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14数学全国教师5(理)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(五)
第五单元 函数的综合应用
150 分) (120 分钟

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.a、b 为实数,集合 M={,1},N={a,0},f:x→2x 表示把集合 M 中的元素 x,映射到集合 N 中 为 2x,则 a+b 等于 A.-2 B.0


C.2
2

D.± 2

解析:由于 M 中元素 1 能对应 a, 能对应 0,所以 =0,a=2,所以 b=0,a=2,因此 a+b=2. 答案:C

2.已知函数 f(x)=
1

- 3 ,x ≤ 0,

则 f[f(-1)]等于 1 ( 2 )- ,x > 0, D.-1

A.2 B.2
答案:B

C.1

解析:f[f(-1)]=f(1)=2.
|| (a>1)的图象大致形状是

3.函数 y=

解析:当 x>0 时,y=ax,因为 a>1,所以是增函数,排除 C、D,当 x<0 时,y=-ax,是减函数,所以排除 A. 答案:B

4.设函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x-2x+m(m 为常数),则 f(-2)等于 A.-2
5

B.-1

C.1

D.3

解析:因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 20+m=0,所以 m=-1,所以当 x≥0 时,函数 f(x)=2x-2x-1,所以 f(-2)=-f(2)=-(4-4-1)=1.

答案:C

5.记 min{a,b}为 a,b 两个数的较小者,max{a,b}为 a,b 两个数的较大者,f(x)=
+-(-)·(-) 的值为 2

1, ≥ 0, 则 -1, < 0,

A.min{a,b} B.max{a,b}

C.b

D.a
+-(-) =b. 2

解析:(1)若 a>b,则 a-b>0,∴ f(a-b)=1.∴ 原式= (2)若 a<b,a-b<0,∴ f(a-b)=-1.∴ 原式= =a. 所以
+-(-)·(-) =min{a,b}. 2 2 2

答案:A

6.已知 f(x+199)=4x2+4x+3(x∈R),那么函数 f(x)的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.5

解析:求 f(x)的解析式运算量较大,但这里我们注意到,y=f(x+199)与 y=f(x),其图象仅是左右平移关 系,它们取得的最大值和最小值是相同的,由 y=4x2+4x+3=4(x+ )2+2,所以 f(x)的最小值即 f(x+199)的最 小值是 2. 答案:B
1 2

7.函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,又是以 2 为周期的周期函数.若 f(x)在[-1,0]上是减函 数,那么 f(x)在[2,3]上是 A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数
解析:∵ f(x)为[-1,0]上的减函数,且 f(x)为 R 上的偶函数,∴ f(x)在[0,1]上是增函数,又 f(x)是以 2 为周 期的函数,∴ f(x)在[2,3]上的单调性与[0,1]上相同,即递增. 答案:A

8.已知 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-π,π],且它们在 x∈[0,π]上的图 象如图所示,则不等式
() <0 的解集为 ()

A.(- , )
2π π

2π π 3 3

B.( ,π)
π

π 3

C.(- 3 ,3)∪(3,π)

D.(-3,0)∪(3,π)

π

π

解析:

() <0?f(x)与 g(x)在同一区间内符号相反, () π 3

由图可知当 x∈(0,π)时,两者异号的区间为( ,π), 又 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴ 它们在[-π,0]上的图象大致为如图所示, 可知其异号的区间为(- ,0),∴ 答案:D
π 3 () π π <0 的解集为(- ,0)∪( ,π). () 3 3

9.已知函数 f(x)=mx3+nx2 的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行,若 f(x)在区 间[t,t+1]上单调递减,则实数 t 的取值范围是 B.(-2,-1) C.(-2,0) D.(-1,1) (-1) = 2, - + = 2, = 1, 解析:由题可知 即 得 ∴ f'(x)=3x2+6x,令 f'(x)≤0, '(-1) = -3, 3-2 = -3, = 3, + 1 ≤ 0, 得-2≤x≤0,∵ f(x)在区间[t,t+1]上递减,∴ 得-2≤t≤-1. ≥ -2,
答案:A

A.[-2,-1]

10.已知函数 f(x)满足:① 定义域为 R;② 对任意 x∈R,有 f(x+2)=2f(x);③ 当 x∈[-1,1]时,f(x)=|x|+1.则方程 f(x)=log4|x|在区间[-4,4]内的解的个数是 A.9 C.5D.4
解析:∵ f(x+2)=2f(x),∴ f(4)=2f(2)=4f(0)=4,又 log44<2, ∴ 当 0≤x≤4 时,作出草图可知 f(x)=log4|x|有 3 个解,又 f(-2)= f(0)= =log4|-2|,
1 2 1 2

B.6

∴ 作出草图可知当-4≤x<0 时,f(x)=log4|x|有 2 个解,∴ 在[-4,4]内解的个数是 5 个. 答案:C

11.2011 年 3 月发生在日本的 9 级大地震虽然过去多年了,但它对日本的核电站的破坏却 是持续的,其中有一种放射性元素铯 137 在其衰变过程中,假设近似满足:其含量 M(单位: 太贝克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02-30 ,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量.已 知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年),则 M(60)等于 A.5 太贝克 B.72ln 2 太贝克 C.150ln 2 太贝克 D.150 太贝克
1 30


解析:因为铯 137 含量的变化率为 M'(t)=- M02 30 ln 2, 所以当 t=30 时,M'(30)=- M02 30 ln 2=所以 M0=600,可解得 M(60)=150. 答案:D
1 1 30
30

0 ln 2=-10ln 2, 60

12.已知函数 f(x)=ln x+ +ax,x∈(0,+∞)(a 为实常数).若 f(x)在[2,+∞)上是单调函数,则 a 的取 值范围是 A.(-∞,-4]
1 4 1

B.(-∞,-4]∪[0,+∞) D.(-∞,0)∪( ,+∞)
1 2

1

C.(-∞,0)∪[ ,+∞]
解析:f'(x)= - 2+a=
1 1

2 +x-1 , 2

当 a≥0 时,ax2+x-1 在[2,+∞)上恒大于零,即 f'(x)>0,符合要求. 当 a<0 时,令 g(x)=ax2+x-1,g(x)在[2,+∞)上只能恒小于零,

= 1 + 4 > 0, 1 (2) ≤ 0, 故 Δ=1+4a≤0 或 解得 a≤- , 4 1 - 2 ≤ 2,
∴ a 的取值范围是(-∞,- ]∪[0,+∞). 答案:B
1 4

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.函数 f(x)=log0.1|x-1|的定义域是 .

解析:∵ |x-1|>0,∴ x∈R 且 x≠1. 答案:{x|x∈R 且 x≠1}

14.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(2)=1 且对任意 x∈R 都有 f(x+3)=f(x),则 f(2014)=
2)=f(2)=1. 答案:1

.

解析:由 f(x+3)=f(x)知,f(x)是以周期为 3 的周期函数.所以 f(2014)=f(671× 3+1)=f(1)=f(3-2)=f(-

15.若 lg x+lg y=0,则 2x·2y 的最小值是
解析:lg xy=0,xy=1,x+y≥2 =2,2x·2y=2x+y≥22=4. 答案:4

.

16.抛物线 y2=3x 与圆 x2+y2=4 围成的封闭图形的面积是

.

解析:

= 1, = 1, 2 = 3x, 得 或 如图,则抛物线 y2=3x 与 AB 围成的图形面积是 2 2 + = 4, = 3 = - 3,
2 3 3dx=2 3× 2 3
1 0

1 S=2 0

=

4 3

3,因为 A 的坐标是 A(1, 3),所以∠AOx= ,劣弧 AB 与弦 AB 围成
4 3 4 + π3 3 4 3

π 3

的面积是 π·22- × 2 3= π- 3,所以抛物线与圆围成的封闭图形面积是 答案: π+
4 3 3 3

1 3

1 2

4 3

3=3π+ 3 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) (1)已知 f( +1)=x+2 ,求 f(x),f(x+1),f(x2); (2)已知 2f(x)+f()=10x,求 f(x).
解析:(1)设 t= +1≥1,则 =t-1(t≥1),x=(t-1)2, ∴ f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),∴ f(x)=x2-1(x≥1), ∴ f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0), ∴ f(x2)=x4-1(x≤-1 或 x≥1).5 分 (2)由 2f(x)+f( )=10x,用 代换 x,
1 1 1

则 2f( )+f(x)=10 , 两式联立消去 f( )得 f(x)= × 10x- × 10 .10 分
1 2 3 1 3
1

1

1

18.(本小题满分 12 分) 某段高速公路全长 240 公里,两端收费站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的收 费站之间修路面和等距离修建安全出口,经预算,修建一个安全出口的工程费用为 400 万 元,铺设距离为 x 公里的相邻两安全出口之间道路费用为 x2+x 万元.设余下工程的总费 用为 y 万元. (1)试将 y 表示成关于 x 的函数; (2)需要修建多少个安全出口才能使 y 最小,其最小值为多少万元?
解析:(1)设需要修建 k 个安全出口,则(k+1)x=240,即 k= 所以 y=400k+(k+1)(x2+x)=400× (
240 -1.

240 240 96000 -1)+ (x2+x)= +240x-160.

因为 x 表示相邻两安全出口之间的距离,则 0<x≤240. 故 y 与 x 的函数关系是 y= (2)y=
96000 +240x-160(0<x≤240).6 分

96000 96000 +240x-160≥2 ×

240x-160=9440.

当且仅当

96000 240 240 =240x 即 x=20 时取等号,此时 k= -1= -1=11. 20

故需要修建 11 个安全出口才能使 y 最小,最小值为 9440 万元.12 分

19.(本小题满分 12 分) 设函数 y=f(x)的定义域为 R,并且满足 f(x+y)=f(x)+f(y),f( )=1,且当 x>0 时,f(x)>0. (1)求 f(0)的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)如果 f(x)+f(2+x)<2,求 x 的取值范围.
解析:(1)令 x=y=0,则 f(0)=f(0)+f(0),∴ f(0)=0.3 分 (2)令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴ f(-x)=-f(x),故函数是奇函数.6 分 (3)任取 x1,x2∈R,x1<x2,则 x2-x1>0, ∴ f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0 f(x1)<f(x2).故 f(x)是 R 上的增函数. ∵ f( )=1,∴ f( )=f( + )=f( )+f( )=2,
1 3 2 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3

∴ f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f( ),又由 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,得 2x+2< ,解之得 x<- . 故 x∈(-∞,- ).12 分
2 3

2 3

2 3

2 3

20.(本小题满分 12 分) 函数 f(x)的图象是[-2,2]上连续不断的曲线,且满足 2014f(-x)= 若 f(log2m)<f[log4(m+2)]成立,求实数 m 的取值范围.
解析:∵ 2014f(-x)=
1
() ,即

1 2014()

,且在[0,2]上是增函数,

2014

2014

( - )

=2014-f(x),可得 f(-x)=-f(x).

又因为函数的定义域[-2,2]关于原点对称,所以函数 f(x)为奇函数. 由奇函数的性质可知,函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的,而已知函数 f(x)在[0,2] 上是单调递增的,所以函数 f(x)在[-2,0]上也是单调递增的.

-2 ≤ log2 m ≤ 2,
故由 f(log2m)<f[log4(m+2)],可得 -2 ≤ log 4 (m + 2) ≤ 2,6 分

log2 m < log4 (m + 2).

由-2≤log2m≤2,解得 ≤m≤4. 由-2≤log4(m+2)≤2,解得 ≤m+2≤16,即- ≤m≤14. 由 log2m<log4(m+2),得 log4m2<log4(m+2), 故有 + 2 > 0, 解得 0<m<2.综上所述,m 的取值范围为[ ,2).12 分
1 16 31 16

1 4

> 0,

2 < m + 2.

1 4

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(a+)ln x+-x(a>1). (1)试讨论 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (2)当 a∈[3,+∞)时,曲线 y=f(x)总存在相异两点 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线 y=f(x)在点 P、Q 处的切线互相平行,求证 x1+x2>5.
解析:(1)由已知 x>0,f'(x)=
1 + 1 2 -(a+)x+1 (-)(-) - 2-1==. 2 2 1 1
1 1 1

1

1

6

由 f'(x)=0,得 x1= ,x2=a.因为 a>1,所以 0< <1,且 a> . 所以在区间(0, )上,f'(x)<0;在区间( ,1)上,f'(x)>0.
1 1

故 f(x)在(0, )上单调递减,在( ,1)上单调递增.6 分 (2)由题意可得,当 a∈[3,+∞)时,f'(x1)=f'(x2)(x1,x2>0 且 x1≠x2). 即
+ 1 + 1 1 1 1 1 +2 - 2-1= - 2-1,所以 a+ = + = ,a∈[3,+∞). 1 1 2 2 1 2 1 2 1 +2 2 1 4 ) 恒成立,所以 > ,又 x1+x2>0,所以 2 1 2 (1 +2 )2
1 1

1

1

因为 x1,x2>0 且 x1≠x2,所以 x1x2<( a+ =
1 1 +2 4 4 > ,整理得 x1+x2> 1. 1 2 1 +2 +


令 g(a)=

4

+

1,因为 a∈[3,+∞),所以 g(a)在[3,+∞)上单调递减,

所以 g(a)=

4

+

1在[3,+∞)上的最大值为 g(3)=5,所以 x1+x2>5.12 分

6

6

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ex-ax(a∈R). (1)求 f(x)的极值; (2)若 f(x)≥x+b 恒成立,求(a+1)b 的最大值.
解析:(1)f'(x)=ex-a,显然,当 a≤0 时,f'(x)>0 恒成立,所以函数 f(x)在 R 上单调递增,函数 f(x)不存在极值. 当 a>0 时,由 f'(x)>0 ,得 x>ln a, 当 x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增,当 x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减,所以 x=ln a 时,函数 f(x)取得极小值,f(ln a)=a-aln a.4 分 (2)f(x)≥x+b 恒成立,即 ex-ax≥x+b,得 ex-(a+1)x≥b. (i)若 a+1<0,对任意实数 b,x<0 时,因为 ex<1, 所以 ex-(a+1)x<1-(a+1)x,令 1-(a+1)x<b,得 x< 因此,a+1<0,f(x)≥x+b 不恒成立. (ii)若 a+1=0,则(a+1)b=0. (iii)若 a+1>0,设 g(x)=ex-(a+1)x,则 g'(x)=ex-(a+1), 当 x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0,当 x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0,从而 g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在 (ln(a+1),+∞)上单调递增, 故 g(x)有最小值, g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1),所以 f(x)≥x+b 恒成立等价于 b≤a+1-(a+1)ln(a+1),因此 (a+1)b≤(a+1)2(a+1)2ln(a+1),10 分 设 h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则 h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)), 所以 h(a)在(-1,e2 -1)上单调递增,在(e2 -1,+∞)上单调递减,故 h(a)在 a=e2 -1 处取得最大值 h(e2 -1)= , 从而 h(a)≤ ,即(a+1)b≤ ,所以(a+1)b 的最大值是 .12 分
e 2 e 2 e 2
1 1 1 1

1- , +1

e 2


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