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2014-2015学年江苏省淮海中学高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)

时间:2015-11-17


2014-2015 学年江苏省淮海中学高二(下)期中数学试卷(文科)
一、填空题(1-14 题每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分) (2015 春?江苏校级期中)设集合 U={1,3,5,7,9},A={1,|a+1|,9},?UA={5, 7},则实数 a 的值为 2 或﹣4 . 考点: 集合关系中的参数取值问题. 分析: 由条件?UA={5,7},知|a+

1|=3,即可解得 a=2 或﹣4. 解答: 解:因为 U={1,3,5,7,9},A={1,|a+1|,9},?UA={5,7}, 所以|a+1|=3,即 a=2 或﹣4. 故答案为:2 或﹣4. 点评: 本题主要考查集合关系的应用,利用集合关系确定元素的关系是解决此类问题的关 键,比较基础.
所有

2. (5 分) (2013 秋?盐城期中)设函数 f(x)=x +(a﹣2)x﹣1 在区间[2,+∞)上是增函 数,则实数 a 的最小值为 ﹣2 . 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数对称轴和单调区间的关系,建立不等式即可求解.
所有

2

解答: 解:函数的对称轴为 x=
2

,抛物线开口向上,

∴要使函数 f(x)=x +(a﹣2)x﹣1 在区间[2,+∞)上是增函数, 则对称轴 x= ≤2,

即 2﹣a≤4, 解得 a≥﹣2, ∴实数 a 的最小值为﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质,利用二次函数对称轴和单调性之间的关系是 解决本题的关键,比较基础. 3. (5 分) (2014 春?姜堰市校级期末)如果复数(1+i) (1+mi)是实数,则实数 m= 考点: 复数的基本概念;复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题;数系的扩充和复数. 分析: 先化简复数,然后令其虚部为 0. 解答: 解: (1+i) (1+mi)=﹣m+1+(m+1)i ∵该复数为实数, ∴m+1=0,解得 m=﹣1, 故答案为:﹣1. 点评: 该题考查复数的基本概念、复数代数形式的运算,属基础题.
所有

﹣1 .

2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(

4. (5 分) (2014 秋?清远期末)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足 f (2x﹣1)>f( )的 x 的取值范围是 <x< .

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

所有

分析: 根据偶函数的性质,可知 f(x)=f(|x|) ,将不等式 f(2x﹣1)>f( )转化为 f(|2x ﹣1|)>f( ) ,再运用 f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,去掉“f”,列出关于 x 的不等式, 求解即可得到 x 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(|x|) , ∴f(2x﹣1)=f(|2x﹣1|) , ∴不等式 f(2x﹣1)>f( )转化为 f(|2x﹣1|)>f( ) , ∵f(x)在区间[0,+∞)单调递减, ∴|2x﹣1|< ,即﹣ <2x﹣1< , 解得 <x< , < x< .

∴满足 f(2x﹣1)>f( )的 x 的取值范围是 故答案为: <x< .

点评: 本题考查了函数的性质,对于偶函数,要注意运用偶函数在对称区间上单调性相反 的性质, 综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式, 解题的关键是将不等式进行合理的转 化,然后利用单调性去掉“f”.属于中档题.

5. (5 分) (2014 春?沭阳县校级期末)已知函数 f(x)= 的值为 2 .

,则 f(f(﹣2) )

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的分段函数的函数值,由函数解析式,可以先计算 f(﹣2)的值,再根据 f(﹣2)的值或范围,代入相应的解析式求出最后的结果. 解答: 解:∵﹣2<0,∴f(﹣2)=﹣(﹣2)+2=4
所有

∵4>0,∴f(4)= 即 f(f(﹣2) )=f(4)= 2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(

故答案为:2 点评: 本题考查分段函数求函数值,按照由内到外的顺序逐步求解.要确定好自变量的取 值或范围,再代入相应的解析式求得对应的函数值. 6. (5 分) (2010?常州校级模拟)若函数 y=f(x)的值域是[1,3],则函数 F(x)=1﹣2f (x+3)的值域是 [﹣5,﹣1] . 考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 由函数 f(x)的值域与 f(x+3)相同,代入函数 F(x)中,容易求得 F(x)的值 域. 解答: 解:∵1≤f(x)≤3, ∴1≤f(x+3)≤3, ∴﹣6≤﹣2f(x+3)≤﹣2, ∴﹣5≤1﹣2f(x+3)≤﹣1, 即 F(x)的值域为[﹣5,﹣1]. 故答案为:[﹣5,﹣1] 点评: 本题是抽象函数的值域问题,明白 f(x)与 f(x+3)的值域相同是关键,属于基础 题.
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7. (5 分) (2011 春?雁塔区校级期末)“m< ”是“一元二次方程 x +x+m=0”有实数解的 充 分不必要 条件. (选填“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”中的一个) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 满足△ =b ﹣4ac≥0,得到有关 m 的不等式,解不等式即可求出 m 的取值范围,再根 据充要条件的定义找出符合要求的选项即可. 2 解答: 解:∵关于 x 的一元二次方程 x +x+m=0 有实数根, 2 ∴△=b ﹣4ac=1﹣4m≥0,
所有

2

解得:m≤ , 故“m< ”?“m≤ ”,反之不能. 故“m< ”是“一元二次方程 x +x+m=0”有实数解的 充分不必要条件. 故答案为:充分不必要. 点评: 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0?方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程没有实数根. 8. (5 分) (2013 春?濠江区校级期末)已知命题“?x∈R,x +2ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) . 2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(
2 2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 命题为真命题,得到判别式大于 0,解不等式即可. 2 解答: 解:∵“?x∈R,x +2ax+1<0”为真命题, 2 ∴△=4a ﹣4>0, ∴a<﹣1 或 a>1. 则实数 a 的取值范围是: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 点评: 本题考查命题的真假,解题的关键是根据这个命题是一个真命题,得到判别式的情 况.
所有

9. (5 分) (2015 春?江苏校级期中)定义两种运算:a⊕b= 则函数 f(x)= 的图象关于 原点 对称.

,a?b=



考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据定义先求出 f(x)的表达式,然后判断函数的奇偶性即可.
所有

解答: 解:由定义得 f(x)= 由 4﹣x ≥0 得﹣2≤x≤2, 则 f(x)= = ,
2

=



又 x≠0,则函数的定义域为[﹣2,0)∪(0,2],定义域关于原点对称, 则 f(﹣x)=﹣ = =﹣f(x) ,

即 f(﹣x)=﹣f(x) ,则函数 f(x)是奇函数, 故 f(x)的图象关于原点对称, 故答案为:原点 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,根据定义运算,求出函数的解析式是解决本题的 关键. 10. (5 分) (2015 春?江苏校级期中)不等式 mx ﹣mx﹣1<0 的解集为 R,则实数 m 的取 值范围是 (﹣4,0] . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.
2

所有

2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(

分析: 当 m=0 时,不等式可化为﹣1<0,显然恒成立,当 m≠0 时,当 m≠0 时,不等式 mx 2 ﹣mx﹣1<0 的解集为 R,则对应的二次函数 y=mx ﹣2mx+4 的图象应开口朝下,且与 x 轴 没有交点,由此构造不等式组,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解:当 m=0 时,不等式可化为﹣1<0,显然恒成立, 2 当 m≠0 时,不等式 mx ﹣mx﹣1<0 的解集为 R, 2 则对应的二次函数 y=mx ﹣2mx+4 的图象应开口朝下,且与 x 轴没有交点, 故 ,

2

解得﹣4<m<0 综上所述,实数 m 的取值范围是(﹣4,0]. 故答案为: (﹣4,0]. 点评: 本题考查的知识点是一元二次不等式的应用,其中解答时易忽略 m=0 时,不等式可 化为﹣1<0,满足条件而错解为(﹣4,0) . 11. (5 分) (2015 春?江苏校级期中)已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是 (3) (1)?x∈R,f(x)≤f(x0) (3)?x∈R,f(x)≤f(x0) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. (2)?x∈R,f(x)≥f(x0) (4)?x∈R,f(x)≥f(x0)
2

所有

分析: 由抛物线的性质可得开口向上,x0=﹣
2

为抛物线的对称轴,逐个选项验证可得.

解答: 解:∵a>0,∴f(x)=ax +bx+c 所对应的抛物线开口向上, 又∵x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,∴x0=﹣ 为抛物线的对称轴,

∴f(x0)为二次函数 f(x)的最小值, (1)?x∈R,f(x)≤f(x0)正确; (2)?x∈R,f(x)≥f(x0) 正确; (3)?x∈R,f(x)≤f(x0)错误; (4)?x∈R,f(x)≥f(x0)正确. 故答案为: (3) . 点评: 本题考查命题真假的判断,涉及二次函数的性质和特称命题以及全称命题,属基础 题. 12. (5 分) (2011 春?赣州期中)边长为 a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值, 则这个定值为 ; 推广到空间, 棱长为 a 的正四面体内任一点到各面距离之和为 a .

考点: 类比推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平面图形中点 的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质,
所有

2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(

由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质. 固我们可以根据已知中平面几何中, 关 于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”, 推断出一个空间几何中一个 关于面的性质. 解答: 解:在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 ,

在一个正四面体中,计算一下棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和, 如图: 由棱长为 a 可以得到 BF= ,BO=AO= a﹣OE,

在直角三角形中,根据勾股定理可以得到 2 2 2 BO =BE +OE , 把数据代入得到 OE= a, a= a,

∴棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和 4× 故答案为: a

点评: 本题是基础题,考查类比推理及正四面体的体积的计算,转化思想的应用,考查空 间想象能力,计算能力.

13. (5 分) (2015 春?江苏校级期中)已知函数 f(x)= (0, ] .



在(﹣∞,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

所有

分析: 由题意可得

,由此求得 a 的范围.

2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(

解答: 解:由题意可得

,解得 0<a≤ ,

故答案为: (0, ]. 点评: 本题主要考查函数的单调性的定义和性质,属于基础题. 14. (5 分) (2015 春?江苏校级期中)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2﹣x)=﹣f(x) , 且在[﹣1,0]上是增函数,下面关于 f(x)的判断: (1)f(x)是周期函数; (2)f(5)=0; (3)f(x)在[1,2]上是减函数; (4)f(x)在[﹣2,﹣1]上是减函数. 其中正确的判断是 (1) (2) (3) (填序号) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期性,结婚函数奇偶性,周期性和单调性 之间的关系分别进行判断即可. 解答: 解:∵偶函数 f(x)满足 f(2﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x﹣2)=﹣f(x) , 即 f(x﹣4)=﹣f(x﹣2)=f(x) , 即函数是周期为 4 的周期函数,故(1)正确, 当 x=1 时,f(1)=﹣f(1) ,解得 f(1)=0, 则 f(5)=f(1)=0,故(2)正确, ∵f(2﹣x)=﹣f(x) , ∴函数 f(x)关于(1,0)成中心对称, ∴函数 f(x)在[1,2]上是减函数,故(3)正确, 则 f(x)在[2,3]上是增函数,即 f(x)在[﹣2,﹣1]上是增函数,故(4)错误, 故答案为: (1) (2) (3) 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性,周期性的判断和应用,熟练掌握函数性质的综 合应用.
所有

二、解答题(共 6 大题,共 90 分) 15. (14 分) (2015 春?江苏校级期中)已知复数 z1=m(m﹣1)+(m﹣1)i,z2=(m+1)+ 2 (m ﹣1)i, (m∈R) ,在复平面内对应的点分别为 Z1,Z2. (1)若 z1 是纯虚数,求 m 的值; (2)若 z2 在复平面内对应的点位于第四象限,求 m 的取值范围. 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (1)如果复数 a+bi(a,b 是实数)那么 a=0 不 b≠0.由此解答; (2)根据点的位置确定,复数的实部和虚部的符号,得到不等式组求之.
所有

2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(

解答: (1)因为复数 z1=m(m﹣1)+(m﹣1)i(m∈R)是纯虚数, 所以 m(m﹣1)=0,且 m﹣1≠0,解得 m=0; …(7 分) (2)因为复数 (m∈R)在复平面内对应的点位于第四象限,

所以

,解之得﹣1<m<1; …(14 分)

点评: 本题考查了复数的基本概念;如果复数 a+bi(a,b 是实数)那么 a=0 不 b≠0. 16. (14 分) (2012?启东市校级二模)已知 p:﹣x +6x+16≥0,q:x ﹣4x+4﹣m ≤0(m>0) . (1)若 p 为真命题,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 为 q 成立的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 充要条件;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: (1)化简 p:﹣2≤x≤8,从而得出 p 为真命题,实数 x 的取值范围.
所有

2

2

2

(2)化简 q:2﹣m≤x≤2+m.由 P 是 Q 的充分不必要条件,知

,由此能求出

实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)∵P:﹣2≤x≤8, ∴p 为真命题时,实数 x 的取值范围[﹣2,8]. (2)Q:2﹣m≤x≤2+m ∵P 是 Q 的充分不必要条件, ∴[﹣2,8]是[2﹣m,2+m]的真子集.



∴m≥6. ∴实数 m 的取值范围为 m≥6. 点评: 本题考查充分条件、必要条件和充要条件,解题时要认真审题,仔细解答,注意不 等式组的合理运用. 17. (15 分) (2015 春?江苏校级期中)经市场调查,某商品在过去 100 天内销售量和价格均 为时间 t(天)的函数, 且日销售量近似地满足 g(t)=﹣ + (1≤t≤100,t∈N) .前 40 天的价格为 f(t)= t+22

(1≤t≤40,t∈N) ,后 60 天价格为 f(t)=﹣ t+52(41≤t≤100,t∈N) , (1)试求该商品的日销售额 S(t)解析式; (2)当 t 取何值时,日销售额 S(t)取最大值和最小值并求出最大值和最小值. 2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用 S(t)=g(t)f(t) ,求出函数的解析式即可; (2)通过当 1≤t≤40,t∈N 时,求出函数的最值,当 41≤t≤100,t∈N 时,求出函数的最值即 可. 解答: 解: (1)S(t)=g(t)f(t) ;
所有

(7 分)

若化简也可,化简错扣(2 分) . (2)当 1≤t≤40,t∈N 时: 此时 当 41≤t≤100,t∈N 时 此时 综上:当 t=12 时 S(t)取最大值为 (13 分) ;当 t=100 时最小值是:8. (10 分)

点评: 本题考查函数的实际应用,考查计算能力. 18. (15 分) (2013 秋?洛阳期末)已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,且 f(0) =1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[﹣1, ]上,函数 y=f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方,试确定实数 m 的 取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)设出 f(x)=ax +bx+c,由 f(0)=1,得 c 的值;由 f(x+1)﹣f(x)=2x, 求得 a、b 的值;
所有

(2)求出 f(x)在区间[﹣1, ]上的最小值,得函数最低点;从而求出 m 的取值范围. 解答: 解: (1)设二次函数 f(x)=ax +bx+c, ∵f(0)=1,∴c=1; 又 f(x+1)﹣f(x)=2x, 2 2 ∴a(x+1) +b(x+1)+1﹣ax ﹣bx﹣1=2x, 即 ,
2

解得 a=1,b=﹣1, 2 ∴f(x)=x ﹣x+1; 2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(

(2)∵f(x)=x ﹣x+1=

2

+ ,

在区间[﹣1, ]上,f(x)有最小值 f( )= , 即函数有最低点( , ) ; 把 x= ,y= 代入 y=2x+m 中,

解得 m=﹣ ,如图



∴当 m< 时,y=f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方. 点评: 本题考查了求函数的解析式以及根据函数的单调性求值域的问题,是易错题. 19. (16 分) (2015 春?江苏校级期中)设函数 f(x)=e ﹣e . (1)判断函数 y=f(x)奇偶 性; (2)讨论 f(x)的单调性并求函数 y=f(x)在区间[2,3]的最大值和最小值(结果用分式 表示) (3)证明:f(x)的导数 f′(x)≥2. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用函数的奇偶性的定义,判断证明即可. (2)求出函数的导数,判断函数的单调性,求出函数的最值即可. (3)利用函数的导数,求出导数的最小值即可证明结果. 解答: 解: (1)∵ 函数 y=f(x)的定义域为实数 R 关于原点对称 又∵f(﹣x)=e ﹣e =﹣(e ﹣e )=﹣f(x) ∴函数 y=f(x)为奇函数. (4 分) (2)f(x)的导数 定义域上 为单调增函数(也可用定义证明) >0 恒成立.所以函数 y=f(x) ( 8 分)
﹣x

x

﹣x

所有

,e >0, (2 分)

x

x

x

﹣x

2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(

所以函数 y=f(x)在区间[2,3]上也单调递增;函数 y=f(x)在 x=3 处取得最大值,且最大 值为

在 x=2 处取得最小值,且最小值为 (3)由于 f(x)的导数

( 12 分) ,故 f′

(x)≥2. (当且仅当 x=0 时,等号成立) . (16 分) 点评: 本题考查函数的导数的应用,函数的最值的求法,考查分析问题解决问题的能力. 20. (16 分) (2015 春?江苏校级期中)已知 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|, (Ⅰ)当 a=2 时,作出图形并写出函数 y=f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 a=﹣2 时,求函数 y=f(x)在区间 的值域; (Ⅲ)设 a>0,函数 f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取 值范围(用 a 表示) . 考点: 函数的最值及其几何意义;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=2 时,化简函数解析式,作出图形并写出函数 y=f(x)的单调递增区间. (Ⅱ)利用函数的图象判断函数在(﹣2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,求出函 数的最值.
所有

(Ⅲ)化简函数

,画出图象,利用最值,求解范围即可.

解答: (Ⅰ)解:当 a=2 时,f(x)=x|x﹣2|= 由图象可知, 单调递增区间为(﹣∞,1],

,作出图象 …(2 分)

2,﹣1)是减函数,在(﹣1,2)是减函数,…(6 分) ∴f(


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