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高中数学竞赛专题讲座之七:排列、组合、二项式定理和概率[1]


高中数学竞赛专题讲座之七排列组合 一、排列组合二项式定理 1.(2005 年浙江)设

二项式定理和概率

?1 ? x ? x ?

2 n

? a0 ? a1 x ? ? ? a2 n x 2 n ,求 a2 ? a4 ? ? ? a2n 的值为(
n


/>
A. 3

n

B. 3

?2

C.

3n ? 1 2

D.

3n ? 1 2

【解】令 x 令x 令x

?0




(1) a0 ? 1 ;

? ?1 ?1

(2 ) a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2n ? 1;



(3) a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2n ? 3n ;

(2)+(3)得

2(a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2n ) ? 3n ? 1,
3n ? 1 , 2 3n ? 1 。 2



a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ?

再由(1)得

a2 ? a4 ? ? ? a2n ?

?选

【 C 】

2. (2004 全国)设三位数 n ? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则 这样的三位数 n 有 A.45 个 B.81 个 C.165 个 ( )

D.216 个

解:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a, b, c ?{1, 2,...,9} ( 1 )若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1 ,由于三位数中三个数码都相同,所以,
1 n1 ? C9 ? 9.

(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2 ,由于三位数中只有 2 个不同数码. 设 为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有 2C9 。但当大数为底时,设 a>b,必须满足 b ? a 9
2

a ? 2b 。此时,不能构成三角形的数码是
8 7 6 5 4 3 2 1

1

b

4,3 2,1

4,3 2,1

3,2 1

3,2 1

1,2

1,2
2

1

1

共 20 种情况。同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 C3 种情况。 故 n2
2 2 2 ? C3 (2C9 ? 20) ? 6(C9 ?10) ? 156 。综上, n ? n1 ? n2 ? 165 。

3. ( 2005 四川)设

A ? {1,2,?,10} ,若“方程 x 2 ? bx ? c ? 0 满足 b, c ? A ,且方程至少有一根
B.10 C.12 D.14

a? A” ,就称该方程为“漂亮方程” 。则“漂亮方程”的个数为
A.8 程” ,当一根为 ? 解:由题可知,方程的两根均为整数且两根一正一负,当有一根为 ? 1 时,有 9 个满足题意的“漂亮方

2 时,有 3

个满足题意的“漂亮方程” 。共有 12 个,故选 C。

4. ( 2005 四川)设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,3,4 的任一排列,

f

1,2,3,4} 到 {1,2,3,4} 的映射,且满足 是{

a2 ?a f (i) ? i ,记数表 ? 1 ? f (a1 ) f(a2 )

a3

? 。若数表 M , N 的对应位置上至少有一个不 f ( a3 ) f ( a 4 ) ? ? a4


同,就说 M , N 是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为( A.144 B.192 C.216

D.576
4 f (i) ? i ,而 a1 , a2 , a3 , a4 共有 A4 ? 24

解:对于 a1 , a2 , a3 , a4 的一个排列,可以 9 个映射满足 个排列,所以满足条件的数表共有 24 ? 9

? 216 张,故选 C。

5.(2005 江西)连结正五边形 A 1A 2A 3 A4 A 5 的对角线交另一个正五边形 B 1B2 B3 B4 B5 ,两次连结正五边形 ,以图中线段为边的三角形中, B1B2 B3 B4 B5 的对角线,又交出一个正五边形 C1C2C3C4C5 (如图) 共有等腰三角形的个数为 A.50 B.75 ( C.85 ) D.100

解:对于其中任一点 P,以 P 为“顶” ( 两 腰 的 公 共 点 ) 的 等 腰 三 角 形 的 个 数 记 为 [P] 则

[ A1 ] ? 6, (?A1 A2 A5 , ?A1B3 B4 , ?A1B2 B5 , ?A1 A3 A4 , ?A1 A2 B5 , ?A1 A5 B2 ) .
[B1 ] ? 9, (?B1 A3 A4 , ?B1B2 B5 , ?B1B3 B4 , ?B1C3C4 , ?B1B2C5 , ?B1C2 B5 , ?B1 A2 A5 , ?B1 A3 B4 , ?B1 A4 B3 )

[C1 ] ? 2,

(?C1B3 B4 , ?C1B2 B5 ) ,

由于图中没有等边三角形,则每个等腰三角形恰有一个

“顶” 。据对称性可知 [ Ai ] ? 6,

[ Bi ] ? 9, [Ci ] ? 2,
2

i ? 1, 2,3, 4,5 . 因此等腰三角形共有

5 ? (6 ? 9 ? 2) ? 85 个.
6 . (2005 全国 ) 将关于

x 的多项式 f ( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? x19 ? x 20 表为关于 y
其 中

的多项式 则

g ( y) ?

a0 ? a1 y ? a2 y 2 ? ? ? a19 y19 ? a20 y 20 ,
5 21 ? 1 . 6

y ? x ? 4.

a0 ? a1 ? ? ? a20 ?
解:由题设知,

f ( x) 和式中的各项构成首项为 1,公比为 ? x 的等比数列,由等比数列的求和公式,

得:

f ( x) ?

(? x) 21 ? 1 x 21 ? 1 ( y ? 4) 21 ? 1 ? . 令 x ? y ? 4, 得 g ( y) ? , 取 y ? 1, ? x ?1 x ?1 y?5 5 21 ? 1 . 6

有 a0

? a1 ? a 2 ? ? ? a 20 ? g (1) ?

7 .如果自然数 a 的各位数字之和等于 7 ,那么称 a 为“吉祥数” . 将所有“吉祥数”从小到大排成一列

, 则 a5 n ? 5200. a1 , a2 , a3 ,?, 若 an ? 2005
解:∵方程 x1
m ? x2 ? ? ? xk ? m 的非负整数解的个数为 Cm , xi ? 0(i ? 2) 的 ? k ?1 .而使 x1 ? 1 m?1 6 ? 7 ,可知, k 位“吉祥数”的个数为 P(k ) ? Ck ?5 .

整数解个数为 Cm? k ?2 .现取 m

∵2005 是形如 2abc 的数中最小的一个“吉祥数” ,且 P(1)

6 6 ? C6 ? 1, P(2) ? C7 ? 7,

6 P(3) ? C8 ? 28, 对于四位“吉祥数”1abc,其个数为满足 a ? b ? c ? 6 的非负整数解个数,即
6 C6 ?3?1 ? 28 个.

∵2005 是第 1+7+28+28+1=65 个“吉祥数” ,即 a65
5

? 2005 . 从而 n ? 65,5n ? 325.

又 P(4)

6 6 ? C9 ? 84, P(5) ? C10 ? 210, 而 ? P(k ) ? 330.
k ?1

∴从大到小最后六个五位 “吉祥数” 依次是: 70000, 61000,60100,60010,60001,52000.∴第 325 个 “吉 祥数”是 52000,即 a5n

? 52000 .

8. (2004 四川)某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号,则在这 90000 个牌照中数字 9 3

至少出现一个,并且各数字之和是 9 的倍数的车牌照共有 二、概率部分

4168

个.

1. (2006 吉林预赛)在 6 个产品中有 4 个正品,2 个次品,现每次取出 1 个作检查(检查完后不再放回) , 直到两个次品都找到为止,则经过 4 次检查恰好将 2 个次品全部都找到的概率是(D) A.1/15 B.2/15 C.1/5 D.4/15 2. (2006 年南昌市)甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每局比 赛,甲获胜的概率为

2 3

,乙获胜的概率为

1 17 ,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为____ ______. 3 81
.

3. (2006 年浙江省预赛)在 1,2,?,2006中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 解: 三个数成递增等差数列,设为

a, a ? d , a ? 2d ,按题意必须满足 a ? 2d ? 2006 ,
故三数成递增等差数列

d ? 1002 。
1002

对于给定的 d,a 可以取 1,2,??,2006-2d。

的个数为

? (2006? 2d ) ? 1003*1002.
d ?1

三数成递增等差数列的概率为 1003? 1002 ? 3 . 3 4010 C 2006

4. (2006 吉林预赛)骰子是一个质量均匀的正方体,6 个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 点。现在桌面上 有 3 只骰子分别为木制、骨制、塑料制的。重复下面操作,直到桌子上没有骰子:将桌上的骰子全部掷 出,然后去掉那些奇数点的骰子。求完成以上操作的次数多于三次的概率。.(169/512) 5. (2004 湖南)如果一元二次方程 x
2

? 2(a ? 3) x ? b 2 ? 9 ? 0 中,a、b 分别是投掷骰子所得的数字,
( C. )

则该二次方程有两个正根的概率 P= A.

1 18

B.

1 9

1 6

D.

13 18 34 , 35

6.(2005 江西)从 3 名男生和 n 名女生中,任选 3 人参加比赛,已知 3 人中至少有 1 名女生的概率为 则 n=_____.

7. (2005 江西)有 10 名乒乓球选手进行单循环赛,比赛结果显示,没有和局,且任意 5 人中既有 1 人胜其 余 4 人,又有 1 人负其余 4 人,则恰好胜了两场的人数为____________个. 8.将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周 上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法, 经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法) 解:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上的一个 圆形排列,故共有 8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有

8! 种. 2

5分

下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径,设

x1 , x2 ,?, xk 是依次排列于这段弧上的小球号码,则
| 1 ? x1 | ? | x1 ? x2 | ??? || xk ? 9 |?| (1 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ( xk ? 9) |?| 1 ? 9 |? 8.
4

上式取等号当且仅当 1 ? 因此 S 最小

即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列. x1 ? x2 ? ? ? xk ? 9 ,

? 2 ? 8 ? 16.?????????????????????????10 分

由上知,当每个弧段上的球号 { 1, x1 , x2 ,? xk ,9} 确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定. 在 1,2,?,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,?,8,将它们分为两个子集,元素较少的一个子 集共有 C7
0 1 2 3 ? C7 ? C7 ? C7 ? 26 种情况,每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法,即

有利事件总数是 2 种,故所求概率 P

6

?

26 1 ? . ???20 分 8! 315 2

8. (2004 全国)一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点 数之和大于 2 ,则算过关。问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关?(Ⅱ)他连过前三关的概率是 多少?(注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后, 向上一面的点数为出现点数。 ) 解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 (Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6 ? 4 ? 2
n n

4

, 6 ? 5 ? 25 ,因此,当 n ? 5 时,n 次出现的点数之

和大于 2 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。所以最多只能连过 4 关. .......5 分 (Ⅱ)设事件 An 为“第 n 关过关失败” ,则对立事件 第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个. 第 1 关:事件 A , 1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况)
n

An 为“第 n 关过关成功”.

? 过此关的概率为: P ( A1 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? 1 ?
第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x ?
1 1 1 C1 ? C2 ? C3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 (个).

2 2 ? . 6 3
即有

y ? a 当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数之和.

? 过此关的概率为: P( A2 ) ? 1 ? P( A2 ) ? 1 ?

6 5 ? . 62 6

........10 分

5

第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x ? 数之和。即有 C2
2

y ? z ? a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整数解组

2 2 2 2 2 ? C3 ? C4 ? C5 ? C6 ? C7 ? 1? 3 ? 6 ? 10 ? 15 ? 21 ? 56 (个).

? 过此关的概率为: P( A3 ) ? 1 ? P( A3 ) ? 1 ?

56 20 ? . .........15 分 63 27 2 5 20 100 ? 故连过前三关的概率为: P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? ? ? . .......20 分 3 6 27 243
(说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来)

10. (2006 年浙江省预赛)六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子。问 1)共有多少种不同的骰子; 2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差 V。在所有 的骰子中,求 V 的最大值和最小值。 解:1)设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放法共 6×4 种。所以不同的骰子共有

6! ? 30 种. 6*4

?? (5 分)

2) 由 1-6 的六个数字所能产生的变差共有 15 个,其总和为 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35 vmax=(6+5+4)- (1+2+3) =9 因此 Vmax=35-vmin=32 , vmin= 1+1+1 = 3 ??????? (15 分) Vmin=35-vmax=26. ?? (20 分) (10 分) 与之相比,每个骰子的全变差中,所缺的是三个相对面上数字之间的变差,记其总和为 v,则

6


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