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2015天津高考数学(理)试题及答案

时间:2015-07-12


2015 天津高考数学(理)试题及答案
满分: 班级:_________ 姓名:_________ 考号:_________ 一、单选题(共 8 小题) 1.已知全集
( ) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8} ,集合 ,集合 ,则集合

2.设变量

满足约束条件


则目标函数

的最大值为( )

A.3 B.4 C.18 D.40

3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 的值为( )

A.-10 B.6 C.14 D.18

4.设

,则“

”是“

”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.如图,在圆 中,

是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点

,若

CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为( )

A. B.3 C. D.

6.已知双曲线
焦点在抛物线 A. B. C. D.



)的一条渐近线过点(

),且双曲线的一个

的准线上,则双曲线的方程为( )

7.已知定义在 上的函数
, A. B. ,则

(m 为实数)为偶函数,记 的大小关系为( )



C. D.

8.已知函数

函数

,其中

,若函数

恰有 4 个零点,则 的取值范围是( ) A. B. C. D.

二、填空题(共 6 小题)
9.i 是虚数单位,若复数 是纯虚数,则实数 a 的值为________.

10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

___________

.

11.曲线

与直线

所围成的封闭图形的面积为___________.

12.在

的展开式中,

的系数为__________.

13.在

中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c。已知 ,则 a 的值为__________.

的面积为



14.在等腰梯形 ABCD 中,已知 在线段 BC 和 DC 上,且 ,则

。动点 E 和 F 分别 的最小值为__________.

三、解答题(共 6 小题)
15.

已知函数



.

(Ⅰ )求

的最小正周期;

(Ⅱ )求

在区间

内的最大值和最小值.

16.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协 会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名。从这 8 名 运动员中随机选择 4 人参加比赛。 (Ⅰ )设 求事件 (Ⅱ )设 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”, 发生的概率; 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 的分布列和数学期望。

17.如图,在四棱柱 , (Ⅰ )求证: (Ⅱ )求二面角 , ; 的正弦值;

中,侧棱 ,且点 和 分别为



, 的中点。

(Ⅲ )设 的长。

为棱

上的点。若直线

和平面

所成角的正弦值为

,求线段

18. 已知数列 ,

满足 ,

(q 为实数,且 成等差数列。

),





,且

(Ⅰ )求 q 的值和

的通项公式;

(Ⅱ )设



,求数列

的前 项和。

19.已知椭圆 于第一象限,直线 (Ⅰ )求直线 被圆

的左焦点为

,离心率为

,点

在椭圆上且位 。

截得的线段的长为 ,

的斜率;

(Ⅱ )求椭圆的方程; (Ⅲ )设动点 值范围。 20.已知函数 (Ⅰ )讨论 (Ⅱ )设曲线 的单调性; 与 轴正半轴的交点为 ,曲线在点 ; 处的切线方程为 , 其中 ,且 . 在椭圆上,若直线 的斜率大于 ,求直线 ( 为原点)的斜率的取

求证:对于任意的正实数 ,都有

(Ⅲ )若关于 的方程 .

有两个正实数根

,求证:

答案部分
1.考点:集合的运算
试题解析: ,所以 ,选 A.

答案:A

2.考点:线性规划
试题解析:

不等式

所表示的平面区域如下图所示,



所表示直线经过点 B(0,3)时,Z 有最大值 18.选 C

答案:C

3.考点:算法和程序框图

试题解析: 输入 不成立; 不成立 成立 输出 ,选 B. ;

答案:B

4.考点:充分条件与必要条件
试题解析: , 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件,选 A.

答案:A

5.考点:圆
试题解析:由相交弦定理可知, , 又因为 所以 所以 答案:A ,选 A. 是弦 的三等分点, ,

6.考点:抛物线双曲线
试题解析: 双曲线 由点( ( )在渐近线上,所以 )的渐近线方程为 , 准线方程 , ,选 D. 上, ,

双曲线的一个焦点在抛物线 所以 ,由此可解得

所以双曲线方程为

答案:D

7.考点:函数综合
试题解析: 因为函数 所以 为偶函数,所以 ,即 ,

所以

,选 C.

答案:C

8.考点:函数综合
试题解析: 由 得 ,

所以





, 所以 有 4 个不同的解, 即函数 与函数 的图象的 4 个公共点, 恰有 4 个零点等价于方程

由图象可知

.选 D

答案:D

9.考点:复数概念和向量表示复数综合运算
试题解析: 是纯虚数,所以 ,即 .

答案:-2

10.考点:空间几何体的三视图与直观图
试题解析: 由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为 , 高为 的圆柱,两端是底面半径为 ,高为 的圆锥, 所以该几何体的体积 .

答案:

11.考点:积分
试题解析: 两曲线的交点坐标为 ,

所以它们所围成的封闭图形的面积 .

答案:

12.考点:二项式定理与性质
试题解析:

展开式的通项为 , 由 所以 得 r=2, ,所以该项系数为

答案:

13.考点:余弦定理正弦定理
试题解析: 因为 又 ,所以 , ,

解方程组



,由余弦定理得

,所以

.

答案:8

14.考点:数量积的应用
试题解析: 因为 , ,





答案:

15.考点:三角函数综合
试题解析:(Ⅰ )解:由题意得

=

所以,

的最小正周期 T= 在区间 上是增函数, 上是减函数,

(Ⅱ )解:因为 在区间





.

所以, 答案:(Ⅰ )

在区间 ;(Ⅱ )最大值

上的最大值为 ,最小值

,最小值为

.

16.考点:概率综合
试题解析: (Ⅰ )解:由题意得

所以,事件 A 发生的概率为

.

(Ⅱ )解:随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

所以,随见变量

的分布列为

随机变量

的数学期望

答案:(Ⅰ )

;(Ⅱ )见解析

17.考点:立体几何综合

试题解析:

如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,

依题意可得 , 又因为 M,N 分别为

, . 和

,

,

的中点,得 为平面 =0, ,所以 , . ∥ 平面

,

.

(Ⅰ )证明:依题意,可得 = 又因为直线 (Ⅱ )解: .由此可得 平面

的一个法向量.

.



为平面

的法向量,则



不妨设

,可得

.



为平面

DE 法向量,则



,得

不妨设 z=1,可得

.

因此有

,于是

.

所以,二面角 (Ⅲ )解:依题意,可设 则 又 ,从而 为平面

的正弦值为

。 ,

,其中 。 的一个法向量,

由已知,得

=



整理得 所以,线段 的长为

,又因为 .

,解得

.

答案:见解析

18.考点:数列综合应用
试题解析:(Ⅰ )解:由已知,有 即 又因为 当 当 ,故 时, 时, . ,所以 ,由 . ,得 ; . ,

所以,

的通项公式为

(Ⅱ )解:由(I)得

.设

的前 n 项和为









上述两式相减,得

, 整理得, 所以,数列 答案:见解析 . 的前 n 项和为 , .

19.考点:圆锥曲线综合
试题解析: (Ⅰ )解:由已知有 设直线 由已知,有 的斜率为 + ,又由 ,则直线 ,可得 的方程为 . . .

,解得

(Ⅱ )解:由(Ⅰ )得椭圆方程为 直线 的方程为 ,



两个方程联立,消去 y,整理得 解得 ,或 .



因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为

.有



解得

,所以椭圆的方程为

. ,直线 FP 的斜率为 , ,

(Ⅲ )解:设点 P 的坐标为 得 ,即

与椭圆方程联立

消去



整理得

.

又由已知,得



解得 设直线

,或 的斜率为 ,得

. ,即 . , ,

与椭圆方程联立,整理可得 ① 当 时,有

因此

,于是

,得

.

② 当

时,有



因此

,于是

,得

.

综上,直线

的斜率的取值范围是

.

答案:(Ⅰ )

;(Ⅱ )

;(Ⅲ )

20.考点:导数的综合运用
试题解析: (Ⅰ )解:由 可得 其中 = ,且 = = . , ,

下面分两种情况讨论: (1)当 为奇数时. 令 =0,解得 , ,或 .

当 变化时,

的变化情况如下表:

所以,





上单调递减,在

内单调递增。

(2)当 为偶数时. 当 当 所以, ,即 ,即 在 时,函数 时,函数 单调递增; 单调递减. 上单调递减.

上单调递增,在 的坐标为 . ,

(Ⅱ )证明:设点 则 曲线 即 , 在点

处的切线方程为 .



令 则 由于 故 又因为 所以当 所以 在 在

,即 . 在 上单调递减. , 时, ,当 时, 上单调递减,





内单调递增,在

上单调递减, , .

所以对于任意的正实数 ,都有 即对于任意的正实数 ,都有 (Ⅲ )证明:不妨设 由(Ⅱ )知 设方程 当 时,在 的根为 ,可得 上单调递减. ,可得 在原点处的切线方程为 . .



又由(II)知 类似地,设曲线 可得 当 即对于任意的 设方程 的根为 , , , ,可得 .

. ,

, .

因为 且 由此可得 因为 故



上单调递增, ,因此 . .

,所以 .所以, .



答案:见解析


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