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数列综合测试题

时间:2012-12-28


数列综合测试题
辽宁省大连市长海县高级中学 王霞 程聿剑 Tel:15541175086 QQ: 66284693E-mail:dyslzcyj@163.com 邮编: 116500 (人教 B 版 高三年级 总 167 期 第 x 版) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的

四个选项中,只有 一个符合题目要求) 1.一个等差数列前 3 项和为 34 ,后 3 项和为 146 ,所有项和为 390 ,则这个数列的项数为 ( ) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 2.已知等比数列 ?an ? 公比为 q ? A. ?

a ? a3 ? a5 1 ,则 1 ? a2 ? a4 ? a6 3
C.





1 3 8 3

B. ?3

1 3

D. 3 ( D. )

3.首项为 ?24 的等差数列从第 10 项起为正数,则公差 d 的取值范围是 A. d ? B. d ? 3 C.

8 ?d ?3 3
C. 6,8,10 )条件.

8 ?d ?3 3
( )

4.下列各组数能组成等比数列的是 A. , ,

1 1 1 3 6 9

B. lg 3, lg 9, lg 27

D. 3, ?3 3,9

2 5.“ b ? ac ”是“ a、b、c 成等比数列”的(

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要 ( )

2 6.若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? ? n ,则对这个数列判断正确的是

A.是等差数列,且 an ? 2n ?1 C. 是等差数列, an ? ?2n ?1 且 7.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

B.不是等差数列,但 an ? 2n ?1 D. 不是等差数列, an ? ?2n ?1 但

2an , (n ? N ? ) ,则 a5 ? an ? 2





A.

2 5

B.

1 3

C.

2 3

D.

1 2

8.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ?

1 ,且它的前 n 项和 Sn ? 101 ? 1,则 n 的值为 n ?1 ? n
( )

A. 98

B. 99

C. 100

D.101

9. 若数列 ?an ? 的前 n 项由如图 1 所示的流程图输出依次给出, 则数列 ?an ? 的通项公式 ) ( .
i=i+1 开始 输入 n 输出 a 否 是 i=n

a=0

i=1 图1

a=a+i

结束

1 A. n(n ? 1) 2

1 B. n(n ? 1) 2

C. n ? 1

D. n

10. 已知数列 ?an ? 对任意的 p,q?N* 满足 a p ? q ? a p ? aq , a2 ? ?6 , 且 那么 a10 等于 ( ) A. ?165 B. ?33 C. ?30 D. ?21 ( )

2 11. 在等比数列{an}中,若 a3,a9 是方程 3 x ? 11x ? 9 ? 0 的两根,则 a6 的值是

A.3

B. ? 3

C. ? 3

D.以上答案都不对

12. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一” (1101) 2 表示二进 ,如 制数,将它转换成十进制形式是 1? 23 ?1? 22 ? 0? 21 ?1? 20 = 13,那么将二进制数

(? ??)转换成十进制形式是( 1111 1 2 ? ? ?
16个1

). C. 216 ?1 D.D. 215 ?1

A. 217 ? 2

B. 216 ? 2

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知 an ? 2010 ? log n 53 ,把数列 ?an ?的各项排成三角形状;

a1
a2 a4
a7 a5

a3 a6 a9 a10

a8

???????????? 记 A ? m, n ? 表示第 m 行,第 n 列的项,则 A ?10,8? ? 14. 数列 . .

1 1 1 , , ,? 的前 n 项之和为 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4

15. 在数列 {an } 中,如果对任意 n ? N * 都有 比数列, k 称为公差比. 现给出下列命题:

an ? 2 ? an ?1 ? k ( k 为常数) ,则称 {an } 为等差 an ?1 ? an

⑴等差比数列的公差比一定不为 0;⑵等差数列一定是等差比数列;⑶若 an ? ?3n ? 2 ,

则数列 {an } 是等差比数列;⑷若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为 .

16. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4-a2=8,a3+a5=26,记 Tn=

Sn ,如果存在正整 n2

数 M,使得对一切正整数 n,Tn≤M 都成立.则 M 的最小值是 . 三、解答题(本大题 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别 求出{an}及{bn}的前 10 项的和 S10 及 T10. 18. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ?是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12.
n ⑴求数列 ?an ?的通项公式;⑵令 bn ? a n x ( x ? R ). 求数列 ?bn ?前 n 项和的公式.

19.(本小题满分 12 分)设 ?an ? 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的前 10 项和 (1) (2) S10 ? 110且 a1 ,a 2 ,a 4 成等比数列。 证明 a1 ? d ; 求公差 d 的值和数列 ?an ? 的通项公式. 20. 本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x)在(?1,1)上有意义 f ( ) ? ?1, 且任意的 x 、y ? (?1,1) , 都有 f ( x) ? f ( y ) ? f (

1 2

2 xn x? y 1 ). {xn }满足x1 ? , xn?1 ? (n ? N * ), 求f ( xn ). 2 1 ? xy 2 1 ? xn
a ( an ? 1) (a 为常数, a ?1

21.(本小题满分 12 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? 且 a ? 0, a ? 1 ) .⑴求 {a n } 的通项公式;⑵设 bn ? a 的值.

2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 an

2 22. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ?的公差大于 0,且 a3 ,a5 是方程 x ? 14 x ? 45 ? 0

的两根,数列 ?bn ?的前 n 项的和为 S n ,且 S n ? 1? 公式; (2) 记 cn ? an ? bn ,求证: cn?1 ? cn .

1 bn .(1) 求数列 ?an ?,?bn ?的通项 2

数列综合测试题参考答案
一、选择题 1、答案:A. 【解析】∵ ?

?a1 ? a2 ? a3 ? 34 ,∴两式相加得 3 ? a1 ? an ? ? 180 ,即 . ?an ? an?1 ? an?2 ? 146



n ? a1 ? an ? ? 390 ,即 n ? 13 . 2

2、答案:D.

a1 ? a3 ? a5 a1 ? a1q 2 ? a1q 4 1 ? ? ? 3. 【解析】∵ 3 5 a2 ? a4 ? a6 a1q ? a1q ? a1q q
3、答案:C. 【解析】根据题意得 ?

?a10 ? 0 8 ,解不等式组得 ? d ? 3 . 3 ?a9 ? 0

4、答案:D. 【解析】根据等比数列的定义,相邻两项的比值均相等的数列为等比数列,满足条件的只有 选项 D 确定的三项可以构成等比数列. 5、答案:B.
2 【解析】 ∵“ a、b、c 成等比数列”一定能推出“ b ? ac ” ; 2 “ b ? ac ” 不能推出 a、b、c 成等比数列” 例如 a ? b ? c ? 0 时, “ , 不成立.

6、答案:C. 【解析】根据公式 an 与 S n 之间的关系式 an ? ?

? S1 ? n ? 1? ? , ?Sn ? Sn?1 ? n ? 2 ? ?

可以求得 an ? 1 ? 2n ,该数列为等差数列. 7、答案:B. 【解析】∵ an?1 ?

2an a ?2 1 1 1 1 1 1 ,∴ ? n ? ? ,即 ? ? . an?1 2an an 2 an ? 2 an?1 an 2

∴数列 { 8、答案:C. 【解析】∵ an ? ∴ Sn ? 9、答案:B.

1 1 n ?1 2 1 ,得 an ? .∴ a5 ? . } 为等差数列,即 ? an an 2 n ?1 3

1 ? n ?1 ? n , n ?1 ? n

n ? 1 ? 1 ? 101 ? 1 ,解方程得 n ? 100 .

【解析】本题通过程序框图体现了所求数列的通项公式,即 an ? n 的前 n 项和, 依据等差数列的前 n 项和公式 S n ?

n ? n ? 1? ,可以顺利求解. 2

10、答案:C. 【解析】∵ a p ? q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 . ∴ a4 ? a2 ? a2 ? ?12, a8 ? a4 ? a4 ? ?24, a10 ? a2 ? a8 ? ?30 . 11、答案:C. 【解析】由根据与系数的关系得 a6 ? a3 a9 ? 3,? a6 ? ? 3 .
2

12、答案:C. 【解析】 (111?1) 2 ? 1 ? 215 ? 1 ? 214 ? ?1 ? 21 ? 1 ? 20 ? 216 ? 1. ? ? ?
16

二、填空题 13、答案:2010. 【解析】根据题意得 A ?10,8? 即表示第 10 行第 8 项,

该项为等差数列 {n} 的前 9 项和与 8 的和,即 即第 53 项,∴ a53 ? 2010 ? log53 53 ? 2010 . 14、答案:

9 ?1 ? 9 ? ? 8 ? 53 , 2

n . n?2

【解析】由已知得 an ?

1 ? ? 1 ? 2? ? . ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 1 n ? 2 ? ? 2

∴ Sn ? 2 ?

1 ? n ?1 . ? ?? ?2 n?2? n?2

15、答案:⑴、⑶、⑷. 【解析】根据等差比数列的定义可知常值数列不符合其定义,不能入选,其他选项均可. 16、答案:2. 【解析】由 a4-a2=8,可得公差 d=4,再由 a3+a5=26,可得 a1=1. 2n-1 1 故 Sn=n+2n(n-1)=2n2-n,∴Tn= =2- . n n 要使得 Tn≤M,只需 M≥2 即可.∴M 的最小值为 2. 三、解答题 17、 【解析】 解:设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,
2 则 ?2(1 ? 2d ) ? q 解方程得: d ? ? 3 , q ? ? 2 ? 4 8 2 ? 1 ? 2d ? q

∴S

10

? 10 a1 ? 45 d ? ?

55 1 ? q1 0 31( 2 ? , T1 0 ? b1 ? 8 1? q 32

2)

18、 【解析】⑴解:设数列 {an } 公差为 d ,则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12,

又 a1 ? 2, d ? 2. ∴ an ? 2n.
n n ⑵解:令 Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn , 则由 bn ? a n x ? 2nx , 得

S n ? 2 x ? 4 x 2 ? ? (2n ? 2) x n ?1 ? 2nx n , xS n ? 2 x 2 ? 4 x 3 ? ? ? (2n ? 2) x n ? 2nx n ?1 ,

① ②

当 x ? 1 时,①式减去②式,得
(1 ? x) S n ? 2( x ? x 2 ? ? x n ) ? 2nx n ?1 ? 2 x(1 ? x n ) ? 2nx n ?1 , 1? x

∴ S ? 2 x(1 ? x ) ? 2nx n 2
n

n ?1

(1 ? x)

1? x

.

当 x ? 1 时, S n ? 2 ? 4 ? ?? 2n ? n(n ?1) .

综上所述,当 x ? 1 时, S n ? n(n ?1) ; 当 x ? 1 时, S ? 2 x(1 ? x ) ? 2nx n 2
n n ?1

(1 ? x)

1? x

.

2 19、 【解析】⑴证明:因 a1 , a 2 , a 4 成等比数列,故 a2 ? a1a4 ,而 ?an ?是等差数列,

有 a2 ? a1 ? d , a4 ? a1 ? 3d ,于是 (a1 ? d ) 2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,
2 2 即 a1 ? 2a1d ? d 2 ? a1 ? 3a1d ,化简得 a1 ? d .

⑵解:由条件 S10 ? 110和 S ? 10a ? 10? 9 d ,得到 10a1 ? 45d ? 110 , 10 1
2

由 (1) a1 ? d , , 代入上式得 55d ? 110, d ? 2 ,an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n , 故

n ?1, 2 , 3 ,?.
20、 【解析】?1 ? xn ? 2 | xn | ? |
2

2 xn 1 |? 1 又x1 ? . 2 2 1 ? xn
1 2

?|

2 xn |? 1 2 1 ? xn

, f ( x1 ) ? f ( ) ? ?1 .

而 f ( xn?1 ) ? f (

2 xn x ? xn )? f( n ) ? f ( xn ) ? f ( xn ) ? 2 f ( xn ). 2 1 ? xn xn 1 ? xn

?

f ( xn?1 ) ?2. f ( xn )

?{ f ( x n )}是以 ? 1为首项 ,以2为公比的等比数列 , 故f ( x n ) ? ?2 n ?1 .

21、 【解析】⑴? S1 ?

a (a1 ? 1), ∴ a1 ? a , a-1 a a an ? an ?1 , 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? a ?1 a ?1

an ? a ,即 {a n } 是等比数列. ∴ an ? a ? an?1 ? an ; an ?1
2? a (a n ? 1) (3a ? 1)a n ? 2a a ?1 ,若 {bn } 为等比数列, ?1 ? an a n (a ? 1)

⑵由⑴知, bn ?

3a ? 2 3a 2 ? 2a ? 2 , b3 ? , a a2 1 3a ? 2 2 3a 2 ? 2a ? 2 ) ? 3? ∴( ,解得 a ? . 2 3 a a 1 1 再将 a ? 代入得 bn ? 3n 成立,∴ a ? . 3 3
则有 b22 ? b1b3 , 而 b1 ? 3, b2 ?
2 22、 【解析】⑴∵a3,a5 是方程 x ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {an } 的公差 d>0,

∴a3=5,a5=9,公差 d ?

a5 ? a3 ? 2. 5?3

∴ an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. 又当 n=1 时,有 b1=S1=1-

1 2 b1 ,?b1 ? . 2 3

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n?1 ? ∴数列{bn}是等比数列, b1 ? ∴ bn ? b1q n?1 ?

b 1 1 (bn?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). 2 bn?1 3

2 1 ,q ? . 3 3

⑵由⑴知 cn ? an bn ?

2(2n ? 1) 2(2n ? 1) , cn?1 ? , n 3 3n?1 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) 8(1 ? n) ∴ cn?1 ? cn ? ? ? ? 0. 3n?1 3n 3n?1

2 . 3n

∴ cn?1 ? cn .


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