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北京市人大附中2012届高三数学尖子生专题训练:直线与方程(人教版)

时间:2014-09-04


北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练:直线与方程 I 卷 一、选择题 1. 直线 x=3 的倾斜角是( A.0 B. )

? 2

C. ?

D.不存在

【答案】B 2. 已知直线 l 1 :x+ay+6=0 和 l 2 :(a-2)x+3y+2a=0,则 l 1 ∥ l 2 的充

要条件是 a=( A.3 【答案】C 3.直线 y ? x ? b 与曲线 A. | b |? 2 B.1 C.-1 D.3 或-1



[来源:Z§xx§k.Com]

x ? 1 ? y2

有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是

(



B. ?1 ? b ? 1 或 b ? ? 2

C. ?1 ? b ? 2 D. 2 ? b ? 1

【答案】B

x ? 1 ? y2 解析: y ? x ? b 是斜率为1的直线,曲线 是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆,画出他们的图像如
右图, 由图可以看出:两种情况两个曲线有且仅有一个公共点, 当 b ? ? 2 时相切,当 ?1 ? b ? 1 时,相交且有唯 一公共点;这里考查直线与圆位置关系,数形结合,是中档题. 4. 直线 x ? (a
2

? 1) y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是(
B.



A. [0,

?
4

]

? 3? ? ,? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ,? ? 4 ?4 2? ? ?

C. [0, 【答案】B 5. 直线

?

] ( ,? ) 4 2

?

D. ?

x ? y ? m ? 0与圆x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不同交点的一个充 分不必要条件是 ( )
B. ?4 ? m ? 2 C. 0 ? m ? 1 D. m ? 1

A. ?3 ? m ? 1 【答案】C

6. 到直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 的距离为 2 的直线方程是. ( A. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 或 3x ? 4 y ? 9 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 9 ? 0 D. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 或 3x ? 4 y ? 9 ? 0 【答案】B 7. 已知直线 l 的倾斜角为 30 ,则直线的斜率 k 值为(
0



) . D.

A.

3 3

B.

1 2

C.

3

3 2

【答案】A 8.若过点 A(3, 0) 的直线 l 与曲线

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 斜率的取值范围为( )

A.( ? 3 , 【答案】C 9. 直线 x ?

3 ) B.[ ? 3 ,

3 ] C .[

?

3 3 ,

3 3 ? 3 ] D.( 3 ,

3 3 )

3 y ?1 ? 0 的倾斜角为(
B.60 C.120



A.30

D.150


【答案】A 10. 若直线 ?3a ? 2?x ? ?1 ? 4a ?y ? 8 ? 0 和直线 ?5a ? 2?x ? ?a ? 4?y ? 7 ? 0 相互垂直,则 a 值为( A.0 【答案】C 11. 已知直线 l1 : A.45° 【答案】B 12. 已知 0 ? a ? 1 ,则直线 l : y ? (2 A.第 1 象限 【答案】C B.第 2 象限
a

B.1

C .0 或 1

D.0 或-1

3x ? y ? 0, l2 : y ? 1 ? 0 , l1 与 l 2 的夹角为(
B.60° C.90°
(1?a )



D.120°

?1) x ? loga

不经过 (

) D.第 4 象限

C.第 3 象限

II 卷 二、填空题 13. a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a-1)y=a-7 平行且不重合的 【答案】充要条件 14. 一条光线经点 A(1,2) 处射向 x 轴上一点 B,又从 B 反射到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上的一点 C,后又从 C 点反 射回 A 点,求直线 BC 的方程。 条件.

【答案】 y=-3x+1 15.已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为________. 1 【答案】 2 2 16.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x +x+c=0 的两个实根,且 0≤c 1 ≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是____________. 8 【答案】 2 1 , 2 2 .

17.如图,已知 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线被直线 AB 反射后,再射到直线 OB 上,最后经 OB 反射后回到 P 点,则光线所经过的路程是

【答案】 2

10
y 2 ? 4 x 的焦点,且被圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 截得弦最长的直线的方程是_____________

18. 过抛物线

【答案】x+y-1=0

三、解答题 19.已知正方形的中点为直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 的交点,正方形一边所在直线的方程为

x ? 3 y ? 5 ? 0 ,求其他三边所在直线的方程.
【答案】 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ∴中点坐标为 M(-1,0) ?x ? y ?1 ? 0
? | ?1 ? 5 | 1 ?3
2 2

点 M 到直线 l1 : x ? 3 y ? 5 ? 0 的距离 d

?

3 10 5

设与 x ? 3 y ? 5 ? 0 的直线方程为 l2 : x ? 3 y ? c2 ∴ c2

?0

3 10 | ?1 ? c1 | ? 5 10

? ?5 (舍)或 c2 ? 7

∴ l2 : x ? 3 y ? 7 ? 0

设与 l1 垂直两线分别为 l3、l4 ,则(-1,0)到这两条直线距离相等且为 设方程为 3x ? y ? d2

3 10 , 5

?0
∴ d1



| ?3 ? d2 | 3 10 ? 5 10

? ?3 或 9

∴ l3 : 3x ? y ? 3 ? 0, l4 : 3x ? y ? 9 ? 0

20. 如图,已知:射线 OA 为 y ?

3x( x ? 0) ,射线 OB 为 y ? ? 3x( x ? 0) ,动点 P( x, y) 在 ?AOX 的
3 .求这个函数 y ? f ( x) 的 解析

内部, PM ? OA 于 M , PN ? OB 于 N ,四边形 ONPM 的面积恰为 式;

【答案】设 M(a,

3 a),N(b,- 3 b),(a>0,b>0)。

[来源:学&科&网 Z&X&X&K][来源:学,科,网 Z,X,X,K]

则|OM|= 2 a ,|ON|= 2 a , 由动点 P 在∠AOx 的内部,得 0<y<

3 x.

∴|PM|=

| 3x ? y | 3x ? y | 3x ? y | 3x ? y = ,|PN |= = 2 2 2 2

∴ S四边形ONPM

? S?ONP ? SOPN ? (|OM|?|PM|+|ON|?|PN|)
1 2

1 2

1 = a( 2


3 x-y)+b( 3 x+y)=

3 (a+b)x - (a -b)y= 3


3 (a+b)x-( a -b)y=2 3

又由 kPM= ?

1 y ? 3a 1 y ? 3b x ? 3y x ? 3y , kPN= ,a ? b? ? ? 4 4 x?a x?b 3 3
x ? 3y x ? 3y 2 2 ,代入①式消 a、b,并化简得 x -y =4。 b? 4 4

分别解得 a ?

∵y>0,∴ y

? x2 ? 4
: ax ? by ? 4 ? 0, l2 : (a ? 1) x ? y ? b ? 0 ,求分别满足下列条件的 a 、 b 的值.

21.已知两直线 l1

(1)直线 l1 过点 (?3, ?1) ,并且直线 l1 与直线 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1 、 l2 的距离相等. 【答案】 (1 )
2

l1 ? l2 ,? a(a ? 1) ? (?b) ? 1 ? 0,


即a ?a ?b ? 0 又点 (?3, ?1) 在 l1 上,

? ?3a ? b ? 4 ? 0



[来源:学_科_网]

由①②解得: a ? 2, b ? 2. (2)

l1 ∥ l2 且 l2 的斜率为 1 ? a .

∴ l1 的斜率也存在,即

a a ? 1? a,b ? . b 1? a

故 l1 和 l2 的方程可分别表示为: l1 : (a ? 1) x ? y ? ∵原点到 1 和 2 的距离相等.

4(a ? 1) a ? 0, l2 : (a ? 1) x ? y ? ?0 a 1? a

l

l

∴4

2 a ?1 a ,解得: a ? 2 或 a ? . ? 3 a 1? a

因此 ?

2 ? ?a ? 2 ?a ? 或? 3. b ? ? 2 ? ? ?b ? 2

22.已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0和l2 : 2 x ? my ?1 ? 0 .试确定 m, n 的值,使

l2 ; (2) l1 ? l2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为 ?1 .
【答案】(1)当 m=0 时,显然 l1 与 l2 不平行. m 8 n 当 m≠0 时,由 = ≠ 得 2 m -1 m?m-8?2=0,得 m=±4, 8?(-1)-n?m≠0,得 n≠±2, 即 m=4,n≠-2 时,或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2. (2)当且仅当 m?2+8?m=0,即 m=0 时,l1⊥l2. n 又- =-1,∴n=8. 8 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.
[来源:学科网]

(1) l1

23. 如图,为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪,另外△AEF 内部有一文物保护区域不能占用, 经过测量 AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积最大?

【答案】建立如图示的坐标系,则 E(30,0)F(0,20) ,那么线段 EF 的方程就是

x y ? ? 1(0 ? x ? 30) ,在线段 EF 上取点 P(m,n)作 PQ⊥BC 于 Q,作 PR⊥CD 于 R,设矩形 PQCR 的面积是 S, 30 20 m n m ? ? 1(0 ? x ? 30) ,所以, n ? 20(1 ? ) ,故 则 S=|PQ||?|PR|=(100-m)(80-n),又因为 30 20 30 2 2 18050 S ? (100 ? m)(80 ? 20 ? m) ? ? (m ? 5) 2 ? 3 3 3
(0 ? m ? 30) ,于是,当 m=5 时 S 有最大值,这时
o

EP PF

?

30 ? 5 5 ? . 5 1

24. 将一块直角三角板 ABO ( 45 角)置于直角坐标系中,已知 AB ? OB ? 1, AB ? OB ,点 P ( , ) 是

1 1 2 4 ? POB P 三角板内一点, 现因三角板中部分受损坏 ( ), 要把损坏的部分锯掉, 可用经过 的任意一直线 MN 将其锯成 ?AMN ,问如何确定直线 MN 的斜率,才能使锯成的 ?AMN 的面积最大?

【答案】由图知 A(1,1), B(1,0) , kOP ?

1 1 , k BP ? ? 2 2

设直线 MN 的斜率为 k ,直线 MN 与 ?POB 不能相交,所以 ?

1 1 ?k? 2 2

1 1 ? k(x ? ) , 4 2 2k ? 1 2k ? 1 ? N (1, ) 令 x ?1得 y ? 4 4
直线 MN 的方程为 y ? 令 y ? x得x?

y?

2k ? 1 2 k ? 1 2k ? 1 ?M ( , ) 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)

?| AN |? 1 ?

2k ? 1 2k ? 3 2k ? 1 3 ? 2k ? ? ,点 M 到直线 AN 的距离为 1 ? 4 4 4(k ? 1) 4(k ? 1)

? S ?AMN ?

1 1 3 ? 2 k 2k ? 3 1 1 1 1 3 ? ? [(1 ? k ) ? ? 1] ? ? ? k ? ? ? 1 ? k ? 2 4 2 2 2 2 4(k ? 1) 8 4(1 ? k )

1 1 在 [ ,?? ) 上是增函数, 4x 2 3 1 1 故当 1 ? k ? , 即k ? ? 时 ? S?AMN 取得最大值 2 2 3
而函数 y ? x ? 25.已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a、b (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1). (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 【答案】 (1)由已知可得 l2 的斜率必存在, 所以 k2=1-a.若 k2=0,则 1-a=0,a=1. 因为 l1⊥l2,所以直线 l1 的斜率 k1 必不存在,即 b=0. 又因为 l1 过(-3,-1) , 所以-3a+b+4=0,即 b=3a-4(不合题意). 所以此种情况不存在,即 k2≠0. 若 k2≠0,即 k1,k2 都存在, 因为 k1= 的值.

a ,k2=1-a,l1⊥l2, b

所以 k1?k2=-1,即

a (1-a)=-1. b

① ②

又因为 l1 过 点(-3,-1),所以-3a+b+4=0. 由①、②联立,解得 a=2,b=2.

26.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,|AB|=3 米,|AD|=2 米.

(Ⅰ)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AM 的长应在什么范围内? (Ⅱ)当 AM、AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积. 以 AM、AN 分别为 x、y 轴建立直角坐标系, 【答案】 (Ⅰ)以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立坐标系,则

M (a,0), N (0, b), (a ? 3),则 C (3,2), 直线 MN 的方程为
由 C 在直线 MN 上得 ∴ S AMPN

x y ? ?1 a b

3 2 2 3 ? ? 1 ? ? 1? a b b a 32 2 3 ? ab ? 32 ? a ? ? 16 ? ? 16(1 ? ) b b a

? a 2 ? 16x ? 48 ? 0 ? a ? 4或a ? 12
∴AM 的长取值范围是(3,4) ? (12,??)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

3 2 6 3 2 ? ? 1 ?1 ? ? ? 2 ? ab ? 24,即 S AMPN ? ab ? 24 a b a b ab

当且仅当

3 2 ? 即 a ? 6, b ? 4 时取等号 a b

所以 a ? 6, b ? 4 时,矩形 AMPN 的面积取得最小值 24