 2

32.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 ,S6 ? 36 ,则 a7 ?a8 ?a9 ? ( A.63 B.45 C.36 D.27 )

33.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 5 等于( A.13 B.14 C.15 D.16 )

34.已知在等差数列中, A. ? 1 B.1

a2 ? 3, a5 ? 6 ,则公差 d ? (
C.2 D.3

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35.在等差数列 {an } 中,前 n 项和为 S n ,且 S 2011 ? ?2011 , a1007 ? 3 ,则 S 2012 的值为 A.2012 36. lim B.1006 C.-1006 = ( D.0 ) D.-2012

1? 2 ? 3 ? n ?? n2
B.4

?n

A.2

C.

1 2

37.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 A. ?

S4 ? 5 ,则公比 q = S2
D.2 )





1 2

B.

1 2
2

C. ?2


38.在数列 {an } 中,Sn=2n -3n(n?N ),则 a4 等于 ( A.11 B.15 C.17 D.20

39.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn (n?N*) ,且 an ? 2n ? ? ,若数列{Sn}为递增数 列,则实数 λ 的取值范围为( ) A.[﹣3,+∞) B.(﹣3,+∞) C.(﹣4,+∞) D.[﹣4,+∞)

40.若函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1), an ? f ?1 (n), 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 则 lim

Sn ? n 等于 x ?? an

A.0

B.

1 2

C.1

D.2
2 2

41.等差数列 {an } 的公差 d ? 0, 且 a1 ? a11 ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 取得最大值时 的项数 n 是( ) A.5 B.6 C.5 或 6 D.6 或 7

42.已知数列 {an } 为等差数列,若

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 a10

Sn ? 0 的 n 的最大值为(



A. 19 B. 11 C. 20 D. 21 43.设等比数列 ?a n ? 的公比 q ? 2, 前 n 项和为 S n , 若 S 4 ? 1, 则 S 8 ? ( A. 17 B.
1 17



C. 5

D.

1 5

44.在数列 1,1, 2,3,5,8, x, 21,34,55 中, x 等于( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 )

45.若数列 ?n(n ? 4)( ) n ? 中的最大项是第 k 项,则 k ? ( A.4 B.5 C.6 D.7

? ?

2 ? 3 ?

46.已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 。若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,
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1 9 ? 的最小值为( m n 8 3
B.

)

A.

11 4

C.

14 5

D.

17 6

47.已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 48.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? ? ? a101 ? 0 ,则 A. a1 ? a101 ? 0 B. a2 ? a101 ? 0 C. a3 ? a99 ? 0 ( ) D. a51 ? 51 )

49.已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A. ??
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?

B. 5

C. ?? )

D. 7

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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特级教师 王新敞
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50.在数列 1,1,2,3,5,8, x,21 ,34,55 中, x 等于(

B. 12 C. 13 D. 14 f (0) ? 1 2 51.设 f1 ( x) ? ,则 a2009 等于( , f n ?1 ( x) ? f1[ f n ( x)] ,且 an ? n 1? x f n (0) ? 2 A. 11
1 A. ( ) 2010 2 1 B. (? ) 2009 2 1 C. ( ) 2008 2



1 D. (? ) 2007 2

52.在等差数列 ? an ? 中, a3 ? a7 ? a10 ? 8 , a11 ? a4 ? 4 ,则 S13 等于 C A.152 B.154 C.156 D.158 53.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 +a8 +a14 +a20 =20 ,若 am ? 5 ,则 m 为 (A) 11 (B) 12 (C) 22 (D) 44 54.在等比数列 ?an ? 中, S 4 ? 1, S8 ? 3, 则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值是 A.14 B.16 C.18 D.20 )

55.已知 {an } 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 18, a2 ? a4 ? a6 ? 24 ,则 a20 等于(

A. 10 B. 20 C. 40 D.80 56. 等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之 和是( ) (A)90 (B)100 (C)145 (D)190 57. 已知-1,a1 , a 2 ,?4 成等差数列, -1,b1 ,b 2 , b3 ,?4 成等比数列, 则 A.

a2 ? a1 ?( b2



1 4

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

1 1 或? 2 2

58.已知 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,公比 q ? 1, 且 bi ? 0(i ? 1,2,?n) ,若

a1 ? b1 , a11 ? b11 , 则(
A. a6 ? b6

) C. a6 ? b6 D. a6 ? b6 或 a6 ? b6

B. a6 ? b6

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59.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 Sn ? 3 ? 2an (n ? N ?) ,则这个数列一定是( A.等比数列 C.从第二项起是等比数列 B.等差数列 D.从第二项起是等差数列 ) D.4 )



60.已知等差数列 {an } , a1 ? 1, S5 ? 15, 则它的公差是( A.1 B.2 C.3

61.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 =( A.10 B.18 C.20 D.28

62.[2014?湖北模拟]已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1,

1 a3,2a2 成等差数 2

列,则

a9 ? a10 =( a7 ? a8

)

A.1+ 2

B.1- 2

C.3+2 2

D.3-2 2

63 . . 在 等 比 数 列 ?a n ? 中 , an?1 ? an , a2 ? a8 ? 6, a4 ? a6 ? 5 , 则

a5 等 于 a7

A.

5 6

B.

6 5

C.

2 3

D.

3 2

64.已知等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 ,48 成等差数列,则 {an } 的前 8 项和为 ( ) A.127 B.255 C.511 D.1023 65.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 成等差数列,则角 B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 66 .已知等差数列 {an } 中, a1 ? 0, a2003 ? a 2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和

Sn ? 0
( )

















n



A. 4005

B. 4006

C. 4007

D. 4008


67.等差数列 ?an ? 的前项 n 和为 S n ,若 a2 ? a6 ? a7 ? 18 ,则 S 9 的值为( A. 64 B. 72 C. 54 D. 84

68.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等 于( A.30 ) B.45 C.90 D.186 .

69.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2n?1 ?1 ,则通项公式为 70.若等比数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? 3n ? r ,则 r =( (A)0 (B)-1 (C)1 (D)3 )

71 . 等 比 数 列 {an } 中 , an ? 0 , 且 a2 ? 1 ? a1 , a4 ? 9 ? a , 3 则 a4 ? a5 ?
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( ) A. 16

B.27

C. 36

D. 54

72. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,a2 、a5 是方程 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,S 6 ? ( A. )

9 2

B. 5

C. ?

9 2

D. ? 5 )

73. 在等差数列{an}中, 首项 a1=0, 公差 d≠0, 若 am=a1+a2+?+a9, 则 m 的值为( A.37 B. 36 C.20 D.19 74.已知 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9 ,则 S9 ? A. 24 75.设等差数列 ( ) A.24

?an ?的前 n 项和为 S
B.19

B. 27

C. 15
n ,若 S9

D. 54

? 72 ,求 a2 ? a4 ? a9 的值是
D.40

C.36

? 76.数列 ?an ? 满足: an?2 ? an?1 - an ( n ? N ) ,且 a2 ? 1 ,若数列的前 2011 项之和

为 2012,则前 2012 项的和等于 A.0 B. 1

C.2012

D.2013

77. 已知各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1a2a3 ? 5 , a7 a8a9 ? 10 ,则 a4 a5a6 ? A. 5 2 B. 7 C. 6 D. 4 2

78.在各项均为正数的等比数列

?bn ? 中,若 b b =3,则
7 8

log3 b1 ? log3 b2 ? ? ? log3 b14 =(

)

A.5 B. 6 C.7 D.8 79.数列 0,0,0,0?,0,? ( ). A、是等差数列但不是等比数列 B、是等比数列但不是等差数列 C、既是等差数列又是等比数列 D、既不是等差数列又不是等比数列 80.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64 ( )

81 . 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列

?an ?

中 , 若 a5 ? a6 ? 9 , 则

log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? (
A.8 82.假设实数 B.10 C.12

) D. 2 ? log3 5

a1 , a2 , a3 , a4 是一个等差数列﹐且满足 0 ? a1 ? 2 及 a3 ? 4 ﹒若定义函数

f n ( x) ? an x ,其中 n ? 1, 2,3, 4 ﹐则下列命题中错误的是( )
A.

f 2 (a2 ) ? 4

B. f1 (a2 ) ? 1

C. 函数 f 2 ( x) 为递增函数

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D. ?x ? (0, ??) ,不等式 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? f3 ( x) ? f 4 ( x) 恒成立. 83.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n

1 n

) D. 1 ? n ? ln n )时

84.已知数列 {an } ,其通项公式为 an ? 3n ? 17 ,则其前 n 项和 Sn 在 n 为( 获得最小值 A.4 B.5 85. 已知数列 A.0 B. 1 C.6 满足, C. 2 D.3 D.7 ,则 的整数部分为

86.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

a5 5 S = ,则 9 等于 a3 9 S5
D.

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A.1

B.-1

C.2

1 2

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87.在等差数列{an}中,若 a2+a3=4,a4+a5=6,则 a9+a10= (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 88.公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a2 , a3 , a6 成等比数列,则其公比为( A.1 B.2 C.3 D.4 )
n?2



89.若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? A. ? ? ? ?2 ? D. ? ?2 ?
n ?1

2 1 an ? ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? ( 3 3
B. ?
n ?1? ? ? ?2 ? ?2?

?1? ?2?

n ?1

C. ? ?2 ?

90.已知数列 {an } 中, a3 =2, a 7 =1,若 { A. ?

1 } 为等差数列,则公差等于( 2an
D.



1 4

B.

1 2

C.

1 4

1 16

91.已知 ?an ? 为等差数列,a1 + a3 + a5 =105,a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项 和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 92 .若数列 ? an
n ??

) C.19 D.18 m 、 n ,都有 am?n ? am an ,则

B.20

? 满足: a1 ? 1 ,且对任意正整数
3
) C、

lim(a1 ? a2 ? ? an ) ? (
A、

3 D、2 2 93. 首项为 ?10 的等差数列, 从第 10 项起开始为正数, 则公差 d 的取值范围是 (
B、
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1 2

2 3

) .

A. d ?

20 9

B. d ?

10 9

C.

20 5 ?d ? 9 2

D. 10 ? d ? 5
9

4

94.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 ( )

95.如果等差数列 ?a n ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12, 则 a1 ? a 2 ? ... ? a7 ? A.14 B.21 C.28 D. 35

96. .数列 {an }满足a1 ? 10, an?1 ? an ? 18n ? 10(n ? N * ), 记 [ x ] 表示不超过实数 x 的 最大整数,令 cn ? A. 2

an ? [an ] ,当 cn ? 3n ? 10 时, n 的最小值是
B. 1 C. 3 D. 4

97.由数列 1,10,100,1000,?猜想数列的第 n 项可能是________. 98.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶 数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大顺序排成一列,得到一个数 列 ?an ? ,若 an ? 2013 ,则 n ? ________. 1 2 5 10 17 35 36

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 36 .. 图甲

4 7 9 12 14 16 19 21 23 26 28 30 ..

25 32

34

图乙

99.已知-7, a1 , a2 ,-1 四个实数成等差数列,-4, b1 , b2 , b3 ,-1 五个实数 成 等比数列,则

a2 ? a1 = b2

100. (2013?重庆)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1,a2, a5 成等比数列,则 S8= _________ . 101 . 等 比 数 列 { an } 的 公 比 为 q , 其 前 n 项 和 的 积 为 Tn , 并 且 满 足 下 面 条 件

a1 ? 1, a99 ? a100 ? 1 ? 0,;

a99 ? 1 ? 0. 给出下列结论:①0<q<1;②a99?a100—1<0;③T100 a100 ? 1

的值是 Tn 中最大的;④使 Tn>1 成立的最大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是: (写出所有正确命题的序号) 。 102.已知数列 ?an ? 是各项正的等比数列,且 a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 49 ,则 a3 ? a5 = 103.在数列 {an } 中,如果存在非零的常数 T ,使 an?T ? an 对于任意正整数 n 均成立,
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就称数列 {an } 为周期数列,其中 T 叫做数列 {an } 的周期. 已知数列 {xn } 满足

xn?2 ?| xn?1 ? xn | ( x ? N ? ) ,若 x1 ? 1, x2 ? a (a ? 1, a ? 0) ,当数列 {xn } 的周期为 3
时,则数列 {xn } 的前 2012 项的和为 104.在等差数列 ?an ? 中有性质: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2n?1 ? ?2n ? 1?an ( n ? N ? ) , 类比这一性质,试在等比数列 ?bn ?中写出一个结论: .

105. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格, 即根据商品的最低销售限价 a , 最高销售限价 b ?b ? a ? 以及常数 x ( 0 ? x ? 1 )确定实际销售价格 c ? a ? x?b ? a ? , 这里 , x 被称为乐观系数 . 经验表明,最佳乐观系数

x 恰好使得 ?c ? a ? 是 ?b ? c ? 和
__.

?b ? a ? 的等比中项,据此可得,最佳乐观系数 x 的值等于__
2 ? a3 , a4 ? 8 ,则 Sn ? ___________. 106.等比数列 {an } 中, a2

107.已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , Sn ? n2 ? 2n ,则 a4 ? a5 ? a6 ? 108.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 10, S 20 ? 30, ,则 S 30 ? 109.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a 2 ? 3 , a 6 ? 11 ,则 S 7 ? 110. 等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 = 111.设 Sn 是有穷数列{ an }的前 n 项和,定义: Tn ?





S1 ? S2 ? n

? Sn

为数列{ an }

的“Kisen”和.如果有 99 项的数列:a1 , a2 , ? a99 的“Kisen”和 T99 ? 1000,则有 100 项的数列:1, a1 , a2 , ? a99 的“Kisen”和 T100 = . .

112.在 8 和 36 之间插入 6 个数, 使这 8 个数成等差数列, 则插入的 6 个数是

113.等差数列 ?an ? 中, a3 ? a11 ? 8 , 数列 ?bn ? 是等比数列,且 b7 ? a7 ,则 b6 ? b8 的值 为 .

114.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则

an 的最小值为_________. n

115.定义等积数列:在一个数列中,若每一项与它的后一项的积是同一常数,那么这 个数列叫做等积数列,这个数叫做公积。已知等积数列 {an } 中, a1 ? 2, 公积为 5,当 n 为奇数时,这个数列的前 n 项和 S n =_________。 116.已知数列 {an } 满足:当 n ? (

(k ? 1)k k (k ? 1) * k ?1 , ] ( n, k ? N )时, an ? (?1) ? k , 2 2

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Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,定义集合 Tm ? {n | Sn 是 an 的整数倍, n, m? N* ,且
1 ? n ? m } , card ( A) 表 示 集 合 A 中 元 素 的 个 数 , 则

a15 =



card (T15 ) ?

.

117.数列{ an }中, an?1 ? an?2 ? an , a1 ? 2, a2 ? 5 ,则 a5 为___________. 118.等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? 324 , a3 ? a4 ? 36 ,则 a5 ? a6 = 119.设正项数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,若 ?an ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等, 则 a1 ? d ? 120.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, a4 ? 5 , S5 ? 20 ,则 S6 ? _______. 121.数列 {an } 的通项公式为 an = 于______________ 122. 设 ?an ? 是等差数列, 且 a2 ? a3 ? a4 ? 15 , 则这个数列的前 5 项和 S5 ? ___________ 123.已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 ,已知它的前 n 项和 sn =6 ,则项数 n 等 n ?1 ? n

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,则 a7 =_____________. 2 4n ? 1

2 124.已知 an ? 1 n ?1

n an ? 1 ,则 lim n?? n
n

.

?1? 125. 若数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? ? ? , 设 Sn ? a1 ? 4a2 ? 42 a3 ???? ? 4n?1 an , 4 ? ?

? n ? N ? ,类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 5S
?

n

? 4n an ?

.

? a11 ? 126. .由 9 个正数组成的数阵 ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? 中,每行中的三个数成等差数列, a33 ? ?

且 a11+a12+a13,a21+a22+a23,a31+a32+a33 成等比数列.给出下列结论: ①第二列中的 a12,a22,a32 必成等比数列;②第一列中的 a11,a21,a31 不一定成等比 数列; ③a12+ a32≥a21+a23; ④若 9 个数之和大于 81,则 a22>9. 其中正确的序号有 . (填写所有正确结论的序号) . 127.数列 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? a4 ? a5 ? 9 , S7 ?
2

. _.

128.数列{ an }的前 n 项和为 Sn = n + 2n ,则数列{ an }的通项公式 an =

试卷第 11 页,总 19 页

129.等差数列 8,5,2,…的第 20 项是

. .

130.已知数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1 , a n ? 1 ? 2a n ? 1 ,则 ?a n ? 的通项公式为

131.设正数数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,若 ?an ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等, 则

a1 ? d ? __

_.

(i1 , i2 , i3 ,?, in ) n p, q ?{1, 2,3, (in , in?1, , i1 )

, n} p ? q i p ? iq i p i q (i1 , i2 , i3 ,

, in ) n

133. 等差数列 ?an ? 共有 2n ? 1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项 之和为 290,则其中间 项为 .

134.已知等差数列 ?an ? 中, Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? ?3 , S5 ? S10 ,则当 Sn 取到最 小值时 n 的值为_________. 135.在等差数列 {an } 中,若 a7 ? a8 ? a9 ? 3 ,则该数列的前 15 项的和为 136. 已知数列{an}满足 a1=1, a2=-2, an+2=- .

1 , 则该数列前 26 项的和为________. an

137.已知数列{an}中,an= 138.本小题 11 分

n ? n ? N * ? ,求数列{an}的最大项. n ? 15.6

已知数列 ?an ? 是等差数列, a3 ? 5, a6 ? 11 且, Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 及前 n 项和 Sn 。 (2)设正项等比数列 ?bn ? 满足 b3 ? 4 , b4b5b6 ? 2 ,数列 ?bn ? 的通项公式 bn
12

(3)在(2)的条件下若 Tn ? a1b1 ? a2b 2 ?? ? an bn ,求 Tn 的值。 139 . 设 曲 线 C : x 2 ? y 2 ? 1 上 的 点 P 到 点 An ? 0, an ? 的 距 离 的 最 小 值 为 dn , 若

a0 ? 0 , an ? 2dn?1 , n ? N*
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:

a1 a3 ? ? a3 a5

?

a2 n?1 a2 a4 ? ? ? a2 n?1 a4 a6
*

?

a2 n ; a2 n? 2 1 1 ? 3? a13 a2 ? 1 ? M 成立?请 3 an

(3)是否存在常数 M ,使得对 ?n ? N ,都有不等式: 说明理由.
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140.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? (1)设 bn ?

1 1 n , an ? (1 ? )an ?1 ? n 2 n ?1 3

an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和. 141.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn+c(n?N*) ,且 S1=3,S2=7,S3=13, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 ?
? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn. a a ? n n ?1 ?

142.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图象经过坐标原点,与 x 轴的另一个交点为 ( ,0) ,且

2 3

1 1 f ( ) ? ? ,数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,点 (n, Sn ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上. 3 3
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2n

143.已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公 式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。 144. ( (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 4 , an ? 4 ?

4 1 . (n ? 2) ,令 bn ? an ?1 an ? 2

(1)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 145.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是首项为 19 ,公差为 - 2 的等差数列. 求通项 an ; 设 ?bn ? an ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和

Sn .
146 . 对 于 数 列 {an } , 规 定 数 列 {?an } 为 数 列 {an } 的 一 阶 差 分 数 列 , 其 中

?an ? an?1 ? an (n ? N ? ) ; 一 般 地 , 规 定 {?k an } 为 {an } 的 k 阶 差 分 数 列 , 其 中

?k an ? ?k ?1an?1 ? ?k ?1an , 且 k ? N ? , k ? 2 .(I) 已 知 数 列 {an } 的 通 项 公 式
an ? 5 2 13 n ? n(n ? N ? ) 。 试 证 明 {?an } 是 等 差 数 列 ; ( II ) 若 数 列 {an } 的 首 项 2 2
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a1 ? ?13 ,且满足 ?2an ? ?an?1 ? an ? ?22n ,(n ? N ? ). ,求数列 {
通项公式; 147.(本小题满分 14 分)

an ?1 an ? } 及 {an } 的 2n ?1 2n

将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表 :

a1 a2 a4 a7 a3 a5 a8 a6 a9 a10

????????? 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 ?bn ? ,b1 ? a1 ? 1 .Sn 为数列 ?bn ?

Sn 2 的前 n 项和,且满足 bn ? (n ? 2) . Sn ? 2
(1)证明:

1 1 1 ? ? Sn Sn?1 2

(n ? 2) ;

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公 比为同一个正数.当 a94 ? ?

9 时,求上表中第 k (k ? 3) 行所有项的和. 105

148.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

?1? ? log3 an ,求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?

149.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 an=Sn-1+2(n≥2) ,a1=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 数 n,有 Tn>
1 ,Tn=bn+1+bn+2+?+b2n,是否存在最大的正整数 k,使得对于任意的正整 log 2 a n
k 恒成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 12

150..(本小题满分 12 分) 设数列 且

?an?,?bn? 的各项均为正数,若对任意的正整数 n ,都有 an , bn2 , an?1 成等差数列, ?bn ? 是等差数列;
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2 2 bn , an?1, bn ?1 成等比数列.

(Ⅰ )求证数列

(Ⅱ )如果

a1 ? 1, b1 ? 2 ,求数列。的前。项和。

151.等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 S n 。 152.已知数列 (Ⅰ)若

{an } 是递增数列,且满足 a3 ? a5 ? 16, a2 ? a6 ? 10.

{an } 是等差数列,求数列 {an } 的通项公式; {an } ,令
bn ? ( a n ? 7) ? 2n 3 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .
*

(Ⅱ)对于(Ⅰ)中

153.(2013?安徽高考)设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n?N ,函数 f(x) = ? an ? an?1 ? an?2 ? x+an+1cos x-an+2sin x 满足 f′ ? (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2 ? an ?

?? ? ? =0. ?2?

? ?

1 2an

? ? ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ?

154.已知 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 , (1)求 a2 , a3 , a4 , a5 ;

(2)求证: ?an ?1 ? 是等比数列;并求出 an 的表达式. 155 . 在 ?ABC 中 , 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为

a , b , c ,已知

sin B(tan A ? tanC ) ? tan A tanC .
(1)求证: a , b , c 成等比数列; (2)若 a ? 1 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 156. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? ?14, 6an?1 ? 5an ? 1 , (1) 证明: ?an ?1 ? 是等比数列; (2)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出 n 为何值时, Sn 取得最小值,并说明理由。 (参考数据: log 5
6

2 ? 13.9 ) 25

157. (文科只做(1) (2)问,理科全做) 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是 函 数 f ( x) ?

1 x 图象上任意两点,且 ? log 2 2 1? x

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1 2 n ?1 Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ,其中 n ? N * 且 n≥2, n n n (1) 求点 M 的纵坐标值;
(2) 求 s 2 , s3 , s 4 及 S n ; (3)已知 a n ?

1 OM ? (OA ? OB) 2









M











1 2







1 ,其中 n ? N * ,且 Tn 为数列 {a n } 的前 n 项和,若 ( S n ? 1)(S n?1 ? 1)

Tn ? ? ( S n ?1 ? 1) 对一切 n ? N * 都成立,试求 λ 的最小正整数值。
158 .已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ?1 ,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 ,

b4 ? 7 .
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求证 Tn ? . 2 bnbn ?1

159. (本小题共 13 分) 若有穷数列{an}满足: (1) 首项 a1=1, 末项 am=k, (2) an+1= an+1 或 an+1=2an , (n=1,2,?,m-1) ,则称数列{an}为 k 的 m 阶数列. (Ⅰ)请写出一个 10 的 6 阶数列;
3 1 2 (Ⅱ)设数列{bn}是各项为自然数的递增数列,若 k ? 2 ? 2 ? 2 ?

b

b

b

+2bl (l ? N ,

且 l ≥ 2) ,求 m 的最小值. (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 160. (本小题满分 16 分)已知点B1 (1, y1 ), B2 (2, y2 ),?, Bn (n, yn ),? (n ? N*)

顺次为直线 y ?

1 1 x ? 上的 点,点 A1(x1,0),A2(x 2 ,0),?,An(xn,0),?顺次为 x 4 12

轴上的点,其中 x1=a(0<a≤1).对于任意 n?N*,点 An、Bn、An+1 构成以 Bn 为顶点的 等腰三角形.(1)求数列{yn}的通项公式,并证明它为等差数列;(2)求证:x n ? 2 - x n 是 常数,并求数列{ x n }的通项公式;(3)上述等腰Δ AnBnAn+1 中是否可能存在直角三角 形,若可能,求出此时 a 的值;若不可能,请说明理由. 161. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 5, S 15? 225. (1)数列 {bn } 满足: bn?1 - bn ? an (n ? N * ), b1 ? 1, 求数列 {bn } 的通项公式;

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(2)设 cn ? 2 an ?1 ? 2n, 求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 162. 已知等比数列 {an } 中, a4 ? a2 ? a2 ? a3 ? 24 .记数列 {an } 的前 n 项和为 S n . (1) 求数列 {an } 的通项公式; ( 2 ) 数 列 {bn } 中 , b1 ? 2, b2 ? 3 , 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 Tn 满 足 :

Tn ?1 ? Tn ?1 ? 2Tn ? 1
n ? 2, n ? N * ,



求: 令c n ?b

n?log ( s
2

? 1 ?1? ? ? 4), 证明 ? ? 前n项的和小于 . n 2 ? ?cn ? ?

163.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a2 = 2,a5 = 16,求: (1)a1 与公比 q 的值; (2)数列前 6 项的和 S6 . 164.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ?的各项均为正数,

b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ?

S2 . b2
1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n Sn
2 n

(Ⅰ)求 an 与 b n ; (Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 c n ?

165. (本小题满分 12 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (2 ? )an (1)设 bn ?

an ,证明数列 {bn } 是等比数列并求数列 {bn } 的通项公式 n

(2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 166.某国银行 A 提供每月支付一次、年利率为 7%的复利存款业务,而银行 B 提供每天 支付一次、年利率为 6.9%的复利存款业务,问哪种效益好? 167. (本题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且 a4 ? 16 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 {n ? an } 的前 n 项和 Tn . 168. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中的各项均为正数,且满足 a1 ? 2, 列 ?bn ? 的前 n 项和为 x n ,且 f ( xn ) ? (1)证明 ?bn ?是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;
1 xn . 2
an ?1 ? 1 2an 2 ? ? n ? N ? ? .记 bn ? an ? an ,数 an ? 1 an ?1

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(3)求证:

f ? xn ? n n ? 1 f ? x1 ? f ? x2 ? ? ? ?L ? ? ?n ? N? ? . 2 f ? x2 ? f ? x3 ? f ? xn ?1 ? 2

169.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件 (1)求数列 ?an ? 的通项公式和 Sn ; (2)记 bn ? an ? 2n?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 170 . 已 知 各 项 为 正 数 的 数 列

S2 n ? 4, n ? 1, 2, Sn



?a ?
n

的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足

(an ? 1 ) ( an4 ?

? , ? 1 )Sn 6 n? (N

)

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an (2)令 bn ?

m ? 1992 1 对一 (n ? 2), b1 ? 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn ? 3 an ?1an

切 n ? N * 恒成立,求 m 的最小值.

1 1 1 1 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) n ?1 4 8 2 ; 171.求和: 2
172.已知 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值. 173.已知 ? 为锐角,且 tan? ?

2 ? 1 ,函数 f ( x) ? 2 x tan 2? ? sin( 2? ?

?
4

) ,数列

{ an }的首项 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 S n . {nan} 174 . 已 知 数 列 {an} 是 等 差 数 列 , 数 列 {bn} 是 等 比 数 列 , 且 对 任 意 的 n ? N * , 都 有
n?3 a1 b1 ? a2 b2? a3 b? . 3 ??? ? an bn ? n 2

(1)若{bn }的首项为 4,公比为 2,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn; (2)若 an ? 4n ? 4 ,试探究:数列{bn}中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它

r (r ? N , r ? 2) 项的和?若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由.
175.已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ?19 , bn ? 2n .将 {an } 与 {bn } 中

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的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为 {cn } . (1)试写出 c1 , c 2 , c3 , c 4 的值,并由此归纳数列 {cn } 的通项公式; (2)证明你在(1)所猜想的结论.

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:因为 ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N *) .若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,所 以 bn ? an?1 ? an =d ? 由

b10 ? b3 =2, b1 ? b3 ? 2d =-6。 10 ? 3

a8 ? a7 ? b7 ,
a1 ? b7 .?

a7 ? a6 ? b6 ,

a6 ? a5 ? b5 ,......, a2 ? a1 ? b1 ,





a8 ?

7(b1 ? b7 ) 7(?6 ? 6) 所以 =3,故选 B。 . b6 ? . a8 ? b .3+ . . =3+ ? b1 , 5 ? 2 2

考点:本题主要考查数列的概念,等差数列的通项公式、求和公式。 点评:中档题,注意理解 bn ? an?1 ? an 是等差数列的公差。 2.B 【解析】 3.D 【解析】 试题分析:解:观察这 n 个连续自然数的排列规律,知:从 0 开始,依 4 为循环单位;∵ 2009=502?4+1,2010=502?4+2,2011=502?4+3,2012=502?4+0, 2013=502?4+1∴根据 规律,从 2011 到 2013 的箭头方向与从 1 到 3 的箭头方向一致,依次为“→↓”;故选 D. 考点:数列的规律 点评: 本题考查了数列的规律型应用问题,解题时要发现数列的排列规律,应用规律,从而 解答题目. 【答案】B 【解析】根据等差数列性质得:a1 ? a4 ? a7 ? 3a4 ? 39,? a4 ? 13 。a3 ? a6 ? a9 ? 3a6 ? 27

? a6 ? 9 。于是 S9 ?
5.D 【解析】

9(a1 ? a9 ) 9(a4 ? a6 ) 9(13 ? 9) ? ? ? 99 。故选 B 2 2 2

试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 S n 是 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 , 若

a3 ? a8 ? a11 ? a15 ? 4 ? (a3 ? a11 ) ? a8 ? a15 ? a6 ? a15 ? 4 ? S15 ? S5 ? a6 ? a7 ? a8 ? ? a15 ? 5(a6 ? a15 )
故可知所求的结论为 20,因此选 D. 考点:等差数列的性质 点评: 灵活的利用等差中项性质求解数列的前 n 项和的关系式是解决该试题的关键一步, 同 时考查了计算能力,属于基础题。 6.B 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 等 差 数 列

?an ?

中 , 若

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a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 a4 ? a12 ? a6 ? a10 ? 2a8 ?a8 ? 24?a1 ? 7d ? 24 ,而对于
(3a1 ? 24d ) ? (a1 ? 10d ) 2a1 ? 14d 2 1 a9 ? a11 ? ? ? a8 ? 16 故答案为 B. 3 3 3 3
考点:等差数列 点评:主要是考查了等差数列的等差中项性质的运用,属于基础题。 7.C 【解析】 试题分析:∵ s3 ?

3(a1 ? a3 ) ? 3a2 ? 6 ,∴ a2 ? 2 ,∴ d ? a2 ? a1 ? ?2 ,故选 C 2

考点:本题考查了等差数列通项公式及前 N 项和公式 点评:熟练掌握等差数列的通项公式及前 N 项和公式和性质是解决此类问题的关键 8.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 a4 ? a7 ? 42 得 : a1 ? 3d ? a1 ? 6d ? 42 , 即 2a1 ? 9 d?

4又 2

S10 ?

10 ? a1 ? a10 ? ? 5 ? 2a1 ? 9d ? ,所以 S10 ? 5 ? 42 ? 210 . 2

考点:等差数列通项公式及前 n 项和公式. 9.C

a ?a ? 1 S8 ? 1 8 ? 8 ? 4(2a1 ? 7d ) ? 30 ? ? ?a1 ? ? 2 【解析】因为 {an } 是等差数列,所以 ? ,解得 ? 4, ? S ? a1 ? a4 ? 4 ? 2(2a ? 3d ) ? 7 ? ?d ? 1 4 1 ? ? 2
所以 a4 ? a1 ? 3d ? 10.A 【解析】 试题分析:因为,数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 前 n 项和为 Sn ,且点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在一次函 数 y ? x ? 1 的图象上,所以, an?1 ? an ? 1 , an?1 ? an ? 1 , an =n,

1 13 ? 3 ?1 ? ,故选 C 4 4

sn ?

n(n ? 1) 1 2 1 1 , ? ? 2( ? ), 2 Sn n(n ? 1) n n ?1

所以

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

1 1 1 1 1 2n 1 )] = = 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ...... ? ( ? ,故选 A。 2 2 3 n n ?1 n ?1 Sn

考点:本题主要考查直线,等差数列的通项公式、求和公式, “裂项相消法” 。 点评:典型题,本题综合考查直线,等差数列的通项公式、求和公式, “裂项相消法” 。应该 注意到“分组求和法” “错位相减法”均是常常考查的数列求和方法。 11.D
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【解析】观察选项,发现几个备选项都是比较小的整数,如果数列 都不可能,故猜想它是个循环数列,验证如下: ∵ an?2 ? an?1 ? an ∴ a3 ? a2 ? a1 ? 7 ? 2 ? 5 ∴ a4 ? a3 ? a2 ? 5 ? 7 ? ?2 ∴ a5 ? a4 ? a3 ? ?2 ? 5 ? ?7 ∴ a6 ? a5 ? a4 ? ?7 ? (?2) ? ?5 ∴ a7 ? a6 ? a5 ? ?5 ? (?7) ? 2 ∴ a8 ? a7 ? a6 ? 2 ? (?5) ? 7

?an ? 是纯递增、递减的

由此可看出该数列的确是个循环数列,每六个一循环,所以由 2012 ? 6 ? 335......2 ,可知

a2012 ? a2 ? 7 ;故选 D。
12.A 【解析】 试题分析:根据题意,由于{ an }是各项均为正数的等比数列,

a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 4 ? q 2 (a1 ? a2 ),? q 2 ? 4, q ? 0, q ? 2 则a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? q 4 (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? 16(1 ? 4) ? 80
,故可知答案为 A. 考点:等比数列 点评:本试题主要是考查了等比数列的通项公式的运用,以及等比中项性质的运用,属于基 础题。 13.C 【解析】略 14.D. 【解析】 试题分析:∵ a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 ,∴数列 {an } 是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列,∴

a51 ? a1 ? 50d ? 101.
考点:等差数列的通项公式. 15.B 【解析】 试题分析:因为等差数列{an}的前 2006 项的和 S2006=2008,其中所有的偶数项的和是 2, 所以所有奇数项的和为 2006,因为 a1+a2005=2a1003,1003×a1003=2006,所以 a1003=2,故
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选 B。 考点:等差数列的性质;等差数列前 n 项和的性质。 点评:本题主要通过前 n 项和来构造了首未两项的和,进一步来考查等差数前 n 项和的灵 活应用. 16.C 【解析】略 17.B 【解析】∵a1+a5=10,a4=7,∴ ? 18.D 【解析】根据数列 ?a n ? 的通项 an ? ?2n ? 1 可知数列是公差为-2,首项为-1 的等差数列;

? 2a1+4 d=10, ?d=2 ? a1+3d=7



Sn ?

S S n(?1 ? 2n ? 1) ? ? n 2 n ? ? n. { n} ; 所以数列 2 n n 是公差为-1, 首项为-1 的等差数列;
Sn 11? 12 ? ?66. 故选 D } 的前 11 项和为 ? 2 n
1 的等差数列,所以 2

则数列 { 19 . D

【解析】

1 2an + 1 = 2an +1, ? an + 1? an ? 2 1 a101 ? 2 ? 100 ? ? 52 . 2

,a {n是首项为 } 2,公差为

20.C 【解析】由 a1 ? a2 ? a3 ,设数列 {an } 的公比为 q , 得 a1 ? a1q ? a1q 2 ,则 q ? 1, a1 ? 0 ,数 列 {an } 为 递 增 数 列 ; 反 之 , 若 数 列 {an } 是 递 增 数 列 , 则 公 比 q ? 1, a1 ? 0 所 以
2 ,即 a1 ? a2 ? a3 ,故“ a1 ? a2 ? a3 ”是数列 {an } 是递增数列的充分必要条 a1 ? a1 q? a 1 q

件. 21.D 【解析】显然 A,B,C 选项中,给出的三数均能构成等差数列,故选 D.事实上, 2 , 3 ,

5 不能构成等差数列,证明如下:假设 2 , 3 , 5 成等差数列,则 2 3 = 2 + 5
?12=7+2 10 ?5=2 10 ?25=40.这是不可能的. 22.D 【解析】略 23.C 【解析】 试题分析:因为根据已知条件设出首项和公比分别是 a1 和 q,则结合等比数列的通项公式
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可知 a2?a3=a1q?a1q =2a1∴a4=2=2a4+2a7=a4+2a4q =2?

2

3

5 1 ∴求解得到 q= ,然后由于通项公式 4 2

a 的性质可知 a1= 4 =16,故 S5 ? q3

16(1 ?

1 ) 26 ? 31 ,故选 C。 1 1? 2

考点:本题主要考查了等比数列的性质.属基础题 点评:对于数列问题,关键是运用基本元素 a1 和 q 表示出 a2 和 a3 代入 a2?a3=2a1 求得 a4, 再根据等差中项的性质得到 a4+2a7=a4+2a4q3,求得 q,进而求得 a1,代入 S5 即可. 24.A 【解析】 a7 ? a9 ? 2a8 ? 16,? a8 ? 8 ; S11 ?

11(a1 ? a11 ) 99 9 ? 11a6 ? ,? a6 ? 2 2 2

a ?a ?公差d ? 8 6 ? 8?6

8?

9 2 ? 7 。? a ? a ? 4d ? 8 ? 4 ? 7 ? 15 。故选 A 12 8 4 2 4

25.B 【解析】本题考查等差数列的前 n 项和. 若等差数列 ?an ? 的前项 n 和为 Sn ,则有 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等差数列 设 S4 ? m ,则

S8 ? 3 得 S8 ? 3m ,于是 S8 ? S4 ? 2m ; S4

由此知 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列,公差为 m 从而得 S12 ? S8 ? 3m, S16 ? S12 ? 4m 解得 S16 ? 10m 所以

S16 10m 10 ? ? S8 3m 3

故正确答案为 B

26.D 【解析】本题考查等比数列的性质和基本运算. 在等比数列 ?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ? 2k ,(m, n, p, q, k ? N ) 则 am ? an ? ap ? aq ? ak ; 于
2
2 a9 是由条件得 a3a5a7 a9a11 ? a ? 243,?a7 ? 3; 又 a7 a11 ? a ,? ? a7 ? 3. 故选 D a11
5 7

2 9

27.C 【解析】 试题分析:从已知数列观察出特点:从第三项开始每一项是前两项的和即可求解解:∵数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55 设数列为{an}, ∴an=an-1+an-2 (n>3) , ∴x=a7=a5+a6=5+8=13, , 故选 C 考点:数列的概念 点评:本题考查了数列的概念及简单表示法,是斐波那契数列,属于基础题.
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28.D 【解析】 试题分析:根据题意,由于在数列 {an } 中,a1 ? 2 ,2an ?1 ? 2an ? 1? an ?1 ? an ? 是等差数列,公差为

1 ?{an } , 2

1 1 ,首项为 2,则 a101 =2+100 ? ? 52 ,故答案为 D. 2 2

考点:数列的递推关系 点评:主要是考查了数列的递推关系式的运用,属于基础题。 29.C 【解析】本题考查等差数列的通项公式和数列的基本运算. 设公差为 d , 由条件得 a2 ? a5 ? a1 ? d ? a1 ? 4d ? 2a1 ? 5d ?

2 2 ? 5d ? 4 ,解得 d ? ; 由 3 3

1 2 an ? 33 得: ? (n ? 1) ? ? 33 ,解得 n ? 50. 故选 C 3 3
30.B 【解析】设等比数列{an}的公比为 q, ∵9S3=S6, ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, 3 ∴8=q ,即 q=2, n-1 ∴an=2 , ∴

1 an

=? ? ,

? 1 ? n-1 ?2?

∴数列 ?

?1? 1 ? 是 首 项 为 1, 公 比 为 的 等 比 数 列 , 故 数 列 2 ? an ?

?1? ? ? 的前 5 项和为 ? an ?

? ? 1 ?5 ? 1? ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? 31 ? = .故选 B. 1 16 1? 2
31.D 【解析】比例中项为 2 ,代用等比数列的公式即可得 8 32.B 【解析】由题意得 S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 所以 S6 ? S3 ? 27 即 a7 ? a8 ? a9 ? S9 ? S6 ? 27 ? 18 ? 45 故选择 B 33.B 【解析】由已知得, a2 ? a1 ? a3 ? a1 ? 13 ? 4,3d ? 9, d ? 3 ,所以, a5 ? a1 ? 4d ? 14 ,选
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B.
考点:等差数列及其性质. 34.B 【解析】略 35.A 【解析】 S 2011 ?

S2012

2011(a1 ? a2011 ) ? 2011a1006 ? ?2011,? a1006 ? ?1. 所以 2 2012(a1 ? a2012 ) 2012(a1006 ? a1007 ) 2012(?1 ? 3) ? ? ? ? 2012. 故选 A 2 2 2

36.C 【解析】 37.C 【解析】

a1 1 ? q 4 s 1? q ? 1 ? q 2 ? 5 ,? q 2 ? 4,? q ? ?2 . 试题分析: 4 ? 4 s2 a1 1 ? q 1? q

? ?

? ?

考点:等比数列前 n 项和公式应用. 38.A 【解析】 试题分析: an

? Sn ? Sn?1 ? 4n ? 5 ,令 n=4,得 a4 ? 11

.

考点:数列前 n 项和与通项的关系. 39.C 【解析】 试 题 分 析 : ∵

an ? 2n ? ?





a1 ? 2 ? ?





Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? 2 ? ? ? 2n ? ? ? ? ?1 ?1 ? ? n2 ? ? ? ? 1? n ,由二次函数的性质可知, ? 2 2 2

即可满足数列 ?Sn ? 为递增数列,解不等式可得 ? ? ?3 ,故选:A. 考点:等差数列的前 n 项和,数列的函数特征. 40.D 【解析】

f ( x) ? log2 ( x ?1), f ?1 ( x) ? 2x ?1



? an ? 2n ? 1



Sn ? 2n?1 ? 2 ? n



? lim
41.C

Sn ? n 2n?1 ? 2 2 ? 21?n ? lim n ? lim ? 2 ,故选择 D n?? n?? 2 ? 1 n?? 1 ? 2? n an
∴ a6 ? 0 ,故选 C.

2 2 【解析】由 d ? 0, a1 ? a11 ,知 a1 ? a11 ? 0 .

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【命题分析】 :考查等差数列的性质,求和公式. 要求学生能够运用性质简化计算. 42.A 【解析】 试题分析:由

a ?a a11 ? ?1 ,得 11 10 <0,由它们的前 n 项和 Sn 有最大值可得数列的公差 d a10 a10

<0, ∴a10>0,a11+a10<0,a11<0, ∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0.使得 Sn>0 的 n 的最大值 n=19, 故选 A。 考点:本题主要考查等差数列的求和公式,等差数列的性质。 点评:中档题,本题较为典型,将等差数列的求和公式、等差数列的性质综合考查。确定公 差 d<0 是具体地关键之一。 43.A 【解析】略 44.C 【解析】 试 题 分 析 : 经 观 察 知 后 一 项 是 前 两 项 的 和 , 递 推 公 式 为 : an?1 ? an ? an?1 (n ? 2)

? x ? 5 ? 8 ? 13
考点:考察数列的特征. 45.A 【解析】

2 (n ? 1)(n ? 5)( ) n ?1 a 2 (n ? 1)(n ? 5) 2 n 3 试题分析: 依题意有 an ? n(n ? 4)( ) , 从而 n ?1 ? , ? 2 n 3 an 3 n ( n ? 4) n(n ? 4)( ) 3
所以当

an?1 2 (n ? 1)n (? 5 ) ?1? ? 1? n2 ? 1 0 ? ? 1 n? 3 an 3 n (n ? 4 )



an?1 2 (n ? 1)(n ? 5) ?1? ? 1 ? n2 ? 10 ? n ? 4 an 3 n(n ? 4)
, 所 以 此数列的最大项为第四项,所以 k ? 4 ,选 A.

所 以 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 考点:数列的单调性. 46.A 【解析】

试题分析:由 a7 ? a6 ? 2a5 得: q2 ? q ? 2 ? q ? ?1 (舍) , q ? 2 . 由 am an ? 4a1 得

a1qm?1a1qn?1 ? 16a12 ? m ? n ? 6
1 9 ? ? ( ? m?n ? m n 6 m n ?)? n 1m ? ? m n6

.





( ?

?

1

)

9 6

(

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考点:1、等比数列;2、重要不等式. 47. B 【解析】

d d 2 n +(a1- )n 可表示为过原点的抛物线, 2 2 3?7 ? 5 ,是抛 又本题中 a1=-9<0, S3=S7,可表示如图,由图可知,n= 2
等差数列的前 n 项和 Sn= 物线的对称轴,所以 n=5 是抛物线的对称轴,所以 n=5 时 Sn 最小, 故选 B。 48 . C 【 解 析 】 a1 ? a2 ? 49.A 【解析】

Sn
3 5 7 O n

? a1 0 1 ? 0 ? 1 0 1a 5 1 ?0 , ? a

51

, ? 0 a3 ? a99 ? 2a51 ,? a3 ? a99 ? 0 .

试题分析:因为 ?an 为等比数列, 且 a5a6 ? ?8 , 所以 a4 a7 ? ?8 ,又 a4 ? a7 ? 2 ,联立解 得: , , a4 ? 4 , a7 ? ?或 2 a4 ? ? 2 ,a7 ? 4 所 以 a1 ? ? 8 , a1 0 ?或 1 a 1 ? 1 ,a 1 0 ? ? 8所 以

?

a1 ? a 1 0 ? -7.
考点:等比数列的性质 点评:此题主要考查等比数列的性质。在学习中,我们要把等比数列的性质和等差数列的性 质进行比较、区分着记忆。以免混淆。 50. C 【解析】 an ? an?1 ? an?2 51. A 【解析】
1? 归纳法:由 f1 ( x) ?
2 2 6 , f n ?1 ( x) ? f1[ f n ( x)] ,知 f1 (0) ? 2, f 2 (0) ? , f3 (0) ? , 1? x 3 5 f (0) ? 1 1 f (0) ? 1 10 1 1 1 1 ? , a2 ? ? ? (? )3 , a3 ? ? (? )4 , ……又由 an ? n f 4 (0) ? , 得 a1 ? 1 f1 (0) ? 2 4 11 8 2 16 2 f n (0) ? 2 1 1 1 1 ? (? )5 ,归纳得 a2009 ? (? )2010 ? ( ) 2010 . 32 2 2 2

a4 ? ?

2 ?1 f (0) ? 1 f1[ f n ?1 (0)] ? 1 f n ?1 (0) ? 1 2 ? f n ?1 (0) ? 1 1 f n ?1 (0) ? 1 1 ? ? ? ?? ? ? an ?1 , 2? an ? n 2 f n (0) ? 2 f1[ f n ?1 (0)] ? 1 2 ? 2 f (0) ? 2 2 f (0) ? 2 2 n ?1 n ?1 ?2 f n ?1 (0) ? 1

∴ {an } 构成以 a1 ? 52.C 【解析】

f1 (0) ? 1 1 1 1 1 ? 为首项. 公比 q ? ? 的等比数列. ∴ an ? (? )n ?1 , 选 A. 2 4 2 f1 (0) ? 2 4

(a3 ? a7 ? a10 ) ? (a11 ? a4 ) ? a7 ? 12 , S13 ? 13a7
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53.A 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 a2 +a8 +a14 +a20 =20 , 那 么 可 知

a8 +a14 =a2 +a20 =10=2a11 ?a11 ? 5 ,而根据 am ? 5 ,那么可知 m=11,故可知答案为 A.
考点:等差数列 点评:主要是考查了等差数列的等差中项性质的运用,属于基础题。 54.B 【解析】由等比数列性质: S4 ? 1, S8 ? S4 ? 2, S12 ? S8 , ????? 是首项为 1,公比为 2 的等比数 列。 a17 ? a18 ? a19 ? a20 是该数列的第 5 项。所以 a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? 1? 24 ? 16 故需 B 55.C 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

a1 ? a3 ? a5 ? 18, a2 ? a4 ? a6 ? 24 , 所 以 a3 =6 ,

3d = ? a2 ? a4 ? a6 ? - ? a1 ? a3 ? a5 ? ? 24-18=6,所以d=2 ,所以 a20 =a3 +17d =40 。
考点:等差数列的性质;等差数列的通项公式。 点评:本题主要考查了等差数列的性质的简单应用,属于基础试题。 56.B 2 【解析】设公差为 d,则(1+d) =1?(1+4d). ∵d≠0,解得 d=2,∴S10=100. 57.C 【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其性质。因为-1, a1 , a 2 ,?4 成等 差 数 列 , 所 以 a2 ? a1 ?

?4 ? (?1) ? ?1 ; 又 -1 , b1 ,b 2 , b3 ,?4 成 等 比 数 列 , 所 以 4 ?1

,故 b2 ? ?2 (2 不合题意,舍去) b22 ? ( ?1 ) ( ? 4) ? ,4 58.B 【解析】 59 . A 【

a2 ? a1 1 ? ,选 C。 2 b2








?

n= 1



, ,1 a
1 n

a1 ?

3

S1 ?

2

? a1 n,

?a1 n

3

?

n

;n

?

?

? ,

S ?

? n

所 以 数 列 {an } 是首项为-3,公比为 2 的等比数列. 60.A 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 等 差 数 列 中 , 结 合 前
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n

项 和 的 公 式 可 知 ,

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a1 ? 1, S5 ? 5a1 +

5? 4 d ? 15,?10d ? 10, d ? 1,故选 A. 2

考点:本题主要考查等差数列的通项公式的求解和前 n 项和的关系的运用。 点评:解决该试题的关键是能利用前 15 项的和,得到首项与其公差的基本量的关系式,进 而求解的大公差的值。 61.C 【解析】 试题分析:因为 a3 ? a8 ? 10 ,所以由等差数列的性质,得 a5 ? a6 ? 10 , 所以 3a5 ? a7 = 2a5 ? 2a6 ? 20 ,选 C. 考点:等差数列的性质 62.C 2 2 【解析】设等比数列{an}的公比为 q(q>0),则由题意得 a3=a1+2a2,即 a1q =a1+2a1q,q
2 a9 ? a10 q ? a7 ? a8 ? 2 -2q-1=0,解得 q=1± 2 .又 q>0,所以 q=1+ 2 ,所以 = =q a7 ? a8 a7 ? a8

=(1+ 2 ) =3+2 2 ,选 C.
2

63.D 【解析】因为 an?1 ? an ,所以数列 {an } 单调递减, 因为 a2 a8 ? 6 ,所以 a4 a6 ? 6 , 因为 a4 ? a6 ? 5 ,所以 a4 ? 3, a6 ? 2 , 所以

a5 a4 3 ? ? 。 a7 a6 2

64.B 【解析】 试题分析: ∵ 2a4 , a6 ,48 成等差数列, ∴ 2a6 ? 2a4 ? 48 , ∴ 2a1q5 ? 2a1q3 ? 48 , ∴ a1 ? 1 , ∴ S8 ?

1? (1 ? 28 ) ? 255 . 1? 2

考点:1.等差中项;2.等比数列的通项公式;3.等比数列的前 n 项和公式. 65.B 【解析】 试题分析:已知三个内角 A、B、C 成等差数列,得 2B=A+C, 所以 A+B+C=3B=180°,解得 B=60°. 故选 B. 考点:等差中项. 66.B
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【解析】 本 题 考 查 的 是 等 差 数 列 前 n 项 和 最 值 问 题 。 由 条 件 可 知 a2 0 0 3? 0, a2 0 0 4? 0 , 所 以

S 4005 ? S 4006

4005 ?a1 ? a4005 ? 4007 ?a1 ? a4007 ? ? 4005 a2003 ? 0, S 4007 ? ? 4007 a2004 ? 0, 2 2 4006 ?a1 ? a4006 ? ? ? 2003 ?a2003 ? a2004 ? ? 0 , Sn ? 0 成立的最大自然数 n 为 4006 。 2

应选 B。 67.C 【解析】 试题分析:因为数列 ?an ? 是等差数列,根据等差数列的性质知:

a2 ? a6 ? a7 ? a5 ? 3d ? a5 ? d ? a5 ? 3d ? 3a5 ? 18,?a5 ? 6
S9 ? 9(a1 ? a9 ) ? 9a5 ? 54. 2







考点:本小题主要考查等差数列的性质. 点评:等差数列是一种很重要的数列,它的性质要灵活运算,可以简化运算. 68.C 【解析】本题考查等差数列的定义,通项公式和前 n 项和公式及数列的基本运算. 设公差为 d , 则 a5 ? 15 ? a2 ? 3d ? 6 ? 3d ,? d ? 3; 所以 a1 ? a2 ? d ? 3; 于是

bn ? a2n ? a1 ? (2n ?1)d ? 3 ? (2n ?1)3 ? 6n . bn?1 ? bn ? 6(n ? 1) ? 6n ? 6 ,数列 ?bn ? 是等
差数列,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于 5 ? 6 ? 69. a n ? ? n ?2 (n ? 2) 【解析】解:因为

5? 4 ? 6 ? 90. 故选 C 2

?3 (n ? 1)

Sn ? 2n ?1 ? 1 当n ? 1时,S1 ? 22 ? 1=3=a1 当n ? 2时,a n ? Sn ? Sn ?1 ? 2n 经验证, 3=a1不适合上式,因此数列的通项公式为
3 (n ? 1) an ? ? ?2 n (n ? 2) ?
70.B 【解析】 试题分析:法一:因为 Sn ? 3n ? r ,易得 a1 ? 3 ? r , a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为数列 ?an ?是等
2 比数列,所以 a2 ? a1 ? a3 即 6 2 ? 18(3 ? r ) 解得 r ? ?1 ,法二,由等比数列 ?an ?的前 n 项

答案第 12 页,总 47 页

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和 Sn ? 3n ? r , 可得 q ? 1 , sn ?

a1 ? a1q n a a qn ? 1 ? 1 1? q 1? q 1? q

令t ? ?

a1 则 sn ? tq n ? t , 1? q

常数项和 q n 前的系数互为相反数, 所以 r ? 1 . 考点:等比数列的前 n 项和公式和性质. 71.D 【解析】略 72.A 【解析】 试题分析:由韦达定理可知 a2 ? a5 ? 列的求和公式 S6 ?

3 ,等差数列的性质知 a2 ? a5 ? a1 ? a6 ,根据等差数 2

6(a1 ? a6 ) 9 ? ,故选 A. 2 2

考点:差数列的性质. 73.A 【解析】由 am=a1+a2+?+a9,得(m-1)d=9a5=36d,所以 m=37. 74.B. 【解析】 试题分析: 因为 a3 ? a4 ? a8 ? 9 , 所以 3a1 ? 12d ? 9 , a5 ? 3 , S9 ?

9(a1 ? a9 ) 9 ? 2a5 ? =27, 2 2

故选 B。 考点:本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列的性质,求和公式。 点评:简单题,等差数列中,m+n=p+q, am ? an ? ap ? aq 。 75.A 【解析】解:因为等差数列

?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ? 9a5 ?a5 ? 8

a 2 ? a 4 ? a 9 ? 3a1 ? 12d ? 3a 5 ? 24 ,选 A
76.D 【解析】 试题分析: 假设首项设 a1=m,由于 a2=1,且 an+2=an+1-an∴a3=1-m.a4=-m, a5=-1,a6=m-1, a7=m, a8=1,a9=1-m?,∴数列{an}是周期为 6 的周期函数,且前 6 项和为 0,∴数列的前 2011 项之 和为 m?m=2012,2011=6 ? 335+1,2012=6 ? 335+2,则前 2012 项的和等于 2012+1=2013.故 选 D. 考点:本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式,其中渗透了周期数列这一知识点,属 于基础题. 点评: 解决该试题的关键是可通过递推公式求出数列的前九项,从而确定数列周期为 6, 再由数列周期从而求解 a2011=a1,求出结果. 77.A 【解析】本题考查等比数列的定义,通项公式和运算.

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3 3 3 21 设公比为 q ? 0, 则 a1a2a3 ? a1 q ? 5 ??? (), 1 a7 a8a9 ? a1 q ? 10 ??? (2) ,

(2) 得:q18 ? 2; (1)

a4a5a6 ? a1q3 ? a2q3 ? a3q3 ? 5q9 ? 5 2. 故选 A
78.C 【解析】略 79 . A 【 解 析 】 显 然 d=a n -a n - 1 =0 即 公 差 为 0 而 a n \a n - 1 则 不 成 立 , 即 q 不 存 在 所 以 是 等 差 数 列 , 公 差 为 0. 但 不 是 等 比 数 列 80.A 【解析】本题考查等差数列的性质“当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地, 当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p .” 。 由等差数列的性质可知 a4 ? a12 ? a7 ? a9 ,故 a12 ? 15 ,选 A。 81.B 【解析】 试 题 分 析 : log3a1 ? 1og3a 2 ??? log3a10 ? log ,根据等比数列性质, ( 3 a1a 2 ?a10)

a1a10 ? a 2a9 ? a3a8 ? a 4a 7 ? a5a 6 ? 9 ,
所 以 原 式 ? log3 95 ? 5log3 9 ? 5 ? 2 ? 10 ,故 选 B . 考点:等比数列,对数的运算法则. 82.B 【解析】略 83.A 【解析】 an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ? an ? ln( 即 an?1 ? an ? ln(n ? 1) ? ln n ,则:

1 n

n ?1 ) ? an ? ln(n ? 1) ? ln n n

a2 ? a1 ? ln 2 ? ln1, a3 ? a2 ? ln 3 ? ln 2, ?????? an ? an ?1 ? ln n ? ln(n ? 1),
叠加得: an ? a1 ? ln n ? ln1 ? 2 ? ln n ? 0 ? 2 ? ln n 84.B 【解析】本题考查等差数列的定义,通项公式,前 n 项和公式,等差数列的性质及数列与函 数的关系.
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因为数列 {an } 的通项公式为 an ? 3n ? 17 ,所以 an?1 ? an ? [3(n ? 1) ? 17] ? (3n ? 17) ? 3 , 所以数列 ?an ? 是公差为 3 的等差数列, a1 ? ?14; 则

Sn ?

n(a1 ? an ) n(?14 ? 3n ? 17) 3 2 31 3 31 31 31 ? ? (n ? n) ? [(n ? ) 2 ? ( ) 2 ] ;当 | n ? | 2 2 2 3 2 6 6 6

(n ? N *) 最小时, Sn 取最小值,所以 n ? 5 时, Sn 取最小值.故选 B
85.B 【解析】略 86.A 【解析】

S9 9a5 ? ? 1, 选 A. S5 5a3

87.C 【解析】略 88.C 【解析】考点:等比数列的性质;等差数列的通项公式. 专题:计算题. 分析:设公差为 d,由题意可得 (a1+2d)
2

=(a 1 +d) (a 1 +5d) ,解得 d=-2a 1 ,由此求得公



a3 a1 ? 2d = 的值. a2 a1 ? d

解答:解:设公差不为 0 的等差数列{an}的公差为 d,∵a 2 ,a 3 ,a 6 依次成等比数列, ∴(a1+2d)
2

=(a 1 +d) (a 1 +5d) ,解得 d=-2a 1 .

此公比等于

a3 a1 ? 2d ?3a1 = = =3, a2 a1 ? d ? a1

故答案为 3. 点评:本题主要考查等比数列的定义和性质,等差数列的通项公式,属于中档题. 89.D 【解析】

2 1 2 1 an ? ,当 n ? 1 时有 a1 ? S1 ? a1 ? ,解得 a1 ? 1 ; 3 3 3 3 2 1 2 1 ? 当 n ? 2 且 n ? N 时 , 由 S n ? an ? , 可 得 S n ?1 ? an ?1 ? , 两 式 相 减 得 3 3 3 3 2 2 an ? an ? an ?1 , 3 3
? 试题分析: 对任意 n ? N , 有S n ?

整理得 an ? ?2an ?1 ?

an ? ?2 ,故数列 ?an ? 是以 1 为首项,以 ?2 为公比的等比数列, an?1

答案第 15 页,总 47 页

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? an ? 1? ? ?2 ? ? ? ?2 ?
n ?1

n ?1

,故选 D.

考点:数列通项的求解 90.D 【解析】 试题分析:由 {

1 1 1 1 1 1 ,即 b3 ? } 为等差数列,不妨设 bn ? ? , b7 ? ? ,∴ 2a3 4 2a7 2 2an 2 an

1 1 ? b7 ? b3 2 4 1 d? ? ? . 4 4 16
考点:数列的性质. 91.B 【解析】 试题分析:根据等差数列性质,由已知得 a3 ? 35 , a4 ? 33 ,又因为数列 ?an ? 为等差数列,所 以 可 算 出 a1 ? 39 , d ? ?2 , 由 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 得

Sn ? 39n ?

n ? n ? 1? 2 ? ? ?2 ? ? ?n 2 ? 40n ? ? ? n ? 20 ? ? 400 , 所以当 n ? 20 时 , Sn 达到最 2

大值,故正确答案为 B. 考点:1.等差数列;2.二次函数最值. 92.A 【解析】略 93.D 【解析】 试题分析: 由已知得: 即-10+9d>0,得到 d ? a10 ? 0 , 故选 D. 考点:等 差 数 列 的 性 质 ; 等差数列的通项公式. 94.B 【解析】S5 ? 选 B. 95.C 【解析】略 96.A 【解析】由叠加法可得 an ? 9n2 ? n ,则 3n ? 则

10 5 ; a9 ? 0 即-10+8d ? 0,得到 d ? , 9 4

5(a1 ? a5 ) 5(a2 ? a4 ) a ? a2 ? ? a4 ? 7 ,所以 a7 ? a2 ? 5d ? a2 ? 5 ? 4 ? 13 , 2 2 2

an ? 3n ? 1 ,

[an ] ? 3n , cn ? n 2 ? 9n ? 3n
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? cn ? 3n ? n 2 ? 9n ? 10 ? n ? 1 ? nmax ? 2 .
97.10 n-1 【解析】解:因为由数列 1,10,100,1000,?猜想数列的第 n 项可能是 10 98.1029 【解析】 试题分析:图乙中第 k 行有 k 个数,第 k 行最后的一个数为 k ,前 k 行共有
2 n-1

k ? k ? 1? 个数, 2

由 44?44=1936,45?45=2025 知 an=2013 出现在第 45 行,第 45 行第一个数为 1937,第

2013 ? 1937 2
+1=39 个数为 2013,所以 n=

44 ? 44 ? 1? +39=1029. 2

考点:本题主要考查归纳推理,等差数列的求和公式。 点评:中档题,归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从 已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) .解答本题的关键是认识图乙中 第 k 行有 k 个数,第 k 行最后的一个数为 k ,前 k 行共有
2

k ? k ? 1? 个数。 2

99.-1 【解析】解:由题得 a 2 -a 1 =d=(-1+7)/( 4-1 )=6 /3 =2,b 22 =(-4)(-1)=4, 又因为 b2 是等比数列中的第三项,所以与第一项同号,即 b2=-2 ∴a2-a1 b2 =-1. 故答案为:-1. 100.64 【解析】∵{an}是等差数列,a1,a2,a5 成等比数列, ∴
2

=a1?(a1+4d) ,又 a1=1,

∴d ﹣2d=0,公差 d≠0, ∴d=2. ∴其前 8 项和 S8=8a1+ ?d=8+56=64.

故答案为:64. 101.1,2,4 【解析】解:①中(a99-1) (a100-1)<0,a1>1,a99a100>1, ?a99>1,0<a100<1?q=

a100 ?(0,1) ,∴①正确. a99

②中 a99a101=a1002<a100<1?a99a101<1,∴②正确. ③中 T100=T99?a100,0<a100<1?T100<T99,∴③错误. ④中 T198=a1?a2?a198=(a1?a198) (a2?a197)?(a99?a100)=(a99?a100)?99>1,
答案第 17 页,总 47 页

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T199=a1?a2?a199=(a1?a199) (a2?a198)?(a99?a101)a100<1,∴④正确. 答案:①②④ 102 . 7
2 2 【 解 析 】 a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 49 ? a3 ? 2a3a5 ? a5 ? 49,

?(a3 ? a5 )2 ? 49,?a3 ? a5 ? 7
103 . 1342 【 解 析 】 若 数 列 的 最
1









3,





x3 ?|

1? a

|?

1 a 4?

x,

?

| a? 1 a?

|? a| ? 1 x

2 ?

, | 此时该数列 ?a ? 1

,a ? 1

?2 a

的项为: 1,1,0,1,1,0,... . S2012 ? 670(1 ? 1 ? 0) ? 1 ? 1 ? 1342 . 104. b1b2b3 ?b2n?1 ? bn
2 n?1

( n ? N? )

【解析】 试题分析: 等差数列中由等差中项可将首位对称的项之和转化为中间项, 类比等比数列中由 等比中项可将首位对称的项准化为中间项, 因此等比数列中等号左边是各项乘积的形式, 右 边是幂的形式 考点:等差数列等比数列性质及类比 点 评 : 等 差 数 列 ?an ? 中 若 m ? n ? p ? q则 am ? an ? a p ? aq , 等 比 数 列 ?bn ? 中 若

m? n ? p? q 则 bmbn ? bpbq ,这两条性质是数列中常用的性质
105.

?1? 5 2

【解析】解:∵c-a=x(b-a) ,b-c=(b-a)-x(b-a) , (c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项, 2 2 2 ∴[x(b-a)] =(b-a) -x(b-a) , 2 ∴x +x-1=0, 解得 x=-1± ∵0<x<1, ∴x=

5/ 2 ,

?1? 5 . 2 ?1? 5 . 2

故答案为:
n

106. 2 ? 1. 【解析】
2 2 ? a3 , aq ? a 1 ? 1 或 a1 ? 0(舍去) 试题分析: ∵等比数列 {an } ,a2 ∴ a12q2 ? , 又∵ a4 ? 8 , 1

答案第 18 页,总 47 页

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∴ a1q3 ? 8 ? q ? 2 ,∴ S n ?

a1 (q n ? 1) ? 2n ? 1 . q ?1

考点:等比数列的通项公式及其前 n 项和. 107.33 ; 【解析】 试题分析:因为 Sn ? n2 ? 2n ,所以 a1 ? s1 ? 3; 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? n2 ? 2n ? (n ?1)2 ? 2(n ?1) =2n+1, 数列{ an }是首项为 3,公差为 2 的等差数列,所以 a4 ? a5 ? a6 ? 3 a5 =3(3+4?2)=33. 考点:本题主要考查 an , sn 的关系,等差数列通项公式及其性质。 点评:简单题,等差数列是高考必考内容,特别是等差数列的性质,散见在例题、练习题中, 应注意总结汇总。 108.60 【 解 析 】 解 : 因 为 等 差 数 列

?an ?

的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知

S1 0 ? 1 0 ,2? S 0
109.49 【解析】

? 3 0 2,? 0 S ? 1 0S

? 2 3 00 ,? S 2 0 ?S

? 3 3 00

S

6 0

试题分析:因为 {an } 是等差数列,所以 S7 ? 列的已知两项求出首项和公差,再求 S7 . 考点:等差数列的性质与求和. 110.

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) ? ? 49 ,本题也可由数 2 2

1 3
' S1 ? S2 ? ? S100 100 ? S1' ? S2 ? ? 100 100 ' ? S99

【解析】略 111. T100 ?

?

100 ? 1000 ? 99 ? 991 100

【解析】略 112. 12, 16 , 20 , 24 , 28 , 32 . 【解析】 试题分析:设等差数列公差为 d ,则 d ?

36 ? 8 ? 4 ,∴插入的 6 个数依次为12,16 ,20 , 8 ?1

24 , 28 , 32 .
考点:等差数列基本量的计算. 113.16 【解析】 试题分析:因为等差数列 ?an ? 中, a3 ? a11 ? 8 ,所以 2a7 ? 8,?a7 ? 4 .又 b7 ? a7 .所以在

答案第 19 页,总 47 页

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2 等比数列 ?bn ? 中 b6b8 ? b7 ? 16 .

考点:1.等差数列的通项公式.2.等比数列的通项公式.3.数列的性质. 114.

21 2
9n ? 1 4

【解析】略 115.

【解析】略 116.(1)5 (2)9 【解析】 试题分析:(1)n=15 时, 15 ? ( 故 a15 =5; (2)试题分析:由于 n ? (

(k ? 1)k k (k ? 1) k ?1 , ] ,可 k=5,带入 an ? (?1) ? k 的 a15 ? 5 , 2 2

(k ? 1)k k (k ? 1) , ]( n, k ? N * )时, an ? (?1)k ?1 ? k 可知数列 , 2 2
满 足 :

{an }

a1 ? 1
项和 Sn 满足:

, a2 ?

?2 a3

, 其前 n

,

?

a4

当 n ? 1 时, an 是奇数,则 Sn 是 an 的整数倍;所以当 15 ? n ? 1 时, an 的奇数项共有 9 项, 故 Card (T15 ) ? 9; 考点:1.集合的表示法;2.数列通项与前 n 项和的关系;3.数学归纳法. 117.19 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知 可 得 an?2 ? an?1 ? an , 所 以 a3 ? a2 ? a1 ?7 , a4 ? a3 ? a2 ? 12 ,

a5 ? a4 ? a3 ? 19 。
考点:数列的递推关系式。 118.4. 【解析】∵在等比数列 ?an ? 中 , a1 ? a2 , a3 ? a4 , a5 ? a6 也成等比数列 , ∵ a1 ? a2 ? 324 ,

a3 ? a4 ? 36 ∴ a5 ? a6 ?
119.

36 ? 36 ? 4. 324

3 4
S n } 都是等差数列,且公差相等, ,

【解析】 试题分析:设公差为 d ,首项 a1 ,由于 ?an ? 和 {

答案第 20 页,总 47 页

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2 S2 ? S1 ? S3 两端平方得:4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2 a1 (3a1 ? 3d ) ,两端再平方得:
16a1 +8a1d+d =4a1(3a1+3d) ,∴4a1 -4a1d+d =0, d=2a1,又两数列公差相等 a2-a1=d=2a1,解 得 a1 ?
2 2 2 2

1 1 3 , d ? 故可知 a1 ? d ? 4 4 4

考点:等差数列 点评:本题考查等差数列的性质,考查等差中项的性质,考查化归与方程思想,属于难题. 120.27 【解析】依题意可得, S5 ? 解得 a2 ? 3

a1 ? a5 a ? a4 a ?5 ?5 ? 2 ? 5 ? 20 ,即 2 ? 5 ? 20 2 2 2

a2 ? a 4 3 ? 5 ? ?4 2 2 a ? a6 a ? a4 4?5 ?6 ? 3 ?6 ? ? 6 ? 27 所以 S6 ? 1 2 2 2
所以 a3 ? 121.48 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 an =

1 = n ? 1- n , 那 么 可 知 它 的 前 n 项 和 n ?1 ? n

sn = n+1- n + n -

n- 1 +

,故可知 n+1=49,n=48,故答案为 48. + 2 - 1 = n+1- 1=6

考点:数列的递推关系 点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 122.25 【解析】 试题分析:因为 a2 ? a3 ? a4 ? 15 ,所以 3a3 =15即a3 =5 ,所以 S5 = 考点:等差数列的性质;等差数列的前 n 项和。 点评:熟练应用等差数列的前 n 项个公式: S n =

5 ? a1 +a5 ? =5a3 =25 。 2

n ? a1 +an ? =na中 。属于基础题型。 2

123.

25 26
析 】 解 : 因 为





a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 2 4n ? 1







a n? ? 1
124. ?1

1 1 a ?n [ 2 (? 2

n

?

1 ?1 )

]? (

1

[ ?1 2 ? n

1 1

)?

a7 ? ] ? 这样可知

1 2

25 26(

2

n

1

)

(

答案第 21 页,总 47 页

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【解析】解:由题意可知 a n ?

2 n 2n ? 1 ? n 2 2n ? 1 ? n 2 ? ? ? lim ? ?1 n ??? n(n ? 1) n n ?1 n(n ? 1)

125. n 【解析】 2 n-1 试题分析:由题意,Sn=a1+a2?4+a3?4 +?+an?4 ,① 两边同乘以 4,得 2 n-1 n 4Sn=a1?4+a2?4 +?+an-1?4 +an?4 ,② 由①+②,得 2 n-1 n 5Sn=a1+(a1+a2)?4+(a2+a3)?4 +?+(an-1+an)?4 +an?4 , 1 n 又 a1=1,an+an+1=( ) , 4 1 1 2 所以 a1+a2= ,a2+a3=( ) ,?, 4 4 所以 5Sn=1+1+1+?+1,\s\do4(共 n 个))+an?4 ,故 5Sn-4 an=n. 考点:类比推理. 126.①②③ 【解析】解:因为由题设可知 9 个正数组成的矩阵为
n n

? ?a ? ?b ? ? ?c ? ?

? a ? d a ? 2d ? ? b ? m b ? 2m ? ? ? c ? n c ? 2n ? ? ?

由 a11+a12+a13,a21+a22+a23,a31+a32+a33 成等比数列.则有 (b ? m)2 ? (a ? d)(c ? n)) ,故命题 1
正确

(a ? d)(c ? n) ? 2 (a ? d)(c ? n) ? 2(b ? m) 故命题 3 正确
?1 ?2 ? ? 再由题意值由 8 个正数 b ? ? ?1 ?2 ? ?1 ?4 ? ?1 ?4 ? ?1 ?3 ? 1 3? 2 4? ? 1 3? 命题 4 错误。 2 4? ? 1 3? ? 5 ?
答案第 22 页,总 47 页

3? 2? ? 1 1 ? 故命题 2 错误 ? ? 3? 1 ? 2? 1

再有题设可知若 9 个数的之和为 9 的矩阵为

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127.21. 【解析】 试题分析:由已知得 3a3 ? 9 , ? a3 ? 3 , ? S7 ?
7 ? a1 ? a7 ? 2 ? 7 ? 2a3 ? 7 ? 3 ? 21 . 2

考点:1.等差数列的性质;2.等差数列的前 n 项和计算. 128.2 n +1 【解析】略 129.-49 【解析】 考点:等差数列的通项公式. 分析:由已知中等差数列 8,5,2,?的前三项,我们可以确定出数列的首项及公差,进而 求出其通项公式,将 n=20 代入即可求出数列的第 20 项. 解:等差数列 8,5,2,?的首项 a1=8,公差 d=-3 则 an=a1+(n-1)d ∴a20=a1+(20-1)(-3)=-49 故答案为:-49. n 130.an=2 -1 【解析】 试题分析:由 an+1=2an+1,得 an+1+1=2(an+1) ,又 a1+1=2,∴{an+1}是以 2 为首项、2 为公比 n-1 n n n 的等比数列,∴an+1=2?2 =2 ,∴an=2 -1,故答案为:an=2 -1. 考点:数列递推式. 131.

3 4 n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n , 要使 2 2 2

【解析】 试题分析: 等差数列的前 n 项和为 S n ? na1 ? 等差数列,则 a1 ?

? S ?为
n

d ,且等差数列 2

? S ? 的公差为
n

1 1 d ,从而可求得 d ? , a1 ? . 2 4 2

考点:等差数列的通项公式. 132.

n2 ? 3n 2

【解析】略 133. 29 【解析】略 134.7 或 8 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

?an ?

















S10 ? S5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 5a8 ? 0 ? a8 ? 0 .又 a3 ? ?3 ? 0
所以公差 d ? 0 .所以数列 ?an ? ,是一个递增数列,且前 7 项均为负数,第八项为 0,从第 9

答案第 23 页,总 47 页

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项起为正数,所以 S7 ? S8 且最小,即 n 的值为 7 或 8. 考点:1、等差数列;2、数列前 n 项和的最值. 135.15 【解析】 试题分析:对数列问题,能用性质的尽量应用性质解题可以更简捷,由等差数列的性质

a7 ? a8 ? a9 ? 3a8=3 , a8 ? 1 , S15 ? 15a8 ? 15 .
考点:等差数列的性质,等差数列 {an } 中, m ? n ? 2 p(m, n, p ? N *) ? am ? an ? 2ap 136.-10 【解析】由于 a1=1, a2=-2,an+2=-

1 , an

所以 a3=-1,a4=

1 ,a5=1,a6=-2,?, 2

所以{an}是周期为 4 的数列, 故 S26=6? ?1 ? 2 ? 1 ? 137.第 16 项最大. 【解析】 考察函数 y ?

? ?

1? ? +1-2=-10. 2?
x 15.6 ? 1? ,因为直线 x ? 15.6 为函数图象的渐近线,且函 x ? 15.6 x ? 15.6

数在 ? ??,15.6? 上单调递减,在 ?15.6, ??? 上单调递减,所以当 n ? 15.6 且 n 最接近 15.6 且 n ? N 时, an 最大,故 a16 最大,即第 16 项最大.
*

138.

【解析】 139. (1) an ? 2n (2)先证

a2 n?1 a 1 2 , ? 2 n ,累加即得证.(3)存在常数 M ? ? a2 n?1 a2 n? 2 4 2
? 1 ? M 成立.(M 取值不唯一) 3 an

对 ?n ? N ,都有不等式:
*

1 1 ? 3? a13 a2

【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 设
2


2

P ? , x?

, y



x2 ? y 2 ? 1

,



a ? 2 ? an 2 ? | PAn |? x 2 ? ? y ? an ? ? 2 ? y ? n ? ? , 2? 2 ?
答案第 24 页,总 47 页

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2 an 2 ? an ∵ y?R , ∴ 当 y ? 时, | PAn | 取得最小值 dn ,且 dn ? , 2 2 2 2 ? an 1 1 得 an ?1 , 将 d n ? an ?1 代入 dn ? 2 2 2

又 an ? 2dn?1 , ∴ an?1 ? 2dn , 即 d n ?
2 2 ? an 1 an?1 ? 2 2

2 2 2 两边平方,得 an ?1 ? an ? 2 ,又 a0 ? 0 , a1 ? 2 ,
2 2 2 ∴数列 an 是首项为 a1 ? 2 ,公差为 d ? 2 的等差数列, ∴ an ? a12 ? (n ?1)d ? 2n ,

? ?

∵ an ? 2dn?1 ? 0 ,∴ an ? 2n (2)∵ ? 2n ? 2?? 2n ?1? ? 2n ?2n ?1? ? ?2 ? 0 ,∴ ? 2n ? 2?? 2n ?1? ? 2n ? 2n ?1? ∴

? 2n ? 2 ?? 2n ? 1? ?
a1 a2 a3 a4 ? , ? , a3 a4 a5 a6 ,

2n ? 2n ? 1? ,∴ a2n?2 a2n?1 ? a2n?1a2n ∴

a2 n?1 a ? 2n , a2 n?1 a2 n? 2



a2 n?1 a ? 2n a2 n ?1 a2 n ? 2 a1 a3 ? ? a3 a5
1 )

将以上 n 个不等式相加,得

?

a2 n?1 a2 a4 ? ? ? a2 n?1 a4 a6 1 1 ? 3 ak 2 2 ? k 3
1

?

a2 n . a2 n? 2














,

k?2



,

1 k3


?

1

?k

2

? 1? k

?

1

? k ? 1? k ? k ? 1?

?

? k ?1?? k ? 1?

?

1 , k

1 2 2 ? ? ? k ?1 ? k ?1 , k 2 k k ?1 ? k ? 1
1



? k ? 1?? k ? 1?
1 k3 ?

?

1 ? k

? ? k ? 1?? k ? 1?
1

k ?1 ? k ?1 ?

?

1 1 ? , k ?1 k ?1



1 1 ? , k ?1 k ?1



?
k ?2

n

1

n 1 ? 1 1 1 1 ? 1 ? ?? ? ? 1? ? ? ? 1? ? k ?1 ? 2 k k ?1 2 k 3 k ?2 ? k ? 1

答案第 25 页,总 47 页

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1 1 1 n 1 1 1 ? 1 ? 1 2 . ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 2 2 k ?2 k 3 2 2 2 2 ? 2? 4 2 i ?1 ai
n

∴存在常数 M ?

1 1 1 2 * ,对 ?n ? N ,都有不等式: 3 ? 3 ? ? a1 a2 4 2

?

1 ? M 成立.(M 取值 3 an

不唯一) 考点:数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;数列与函数的综合. 点评:本题考查数列的通项,考查数列与不等式的综合,考查放缩法的运用,解题的关键是 根据目标,适当放缩,难度较大. 140.略

1 1 n , an ? (1 ? )an ?1 ? n 2 n ?1 3 a a 1 (I)由已知有 n ?1 ? n ? n n ?1 n 3 1 ? bn ?1 ? bn ? ? n 3
【解析】 (1)

a1 ?

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 经验证知上式对 n=1 时也成立,………(6 分) (II)由(I)知 an ?

1 ( n ? N*, n ? 2 ) n ?1 2?3

3 1 2 ? Sn = ( ? 2 ? 2 3 3
141. (1)an= ?
?3, ?2n,

n 3 n ? , n ?1 23 2 3n n 9 9 ? 6n ? n )= ? ………(12 分) 3 8 8 3n

n ? 1, 5n ? 1 (2)Tn= (n?N*) 24(n ? 1) n ? 2.
?a ? b ? c ? 3,

? 【解析】 (1)由已知有 ? ?4a ? 2b ? c ? 7, 解得 ?b ? 1,
?9a ? 3b ? c ? 13, ?

?a ? 1, ?c ? 1, ?

所以 Sn=n2+n+1. 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n, 所以 an= ? (2)令 bn=
?3, ?2n, n ? 1, n ? 2.

1 1 1 ,则 b1= = . a1a2 12 an ? an?1 1 1 1 1 ? = ?? ? ? ?. 2n ? 2(n ? 1) 4 ? n n ?1?

当 n≥2 时,bn= 所以 b2+?+bn = =

1 ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? 4 ?2 3 3 4 n n ?1?

n ?1 n ?1 5n ? 1 1 .所以 Tn= + = (n?N*). 12 8(n ? 1) 24(n ? 1) 8(n ? 1)

142.
答案第 26 页,总 47 页

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(1) ? f ( x) ? 3x 2 ? 2 x 2) an ? 6n ? 5(n ? N ? ) (3)







】 .







1





f(

?

2

x)

? a

x ? (

b? 0

x )

????? 1 c a分

? ? f (0) ? 0 ? 2 ? 由条件可知 ? f ( ) ? 0 , 3 ? 1 ? 1 f( )?? ? 3 ? 3
? a ? 3, b ? ?2, c ? 0 ,

?????2 分

?????3 分 ?????4 分 ?????5 分

? f ( x) ? 3x2 ? 2 x .
(2)又点 (n, Sn ) 在函数 f ( x ) 的图象上,则 Sn ? 3x2 ? 2n . 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 2 ? 1. 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n2 ? 2n) ? (3(n ? 1)2 ? 2(n ? 1))

? 6n ? 5 .
对于上式,当 n ? 1 时,也有 a1 ? 1 , 所以函数的通项公式为 an ? 6n ? 5(n ? N ? ) . (3)

?????6 分 ?????7 分 ?????8 分 ??? ??9 分

bn ?

a n 6n ? 5 ? , 2n 2n

?Tn ? b1 ? b2 ?
?

? bn

6 ? 5 6?2 ? 5 6?3? 5 6 ? (n ? 1) ? 5 6 ? n ? 5 ? ? ??? ? ① 2 3 2 2 2 2 n ?1 2n 1 1 6?5 6 2?5 6( n ? 2) ? 5 6( n ? 1) ? 5 6n ? 5 ? ? ? ? n ?1 ② ① ? ? Tn ? 2 3 2 2 2 2 2n ?1 2n 2
?????11 分 ①-②有

1 1 6 6 6 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 2 2 2

?

6 6n ? 5 ? n ?1 2n 2

答案第 27 页,总 47 页

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1 1 (1 ? ( )n ?1 ) 2 1 6n ? 5 7 1 6n ? 5 2 ? ?6 2 ? n?1 ? ? 3( ) n?1 ? n?1 ???13 分 1 2 2 2 2 2 1? 2

143. : (Ⅰ) an ? 2 n (Ⅱ) k ? 6 【解析】 : : (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,

从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 144..(1)

an ? 4 ?

4 (n ? 2) an?1

? an?1 ? 4 ?
? bn ?1 ? bn ?

4 (n ? N * ) an
an a ?2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n ? 4 an ?1 ? 2 an ? 2 2 ? an ? 2 2(an ? 2) an ? 2 2(an ? 2) 2 an

1 ? bn ?1 ? bn ? , n ? N * 2

??bn ? 是等差数列,首项为 ,公差为 .
(2) b1 ?

1 2

1 2

1 1 1 ? ,d ? a1 ? 2 2 2
1 1 n ? (n ? 1) ? 2 2 2

? bn ? b1 ? (n ? 1)d ?

?

1 n 2 ? ,? an ? 2 ? . an ? 2 2 n

【解析】略

答案第 28 页,总 47 页

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145. (1) an ? -2n ? 21 ;(2) bn ? 3n-1 - 2n ? 21,Sn ? -n ? 20n ?
2

3n - 1 . 2

【解析】 试题分析:(1)因为 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, 所以 an ? 19 - 2(n -1) ? -2n ? 21 (2)由题意 bn - an ? 3 ,所以 bn ? 3n-1 - 2n ? 21
n-1

----------------6 分 ----------------9 分

Sn ? ?19 ?17 ??? (-2n ? 21)?? (1 ? 3 ? ?? 3n-1 )
? -n 2 ? 20n ? 3n - 1 2
---------------12 分

考点:本题考查数列通项公式的求法;数列前 n 项和的求法。 点评:求数列的通项公式,若数列是等差数列或等比数列,可直接应用等差数列或等比数列 的通项公式来求。若数列不是等差数列或等比数列,我们可以构造新数列,让新数列为等差 数列或等比数列, 通过新数列来求通项。 比如此题,?bn ? 不是等差或等比数列, 但 ?bn ? an ? 是等比数列,我们可以先求 ?bn ? an ? 的通项,进而再求 ?bn ? 的通项。 146.(Ⅰ) 略(Ⅱ) ?an ? 22n?1 ?15 ? 2n?1 (n ? 1, n ? N ? )

【解析】 (I)依题意: ?an ? an ?1 ? an ,

5 13 5 13 ??an ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? [ n 2 ? n] ? 5n ? 4. 2 2 2 2

??an?1 ? ?an ? 5 ? 数列 {?an } 是首项为 1,公差为 5 的等差数列.?6 分
(II)由 ?2 an ? ?an?1 ? an ? ?22n , 得 ?an?1 ? ?an ? ?an?1 ? an ? ?22n ,

??an ? an ? 22n ,?an?1 ? an ? an ? 22n ,?an?1 ? 2an ? 22n , ?
当 n ? 2 时,

an a an ?1 ?( n ? )? n 2 2n 2n ?1

an ?1 an ? ? 2n ?1 .?9 分 2n ?1 2n a a2 a a3 a a1 a1 ?( 4 ? 3)?( 3 ? 2)?( 2 ? )? 4 3 2 2 2 2 22 2 2

? 2n ? 2 ?

? 21 ? 20 ?

?13 2(1 ? 2n?1 ) 13 15 ? ? ? 2n?1 ? 2 1? 2 2 2
?14 分

?an ? 22n?1 ?15 ? 2n?1 (n ? 2, n ? N ? )

当 n=1 时, a1 ? ?13 也满足上式. ?an ? 22n?1 ?15 ? 2n?1 (n ? 1, n ? N ? ) ?16 分

答案第 29 页,总 47 页

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147. (1)证明:由已知,当 n ? 2 时, bn ? 所以 Sn 2 ? Sn Sn?1 ? 2Sn ? 2Sn?1 ? Sn 2 , 所以

Sn 2 , bn ? Sn ? Sn?1 , Sn ? 2
-----------2 分 ------------3 分

即 Sn Sn?1 ? 2Sn?1 ? 2Sn ,

1 1 1 ? ? . Sn Sn ?1 2

(2)又 S1 ? b1 ? a1 ? 1 . 由(1)可知,数列 ?

------------4 分

?1? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? Sn ?

------------5 分

所以

1 1 n ?1 , ? 1 ? (n ? 1) ? Sn 2 2
2 . n ?1
------------6 分

即 Sn ?

所以当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ?

2 2 2 ? ?? . n ?1 n n(n ? 1)

-----------7 分

?1,    n ? 1, ? 因此 bn ? ? 2 ?? n(n ? 1) ,n ≥ 2. ?
(3)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q ? 0 . 因为 1 ? 2 ?

-------------8 分

? 12 ? 13 ?

13 ?14 ? 91 , 2

------------9 分

所以表中第 1 行至第 13 行共含有数列 ?an ? 的前 91 项, 故 a94 在表中第 14 行第三列,
2 因此 a94 ? b14 q ? ?

------------10 分 ------------11 分

9 . 105

又 b14 ? ?

2 , 14 ? 15
------------12 分

所以 q ? 3 . 记表中第 k (k ≥3) 行所有项的和为 Sk , 则 Sk ?

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 3k ) 1 ? 3k ?? ? 1? q k (k ? 1) 1 ? 3 k (k ? 1)

(k ≥ 3) .

-----------14 分

答案第 30 页,总 47 页

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【解析】略
n 148. (1) an ? ( ) ; (2) ?

1 3

2n n ?1 1 , 9

【解析】
2 (1)设正项等比数列 {an } 公比为 q (q ? 0) ,由 a3 ? 9a2 a6 得 a12 q 4 ? 9a12 q 6 ,即 q 2 ?

1 1 1 1 n ?1 1 ? ( )n . . 又 2a1 ? 3a2 ? 1 ,即 3a1 ? 1 ,所以 a1 ? ,所以 a n ? ? ( ) 3 3 3 3 3 1 1 2 1 n (2) bn ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? log 3 a n ? log 3 ? log 3 ( ) ? ? ? log 3 ( ) 3 3 3
所以 q ?

? ?1 ? (?2) ? (?3) ? ? ? (?n) ? ?

n(1 ? n) 1 2 1 1 ,所以 ?? ? ?2( ? ) 2 bn n(n ? 1) n n ?1

所以数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2n S n ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ?2(1 ? )? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1
149. (1)an=2?2n-1=2n(2)存在最大正整数 k=5 使 Tn> 【解析】 (1)由已知 an=Sn-1+2 得 an+1=Sn+2 ②-①,得 an+1-an=Sn-Sn-1 (n≥2), ∴an+1=2an (n≥2). 又 a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1, ∴an+1=2an (n=1,2,3,?) 所以数列{an}是一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an=2?2n-1=2n. (2)bn=
1 log 2 a n
k 恒成立 12

① ②

=

1 log 2 2
n

=

1 , n

∴Tn=bn+1+bn+2+?+b2n= Tn+1=bn+2+bn+3+?+b2(n+1) =

1 1 1 + +?+ , n ?1 n ? 2 2n

1 1 1 1 1 + +? + + + . n?2 n?3 2n 2 n ? 1 2 n ? 2 1 1 1 + 2n ? 1 2 n ? 2 n ? 1

∴Tn+1-Tn= = =

2(n ? 1) ? (2n ? 1) ? 2(2n ? 1) 2(2n ? 1)(n ? 1) 1 . 2(2n ? 1)(n ? 1)

∵n 是正整数,∴Tn+1-Tn>0,即 Tn+1>Tn. ∴数列{Tn}是一个单调递增数列,
答案第 31 页,总 47 页

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又 T1=b2= ,∴Tn≥T1= , 要使 Tn>
1 k k 恒成立,则有 > ,即 k﹤6, 2 12 12 k 恒成立. 12

1 2

1 2

又 k 是正整数,故存在最大正整数 k=5 使 Tn> 150.略 【解析】略

151. (1) an ? 2n ; (2) bn ? 12n ? 28 ; Sn ? 6n2 ? 22n . 【解析】同理 试题分析:﹙1﹚将已知条件 a4 ? 16 化为公比,求得公比 q ,进而求得通项; (2)将条件利 用数列 {bn } 的首项 b1 和公比 d 表示,进而可求得数列的通项公式与前 n 项和 Sn . 试题解析: (1)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2 ,所以 an ? 2n .
3

(2)由(1)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 . 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? , ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 ,

所以数列

{bn }

的前 n 项和

Sn ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2 .

考点:1、等差数列通项与前 n 项和;2、等比数列的通项公式. 152. (Ⅰ)

an ? 3n ? 7 (Ⅱ) Tn ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解以及数列求和的综合运用。 (1)根据题意设出首项和公差,代入已知关系式中得到通项公式。 (2)在第一问可知数列的通项公式,然后分析运用错位相减法得到结论。 解: (1)根据题意:

a2 ? a6 ? 10 ? a3 ? a5 , 又 a3 ? a5 ? 16 , 所 以 a3 , a5 是 方 程

x2 ? 1 0x ? 1 6 ? 0的 两 根 , 且 a3 ? a5 , 解 得 a5 ? 8, a3 ? 2 , 所 以 d ? 3 ,

an ? 3n ? 7 . ???????????5 分
bn ? ( a n ? 7) ? 2n ? n ? 2n 3 ,则

(2)

答案第 32 页,总 47 页

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Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n

① ②,

2Tn ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 2) ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
? Tn ? 21 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ?



2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2 ,

所以

Tn ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 .?????????12 分
(2)Sn=n +3n+1-
2

153. (1)an=n+1

1 2n

【解析】(1)由题设可得 f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x. 对任意 n?N ,f′ ?
*

?? ? ? =an-an+1+an+2-an+1=0, ?2?

即 an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数列. 由 a1=2,a2+a4=8 解得{an}的公差 d=1, 所以 an=2+1?(n-1)=n+1. (2)由 bn=2 ? an ?

? ?

1 2an

? 1 1 ? ? ? =2 ? n ? 1 ? n ?1 ? =2n+ n +2 知, 2 2 ? ? ?
n

1? ?1? ?1 ? ? ? n ? n ? 1? 2 ? ?2? Sn=b1+b2+?+bn=2n+2? + ? 1 2 1? 2

? ? ? ? =n2+3n+1- 1 . 2n

154. (1) a2 ? 7, a3 ? 15, a4 ? 31, a5 ? 63 ; (2) an 【解析】

? 2n?1 ? 1

试题分析: (1)根据递推公式 a1 ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 求值,主要是注意计算的准确性; (2) 根据等比数列的首项和公比求通项公式, 求首项和公比是常用方法, 注意题中限制条件; (3) 证明一个数列是否为等比数列的基本方法有两种:一是定义法:证明 n ? 1, d为常数 ;二 是等比中项法,证明 2an ? an?1 ? an?1 ,若证明一个数列不是等比数列,则只需举出反例即 可; 试题解析: (1) a2 ? 7, a3 ? 15, a4 ? 31, a5 ? 63 (2)由已知 an?1 ? 2an ? 1 ,得 an?1 ? 1 ? 2an ? 1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 所以

?

?

an?1 ? 1 ? 2 ,又 a1 ? 3 ,所以数列{ an ? 1 }是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. an ? 1
答案第 33 页,总 47 页

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所以 an

? 1 =4? 2n?1 = 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 1
(2)等比数列定义的应用.

考点: (1)递推公式求值;

155 .( 1 ) 证 明 : 由 已 知 得 sin B(sin A cosC ? cos A sin C ) ? sin A sin C , 即

siB ns i n A( ? C) ? s i n As i C n ,所以 sin 2 B ? sin A sin C .再由正弦定理可得 b 2 ? ac ,
所以 a, b, c 成等比数列. (2)

7 . 4

【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 由 已 知 , 利 用 三 角 函 数 的 切 化 弦 的 原 则 可 得 ,

sin B(sin A cosC ? cos A sin C ) ? sin A sin C ,利用两角和的正弦公式及三角形的内角和
公式代入可得 sin 2 B ? sin A sin C ,由正弦定理可证; (2)由已知结合余弦定理可求 cos B ,利用同角平方关系可求 sin B ,代入三角形的面积公 式S ?

1 ac sin B 可求. 2

试题解析: (1)证明:由已知得 sin B(sin A cosC ? cos A sin C ) ? sin A sin C ,
2 即 sin B sin(A ? C ) ? sin A sin C ,所以 sin B ? sin A sin C . 2 再由正弦定理可得 b ? ac ,所以 a, b, c 成等比数列.

2 (2)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b ? ac ? 2 , 所以 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 3 ? , 2ac 4

所以 sin B ? 1 ? cos2 B ?

7 1 1 7 7 .故 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? ? 1 ? 2 ? . ? 4 2 2 4 4
5 (a n ? 1) , ????2 分 6
?????4 分
n ?1

考点:等比数列的性质;三角函数中的恒等变换应用;解三角形. 156. ( 14 分) 解:(1)∵ 6an?1 ? 5an ? 1 ,所以 a n ?1 ? 1 ? 又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? (2) 由(1)知: an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? ?5? 从而 Sn ? 75 ? ? ? ?6?
n ?1 n ?1

?5? ,得 an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6?



?????6 分

? n ? 90 (n?N*); ……??????????8 分
n ?1

?5? 解不等式 Sn<Sn?1, 得 ? ? ?6?

?

2 ,?????????????9 分 5

答案第 34 页,总 47 页

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n ? log 5
6

2 ? 1 ? 14.9 ,???????????????????11 分 25

当 n≥15 时,数列{Sn}单调递增; 同理可得,当 n≤15 时,数列{Sn}单调递减;??????????13 分 故当 n?15 时,Sn 取得最小值.????????????????14 分 【解析】略 157. (1)M 点的纵坐标为定值 (2) S n ?

1 ; 2

(3) ? 的最小正整数为 1。 【解析】

n ?1 ( n ? N * 且n ? 2) 2

试题分析: (1)依题意由 OM ?

1 (OA ? OB ) 知 M 为线段 AB 的中点。 2

又? M 的横坐标为 1,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) 即

x1 ? x 2 1 ? ? x1 ? x 2 ? 1 2 2

x x y ? y2 1 ? y1 ? y 2 ? 1 ? log2 ( 1 ? 2 ) ? 1 ? log2 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? x1 1 ? x2 2 2
即 M 点的纵坐标为定值

1 2

(理 3 分)

(文 4 分)

1 1 1 1 s ? f ( ) ? ? log 2 2 ? (2) 2 1 2 2 2 1? 2

(文 6 分)

1 2 1 2 1 1 s3 ? f ( ) ? f ( ) ? ? log 2 3 ? ? log 2 3 ? 1 1 2 2 3 3 2 1? 1? 3 3

(文 8 分)

1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 s4 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( )? ? ? log 2 4 ? ? log 2 4 ? ? log 2 4 ? 1 2 2 2 3 2 4 4 4 2 1? 1? 1? 4 4 4
??(文 8 分) (理 2 小题共 5 分) 由①知?

1 n ?1 1 n ?1 ? ? 1, ? f ( ) ? f ( ) ?1 n n n n 1 2 n ?1 n ?1 n?2 1 又? Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f( )? f( ) ??? f ( ) n n n n n n n ?1 ? 2S n ? (n ? 1) ? 1 ? S n ? (n ? N *且n ? 2) (文 14 分) 2
答案第 35 页,总 47 页

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(3)当 n ? 2 时, a n ?

1 4 ? ( S n ? 1)(S n?1 ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

又 n ? 1 , a1 ?

4 2 ? 也适合。 2?3 3

? an ?

4 (n ? N * ) (n ? 1)(n ? 2)

? Tn ?

4 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 4( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 ? 3 3? 4 (n ? 1)(n ? 2) 2 3 3 4 n ?1 n ? 2

1 1 2n ? 4( ? )? (n ? N * ) 2 n?2 n?2 2n n 4n ? ? ( ? 1) 恒成立 (n ? N * ) ? ? ? 2 由 n?2 2 n ? 4n ? 4


4n ? n ? 4n ? 4
2

4 4 1 ? ? (当且仅当 n ? 2 取等号) 4 4?4 2 n? ?4 n

?? ?

1 ,? ? 的最小正整数为 1(理 14 分) 2

考点: 本题主要考查函数的概念, 对数函数的图象和性质, 数列的概念, 不等式恒成立问题。 点评:难题,本题综合考查函数的概念,对数函数的图象和性质,数列的概念,不等式恒成 立问题。难度较大,对于不等式恒成立问题,往往通过构造函数,确定函数的最值,使问题 得解。 158. (1) an ? 2n?1 , bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 (2)证明如下 【解析】 试题分析:解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,∴ a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ? 1) ? 2an ? 2an?1 , 即

an ?2 an ?1

∴数列

{an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ an ? 2n?1
设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2 ∴ bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 (2) cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1? 1 ? 1 Tn ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2
考点:等比数列;等差数列
答案第 36 页,总 47 页

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点评:对于求一般数列的通项公式或前 n 项和时,常用方法有:错位相减法、裂变法等,目 的是消去中间部分,像本题在求 Tn 时就用到裂变法。 159.解: (Ⅰ)1,2,3,4,5,10 或 1,2,4,8,9,10. (Ⅱ)由已知在数列{an}中 an+1= an+1 或 an+1=2an, ??????2 分



am 为偶数时,

am?1 ?

am (am ≥ 2) a ? am ? 1 . 2 ,或 m?1

am ≤ am ? 1 (am ≥ 2) , 因为 2 1 ≤ ai ≤ am 2 中 i 的个数不多于 1≤ a j ≤ am ?1 中 j 的个数, am (am ≥ 2) 2 .

所以在数列{an}中

要使项数 m 最小,只需 当 am 为奇数时,必然有

am?1 ?

????????5 分

am?1 ? am ?1(am ≥ 2) , am?1 是偶数,可继续重复上面的操作.
+2bl ,且 0 ≤ b1 ? b2 ? b3 ?
? 2b3 ?b1 ? +2bl ?b1 为奇数;

所以要使项数 m 最小,只需遇到偶数除以 2,遇到奇数则减 1. 因为

am ? k ? 2b1 ? 2b2 ? 2b3 ?

? bl ,

只需除以 1 次 2,得到 1 ? 2 减 1,得到 2 再除以
b2 ?b1

b

b2 ?b1

? 2b3 ?b1 ?

+2bl ?b1 为偶数,

b2 ? b1 次 2,得到 1 ? 2b3 ?b2 ?
b3 ?b2

? 2bl ?b2 ;

再减 1,得到 2 最后得到 2 所以

?

? 2bl ?b2 为偶数,????,

bl ?bl ?1

为偶数,除以

bl ? bl ?1 次 2,得到 1,即为 a1 . +(bl ? bl ?1 ) ? (l ?1) ? 1 = bl ? l . ???13 分

m ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ?

(若用其他方法解题,请酌情给分) 【解析】略

yn ? 160. (I)

?n ? a ? 1 (n 是奇数) 1 1 2 1 7 n? , (II) (3) a ? 或 a ? 或 a ? ? xn ? ? 4 12 3 6 12 (n 是偶数) ?n ? a
1 1 1 n ? , y n ?1 ? y n ? , 所以数列 { y n }是等差数列 ?2 分 4 12 4

【解析】 : (1) y n ?

答案第 37 页,总 47 页

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(2)由题意知,
x n ? 2 -x n =2

xn ? xn?1 ? n, 所以 xn ? xn?1 ? 2n, 从而 xn ?1 ? xn?2 ? 2(n ? 1) 2









∴x 1 ,x 3 ,x 5 ,?,x 2 n ?1 ,?成等差数列;x 2 ,x 4 ,x 6 ,?,x 2 n ,?成等差数列,4 分 ∴x 2 n ?1 = x 1 +(n-1) ?2=2n+a-2,x 2 n = x 2 +(n-1) ?2=(2-a)+(n-1) ?2=2n-a

?n ? a ? 1 (n 是奇数) ?7 分 ? xn ? ? n ? a (n 是偶数 ) ?
(3)当 n 奇数时,An(n+a-1,0) ,An+1(n+1-a,0) ,所以 | AnAn+1 | =2(1-a) ; 当 n 是偶数时,An(n-a,0) ,An+1(n+a,0) ,所以| AnAn-1 | =2a ?10 分

1 1 作 Bn Cn ? x 轴于Cn , 则| Bn Cn |? n ? . 4 12
要使等腰三角形 AnBnAn+1 为直角三角形,必需且只需| AnAn-1 | =2| BnCn | .

1 1 所以,当 n 为奇数时, 有 2(1 - a) ? 2( n ? ), 即12a ? 11 - 3n, (*) 4 12 2 1 当 n ? 1 时, a ? ;当 n ? 3 时, a ? ;当 n ? 5 时, 方程(*)无解. ??14 分 3 6 7 当 n 是偶数时,12a ? 3n ? 1,同理可求得a ? . ?15 分 12 2 1 7 综上所述,当 a ? 或 a ? 或 a ? 时, 存在直角三角形?16 分 3 6 12
点评:复习时把握数列的概念,记住一些常用的结论,灵活的使用,注重对数列结合不等式 等综合问题的解决。 数列与不等式均是高考的必考内容, 而将数列与不等式结合成大题则是 高考中的一个难点问题,复习中应强化这方面的训练. 161.(1) bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ?(bn ? bn?1 ) ? 1 ? a1 ? a2 ? ?an?1

? 1?

(n ? 1)( 2n ? 2) ? n 2 ? 2n ? 2 ; 2 4 n (4 ? 1) ? n 2 ? n 。 3

(2) Tn ? c1 ? c2 ? ?cn ? 4 ? 4 2 ? ?4 n ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) ? 【解析】 试题分析::(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由已知 ?

?a1 ? 2d ? 5 ? 15 ? 14 15 a ? d ? 225 1 ? 2 ?
???3 分

解得: a1 ? 1, d ? 2

∴ an ? 2n ? 1

又 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ?(bn ? bn?1 ) ? 1 ? a1 ? a2 ? ?an?1
答案第 38 页,总 47 页

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? 1?

(n ? 1)( 2n ? 2) ? n 2 ? 2n ? 2 2

???6 分 ???8 分

(2) cn ? 2an ?1 ? 2n ? 22n ? 2n ? 4 n ? 2n ∴ Tn ? c1 ? c2 ? ?cn ? 4 ? 4 2 ? ?4 n ? 2(1 ? 2 ? ? ? n)

?

4 n (4 ? 1) ? n 2 ? n 3

???12 分

考点:本题主要考查等差数列通项公式,前 n 项求和公式,等比数列的求和公式,分组求和 法。 点评:中档题,等差数列、等比数列是高考必考内容,特别是往往涉及通项公式、求和公式 即数列的性质。在求和问题中, “分组求和法” 、 “裂项相消法” 、 “错位相减法”等,是常常 考到的内容。 162.

(下略) 【解析】略
? a1 ? 1 163. (1) ? (2)63 ?q ? 2

【解析】 试题分析:解:(1)由已知,得各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a2 = 2,a5 = 16,即可知
答案第 39 页,总 47 页

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? a1 ? 1 ? ?q ? 2

4分

(2) 在第一问的基础上可知,首项为 1,公比为 2,那么可知前 n 项和公式得到,
S6 ? a1 (1 ? q 6 ) ? 63 1? q

8分

考点:等比数列 点评:主要是考查了等比数列的通项公式的运用,以及求和的综合运用,属于基础题 164.Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,

?b2 ? S 2 ? 12, ? 2 S 因为 ? 所以 b2 ? b2 q ? 12 ,即 q ? q ? 12---2 分 q? 2, ? b2 ?
, b2 ? 3, s2 ? 9, a2 ? 6, d ? 3 .---4 分 ? q ? 3 或 q ? ?4 (舍) 故 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n (Ⅱ) S n ? , bn ? 3n?1 . ----------6 分

n(3 ? 3n) 3n?n ? 1? = ,------8 分 2 2

cn ?

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) . ---10 分 S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

Tn ?

2? 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? 3? 2 2 3

1 1 ? 2 1 2n . ?( ? ) ? ? (1 ? )? n n ?1 ? 3 n ? 1 3(n ? 1)

【解析】 (1) 根据 b2 ? S 2 ? 12 , q ? 进而可确定 an 与 b n ;

S2 可建立关于公差 d,公比 q 的两个方程, 求出 d,q, b2

(2)在(1)的基础上,求出 Sn,然后在求 ?cn ? 的前 n 项和时,采用裂项求和的方法即可 165. (1)证明:由 an ?1 ? (2 ? ) an 可得 即 bn?1 ? 2bn ,

2 n

an ?1 a ? 2? n n ?1 n

bn?1 ? 2 ,所以,数列 {bn } 是公比为 2 的等比数列 bn

{bn } 首项 b1 ?

a1 ? 1 ,所以 bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 ???????6 分 1

(2)由 an ? nbn ? n ? 2n?1

答案第 40 页,总 47 页

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Sn ? a1 ? a2 ? ? 1? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2
1 2

an ? n ? 2n ?1 ①

2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23
② ? ①得 ?Sn ? 1 ? 21 ? 22

? n ? 2n ② ? 2n?1 ? n ? 2n

1 ? 2n ? ? n ? 2n ? (1 ? n) ? 2n ? 1 ???????12 分 1? 2

Sn ? (n ?1) ? 2n ? 1
【解析】略 166.银行 A 提供的投资行为效益更好. 【解析】在年利率为 r 的前提下,所谓“每月支付一次”,也就是按月利率 天支付一次”,也就是按日利率

r 每月付息;“每 12

r 每日付息.故有在 A 银行最初存入 100 美元,那么一年以 365 0.07 12 后所得的本利和为 100?(1+ ) =100?(1.005 833)12≈100?(1.072 286), 12
所以年有效收益为 7.23%. 而在 B 银行最初存入 100 美元,那么一年以后所得的本利和为 100?(1+ ?(1.000 189)365=100?(1.071 413). 所以年有效收益为 7.14%. 比较两银行提供的年有效收益,可见银行 A 提供的投资行为效益更好. 167. (1) an ? 2n 【解析】略 168. (1) (2) Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 、

0.069 365 ) =100 365

an?1 ? 1 2an 1 ? 1 ? 2n ? 2 2 2 ? ? an ? a ? 2 ( a ? a ) ; ( 2 ) a ? . (3)所以 ?1 n ?1 n n n an ? 1 an?1 2


f ( xn ) ? 2 n ? 1.

f ( xk ) 2k ? 1 ? k ?1 ? f ( x k ?1 ) 2 ? 1

2k ? 1 1 ? , k ? 1,2,3,?, n, 1 2 2(2 k ? ) 2

以所

f ( xn ) n f ( x1 ) f ( x2 ) ? ??? ? . f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2
? ? f ( xn ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ? ??? f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( x n ?1 ) n 1 1 1 n 1 1 n ?1 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? ? (1 ? n ) ? . 2 2 2 2 2 2 2 2
答案第 41 页,总 47 页

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【解析】 试题分析: (1)

an?1 ? 1 2an 2 2 ? ? an ?1 ? a n ?1 ? 2(a n ? a n ) , an ? 1 an?1

??????2 分

2 bn ? an ? an , bn?1 ? 2bn

又 b1 ? a12 ? a1 ? 2 ? 0 得 bn ? 是公比和首项均为 2 的等比数列 ??3 分 (2) 由(1)得

?

bn ? 2n ,

?????????????4 分

1 ? 1 ? 2 n?2 即 a ? an ? 2 ? an ? (? an ? 0). ??????????6 分 2
2 n n

(3)证明:因为等比数列{ bn }的前 n 项和 x n ? 所以 f ( xn ) ? 2 n ? 1.

2(2 n ? 1) ? 2 n?1 ? 2, 2 ?1

??7 分

????????????8 分

f ( xk ) 2k ? 1 ? ? 故 f ( x k ?1 ) 2 k ?1 ? 1

2k ? 1 1 ? , k ? 1,2,3,?, n, 1 2 2(2 k ? ) 2

??????10 分

以所

f ( xn ) n f ( x1 ) f ( x2 ) ? ??? ? . f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2
f ( xk ) 2k ? 1 1 1 ? k ?1 ? ? , k ?1 f ( xk ?1 ) 2 ? 1 2 2(2 ? 1)

???????11 分

另一方面

?

1 1 1 1 ? k ?1 ? ? k ?1 , k ? 1,2,?, n. k ?1 2 2 ? 2k ? 2 2 2

???12 分

? ?

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ? ??? f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( x n ?1 ) n 1 1 1 n 1 1 n ?1 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? ? (1 ? n ) ? . 2 2 2 2 2 2 2 2

?

f ( xn ) n n ? 1 f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? ??? ? . 2 f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2

????????14 分

考点:等比数列的定义;数列通项公式的求法;数列前 n 项和的求法;数列的递推式;不等 式的证明。 点评: (1) 本题主要考查了数列的递推式. 数列的通项公式和求和问题与不等式、 对数函数、 幂函 数等问题综 合考查是近 几年高考的 热点题目 . ( 2 )本题求数 列通项公 式时, 把
答案第 42 页,总 47 页

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2 an ? an ? 2n 看做关于 an 的一元二次方程,通过求方程的解来求数列 ?an ? 的通项公式。

169.解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由 ∴ a2 ? 3a1 ? 3 , (2 分) 且

S2 n a ?a ? 4 得: 1 2 ? 4 , (1 分) Sn a1
(3 分) (4 分) (5 分)

d ? a2 ? a1 ? 2 ,

∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 ∴ Sn ?

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2

(2)由 bn ? an ? 2n?1 ,得 bn ? (2n ?1) ? 2n?1

(6 分)

所以 (7 分)

Tn ? 1 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ?
2Tn ? 2? 3 ? 22 ? ? 5 3? 2
①-② 得

? (2n ?1) ? 2n?1 , ? ? ①
?
? 1 n( ?2 ? n3 )? 2 n ? (? 2 n ,??② 1 ) 2 (8 分)

?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ?

? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n

(9 分) ( 10 分 )

? 2(1 ? 2 ? 22 ?
?


? 2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n ?1
2 1
(11 分

2 (? 1n 2 ) ?( n 2? ? 1n ? ) 1? 2

Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 (an ? 1)(4an ? 1) ? 6Sn (n ? N ? )

(12 分)

【解析】略 170.解:

2 ?4an ? 3an ? 1 ? 6Sn 2 当n ? 2时, 4an ?1 ? 3an?1 ? 1 ? 6Sn?1 2 2 ?4an ? 3an ? 1 ? 4an ?1 ? 3an?1 ? 1 ? 6an

4(an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 3(an ? an?1 ) ? 0
an ? 0,? an ? an ?1 ?


3 4

2 4a1 ? 3a1 ? 1 ? 6a1

? a1 ? 1 ? an ?

3n ? 1 4

答案第 43 页,总 47 页

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(2)

n ? 2, cn ?

1 16 16 1 1 ? ? ( ? ) an?1an (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

16 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ) 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 19 16 1 19 m ? 1992 ? ? ? ? ? 3 3 3n ? 1 3 3 ? m ? 2011 ?Tn ? 1 ?

?m 的最小值为 2011
【解析】略

( n ? 1) 2 ? 1 ?
171. 【解析】略

1 2 n ?1

172. (1) an ? 2n ; (2) k ? 6 . 【解析】 试题分析: (1)设公差为 d ,依题意列出关于 a1 , d 的方程组 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ,从中求解即 2 a ? 4 d ? 12 ? 1

可得到 a1 , d 的取值,从而代入 an ? a1 ? (n ?1)d 可得到数列 ?an ? 的通项公式; (2)由(1) 先求出公式 S n ? 进行求解即可. 试题解析:(1)设数列 {an } 的公差为 d ,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (2) 由 (1) 可 得 S n ?

n(a1 ? an ) 求出 Sn , 进而列出等式 a2k ? a1Sk ?2 , 然后转化为关于 k 的方程, 2

? 2a1 ? 2d ? 8 解得 a1 ? 2, d ? 2 ?2a1 ? 4d ? 12

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 因 a1 , ak , Sk ?2 成 等 比 数 列 , 所 以 2 2

a2k ? a1Sk ?2 从而 (2k )2 ? 2(k ? 2)(k ? 3) ,即 k 2 ? 5k ? 6 ? 0
解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 . 考点:1.等差数列的通项公式及其前 n 项和;2.等比数列的定义.
n ?1 173. (1) f ( x) ? 2 x ? 1 ; (2) S n ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ?

(1 ? n)n . 2

【解析】 试题分析:本题是三角函数和数列的一道综合题,考查二倍角公式、特殊角函数值以及等比 数列的通项公式和错位相减法求和等基础知识,考查分析问题、解决问题的能力,考查计算 能力.第一问,因为表达式中有 tan 2? ,而已知 tan ? ,正好符合二倍角公式,所以先利用 这个公式求出 tan 2? ? 1 ,由于 ? 为锐角,而 tan 2? ? 1 ? 0 ,所以 ? ?

?
8

,将角代入 f ( x )

答案第 44 页,总 47 页

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中,可以求出 f ( x) ? 2 x ? 1 ;第二问,先利用构造法构造一个等比数列 {an +1} ,利用等比 数列的通项公式,求出 an ,再求 nan ,要求 Tn ,先把 nan 分开用 2 部分表示,一部分符合 错位相减法,另一部分是等差数列,最后把这 2 部分的和加在一起即可. 试题解析:⑴ tan 2? ? ∴ 2? ?

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2

又∵ ? 为锐角,

?
4

∴ sin( 2? ?

?
4

) ?1

f ( x) ? 2 x ? 1

5分

(2) ∵ an?1 ? 2an ? 1, ∵ a1 ? 1

∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)

∴数列 ?an ? 1? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列。 9分

可得 an ? 1 ? 2 n ,∴ an ? 2 n ? 1 , 所以, nan ? n ? 2 n ? n 下面先求 {n ? 2 } 的前 n 项和 Tn
n

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ?
两式相减,得

? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n

? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ?

? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2 ? 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 1? 2

Tn ? 2 ? (n ?1) ? 2n?1
S n ? 2 ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? (1 ? n)n 2
12 分

12 分 考点:1.二倍角公式;2.特殊角的三角函数值;3.构造法求通项公式;4.错位相减法;5. 分组求和;6.等差、等比数列的求和公式. 174. (1) 2 【解析】 试题分析:对任意的 n ? N * ,都有 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ??? ?an bn ? n 2n ?3 . 所以 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ??? ?an ?1bn ?1 ? (n ? 1) 2n ? 2 ( n ? 2 )两式相减可求 anbn ? ? n ? 1? ? 2n?2 (1)由于等比数{bn }的首项为 4,公比为 2,可知 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,于是可求得 an ,
n?2

(2)不存在. ? n2 ? 3n ? 4 ;

答案第 45 页,总 47 页

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再将数列{an+bn}的前 n 项和拆分为等差数列{an}的前 n 项和与等比数列 ?bn ? 的前 n 项和之 和. ( 2 ) 由 an ? 4n ? 4 , anbn

? ? n ?1? ? 2n?2 ? bn ? 2n 假 设 存 在 一 项 bk , 可 表 示 为

bt1 ? bt2 ?
一 方

? btr
面 ,

k ? tr ? 1
1 2 3 tr

,









,

tr ?1 tr ?1 2(1 ? 2tr ) 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? 2 ?2? 2 1? 2

k

t1

t2

tr

? k ? tr ? 1
两者相矛盾 K 值不存在. 试题解析: 解:(1)因为 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ????? anbn ? n ? 2n?3 ,所以当 n ? 2 时,
a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? an?1bn?1 ? (n ?1) ? 2n?2 ,

两式相减,得 anbn ? n ? 2n?3 ? (n ?1) ? 2n?2 ? (n ?1) ? 2n?2 (n ? 2) , 而当 n=1 时, a1b1 ? 16 ,适合上式,从而 anbn ? (n ? 1) ? 2n?2 (n ? N * ) 3 分 , 又因为{bn}是首项为 4,公比为 2 的等比数列,即 bn ? 2n?1 ,所以 an ? 2n ? 2 ,4 分
n 从而数列{an+bn}的前 n 项和 Sn ? n(4 ? 2n ? 2) ? 4(1 ? 2 ) ? 2n? 2 ? n2 ? 3n ? 4 ;6 分 2 1? 2

(2)因为 an ? 4n ? 4 , anbn ? (n ? 1) ? 2n?2 (n ? N * ) 所以 bn ? 2n ,. 8 分 , 假设数列{bn}中第 k 项可以表示为该数列中其它 r (r ? N , r ? 2) 项 bt , bt , ???, bt (t1 ? t2 ? ??? ? tr ) 的 1 2 r 和,即 bk
k

? bt1 ? bt2 ???? ? btr ,从而 2k ? 2t ? 2t ? ??? ? 2t ,易知 k ? tr ? 1 ,(*) 9 分
1 2 r

又 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 r ?
t t t 1 2 3 t

tr ?1 tr ?1 2(1 ? 2tr ) ? 2 ?2? 2 , 1? 2

所以 k ? tr ? 1 ,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在. 12 分 考点:1、等比数列的通项公式和前 n 项和公式;2、拆项求和. 175. (1) c1 ? 21 , c2 ? 23 , c3 ? 25 , c4 ? 27 ,由此归纳: cn ? 22 n?1 .(2)详见解析 【解析】 试题分析: ( 1 ) 根 据 题 意 将 n 取 几 个 特 定 的 值 即 可 分 别 求 出 : c1 ? b1 ? a7 ? 21 ,
答案第 46 页,总 47 页

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c2 ? b3 ? a9 ? 23 , c3 ? b5 ? a17 ? 25 , c4 ? b7 ? a48 ? 27 , 由 其 中 的 规 律 不 难 发 现 :

cn ? 22n?1 ; ( 2 )根据题中条件有 an ? bm ,不难解得 n ?
n?6 ?

2m ? 19 2m ? 1 ? ? 6 ,即有: 3 3

(3 ? 1)m ? 1 ,最后结合二项式定理的有关知识可得 n 的一个关系式: 3
m ?1 1 m ? Cm 3 (?1) m?1 ? Cm (?1) m ? 1

0 m 1 m ?1 2 m?2 Cm 3 ? Cm 3 (?1)1 ? Cm 3 (?1) 2 ? n?6 ? 3

,可见当

m 为奇数时,即可得证.
(1) c1 ? b1 ? a7 ? 21 , c2 ? b3 ? a9 ? 23 , c3 ? b5 ? a17 ? 25 , c4 ? b7 ? a48 ? 27 , 由此归纳: cn ? 22 n?1 . (2) 由 an ? bm ,得 n ? 4分

2m ? 19 2m ? 1 ? ?6, 3 3

(3 ? 1)m ? 1 ,由二项式定理得 ? n?6 ? 3

? n?6 ?

0 m 1 m ?1 2 m?2 Cm 3 ? Cm 3 (?1)1 ? Cm 3 (?1) 2 ? 3

m ?1 1 m ? Cm 3 (?1) m?1 ? Cm (?1) m ? 1



? 当 m 为奇数时, n 有整数解, ? cn ? b2n?1 ? 22n?1 .
考点:1.归纳推理;2.数列的综合应用;2.二项式定理的运用

10 分

答案第 47 页,总 47 页


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